VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mà SỐ: 46 01 04 Tập thể hướng dẫn: GS.TSKH Ngơ Việt Trung TS Nguyễn Trọng Hịa Hà Nội - 2022 MỤC LỤC Tóm tắt iv Abstract v Lời cam đoan vi Lời cảm ơn vii Danh mục ký hiệu viii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong đơn thức 1.2 Đối đồng điều địa phương 1.3 Vành Cohen-Macaulay 1.4 Macaulay hóa hữu hạn 1.5 Vành Buchsbaum 1.6 Số mũ rút gọn 1.7 Chỉ số quy Các 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 cơng thức tính số Trường hợp A Trường hợp B Trường hợp C Trường hợp D Trường hợp E mũ rút ii gọn số quy 8 10 12 15 16 20 24 24 26 33 35 40 Tính Buchsbaum đường cong đơn thức khơng 3.1 Tiêu chuẩn cho đoạn thẳng nằm 2GM 3.2 Tính Buchsbaum cho Trường hợp F 3.3 Tính Buchsbaum cho Trường hợp G Ước lượng số quy cho đường cong đơn trơn 4.1 So sánh nửa nhóm số học phân bậc 4.2 Chỉ số quy cho Trường hợp F 4.3 Chỉ số quy cho Trường hợp G trơn 45 45 50 53 thức không 57 58 60 67 Kết luận 75 Các cơng trình liên quan đến Luận án 76 Các kết Luận án báo cáo thảo luận 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii Tóm tắt Luận án nghiên cứu số tính chất đại số đường cong đơn thức (xạ ảnh) Các kết Luận án đưa ước lượng cho số mũ rút gọn, số quy đặc trưng tính Buchsbaum vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức iv Abstract The thesis studies algebraic properties of (projective) monomial curves The main results give estimates for the reduction number, the CastelnuovoMumford regularity and characterize the Buchsbaum property of the coordinate rings of several classes of monomial curves v Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tập thể hướng dẫn Kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào Luận án Các kết nêu Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Thị Gia Lâm vi Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới người thầy kính u tơi - GS TSKH Ngơ Việt Trung Thầy ln tận tình, chu đáo, dìu dắt từ bước chập chững đường khoa học Với tâm huyết người thầy, Thầy khơng dạy tơi tri thức Tốn học, phương pháp nghiên cứu, cách phát giải vấn đề mà cịn giúp tơi có quan điểm đắn sống Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn thứ hai tơi - TS Nguyễn Trọng Hịa Thầy người hướng dẫn, giúp đỡ định hướng để tơi chọn làm Nghiên cứu sinh Viện Tốn học, sở đào tạo cho điều kiện tốt để học tập, rèn luyện trưởng thành Thầy quan tâm, động viên, khích lệ giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện Tốn học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, Phòng