Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề 8 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bằng công thức hiến thuật tổng quát Trong thi môn Toán, chiến thuật quan trọng nhất là dễ trước khó sau, đúng câu dễ mới làm câu khó. Khi nhận đề, các em cần đọc lướt qua một lượt, trong quá trình đọc bắt được ý tưởng lời giải của bài nào thì ghi ngay ra bên cạnh bài đó. Sau đó, bắt tay làm bài từ câu dễ đến câu khó, theo phương châm đúng câu dễ mới sang câu khó. Lưu ý, sai câu dễ nguy cơ trượt cao, không làm được câu khó vẫn có thể đỗ. Với 2 câu vận dụng cao, chỉ nên dành thời gian tối đa cho mỗi câu 10 phút, thời gian còn lại cần kiểm tra các câu đã làm để đảm bảo đạt điểm tuyệt đối. Hãy nhớ 3 bước giải bài toán. Tương tự như 3 bước làm một bài văn là mở bài, thân bài, kết luận, 3 bước giải bài toán lần lượt là: điều kiện, giải bài toán, kiểm + kết. Kỹ năng trình bày: 2Đ Đúng và Đủ ý Đúng luôn là quan trọng nhất, Đủ để không bị trừ điểm lặt vặt. Các em lưu ý, bài làm không viết dài dòng, viết càng dài càng dễ sai. Bên cạnh đó, khi viết dài, việc kiểm tra sẽ mất nhiều thời gian và khó tìm ra lỗi sai. Kỹ năng kiểm tra: 3K K1: Làm đến đâu kiểm tra đến đó, nếu sai cần sửa ngay, tránh tình trạng làm xong cả bài mới phát hiện sai, khi đó có lỗi sai rất khó sửa, thường phải bỏ cả bài. Điều này gây mất thời gian và ảnh hưởng không tốt đến tâm lý làm bài. K2: Xong một bài, tiến hành kiểm tra ngay.dạng , trong đó a, b là những hằng số với Hàm số bậc nhất có tập xác định là 2.
Chuyên đề HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa Hàm số bậc hàm số cho công thức dạng y ax b , a, b số với a Hàm số bậc có tập xác định ¡ Tính chất Tính đồng biến, nghịch biến: Với a , hàm số đồng biến ¡ Với a , hàm số nghịch biến ¡ Đồ thị - Đồ thị hàm số y ax b a đường thẳng gọi đường thẳng y ax b Nó có hệ số góc a có đặc điểm: - Khơng song song không trùng với trục tọa độ; - Cắt trục hoành điểm A ;0 cắt trục tung điểm B 0; b b a Quan hệ đường thẳng Cho hai đường thẳng d : y ax b; d : y ax b , ta có: + d song song với d a a b b; + d trùng với d a a b b; + d vng góc với d a.a 1; + d cắt d a a B Một số ví dụ Ví dụ Cho hàm số y 2m 1 x (m tham số) a) Xác định giá trị m để hàm số hàm số bậc b) Tìm giá trị m để hàm số hàm số đồng biến Giải a) Hàm số y 2m 1 x hàm số bậc 2m m 1 b) Hàm số y 2m 1 x hàm số đồng biến 2m m 1 Nhận xét: Để nhận dạng hàm số bậc cần lưu ý rằng: Cơng thức có dạng y ax b a Chẳng hạn, hàm số y x x có hệ số khơng phải hàm bậc khơng có dạng y ax b Ví dụ 2: Cho hai hàm số y 3m 1 x y m 1 x (với m tham số) Tìm giá trị m để hai hàm số hàm bậc đồ thị chúng hai đường thẳng cắt Giải Các hàm số cho hàm số bậc khi: 3m 1 m m 1 m 1 Đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng cắt khi: 3m 1 m 1 2m m 1 Vậy giá trị m thoả mãn đồng thời điều kiện m ; m 1 m giá