Cẩm nang giải nhanh toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn toán

19 3 0
Cẩm nang giải nhanh toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn toán

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN 9 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN 9 ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN I ĐẠI SỐ Chương I CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA 1 Định nghĩa căn bậc hai Với số dương a có hai căn bậc hai đối nhau được gọi là.Bài 54: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường, sau 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô. HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (kmh), vận tốc của ô tô là y (kmh). ta có hệ phương trình : Vậy vận tốc xe đạp là 12 (kmh), vận tốc của ô tô là 40 (kmh). Bài 55: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 kmh thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 kmh thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi từ A đến B. HD : Gọi quãng đường AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ) ;

CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN CẨM NANG GIẢI NHANH TỐN ƠN THI VÀO LỚP 10 PHẦN I : ĐẠI SỐ * Quy tắc chia hai thức bậc hai : Muốn chia bậc hai số a không âm cho bậc hai Định nghĩa bậc hai Với số dương a có hai bậc hai đối số b dương, ta chia số a cho số b khai phương kết a; − a a gọi bậc hai số học a * Tổng quát: Với A ≥ v B > 0, ta có : Số : bậc hai số học A A = x ≥ B B x= a ⇔ x = a Đưa thừa số dấu * Nhận xét : Với a ≥ 0, ta có: a = a2 = a Với B ≥ 0, ta có A B = A B 10 Đưa thừa số vào dấu Định lý : Với hai số a, b khơng âm, ta có: Với A ≥ 0; B ≥ 0, ta có: A B = A B a ta có: Định lý : Với số a, ta có a = a B B Định lý : Với hai số a b không âm, ta có : C C ( A B) = + VớiA ≥ A ≠ B2, ta có: a.b = a b A − B2 A±B Quy tắc khai phương tích: Muốn khai + Với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B, ta có: phương tích số khơng âm, ta khai C C( A  B ) = phương thừa số rối nhân kết với A− B A± B * Quy tắc nhân thức bậc hai : Muốn nhân 13 Khái niệm bậc ba bậc hai số không âm, ta nhân * Định nghĩa : Căn bậc ba số a số x số dấu với khai phương kết cho x3 = a * Tổng quát: Với A ≥ B ≥ 0, ta có : * Chú ý : ( a ) = a = a A.B = A B * Nhận xét : Định lí : Với số a không âm số b dương, ta - Căn bậc ba số dương số dương có - Căn bậc ba số âm số âm a a - Căn bậc ba số số = b b Quy tắc khai phương thương : Muốn khai * Tính chất bậc ba : a Căn bậc ba cịn có tính chất sau phương thương , số a không âm b a) a < b => a < b số b dương, ta khai phương số a số b, lấy kết thứ chia cho kết thứ hai b) ab = a b Chương I: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA ( ) CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN c) b ≠ : a = b a b Chương II : HÀM SỐ BẬC NHẤT Khái niệm hàm số - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại luợng thay đổi x cho với giá trị x, ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x, x gọi biến số - Khi hàm số cho công thức y = f(x), ta hiểu biến số x lấy giá trị mà f(x) xác định - Khi y hàm số x, ta viết y = f(x), y = g(x), - Khi x thay đổi mà y nhận giá trị y gọi hàm Đồ thị hàm số Tập hợp tất điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; y) mặt phẳng tọa độ gọi đồ thị hàm số y = f(x) Hàm số đồng biến, nghịch biến * Tổng quát : Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R a) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) tăng lên hàm số y = f(x) gọi hàm số đồng biến R( gọi tắt hàm số đồng biến) b) Nếu giá trị biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm hàm số y = f(x) gọi hàm số nghịch biến R (gọi tắt hàm số nghịch biến) * Với x1, x2 thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R Hàm số bậc * Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax +b, a, b số cho trước a ≠ * Chú ý : Khi b = hàm số có dạng y = ax * Tính chất hàm số bậc nhất: Hàm số bậc y = ax +b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau : a) Đồng biến R a > b) Nghịch biến R, a < Đồ thị hàm số bậc Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng: - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax, b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax, b = * Chú ý : Đồ thị hàm số y = ax + b ( b ≠ 0) gọi đường thẳng y = ax + b; b đựợc gọi tung độ đường thẳng * Cách vẽ đồ thị hàm số bậc y = ax + b (a ≠ 0) Cách 1: Xác định hai điểm đồ thị Cho x = ⇒ y = b, đặt A(0 ; b) Cho x = ⇒ y = a + b, đặt B(1 ; a + b) Vẽ đường thẳng qua điểm A B ta đồ thị hàm số y = ax + b Cách 2: Xác định giao điểm đồ thị với trục tọa độ Ox, Oy Cho x = ⇒ y = b, đặt P(0 ; b) b b Cho y = ⇒ x = − , đặt Q (− ;0) a a Vẽ đường thẳng qua điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b Đường thẳng song song.