Đại số phịng chức cho tơi môi trường học tập, nghiên cứu lý tưởng để hồn thành Luận án Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Phú Yên, Lãnh đạo Khoa Khoa học Tự nhiên đồng nghiệp Bộ mơn Tốn tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành việc học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến nghiên cứu viên Phịng Đại số, Viện Tốn học giúp đỡ động viên thời gian qua Tôi xin cảm ơn đồng nghiệp, anh, chị em học tập nghiên cứu Viện Toán học trao đổi, hỗ trợ, chia sẻ khoa học động viên, giúp đỡ q báu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến đại gia đình mình, đặc biệt Chồng Con trai yêu quý, hi sinh nhiều, yêu thương, động viên, tạo điều kiện thuận lợi mong mỏi ngày tơi hồn thành Luận án Luận xin kính tặng người mà yêu thương vii Danh mục ký hiệu N Z gcd♣a1 , , an q k rx1 , , xn s k rF s ➚ R✏ Rn tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên ước chung lớn số nguyên a1 , , an vành đa thức nhiều biến trường k vành đơn thức sinh F vành phân bậc R  iđêan phân bậc cực đại vành phân bậc R n➙0 ✏ ➚ Rn n➙1 Dn ra, bs depth♣Rq dim♣Dq ΓI ♣Dq HIi ♣Dq ♣Rq reg♣Rq rJ ♣I q r♣I q R✝ thành phần phân bậc thứ n môđun phân bậc D tập hợp số nguyên α cho a ↕ α ↕ b độ sâu vành R chiều Krull môđun D môđun xoắn D xác định I môđun đối đồng điều địa phương thứ i D với giá I bậc không triệt tiêu lớn HRi   ♣Rq số quy Castelnuovo-Mumford vành R số mũ rút gọn I theo J số mũ rút gọn I Macaulay hóa hữu hạn vành R viii Mở đầu Cho k rx, y s vành đa thức trường k, hai biến x, y Đặt R ✏ k rM s vành k rx, y s sinh tập hợp M gồm đơn thức bậc d cho trước Khi đó, R vành tọa độ đường cong đơn thức xạ ảnh có nghiệm tham số tập M Lớp vành thường dùng làm đối tượng nghiên cứu cho số toán Đại số giao hoán Hình học đại số, chẳng hạn, ví dụ khơng tầm thường vành không Cohen-Macaulay k rx4 , x3 y, xy , y s, tìm thấy Macaulay [29] Ngồi ra, vành vành Buchsbaum không tầm thường đầu tiên, khái niệm mở rộng vành Cohen-Macaulay [6, Theorem 3], [42, p 229] Người đọc nên xem Chương Luận án để hiểu khái niệm chuyên sâu đề cập phần Mở đầu Cho M ✏ txd , xα1 y d✁α1 , , xαn y d✁αn , y d ✉ tập hợp gồm đơn thức hai biến x, y, bậc d chứa xd , y d Grăobner [15] l ngi ó t tốn đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay R theo M Bài toán giải cho số lớp đường cong đơn thức [1, Corollary 2.3, Corollary 3.2], [6, Theorem 3], [20, p 188, 193, 195, 196], [22, Lemma 2.1], [43, p 574, 577], [44, Theorem 2.1, Lemma 3.1, Corollary 3.4] Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu tồn hay khơng đặc trưng cho tính Buchsbaum R qua dãy d, α1 , , αn Nói chung, tốn khó phụ thuộc nhiều tham số Tuy nhiên, xd✁1 y, xy d✁1 € M ta chứng minh R vành Buchsbaum d, α1 , , αn thỏa mãn hệ bất đẳng thức tuyến tính [44, Theorem 4.3] Trường hợp quan tâm mặt hình học đường cong đơn thức cho cách tham số hóa M trơn xd✁1 y, xy d✁1 € M Mặt khác, người ta biết lớp đường cong đơn thức khơng trơn có vành toạ độ Buchsbaum khơng Cohen-Macaulay [4, Theorem 2.1, Theorem 3.1, Theorem 3.2], [6, Theorem 3], [21, Theorem 3.2], [44, Theorem 3.5] Một toán khác ước lượng số quy Castelnuovo-Mumford reg♣Rq qua dãy d, α1 , , αn Vấn đề nhiều người quan tâm reg♣Rq kiểm sốt bậc dịch chuyển giải tự phân bậc cực tiểu R [11] Theo giả thuyết Eisenbud-Goto [11, p 93], chứng minh cho Ta có ✏ nGN với n ➙ Từ suy nGN ria2   jd, ia2r✁1   jds i  j ↕ n ❸ t0, nd✉ ❨ ra2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds Đặt H Vì a2r✁1 ↕ ✏ t0✉ ❨ ra2, a2r✁1s ❸ GN → a3 ➙ 2a2 ✁ nên theo Bổ đề 4.1.1(1), ta có ra2, na2r✁1s ❸ nH ❸ nGN Đặt ✏ ra2, a2r✁1s ❨ td✉ ❸ GN Vì a2   d ✁ ➔ a2r✁2   d ✁ ↕ 2a2r✁1 nên theo Bổ đề 4.1.2(1), ta có rna2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds ❸ nK ❸ nGN K Do đó, nGN ❹ ra2, na2r✁1s ❨ rna2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds ✏ ra2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds Suy ra, nGN ✏ t0, nd✉ ❨ ra2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds Đặt U ✏ t0✉ ❨ ra2, a3s ❸ GM Vì 2a2 ✁ ↕ a3 nên theo Bổ đề 4.1.1(1), ra2, na3s ❸ nU ❸ nGM Đặt V ✏ ra2r✁2, a2r✁1s ❨ td✉ ❸ GM Vì a2r✁2   d ✁ ↕ 2a2r✁1 nên theo Bổ đề 4.1.2(1), rna2r✁2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds ❸ nV ❸ nGM 68 Do đó, nGN ③nGM ❸ ra2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qds③♣ra2, na3s ❨ rna2r✁2, a2r✁1   ♣n ✁ 1qdsq ❸ rna3, na2r✁2s Từ suy nGN ✏ nGM rna3, na2r✁2s ❸ nGM Mặt khác, theo chứng minh Định lý 3.3.1, reg♣Rq ✏ mintn ➙ 2⑤ nGM Do đó, ✏ nGN ✉ reg♣Rq ✏ mintn ➙ 2⑤ rna3 , na2r✁2 s ❸ nGM ✉ (4.2) Bây thực tương tự chứng minh Định lý 4.2.1 Đặt m ✏ reg♣Rq ✁ ν € rma3 , ma2r✁2 s thỏa mãn ν ❘ mGM Vì rma3, ma2r✁2s ✏ ra3, a2r✁2s   ♣m ✁ 1qta3, a2r✁2✉ nên tồn α € ra3 , a2r✁2 s số nguyên p, q ➙ với p   q ✏ m ✁ cho ✏ α   pa3   qa2r✁2 Vì ν ❘ mGM nên α ❘ GM , α   pa3 ❘ ♣p   1qGM α   qa2r✁2 ❘ ♣q   1qGM Vì α ❘ GM nên a2i✁1 ➔ α ➔ a2i với i đó, ➔ i ➔ r Đặt P ✏ t0✉ ❨ ra2 , a3 s ❸ GM Vì 2a2 ✁ ↕ a3 , a3 ↕ a2i✁1 ➔ α ➔ a2i với ➔ i ➔ r nên theo Bổ đề 4.1.1(2), α   na3 € nP   a2i ❸ nGM   a2i ❸ ♣n   1qGM ❫ ❩ a2   a2i ✁ α ✁   Vì α   pa ❘ ♣p   1qG nên với n ➙ ν p↕ Đặt ❩ a3 a2   a2i ✁ α ✁ a3 ❫ ↕ ❩ ❫ a2   a2i ✁ α ✁ ε Q ✏ ra2r✁2 , a2r✁1 s ❨ td✉ ❸ GM 69 M Vì a2r✁2   d ✁ Bổ đề 4.1.2(2), ↕ 2a2r✁1, a2i✁1 ➔ α ➔ a2i ↕ a2r✁2 với ➔ i ➔ r nên theo α   na2r✁2 € nQ   a2i✁1 ❸ nGM   a2i✁1 ❸ ♣n   1qGM ❫ d ✁ a2r✁1 ✁ a2i✁1   α ✁ với n ➙   Vì α   qa2r✁2 ❘ ♣q   1qGM d ✁ a2r✁2 ❩ nên q ↕ ❩ α ✁ a2i✁1   d ✁ a2r✁1 ✁ d ✁ a2r✁2 ❫ ↕ ❩ ❫ α ✁ a2i✁1   d ✁ a2r✁1 ✁ ε Từ suy p q ↕ a2   a2iε✁ α ✁   α ✁ a2i✁1   dε ✁ a2r✁1 ✁ ✏ a2i ✁ a2i✁1   a2ε  d ✁ a2r✁1 ✁ ↕   a2   d ε✁ a2r✁1 ✁ Vì reg♣Rq ✏ p   q   nên ❩ ❫   a2   d ✁ a2r✁1 ✁ reg♣Rq ↕   ε Như ta chứng minh (1) Bây ta chứng minh (2) Nếu a3 ✁ a2 ➙ d ✁ a2r✁2 ❩ε ✏ d ✁ a2r✁❫2 a2i ✁ α ✁ Lí luận tương tự chứng minh Định lý 4.2.1(2), ta p ↕ ε Do đó, ↕ a2i ✁εα ✁   α ✁ a2i✁1   dε ✁ a2r✁1 ✁ ✏ a2i ✁ a2i✁1  εd ✁ a2r✁1 ✁ ↕   d ✁ aε2r✁1 ✁ ❩ ❫   d ✁ a2r✁1 ✁ Suy reg♣Rq ↕   2, ta (2) p q ε Chú ý giả thiết Định lý 4.3.1 có tính đối xứng thay d ✁ a2r 1✁i , i ✏ 0, 1, , 2r   Vì a2r✁1 ✁ a2r✁2 ➙ a3 điều kiện đối xứng a3 ✁ a2 ➙ d ✁ a2r✁2 nên ta có (3), phát biểu đối xứng (2) 70 Cuối ta chứng minh (4) Đặt L ✏ r0, a3 s ❨ ra4 , ds ❹ GM ❩ ❫ a4 ✁ Theo Bổ đề 4.1.3(1), na3   ❘ nL, na3   ❘ nGM với n ↕ a ❩ ❫ a4 ✁ Vì na3   € rna3 , na2r✁2 s, nên rna3 , na2r✁2 s ❺ nGM với n ↕ Do a3 đó, từ (4.2) ta suy reg♣Rq ➙ ❩ a4 ✁ a3 ❫   Do tính đối ngẫu biến x, y nên ta thay a3 , a4 d ✁ a2r✁2 , d ✁ a2r✁3 , ta reg♣Rq ➙ ❩ d ✁ a2r✁3 ✁ d ✁ a2r✁2 ❫   Định lý 4.3.1 chứng minh Khi r 4.3.1 ✏ 3, ta có ước lượng cho số quy tốt Định lý Định lý 4.3.2 Cho ➔ a ➔ b ➔ c ➔ e ➔ d ✁ dãy số nguyên ✏ ✘ với b ➔ c ✁ R ✏ k xα y d✁α ⑤ α € t0, d✉❨ra, bs❨rc, es Giả sử 2a ✁ ↕ b c   d ✁ ↕ 2e Đặt ε ✏ mintb, d ✁ c✉ Khi đó, ❩ (1) c✁b✁2 ε (2) reg♣Rq ✏ ❫ ❩   ↕ reg♣Rq ↕ c✁b✁2 ε ❫ ❩ c✁b✁2 ε ❫   3,   điều kiện sau thỏa mãn: (i) a ✁ ↕ e ✁ c d ✁ e ✁ ↕ b ✁ a, (ii) b ✁ a ➙ d ✁ c, (iii) e ✁ c ➙ b Chứng minh Theo chứng minh Định lý 4.3.1, ta có reg♣Rq ✏ mintn ➙ với GM ✏ t0, d✉ ❨ ra, bs ❨ rc, es 71 ⑤ rnb, ncs ❸ nGM ✉, Đặt m ✏ reg♣Rq ✁ ν € rmb, mcs cho ν ❘ mGM Vì rmb, mcs ✏ rb, cs   ♣m ✁ 1qtb, c✉ nên tồn α € rb, cs số nguyên p, q ➙ với p   q ✏ m ✁ cho ν ✏ α   pb   qc Vì ν ❘ mGM nên α   pb ❘ ♣p   1qGM Nếu a ✁ ↕ e ✁ c c   a ✁ ↕ e Điều suy rc, c   bs ❸ rc, es ❨ rc   a, c   bs ❸ 2GM ❫ ❩ c✁α✁1   Khi đó, Đặt t ✏ b c ✁ α ↕ tb ↕ c   b ✁ α ✁ Do đó, α   tb € rc, c   bs ❸ 2GM ❸ ♣t   1qGM Như ta có α   tb € ♣t   1qGM Từ suy α   nb € ♣n   1qGM với n ➙ t Mà α   pb ❘ ♣p   1qGM nên ❫ ❩ ❫ ❩ c✁α✁1 c✁α✁1 ↕ (4.3) p↕ b ε Sử dụng chứng minh Định lý 4.3.1(1), ta có q ↕ ❩ ❫ α✁b d✁e✁1 ε Do đó, p q ↕ c ✁ αε ✁   α ✁ b   εd ✁ e ✁ ✏ c ✁ b   dε ✁ e ✁ Vì reg♣Rq ✏ p   q   nên ta có reg♣Rq ↕ ❩ c✁b d✁e✁2 ε ❫   Theo Định lý 4.3.1(2), chặn b ✁ a ➙ d ✁ c 72 (4.4) Chú ý giả thiết Định lý 4.3.2 có tính đối xứng ta thay a, b, c, e d ✁ e, d ✁ c, d ✁ b, d ✁ a Khi đó, khơng tính tổng qt, ta giả sử ε ✏ d ✁ c Vì d ✁ e ➔ d ✁ c nên từ (4.4) suy reg♣Rq ↕ ❩ c✁b d✁e✁2 d✁c ❫  2↕ ❩ c✁b✁2 d✁c ❫   Do đó, để chứng minh chặn thứ (1), ta giả sử thêm a ✁ → e ✁ c b ✁ a ➔ d ✁ c Chú ý a ✁ → e ✁ c điều kiện đối xứng a ✁ ↕ e ✁ c Khi đó, ta thay b, c, d ✁ e (4.4) d ✁ c, d ✁ b, a, ta reg♣Rq ↕ ❩ c✁b a✁2 ε ❫  2✏ Vì a ↕ b ✁ a   ↕ d ✁ c nên reg♣Rq ↕ ❩ ❩ c✁b a✁2 d✁c c✁b✁2 ε ❫ ❫     Theo Định lý 4.3.1(4), ta có ✧❩ ❫ ❩ ❫✯ c✁2 d✁b✁2 reg♣Rq ➙ max ,  1 b d✁c ✧❩ ❫ ❩ ❫✯ ❩ ❫ c✁b✁2 c✁b✁2 c✁b✁2 ✏ max ,  2✏   b d✁c ε Điều suy chặn thứ hai (1) Để chứng minh (2), ta cần chứng minh reg♣Rq ↕ ❩ c✁b✁2 ε ❫  2 điều kiện (i)-(iii) thỏa mãn Nếu d ✁ e ✁ ↕ b ✁ a ta ❩có thể thay❫ p, c, α (4.3) α✁b✁1 q, d ✁ b, d ✁ α, ta q ↕ Do đó, a ✁ ↕ e ✁ c ε d ✁ e ✁ ↕ b ✁ a ta có p q ↕ c ✁ αε ✁   α ✁ εb ✁ ✏ c ✁ bε ✁ ❩ ❫ c✁b✁2 Do đó, reg♣Rq ✏ p   q   ↕   ε Nếu ❩ b ✁ a ➙ ❫d ✁ c ε ✏ d ✁ c c ✁ α ✁ ➔ nε ↕ n♣b ✁ aq với c✁α✁1 n ➙   Từ suy na ↕ α   nb ✁ c ↕ nb Do đó, ε 73 α   nb ✁ c € rna, nbs ❸ nGM Suy α   nb € ❩nGM   c ❸❫ ♣n   1qGM Do c✁α✁1 Vì d ✁ e ✁ ↕ đó, điều kiện α   pb ❘ ♣p   1qGM kéo theo p ↕ ε ❩ ❫ α✁b✁1 d ✁ c ↕ b ✁ a nên ta có q ↕ chứng minh đoạn trước ε Do đó, c✁α✁1 α✁b✁1 c✁b✁2 p q ↕   ✏ , ε ε ε ❩ ❫ c✁b✁2 điều suy reg♣Rq ↕   ε Điều kiện đối xứng b ✁ a ➙ d ✁ c e ✁ c ➙ b Thay ❩ b, c❫ c✁b✁2 d ✁ c, d ✁ b chặn trên, ta có reg♣Rq ↕   ε e ✁ c ➙ b Điều kết thúc chứng minh (2) Điều kiện (i) Định lý 4.3.2(2) thỏa mãn b ✁ a ✏ e ✁ c Thật vậy, giả thiết 2a ✁ ↕ b c   d ✁ ↕ 2e kéo theo a ✁ ↕ b ✁ a ✏ e ✁ c d ✁ e ✁ ↕ e ✁ c ✏ b ✁ a Ví dụ 4.3.3 Cho R ✏ k rxd , xd✁2 y , xd✁3 y , x3 y d✁3 , x2 y d✁2 , y d s, d ➙ Khi đó, a ✏ 2, b ✏ 3, c ✏ d ✁ 3, e ✏ d ✁ 2, chúng thỏa mãn giả thiết Định lý 4.3.2 Vì b ✁ a ✏ e ✁ c, tức 2(i) Định lý 4.3.2 thỏa mãn, nên ta có reg♣Rq ✏ ❩ c✁b✁2 ε ❫  2✏ Ví dụ sau cho thấy chặn reg♣Rq ↕ ❩ ❩ ❫ d✁2 c✁b✁2 ε ❫   Định lý 4.3.2(1) đạt Ví dụ 4.3.4 Cho R ✏ k rx12 , x10 y , x9 y , x5 y , x4 y , x3 y , y 12 s Khi đó, a ✏ 3, b ✏ 5, c ✏ 9, e ✏ 10, d ✏ 12, thỏa mãn giả thiết Định lý 4.3.2 Do đó, ❩ ❫ c✁b✁2   ✏ reg♣Rq ↕ ε Theo chứng minh Định lý 4.3.1, reg♣Rq ✏ mintn ➙ 2⑤ r5n, 9ns ❸ nGM ✉, với GM ✏ t0, 3, 4, 5, 9, 10, 12✉ Dễ thấy 11 ❘ 2GM Do đó, r10, 18s ❺ 2GM Từ suy reg♣Rq ➙ Vậy reg♣Rq ✏ 74 Kết luận Trong Luận án này, đạt kết sau đây: Góp phần minh họa cho áp dụng Đại số tổ hợp để nghiên cứu tốn Hình học đại số Đại số giao hốn Tìm cơng thức cho số mũ rút gọn số quy CastelnuovoMumford số lớp đường cong đơn thức xạ ảnh Cohen-Macaulay Đặc trưng tính Buchsbaum cho số lớp đường cong đơn thức xạ ảnh không trơn Đưa chặn tốt cho số quy Castelnuovo-Mumford số lớp rộng đường cong đơn thức xạ ảnh khơng trơn 75 Các cơng trình liên quan đến Luận án [1] T.T.G Lam, On the reduction numbers and the Castelnuovo-Mumford regularity of projective monomial curves, Journal of Algebra and its Applications, accepted [2] T.T.G Lam and N.V Trung, Buchsbaumness and Castelnuovo-Mumford regularity of non-smooth monomial curves, Journal of Algebra 590 (2022), 313–337 76 Các kết Luận án báo cáo thảo luận tại: Xêmina liên phòng Đại số Lý thuyết số - Viện Toán học: 11/2020, 3/2022; Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học: 10/2017, 10/2018, 10/2019, 11/2020, 11/2021; Hội nghị Toán học Miền Trung, Tây Nguyên lần thứ ba, 8/2019; Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ (Bà Rịa - Vũng Tàu), 12/2019; Hội nghị quốc tế Đại số giao hoán (Hà Nội), 5/2021; Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô (Thái Nguyên), 10/2021; Hội nghị Lý thuyết vành tổ hợp (Thanh Hóa), 7/2022 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I Bermejo, E Garcia-Llorente, and I Garcia-Marco, Algebraic invariants of projective monomial curves associated to generalized arithmetic sequences, J Symbolic Comput 81 (2017), 1–19 [2] I Bermejo, E García-Llorente, I García-Marco, M Morales, Noether resolutions in dimension 2, J Algebra 482 (2017), 398–426 [3] I Bermejo, P Gimenez and M Morales, Castelnuovo-Mumford regularity of projective monomial varieties of codimension two, J Symbolic Comput 41 (2006), no 10, 1105–1124 [4] H Bresinsky, Monomial Buchsbaum ideals in Pr , Manuscripta Math 47 (1984), 105–132 [5] H Bresinsky, F Curtis, M Fiorentini, and L.T Hoa, On the structure of local cohomology modules for monomial curves in P3K , Nagoya Math J 136 (1994), 81–114 [6] H Bresinsky, P Schenzel, and W Vogel, On liaison, arithmetical Buchsbaum curves and monomial curves in P3 , J Algebra 86 (1984), 283–301 [7] M Brodmann, R Y Sharp, Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [8] W Bruns, J Gubeladze, and N.V Trung, Problems and algorithms for affine semigroups, Semigroup Forum 64 (2002), no 2, 180–212 [9] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press, 1993 78 [10] D Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [11] D Eisenbud and S Goto, Linear free resolutions and minimal multiplicity, J Algebra 88 (1984), 89–133 [12] M Fiorentini and L.T Hoa, On monomial k-Buchsbaum curves in Pr , Ann Univ Ferrara Sez VII (N.S.) 36 (1991), 159–174 [13] S Goto, On the Cohen-Macaulayfication of certain Buchsbaum ring, Nagoya Math J 80 (1980), 107–116 [14] L Gruson, R Lazarsfeld and C Peskine, On a theorem of Castelnuovo, and the equations defining space curves, Invent Math 72 (1983), no 3, 491506 ă [15] W Grăobner, Uber Veronesche Varietă aten und deren Projektionen, Arch Math 16 (1965), 257 – 264 [16] S Goto, N Suzuki, K Watanabe, On affine semigroup rings, Japan J Math (N.S.) (1976), 1–12 [17] S Goto and K Watanabe, On graded rings, II, Tokyo J Math 1-2 (1978), 237–261 [18] M Hellus, L T Hoa, J Stă uckrad, Castelnuovo-Mumford regularity and the reduction number of some monomial curves, Proc Amer Math Soc 138 (2010), 27–35 [19] J Herzog and D.I Stamate, Cohen-Macaulay criteria for projective monomial curves via Gră obner bases, Acta Math Vietnam 44 (2019), 51–64 [20] L T Hoa, Classification of the triple projections of Veronese varieties, Math Nachr 128(1986), 185-197 [21] L T Hoa, Algorithmetical aspects of the problem of classifying multiprojections of Veronesian varieties, Manuscripta Math 63 (1989), no 3, 317–331 79 [22] L T Hoa, On monomial k-Buchsbaum curves in P , Manuscripta Math 73(1991), 423-436 [23] L.T Hoa and N.V Trung, Affine semigroups and Cohen-Macaulay rings generated by monomials, Trans Amer Math Soc 298 (1986), 145–167 [24] S Huckaba, Reduction numbers for ideals of higher analytic spread, Math Proc Cambridge Philos Soc 102 (1987), 49–57 [25] M Javanbakht and L Sharifan, Algebraic invariants of certain projective monomial curves, Beitr Algebra Geom 60 (2019), 783–795 [26] T.T.G Lam, On the reduction numbers and the Castelnuovo-Mumford regularity of projective monomial curves, Journal of Algebra and its Applications, accepted [27] T.T.G Lam and N.V Trung, Buchsbaumness and CastelnuovoMumford regularity of non-smooth monomial curves, Journal of Algebra 590 (2022), 313–337 [28] S L’vovsky, On inflection points, monomial curves and hypersurfaces containing projective curves, Math Ann 306 (1996), 719–735 [29] F.S Macaulay, Algebraic theory of modular systems, Cambridge Tracts 19, 1916 [30] H Matsumura, Commutative ring theory, second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1989 [31] J McCullough and I Peeva, Counterexamples to the Eisenbud-Goto regularity conjecture, J