trị cần tìm Nhận xét : + Với m , hai hàm số cho trở thành y y x Khi y hàm số bậc đồ thị đường thẳng song song với trục hồnh, cịn hàm số bậc y x có đồ thị đường thẳng cắt trục hồnh Từ ta có đồ thị hai hàm số y y x cắt + Tương tự với m 1 , hai hàm số cho trở thành : y 4x y 7 Lập luận tương tự ta có đồ thị hai hàm số cắt + Các đường thẳng y y 7 học chương III Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng y 3m x d y n 3 x n d a)Tìm m n để d trùng d b) Tìm m n để d song song d Giải 1 3m n m n n a) d trùng d b) d song song d 1 3m n n 3m n n Nhận xét : Đối với toán trên, cần xác định rõ yêu cầu đề tìm điều kiện để đường trùng song song không yêu cầu chúng phải hàm bậc Vì vậy, đặt điều kiện 3m n lời giải khơng Ví dụ Cho ba hàm số : y x có đồ thị d1 y x có đồ thị d y 2 x có đồ thị d3 a)Vẽ đồ thị ba hàm số cho hệ trục toạ độ b) Cho biết d1 cắt d A, d1 cắt d3 B, d cắt d3 C Tính diện tích tam giác ABC Giải a)Xem hình b) Từ câu a, ta có: A 2;0 , B 0; , C 4; 6 d có phương trình y x Cho x y 2 d cắt Oy M 0; 2 Gọi H hình chiếu điểm C lên Oy H 0; 6 Ta có : S ABC S ABM SMBC 1 1 BM OA BM CH 4.2 4.4 12 2 2 Nhận xét : Với phần b) giải theo số cách khác Chẳng hạn: Cách 2: Ta kiểm tra thấy d1 d AB AC Lại có: AB AO BO 2; AC AK KC (K hình chiếu vng góc C lên trục hồnh) Khi S ABC AB.AC 12 Cách 3: Gọi E giao BC trục hồnh Tìm E 1;0 Khi đó: S ABC S ABE S AEC 1 BO AE CK AE=12 2 Ví dụ a)Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 4;1 song song với đường thẳng y 2 x b) Xác định hàm số y ax b biết đồ thị qua điểm B 1; 2 cắt trục Oy điểm có tung độ 3 Giải a)Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y 2 x có dạng : y 2 x b b 5 d Vì d qua điểm A 4;1 nên 2 4 b b 7 (thoã mãn điều kiện b ) Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y 2 x b) Vì đồ thị hàm số y ax b qua điểm B 1; 2 nên ta có : a b 2 (1) Vì đồ thị hàm số y ax b cắt trục Oy điểm có tung độ 3 nên ta có : b 3 (2) Từ (1) (2) suy : a 1; b 3 y x Nhận xét : Ngoài cách giải trên, có thể viết phương trình đường thẳng cách tìm yếu tố, là: Một điểm M x0 ; y0 thuộc đường thẳng hệ số góc k Khi phương trình đường thẳng là: y k x x0 y0 Áp dụng vào phần a, đường thẳng qua điểm C 4;1 song song với đường thẳng y 2 x nên từ suy đường thẳng cần tìm có hệ số góc k 2 đồng thời qua C 4;1 Như ta có: Phương trình cần tìm là: y 2 x y 2 x Với phần c, ta giải cách tìm điểm đường thẳng Sau làm tương tự phần a Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : y k 1 x n k 1 hai điểm A 0; B 1;0 (với k,n tham số) 1.Tìm giá trị k n để : a)Đường thẳng d qua hai điểm A B b) Đường thẳng d song song với đường thẳng : y x k 2.Cho n Tìm k để đường thẳng d cắt trục Ox điểm C cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Giải a)Đường thẳng d qua điểm A 0; n Đường thẳng d qua điểm B 1;0 k k Vậy với k 3; n d qua hai điểm A B b) Đường thẳng d song song với đường thẳng : y x k k k 2 k n n Vậy với k n đường thẳng d song song với đường thẳng 2.Với n , đường thẳng d : y k 1 x cắt Ox k-1 k (thỏa mãn) ;0 , Giao điểm d với Ox C 1 k 2 Các OAB OAC vuông O nên SOAC OA.OC ; SOAB OA.OB Ta có SOAC 2SOAB OC 2OB 1 k k xC xB 1 (thoả mãn) 1 k k 2 1 k Vậy với k k SOAC 2SOAB Nhận xét : Với phần 1b, thường hay bỏ qua bước kiểm tra số tự hai đường thẳng khác Nhắc lại, hai đường thẳng y ax b y ax b song song với a a b b Với phần 2, lệ thuộc vào hình vẽ học sinh thiếu trường hợp Ví dụ Cho đường thẳng d đồ thị hàm số bậc nhất: y mx m (m tham số) a)Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố định m thay đổi b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d c)Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d lớn Giải a)Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 cố định y0 mx0 m với m m x0 1 y0 với m x0 x0 1 y0 y0 Vậy đường thăng d qua điểm cố định M 1;1 b) Điều kiện để y mx m hàm số bậc m Gọi A giao điểm d trục Oy: Với x y m A 0; m 1 OA m m Gọi B giao điểm d trục Ox: Với y x m 1 m 1 m 1 B ;0 OB m m m Do điểm O cách đường thẳng d đoạn nên đường thẳng d không qua O m hay m Kẻ OH d Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: 1 1 m2 m2 m 2m OH OH OA2 OB m 1 m 1 m2 2m m2 Mà theo giả thiết có OH m 2m m 2m m 1 (thoả mãn) m 1 c)Vì OH OM (OM không đổi O M cố định) Dấu " " xảy M H d OM Gọi y ax b đường thẳng qua hai điểm O, M suy b a b Từ ta có a 1; b Như ta y x đường thẳng qua hai điểm O M, đường thẳng có hệ số góc k1 Mà d y mx m nên hệ số góc đường thẳng d k2 m Do d vng góc với OM suy k1.k2 1 1.m 1 m 1 (thoả mãn) Nhận xét : Với phần a, tóm tắt y tưởng giải sau: Bài tốn: Tìm điểm cố định đường thẳng có phương trình: y ax b (trong a,b biểu thức phụ thuộc vào tham số m) Cách giải: Bước 1: Gọi điểm cố định cần tìm M x0 ; y0 y0 ax0 b (1) với m Bước 2: Biến đổi (1) phương trình ẩn m: P.m Q với m (với P, Q biểu thức không phụ thuộc vào m) Bước 3: Sử dụng tính chất: P Q Phương trình ẩn m là: P.m Q với m Từ tìm x; y toạ độ điểm cố định Với phần c, ngồi cách giải trình bày ta giải cách sử dụng bất đẳng thức Cụ thể sau: 2 m 1 m 2m m 1 m 2m 1 m 2m OH 2 2 với m m2 m2 m2 m 1 Đẳng thức xảy m hay m 1 Ví dụ 8.Trong hệ trục toạ đọ Oxy, cho hàm số y 3x m (1) Cho điểm A có hồnh độ thuộc đồ thị hàm số (1) Xác định m để điểm A nằm góc vng thứ IV Giải Do điểm A thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ nên với x y m A 1; m Điểm A nằm góc vng thứ IV hệ trục toạ độ Oxy 1 1 m 3 m m 3 Vậy m 3 thoã mãn yêu cầu đề Nhận xét: Hai trục toạ độ chia mặt phẳng thành phần: Góc phần tư thứ I,II,III,IV x y Điểm A x; y nằm góc phần tư thứ I x y Điểm A x; y nằm góc phần tư thứ II x y Điểm A x; y nằm góc phần tư thứ III x y Điểm A x; y nằm góc phần tư thứ IV 2 Ví dụ Cho hàm số y 3m 1 x m Chứng minh m thay