Đường thẳng cắt Hai đường thẳng d1: y = ax + b (a ≠ 0) d2: y = a’x + b’ (a’≠ 0) * d1 cắt d2 ⇔ a ≠ a’ * d1 // d2 ⇔ a = a’ , b ≠ b’ * d1 ≡ d2 ⇔ a = a’ b = b’ * Chú ý : Khi a ≠ a’, b = b’ hai đường thẳng cắt điểm trục tung có tung độ b Khái niệm hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a ≠ ) a) Góc tạo đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox Góc α góc tạo đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox y y T A a>0 O T O x A x a 0, α góc nhọn + a < 0, α góc tù * a đuợc gọi hệ số góc đường thẳng y = ax + b CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN * Chú ý: Khi b = ta có hàm số y = ax ; a ax +by =c ( d1 ) (I)  hệ số góc đường thẳng y = ax ( d2 ) a'x +b'y =c' * Bổ sung a b Cơng thức tính độ dài đoạn thẳng: d1 cắt d2 ⇔ (I) có nghiệm ⇔ ≠ Với A(xA ; yA); B(xB ; yB) a' b' 2 a b c Độ dài đoạn thẳng AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) d1 // d2 ⇔ (I) vô nghiệm ⇔ = ≠ a' Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Khái niệm phương trình bậc hai ẩn: - phương trình bậc hai ẩn có dạng: ax + by = c a, b số biết (a ≠ b ≠ 0) - Nếu giá trị vế trái x = x ; y = y0 vế phải (x0, y0 ) nghiệm phương trình - Các khái niệm : tập nghiệm, phương trình tương đương, qui tắc chuyển vế, qui tắc nhân: áp dụng cho phương trình bậc hai ẩn Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn 1) Phương trình bậc hai ẩn ax + by = c ln ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm đựơc biểu diễn đường thẳng ax + by = c 2) Nếu a ≠ b ≠ đường thẳng đồ a c thị hàm số y = − x + b b + Nếu a ≠ b = đường thẳng song song trùng với trục tung + Nếu a = b ≠ đường thẳng song song trùng với trục hoành Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn có dạng : ax +by =c (I)  a'x +b'y =c' +Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x ; y0 ) (x0 ; y0 ) gọi nghiệm hệ (I) + Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Minh họa hình học : ax +by =c ( d1 ) Cho hệ phương trình  (I) ( d2 ) a'x +b'y =c' Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp nghiệm hệ phương trình đuợc biểu diễn tập hợp điểm chung d1 d2 + Nếu d1 cắt d2 ⇔ hệ (I) có nghiệm + Nếu d1 // d2 ⇔ hệ (I) vô nghiệm + Nếu d1 ≡ d2 ⇔ hệ (I) có vơ số nghiệm Hệ phương trình b' c' a b c d1 ≡ d2 ⇔ (I) vô số nghiệm ⇔ = = a' b' c' Giải hệ phương trình phương pháp * Dùng qui tắc biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình có phương trình ẩn * Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số * Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối * Áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức phương trình ẩn) * Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho Giải tốn cách lập hệ phương trình B1: Lập hệ phương trình +Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn +Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết +Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng B2: Giải hệ phương trình B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Khái niệm hàm số bậc hai: hàm số cho cơng thức có dạng y = ax2(a ≠ 0) Tính chất hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0), xác định với giá trị x thuộc R Tính chất: + Nếu a > hàm số y = ax đồng biến x > nghịch biến x < CẨM NANG GIẢI NHANH TỐN +Nếu a < hàm số y = ax đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị : Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi parabol với đỉnh O + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm cao đồ thị Phương trình bậc hai Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng : ax2 + bx +c = Trong đó: x ẩn ; a, b, c số cho trước gọi hệ số a ≠ Cơng thức nghiệm tổng qt Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) ∆ = b2 – 4ac • ∆ > : phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = -b+ ∆ -b- ∆ x2 = 2a 2a • ∆ = : phương trình có nghiệm kép: x1 =x2 =- b 2a • ∆ < : phương trình vơ nghiệm Cơng thức nghiệm thu gọn : Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) b có b = 2b’ ⇒ b’ = , ∆’ = b’2 – ac • Nếu ∆’ > 0, phương trình (1) có hai nghiệm phân − b'+ ∆' − b'− ∆' biệt x1 = ; x2 = a a • Nếu ∆’ = 0, phương trình (1) có nghiệm kép b' x1 = x2 = a • Nếu ∆’ < 0, phương trình (1) vơ nghiệm Hệ thức Vi- ét : *) Định lí Vi-ét: - Nếu x1; x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + −b c = (a≠ 0) : S = x1 + x2 = ; P = x x2 = a c a *) Cách nhẩm nghiệm: + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a + b + c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; c x2 = a + Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có: a – b + c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = −c a *) Tìm hai số biết tổng tích: u + v = S Tìm hai số u v biết   u.v = P Hai số u v nghiệm phương trình bậc hai: x2 – Sx + P = * Điều kiện để có hai số : ∆ = S2 – 4P ≥ * Một số hệ thức áp dụng định lí Vi-ét: • Tổng bình phương nghiệm: x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 – 2P • Tổng nghịch đảo nghiệm: 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1x2 P • Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: 1 x12 + x22 S2 − 2P + = = x12 x22 (x1x2 )2 P2 • Bình phương hiệu nghiệm: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 – 4P • Tổng lập phương nghiệm: x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 ) = S3 – 3PS Chú ý: + Định lí Vi-ét áp dụng phương trình có nghiệm (tức ∆ ≥ 0) + Nếu a c trái dấu phương trình ln có nghiệm trái dấu * Biện luận nghiệm phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (1) , a ≠ + Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ + Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > a c ≤ + Phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < + Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < + Phương trình (1) có hai nghiệm dấu ∆ ≥ ⇔ P > + Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ >  ⇔ S > P >  CẨM NANG GIẢI NHANH TỐN + Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt B4:Đối chiếu nghiệm vừa tìm với ĐKXĐ kết luận ∆ >  Phương trình tích : ⇔ S <  A(x) =0 P > A(x) B(x) = ⇔    B(x) =0 Phương trình trùng phương: Phương trình trùng phương phương trình có dạng: 10 Giải tốn cách lập phương trình B1: Lập phương trình ax4 + bx2 + c = , a ≠ (1) + Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn Cách giải : Đặt t = x2 , t ≥ PT trở thành : at2 + bt + c = (2) + Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn đại Giải phương trình (2) theo ẩn t lượng biết Lấy giá trị t ≥ để thay vào t = x2 tìm x + Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại Phương trình chứa ẩn mẫu thức lượng Các bước giải phương trình chứa ẩn mẫu thức B2: Giải phương trình B1: Tìm ĐKXĐ B3: Kiểm tra với điều kiện, kết luận B2: Quy đồng khử mẫu hai vế B3: Giải phương trình vừa tìm Các cơng thức biến đổi, đẳng thức 1/ (a + b) = a + 2ab + b 2/ (a − b) = a − 2ab + b 3/ a − b = (a − b)(a + b) 4/ (a + b) = a + 3a b + 3ab + b 5/ (a − b) = a − 3a b + 3ab − b 6/ a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) 7/ a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) 8/ 9/ 10/ 11/ 12/ 13/ 14/ ( a + b ) = a + ab + b đk a,b ≥ ( a − b ) = a − ab + b đk a,b ≥ a−b = ( a− b )( a+ b ) đk a,b ≥ ( a + b ) = a a + 3a b + 3b a + b b ( a − b ) = a a − 3a b + 3b a − b b ( b =( )( b )( a + ) ab + b ) a a +b b = a + b a − ab + b a a −b a− BÀI TẬP PHẦN ĐẠI SỐ I- CĂN THỨC BẬC HAI Bài 1: Đưa biểu thức sau dạng bình phương a) + 2 b) − c) + ( ) ( ) HD: a) + b) − c) Bài Tìm x để biểu thức sau có nghĩa a) 2x − b) −3x + c) 1+ x2 Bài : Rút gọn biểu thức a) (4 + 2) b) (3− 3) c) ( 5+2 ) d) 23 − d) − ( (4 − 17) e) + f) 23+ − g) 9− − Bài 4: Rút gọn biểu thức a) ( − + 10) − b) 0,2 (−10)2.3 + ( − 5)2 d) ( + 5)2 − 120 g) 1 − 20 + 5 k) ( 28 − + 7) + 84 ) d) + (2 − 3) c) 2 − 3)2 + 2.(−3)2 − (−1)4 e) 9− 17 9+ 17 f) 2( − 2) + (1+ 2)2 − h) + 4,5 + 12,5 i) 20 − 45 + 18 + 72 l) a − 4b 25a3 + 5a 16ab2 − 9a ( Với a > 0, b > 0) CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN Bài 5: Rút gọn biểu thức a) 2+ 1+ b)  14 − 15 −  + : c)  ÷ 1− ÷  1−  7− 15 − 1−  3− 216  − e)  ÷ ÷ −   x2 − f) g) x+ + 14 3−1 a− a 1− a − 3+1 i) x2 + 2x + x2 − x x +1 x −1 − x −1 x +1 Bài 6: Cho biểu thức: A = a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x = x ≥ , rút gọn biểu thức ta có: A = x ≠ HD: a) ĐKXĐ là:  b) x = h) + 28 d) x x −1 A = x +1 Bài 7: Cho biểu thức: B = x −2 x + x +2 − 2+5 x x−4 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B x ≥ x ≠ HD: a) Điều kiện:  b) Tìm x để B = x , rút gọn biểu thức ta có: B =  Bài 8: Cho biểu thức: C =   a −1 b) B = ⇒ x = 16 x +2   a +1 a + 2   :  − a   a −2 a −  − a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C dương HD: a) Điều kiện: a > 0, a ≠ 4, a ≠ , rút gọn biểu thức ta có: C = a −2 a b) C dương