Amer Math Soc 31 (2018), 473–496 [32] S Molinelli, D P Patil, G Tamone On the Cohen-Macaulayness of the coordinate ring of certain projective monomial curves, Beitrăage zur Algebra und Geometrie 40 (1999), No 2, 437–458 [33] M J Nitsche, Castelnuovo-Mumford regularity and reduction number of smooth monomial curves in P5 , Proc Amer Math Soc 140 (2012), no 9, 2937–2944 80 [34] M J Nitsche, A combinatorial proof of the Eisenbud-Goto conjecture for monomial curves and some simplicial semigroup rings, J Algebra 397 (2014), 47–67 [35] D.G Northcott, D Rees, Reductions of ideals in local rings, Proc Cambridge Philos Soc 50 (1954), 145–158 [36] L Reid, L G Roberts Non-Cohen–Macaulay projective monomial curves, Journal of Algebra 291 (2005), 171–186 [37] L Reid, L G Roberts Maximal and Cohen-Macaulay projective monomial curves, Journal of Algebra 307 (2007), 409–423 [38] J D Sally, Tangent cones at Gorenstein singularities, Compositio Math 40 (1980), 167–175 [39] P Schenzel, On Veronesean embeddings and projections of Veronesean varieties, Arch Math 30 (1978), 391–397 [40] R Y Sharp, Step in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 2000 [41] K Shultis, Systems of parameters and the Cohen-Macaulay property, Dissertations, Theses, and Student Research Papers in Mathematics 66 (2015) [42] J Stă uckrad, W Vogel, Buchsbaum rings and applications An interaction between algebra, geometry, and topology, Mathematische Monographien 21, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1986 [43] N V Trung, Classification of the double projections of Veronese varieties, J Math Kyoto Univ 22 (1983), no 4, 567–581 [44] N V Trung, Projections of one-dimensional Veronese varieties, Math Nachr 118 (1984), 47–67 [45] N V Trung, Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings, Proc Amer Math Soc 101 (1987), 229– 236 81 [46] N V Trung, The Castelnuovo regularity of the Rees algebra and the associated graded ring, Trans Amer Math Soc 350 (1998), 2813–2832 [47] N V Trung, Constructive characterization of the reduction numbers, Compositio Math 137 (2003), 99–113 [48] N V Trung, Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants, in: Commutative algebra and combinatorics, Ramanujan Math Soc Lect Notes Ser (2007), 157–180 [49] W Vasconcelos, The reduction number of an algebra, Compositio Mathematica 104 (1996), 189–197 [50] W Vasconcelos, Integral closure Rees algebras, multiplicities, algorithms, Springer, 2005 [51] R H Villarreal, Monomial Algebras, M Dekker, 2001 82