đổi đồ thị hàm số qua điểm cố định Giải Gọi điểm M (x;y) điểm đồ thị, đó: 2 M cố định y 3m 1 x m với m x 1 m x y với m x x x y y 13 Vậy M ; điểm cố định cần tìm 3 13 Nhân xét: Cách giải dựa vào tính chất: Phương trình ax bx c nghiệm với x a=b=c=0 Ví dụ 10 Cho ba điểm A 0; , B 3; 1 , C 2; Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải Gọi d đường thẳng qua hai điểm A B Phương trình d có dạng y ax b (1) 2 b a 1 3a b b Do toạ độ A, B thoả mãn (1) nên ta có hệ: d :y x2 Lại có:Điểm C 2; thoả mãn phương trình d : y x C d Từ suy A, B, C thẳng hàng III Bài tập vận dụng 8.1 Cho đường thẳng d : y m x m d : y m x 1 m a) Tìm m để d Pd ¼ 60 b) Tìm m để d cắt Ox A, cắt Oy B cho BAO Hướng dẫn giải – đáp số m m2 m d P d m2 m a) m 2 3 b) A m ;0 ; B 0;3 OA m ; OB 3 ¼ OB m m ¼ 60 nên tan BAO Do BAO OA 8.2 Cho đường thẳng d có phương trình y 2m 1 x ( với m ), d cắt Ox A, cắt Oy B Tìm m cho: a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d b) Diện tích tam giác AOB 2; Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y 2m 1 x có đồ thị đường thẳng d, điều kiện: m Do d cắt trục Ox điểm A nên với: y 0 x 2 A ;0 OA 2m 2m 2m Do d cắt trục Oy điểm B nên với x y 2 B 0; 2 OB Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O lên AB suy OH khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng d Suy OH Mặt khác, tam giác OAB vuông O OH đường cao kẻ từ đỉnh góc vng nên ta có: 1 1 2m 1 2 OH OA OB 4 4m 4m m m m m 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m m 1 b) Theo a, ta có A 2m ;0 ; B 0; 2 OA 2m ; OB 2 2m SOAB OA.OB 2m m m 2m 2 2m 4 8.3 Xác định phương trình đường thẳng d biết song song với đường thẳng d có phương trình y x d qua điểm M 2;1 Hướng dẫn giải – đáp số Do đường thẳng d song song với đường thẳng d đường thẳng d có hệ số góc -1 nên ta có đường thẳng d có hệ số góc -1 Từ suy đường thẳng d có phương trình dạng: y x c Do điểm M 2;1 thuộc đường thẳng d nên ta có: 2 c c Vậy đường thẳng d có phương trình y x 8.4 Cho hai đường thẳng d1 : y x 4, d : y x 1, d1 cắt Ox A, cắt Oy B; d cắt Ox C, cắt Oy D; d1 d cắt M a) Chứng minh tam giác MAC vuông M b) Tính diện tích tam giác MAC Hướng dẫn giải – đáp số a) Hệ số góc hai đường 2; Mà tích chúng 1 nên ta có 2 d1 d Từ ta có tam giác MAC vng M b) Tìm M ; 5 Gọi H hình chiếu vng góc M lên trục hồnh Từ có MH ; AC S MAC MH AC 16 8.5 Cho ba đường thẳng: d1 : y x 2; d : y x 1; d3 : y m 1 x m a) Tìm giá trị m để d3 Pd ; b) Tính giá trị m để ba đường thẳng cắt điểm Hướng dẫn giải – đáp số a) Đường thẳng d3 : y m 1 x m đường thẳng d : y x song song m m2 m m 1 m 1 m m m Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu đề b) Tìm A 1;3 giao điểm d1 d Khi đường d1 , d d3 đồng quy khi: A d3 m m m m m m 2 8.6 Cho hàm số y m x m a) Tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến tập số thực b) Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y x 2, y x y m x m đồng quy d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y m x m nghịch biến m m 2 b) Đồ thị hàm số y m x m cắt trục hồnh điểm có hồnh độ tức điểm A 3;0 thuộc đồ thị hàm số: y m x m m m 4m m c) Tìm điểm M 1;1 giao điểm hai đường thẳng y x y x Khi đó: Đồ thị hàm số y x 2, y x 1, y m x m đồng quy Điểm M 1;1 thuộc đồ thị hàm số: y m x m m m 1 m d) Giả sử hàm số y m x m có đồ thị đường thẳng d, điều kiện: m 2 Giả sử d cắt trục Ox điểm A, với: y 0 x 1 m 1 m 1 m A ;0 OA m2 m2 m2 Giả sử d cắt trục Oy điểm B Khi với x y m B 0; m 1 OB m Mà tam giác OAB vng O nên ta có: 1 m SOAB OA.OB m m 1 m 2 m2 m 1 m m 6m m 1 m ( thỏa mãn) m 1 4 m m 2m VN Vậy m 1 m 8.7 Cho hàm số y m 5 x 2m 10 a) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m b) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số lớn Hướng dẫn giải – đáp số a) Gọi M x0 ; y0 điểm thuộc đồ thị hàm số y m 5 x 2m 10 Điểm M cố định y0 m x0 2m 10 với m m x0 x0 y0 10 với m x0 x0 2 5 x0 y0 10 y0 20 Như ta có điểm cố định cần tìm M 2; 20 b) Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng d: y m x 2m 10 Khi độ dài đoạn thẳng OH khoảng cách từ O tới đường thẳng d Ta có: OH OM (với OM khơng đổi O M cố định) Dấu " " xảy H M d OM Gọi y ax b đường thẳng qua hai điểm O, M suy b 20 2a b Từ ta có a 10; b Như ta y 10 x đường thẳng qua hai điểm O M, đường thẳng có hệ số góc k1 10 Mà d: y m 5 x 2m 10 nên hệ số góc đường thẳng d k2 m Do d vng góc với OM Suy k1.k2 1 10 m 1 10m 50 1 m Vậy m 51 (thỏa mãn) 10 51 10 8.8 Cho hàm số y m x m a) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c) Tìm m để đồ thị hàm số y x 2; y x y m x m đồng quy Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y m x m nghịch biến m m b) Đồ thị hàm số y m x m cắt trục hoành điểm có hồnh độ tức điểm A 3;0 thuộc đồ thị hàm số: y m x m m m 4m m c) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y x 2; y x C 1;1 Ba đường thẳng y x 2; y x y m x m đồng qui đường thẳng y m x m qua điểm C 1;1 1 m2 m3 m 8.9 Cho hàm số y m 1 x m a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y 2 x b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm 1; 4 c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Hướng dẫn giải – đáp số a) Hàm số y m 1 x m có đồ thị song song với đồ thị hàm số m 2 y 2 x m 1 m b) Hàm số y m 1 x m có đồ thị qua điểm có tọa độ 1; 4 4 m m m 3 c) Gọi M x0 ; y0 điểm thuộc đồ thị hàm số y m 1 x m Điểm M cố định y m 1 x m với m m x0 1 x0 y0 3 với m x0 x0 1 x0 y0 y0 Như ta có điểm cố định cần tìm M 1; 8.10 Cho đường thẳng d có phương trình y mx m Chứng tỏ m thay đổi đường thẳng d ln qua điểm cố định Tìm điểm cố định Hướng dẫn giải – đáp số Gọi M x0 ; y0 điểm thuộc đồ thị hàm số y mx m Điểm M cố định y0 mx0 m với m m x0 1 y0 với m x0 x0 1 y0 y0 Như ta có điểm cố định cần tìm M 1;1