a >  x Bài 9: Cho biểu thức: P =   x −1 −     :  +   x − x   x + x −1 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P  b) Tìm giá trị x để P > x Bài 10: Cho biểu thức D =   x −2 c) Tìm x để P = x  x−4  x +  x + a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = − x > , rút gọn biểu thức ta có: D = x ≠ HD: a) Điều kiện:  Bài 11: Cho biểu thức E = x x +1 x − x −1 + b) D = − x 3− x x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức E x > x ≠ HD: a) Điều kiện:  Bài 12: Cho biểu thức: , rút gọn biểu thức ta có: E =  A =   x −2 − b) Tìm x để E = -1 −3 1+ x b) x =  x+4 x +4  x + 2 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x = + ; c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên ? x ≥ , rút gọn biểu thức ta có: A = x ≠ x +2 HD: a) ĐKXĐ:  ( ) x −2 b) x = 3+ = + 2 = + ⇒ A = 2 − c) Biểu thức A nguyên khi: x − = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}  1   a +1 a + 2  −  :  − Bài 13: Cho biểu thức: Q=   a − a a − a −     a Rút gọn Q b Tìm giá trị a để Q dương Bài 14: Cho biểu thức: A = x −9 x−5 x +6 − x +3 x −2 a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A − x +1 3− x b, Tìm giá trị x để A > c, Tìm giá trị x ∈ Z để A∈ Z II - HÀM SỐ BẬC NHẤT Bài 15: Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất, xác định hệ số a, b xét xem hàm số hàm số đồng biến, hàm số hàm số nghịch biến ? a) y = – 0,5x b) y = - 1,5x c) y = – 2x2 d) y = ( − 1)x + x e) y = 3(x − 2) f) y + = x − g) y = h) y = +1 i) y = 3x − 2 x Bài 16: a) Cho hàm số y = f(x) = x + với x ∈ R Chứng minh hàm số đồng biến R b) Cho hàm số y = f(x) = ( 3− )x + với x ∈ R Chứng minh hàm số nghịch biến R Bài 17: Cho hàm số bậc y = (2m + 1)x +5 Xác định m để hàm số: a) đồng biến b) nghịch biến Bài 18: Cho ba hàm số y = x (d1); y = 2x (d2); y = - x + (d3) a) Vẽ ba đồ thị hệ trục tọa độ b) Đường thẳng d3 cắt hai đường thẳng d1 d2 hai điểm A B Tìm tọa điểm A B Tính diện tích chu vi tam giác OAB Bài 19: Cho hàm số y = (a – 1)x + a a) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ b) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị a vừa tìm hệ trục tọa độ Oxy Hãy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Bài 20: Cho hàm số y = ax + Hãy xác định hệ số a biết: a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -2x b) Đồ thị hàm số qua điểm A (1+ 2;2 + 2) Bài 21: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + (d) a Tìm giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến b Tìm giá trị m, biết đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm m c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ III - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Giải hệ PP thế: nắm vững quy tắc CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN 4 x + y = 8 x + y = Ví dụ: Giải hệ  Giải:  y = 2− y =   4x + y = y = − x y = − 4x   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  8x + 37 = 8x + 3(2 − 4x) = −4x = −1 x =  x =  - Giải hệ PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số y = 4 x + y = 8 x + y = y =  ⇔ ⇔ ⇔ Ví dụ: Giải hệ  8 x + y = 8 x + y = 4 x + y =  x = - Giải hệ PP đặt ẩn phụ Bài 22 : Giải hệ phương trình sau:  x + 3y = −2 a)  5x − 4y = 11 3x − 2y = 11 b)   4x − 5y = 3x − 2y = 10  0,3x + 0,5y =  f)  g)  1,5x − 2y = 1,5  x − y = 33 x − y = k)  3x − 4y = x y  − =1 c)  5x − 8y = 3x + y = d)  2x − y = 2(x − 2) + 3(1+ y) = −2 h)  3(x − 2) − 2(1+ y) = −3 2x + 3y = −2 e)  3x − 2y = −3 1 x − y =1  i)  3+ =  x y 7x − 3y = 2x + 5y =  4x + 3y = l)  m)  n)   4x + y = 2x − 3y = 2x + y = IV - HÀM SỐ y = ax (a ≠ 0) - PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3 x − y = o)  2 x + y = A – QUAN HỆ GIỮA PARABOL y = ax2 (a ≠ 0) VÀ ĐƯỜNG THẲNG y = mx + n (m ≠ 0) 1/ KIẾN THỨC BỔ SUNG a) Cơng thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(xA ; yA) B(xB ; yB) Khi Độ dài đoạn thẳng AB tính cơng thức AB = ( x − x ) + ( y − y ) B A B A Tọa độ trung điểm M AB tính cơng thức xM = xA + xB ; yM = y A + yB 2 ≠ ≠ b) Quan hệ Parabol y = ax (a 0) đường thẳng y = mx + n (m 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình  y = ax  y = mx + n Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax = mx + n (*) Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) + Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2 (a ≠ 0) (d): y = mx + n (m ≠ 0): • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN cho vế phải hàm số nhau: ax2 = mx + n → đưa pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Giải pt hồnh độ giao điểm: + Nếu ∆ > ⇒ pt có nghiệm phân biệt ⇒ (d) cắt (P) điểm phân biệt + Nếu ∆ = ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (d) (P) tiếp xúc + Nếu ∆ < ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (d) (P) không giao Bài 23: Cho hàm số y = − x2 có đồ thị (P) y = – 2x + có đồ thị (d) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) HD: PT trình hồnh độ giao điểm: − x2 = – 2x + ⇔ − x2 + 2x = 2 3 ) 2 Bài 24: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d) 3 Tọa độ giao điểm: ( ; − ) (1 ; − Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ vng góc Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) HD: PT trình hồnh độ giao điểm: 2 5 ⇔ x2 - x - = x =x + 3 3 25 ) ( ; ) Bài 25: Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x2 y = - x + mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số Xác định số giao điểm hai đồ thị : (P): y = ax (a ≠ 0) y = mx + n (m ≠ 0) (Dm) theo tham số Tọa độ giao điểm: ( −1 ; m: • Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (Dm): cho vế phải hàm số nhau: ax2 = mx + n → đưa pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = • Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) pt hồnh độ giao điểm • Biện luận: + (Dm) cắt (P) điểm phân biệt ∆ > → giải bất pt → tìm m + (Dm) tiếp xúc (P) điểm ∆ = → giải pt → tìm m + (Dm) (P) khơng giao ∆ < → giải bất pt → tìm m Bài 26: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = -x + m có đồ thị (Dm) Với m = 4, vẽ (P) (D 4) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) cắt (P) điểm có hoành độ b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm HD: Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) (– ; 8) 2a) m = 2 2b) ∆ ' = + 2m > ⇒ m > − CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN 2c) m = − 1 → tọa độ tiếp điểm (-1 ; ) 2 Bài 27: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) y = – 3x + m có đồ thị (Dm) Khi m = 1, vẽ (P) (D 1) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Xác định tọa độ giao điểm chúng Xác định giá trị m để: a) (Dm) qua điểm (P) điểm có hồnh độ − b) (Dm) cắt (P) điểm phân biệt c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm HD: Tọa độ giao điểm: ( ; − ;) (1 ; – 2) 2a) m = – 9 2c) m = → tọa độ tiếp điểm ( ; − ) 8 Bài 28: Cho hàm số y = ax a) Xác định hệ số a biết đồ thị cắt đường thẳng y = -2x + điểm A có hồnh độ b) Vẽ đồ thị hàm số y = -2x + hàm số y = ax2 với a vừa tìm câu a) hệ trục tọa độ Hãy xác tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số 2b) m < B – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1) a) Nhẩm nghiệm:  x1 = • a + b + c = ⇒ pt (1) có nghiệm:   x2 = c a   x1 = − • a – b + c = ⇒ pt (1) có nghiệm:   x2 = − c a  b) Giải với ∆ ' : b Nếu b = 2b’ ⇒ b’ = ⇒ ∆ ' = (b’)2 – ac − b'+ ∆ ' −b'− ∆ ' • Nếu ∆ ' > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = • −b' Nếu ∆ ' = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a Nếu ∆ ' < ⇒ phương trình vơ nghiệm a a • c) Giải với ∆ : Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac − b+ ∆ − b− ∆ • Nếu ∆ > ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = • Nếu ∆ = ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a 2a 2a 10 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN • Nếu ∆ < ⇒ phương trình vơ nghiệm Bài 29: Giải phương trình sau: 1) 7x2 – 2x + = 2) 5x2 +2 10 x + = 2 x + 7x + = 7) 6x + x – = 11) x2 + 7x + 12 = 3) 4) 1,7x2 – 1,2x – 2,1 = 5) 2x2 – 7x + = 6) 3x2 + 5x + = 8) 4x2 + 4x + = 9) x2 – 49x – 50 = 10) x2 – 7x + 12 = 12) 3x2 – x + = 13) 3x2 – 7x - 10 = 14) x2 – 3x + = 15) x2 – 4x – = 16) 3x2 – x – = Bài 30: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; Một số hệ thức áp dụng định lí Vi-ét: • Tổng bình phương nghiệm: x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 – 2P • Tổng nghịch đảo nghiệm: 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1x2 P 1 x12 + x22 S2 − 2P + = = • Tổng nghịch đảo bình phương nghiệm: x1 x22 (x1x2 )2 P2 • Bình phương hiệu nghiệm: (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1x2 = S2 – 4P • Tổng lập phương nghiệm: x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) x12 + x22 b) 1 + x1 x2 c) (x1 − x2 )2 d) x13 + x23 Giải: b   S = x1 + x2 = − a = 12 Phương trình có ∆ ' = > ⇒ pt có nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):   P = x x = c = 35  a 2 2 a) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 2x1x2 = S – 2P = 12 – 2.35 = 74 1 x1 + x2 S 12 = = b) + = x1 x2 x1x2 P 35 c) (x1 − x2 ) = (x1 + x2 ) − 4x1x2 = S -4P = 122 – 4.35 = 3 d) x1 + x2 = (x1 + x2 ) − 3x1x2(x1 + x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468 Bài 31: Cho phương trình: x2 - 20x + = (1) Không giải phương trình tính: 2 x1 + x2 b) x1 x2 x1 , x2 nghiệm phương trình Bài 32: Cho phương trình: x2 - 5x - 36 = ; với x1; x2 hai nghiệm số Tính: a) x12 + x22 b) x12 - x22 c) x13 + x23 a) Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập tham số:(Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào tham số) 11 CẨM NANG GIẢI NHANH TỐN * Phương pháp giải: • Tìm điều kiện để phương trình cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ ; ∆ ≥ a.c < 0) • b   S = x1 + x2 = − a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  P = x x = c  a • Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ S P → Đó hệ thức độc lập với tham số Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1) (m tham số) CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Gọi x1, x2 nghiệm pt (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc vào m Giải: Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1) – 4.2.(m – 1) = 4m – 12m + = (2m – 3) ≥ 0, ∀ m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm với m b − 2m+  S = x + x = − =  2S = − 2m+ a ⇔ Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):  2P = m−  P = x x = c = m− 1  a 2S = − 2m+ ⇔ ⇒ 2S + 4P = -1 Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây hệ thức cần tìm P = m −  Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa dạng : ∆ ' = (A ± B)2 + c > 0, ∀ m (với c số dương) • Kết luận: Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với tham số m Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm với giá trị tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biến đổi ∆ ' đưa dạng : ∆ ' = (A ± B)2 ≥ 0, ∀ m • Kết luận: Vậy phương trình cho nghiệm với tham số m Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: • Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) • Biện luận: + Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm kép ∆ ' = → giải pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình vơ nghiệm ∆ ' < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận + Phương trình có nghiệm ∆ ' ≥ → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận * Phương trình có nghiệm trái dấu khi: a.c < → giải bất pt → tìm tham số m → kết luận Xác định giá trị nhỏ biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức P cần tìm dạng: P = (A ± B)2 + c ⇒ P = (A ± B)2 + c ≥ c • Giá trị nhỏ P: Pmin = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận 12 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN Xác định giá trị lớn biểu thức: * Phương pháp giải: • Đưa biểu thức Q cần tìm dạng: Q = c – (A ± B)2 ⇒ Q = c – (A ± B)2 ≤ c Giá trị nhỏ Q: Qmax = c A ± B = → giải pt → tìm tham số m → kết luận Bài 33: Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình 2x2 – 2(m - 1)x + m2 -1 = Hãy tìm hệ thức x1 x2 khơng phụ thuộc vào m Bài 34: Cho phương trình 2x2 + mx – = 0, tìm giá trị m để nghiệm phương trình Tìm nghiệm cịn lại Bài 35: Cho phương trình 2x2 – (m + 3)x + = a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình nhận – làm nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Bài 36: Cho phương trình x2 – 2mx + (2m – 3) = a) Giải phương trình với m = - b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Bài 37: Cho phương trình: x2 - 2mx + 4m -3 = a) Định m để phương trình có nghiệm kép tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có nghiệm x1= Tính nghiệm x2 Bài 38: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1) Giải phương trình (1) m = – 2 CMR: Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + = 0, pt có a – b + c = –5 + = ⇒  x1 = −  c  x2 = − = − = −  a Vậy m = – 2, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – ∆ = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, ∀m Hệ thức: 2S + P = – ⇒ 2(x1 + x2) + x1x2 = – Bài 39: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + m = a) Giải phương trình với m = b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm c) Với x1 x2 nghiệm phương trình cho Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 41: Cho phương trình : x2 – 4x + m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 Bài 42: Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x + m + = (1) a) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 − 10 b) Tìm m cho hai nghiệm x1; x2 thoả mãn : x + x = 2 Bài 43: Cho phương trình: x + mx + 20 = có hai nghiệm x 1; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 41 tìm m nghiệm phương trình Bài 44: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) 13 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN Giải phương trình (1) m = CMR: Phương trình (1) ln có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m HD: Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + = 0, pt có a + b + c = +(–4) + =  x1 = Vậy m = 3, phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = ⇒ c  x2 = = =  a ∆ = (m – 1)2 ≥ 0, ∀m m > • ĐK để pt (1) có nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > ⇔ |m – 1| > ⇔  m < • Hệ thức: S – P = ⇒ x1 + x2 – x1x2 = PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PT trùng phương: Có dạng ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) PP giải: Đặt x2 = t (t ≥ 0) đưa PT ẩn t: at2 + bt + c = Ví dụ: Giải pt: x4 - 13x2 + 36 = Đặt x2 = t (t ≥ 0) Ta pt: t2 – 13t + 36 = ∆ = (-13)2 – 4.1.36 = 25 nên ∆ =5 13 + 13 − = (TMĐK); t2 = = (TMĐK) 2 +) Với t1 = ⇒ x2 = ⇒ x = ± +) Với t2 = ⇒ x2 = ⇒ x = ± t1 = Vậy pt cho có nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = Bài 45: Giải phương trình sau (phương trình quy phương trình bậc hai) PT trùng phương a x4 – 9x2 + = b 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 c x4 – 5x2 + = d 0,3x4 + 1,8x2 + 1,5 = PT chứa ẩn mẫu e x x +1 − 10 =3 x +1 x f − x2 − x + = x + ( x + 1) ( x + ) g PT bậc cao h x3 + 3x − x − = i x3 – 7x2 + = k x3 + 3x2 – 2x – = l 3(x2 + x) – (x2 + x) – = Giải m) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) (1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = ⇔ (x + )(x - )(x + 3) = ⇔x = - ; x = ; x = - Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - ; x = ; x = - b) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = Đặt x2 = t (t ≥ 0) (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 2x x 8x + − = x − x + ( x − 2)( x + 4) j (4x-5)2 – 6(4x-5) + = m x3 + 3x2 – 2x – = 14 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN − (−3) + 23 13 = (thoả mãn t ≥ 0) ; 2.5 − (−3) − 23 = −2 (loại) t2 = 2.5 Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 ⇒ ∆ = 23 ⇒ PT có nghiệm t1 = * Với t = 13 13 13 ⇔ x2 = ⇔ x = ± 5 Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = − 13 ; x2 = 13 l) Giải phương trình 3(x2 + x) – (x2 + x) – = (4) Đặt x2+x = t Khi (4) ⇔ 3t2 – 2t – = Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nên t1 = 1; t2 = − t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – = ∆1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nên x1 = −1− −1+ ; x2 = 2 t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + = (*) ∆2 = 32 - 4.3.1 = -3 < Nên (*) vơ nghiệm Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = − 1− − 1+ ; x2 = 2 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH Bài 46: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Giải Do u + v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phương trình x2 – 42x + 441 = (*) Ta có : ∆’ = (- 21)2- 441 = ; Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 Bài 47: Tìm hai số u v , biết: a) u + v = -42 u.v = - 400 b) u - v = u.v = 24 c) u + v = u.v = - d) u - v = -5 u.v = -10 e) u + v = 85 uv = 18 Bài 48: Giải hệ phương trình sau: x+ y =2 a)   x y = −3 x+ y =4 b)   x y = Bài 49: Tính cạnh hình chữ nhật biết chu vi 30 m diện tích 54 m2 V - GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải tốn cách lập phương trình ( hệ phương trình ) Bước : Lập hệ phương trình (phương trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà tốn yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết 3) Lập hệ phương trình, (phương trình) biểu thị mối quan hệ lượng Bước : Giải hệ phương trình, (phương trình) Bước : Kết luận tốn 15 CẨM NANG GIẢI NHANH TỐN B Bài tốn 1/ DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT-LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG Bài 50: Hai vịi nước chảy đầy bể khơng có nước 3h 45phút Nếu chảy riêng rẽ, vòi phải chảy đầy bể? biết vòi chảy sau lâu vòi trước 4h Giải Gọi thời gian vịi đầu chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vịi sau chảy đầy bể y ( y > , y tính ) ( bể ) x 1 vòi sau chảy ( bể ) y 1 hai vòi chảy + ( bể ) y x vòi đầu chảy Hai vịi chảy đầy bể 3h 45ph = (1) 15 h 15 = ( bể ) ( 2) 15 1 Từ (1) (2) ta có phương trình + = y 15 x Vậy hai vòi chảy 1: Mặt khác ta biết chảy vịi sau chảy lâu vòi trước tức y - x = Vậy ta có hệ phương trình 1 4 x − 14 x − 60 = 2 x − x − 30 =  + = ⇔  x y 15 ⇔  ⇔ y = x + y = x + y − x =   x = (a)  x =  y = 10   ⇔   x = −2,5 ⇔    x = −2,5 y = x +  (b)    y = 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk ẩn Hệ (b) bị loại x < Vậy: Vịi đầu chảy đầy bể h Vịi sau chảy đầy bể 10 h Bài 51: Hai đội công nhân làm đoạn đường Đội làm xong nửa đoạn đường đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đã làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đường Hỏi đội làm ngày đoạn đường ? Giải Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) ( đoạn đường ) 2x Mỗi ngày đội làm ( đoạn đường ) 2( x + 30) Mỗi ngày hai đội làm ( đoạn đường ) 72 1 Vậy ta có pt : + = x 2( x + 30) 72 Mỗi ngày đội làm x2 - 42x - 1080 = ∆ ' = 212 + 1080 = 1521 = 392 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mãn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày Hay 16 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN Bài 52: Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc xong Giải: Gọi x , y số người thứ người thứ hai làm xong cơng việc ( x > 0,y>0) 1 1  x + y = 16  x = 24  ⇔ Ta có hệ pt   y = 28 3 + =  x y Bài 53 : Hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau đầy bể Nếu vịi thứ chảy giờ, vòi thứ chảy bể Hỏi vịi chảy đầy bể ? Giải : Gọi x , y số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể ( x > , y > ) 1 x +  Ta có hệ pt  2 +  x 1 3 = x + y = y  x = 10  ⇔ ⇔  y = 15 2 + = =  x y y x = 10 , y = 15 thoả mãn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 , vịi thứ hai chảy 15 2/ DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG Bài 54: Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp ô tô HD : Gọi vận tốc xe đạp x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h) 3 x + y = 156  x = 12 ⇔  y − x = 28  y = 40 ta có hệ phương trình :  Vậy vận tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc ô tô 40 (km/h) Bài 55: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính quãng đường AB thời gian dự định từ A đến B HD : Gọi quãng đường AB x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B y (giờ) ; (ĐK : x > ; y > 1) x −2= y   x = 350  35 ⇒ Ta có hệ phương trình :  y = y − x =  50  Vậy quãng đường AB 350(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B (giờ) Bài 56: Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngược chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô (vận tốc ca nô nước yên lặng không đổi) biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng 9km/h vận tốc dịng nước 3km/h HD : Gọi x (km/h) vận tốc ca nơ xi dịng, x > 17 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN ⇒ 5 x + (x - 9) = 85 ⇒ x = 30 Vậy vận tốc thật ca nơ xi dịng : 27 km/h Vận tốc thật 3 ca nơ ngược dịng 24km/h 3/ DẠNG TỐN KHÁC Bài 57: Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lên lần chu vi ruộng không thay đổi HD : Gọi chiều rộng ruộng x (m), chiều dài ruộng y (m) ( x> 0, y > 0)  y − x = 45  x = 15  ⇒ ⇒ Diện tích ruộng : 900 m2 y ⇒ y = 60 ( x + y ) = ( x + )   Bài 58: Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số ab ( < a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ) a + b = 11 a = ⇒ ⇒ ba − ab = 27 b = Vậy số cần tìm 47 Bài 59: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng hai số 59; hai lần số bé ba lần số Tìm hai số HD: • Gọi x, y hai số cần tìm (x, y ∈ N)  x + y = 59  x + y = 59 ⇔ • Theo đề ta có hệ pt:  2 x + = y 2 x − y = −  x = 34 • Giải hệ ta được:  (thỏa ĐK) ⇒ hai số cần tìm 34 25 y = 25  Bài 60: Giải toán sau cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm có diện tích 1500m2 Tính kich thước HD: • Nửa chu vi hình chữ nhật: 160 = 80 (m) • Gọi x (m) kích thước hình chữ nhật (0 < x < 80) • Kích thước cịn lại hình chữ nhật 80 – x (m) • Diện tích hình chữ nhật x(80 – x) (m2) • Vì diện tích hình chữ nhật 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500 ⇔ x2 – 80x + 1500 = • Giải pt ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận) • Vậy hình chữ nhật có kích thước 30m 50m Bài 61: Giải toán sau cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m Tính diện tích sân trường HD: • Gọi x, y (m) chiều dài chiều rộng sân trường ( < x, y < 170) • Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340 ⇔ x + y = 170 (1) • Vì ba lần chiều dài lần chiều rộng 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2) 18 CẨM NANG GIẢI NHANH TOÁN  x + y = 170 • Từ (1) (2) ta có hệ pt:  3 x − y = 20  x = 100 • Giải hệ pt ta  (thỏa ĐK)  y = 70 19

Ngày đăng: 02/05/2023, 16:48

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan