PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ĐỀ PHÁT TRIỂN MINH HỌA KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2023 BGD TIÊU CHUẨN - ĐỀ SỐ 26 Bài thi mơn: TỐN (Đề gồm có 06 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ tên thí sinh:……………………………………………… Số báo danh:…………………………………………………… Câu 1: Trong hình bên M , N điểm biểu diễn số phức z w Số phức z + w C + 3i D − i Câu 2: A − 3i B + i Hình vẽ bên đồ thị hàm số nào? A y = x − x C y = − x + x D y = x − x Câu 3: B y = − x + x y = log ( x − 1) Tập xác định hàm số ( 0; +∞ ) [ 0; +∞ ) A B C ( 1; +∞ ) D [ 1; +∞ ) Câu 4: Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên 6h 2 2 A 6a h B 3a h C 2a h D a h Câu 5: Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy 2, đường cao A 6π B 4π C 12π Câu 6: Câu 7: Câu 8: Biết ∫ f ( x ) dx = 0 Tích phân ∫ f ( x ) dx A 12 B −12 C Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh? 12 A A12 B C 12 Cho cấp số nhân A D 3π ( un ) D − D C12 với u1 = u2 = −6 Công bội cấp số nhân cho − B C −3 D Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 log ( x + 1) < Tập nghiệm bất phương trình [ −1;7 ) ( −1;5) ( −1;7 ) A B C x−1 Câu 10: Nghiệm phương trình = 25 x = log5 26 x = log5 24 A B C x = Câu 9: D ( 0;8) D x = Câu 11: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y= x +1 x −1 B y= 2x −1 x −1 C y= x x +1 D y= x −1 x +1 Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng sau đây? A (−1; 0) B (−2; −1) C (0;1) Câu 13: Cho hàm số y = f ( x) D (0; 2) liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Số điểm cực trị hàm số cho A B C D Câu 14: Tính diện tích xung quanh hình nón có đường sinh , bán kính đáy A 2π B 4π C π Câu 15: Khối cầu có bán kính tích A 36π B 108π C 18π Câu 16: Mô đun số phức z = − i A B C D 3π D 72π D Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 17: Tiệm cận đứng đồ thị hàm số y= 2x + x − B y = A x = x=− C y = −1 D x =  ∆ :  y = + 2t  z = − 3t  Câu 18: Trong không gian Oxyz , véctơ phương đường thẳng r r r r u = ( 0; 2;3) u = ( 1; 2; −3) u = ( 0; 2; −3) u = ( 1; 2;1) A B C D Câu 19: Phần ảo số phức z = − 2i A −2 B −2i C −3 D 3i Câu 20: Họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x x A ln + C x −1 B − x.3 + C A B −2 3x +C D ln x C + C x x+1 Câu 21: Cho phương trình 4.4 − 9.2 + = Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Khi tích x1 , x2 D −1 C y = f ( x) Câu 22: Cho hàm số liên tục ¡ có đồ thị hình bên Gọi a, A giá trị nhỏ giá trị lớn a + A A C f ( x + 1) đoạn [ −1;0] Giá trị B D Câu 23: Tổng phần thực phần ảo số phức A B z= + + i − i C D Câu 24: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng sau chứa trục Oz ? A x − y + = B z − = C x + y − z = Câu 25: Cho f ( x) hàm số liên tục ¡ thỏa mãn ∫ D x − y = f ( x ) dx = ∫ f ( 3x ) dx = Tích phân ∫ f ( x ) dx A 10 B C 12 D 14 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a , SA = a SA vng góc với (tham khảo hình vẽ bên) ( ABCD ) ( ABCD ) Góc SC ° ° A 90 B 30 ° ° C 45 D 60 Câu 27: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x + tính theo cơng thức S= A ∫(x −1 − x − ) dx S= B C Câu 28: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x) f ( x) = Hỏi phương trình phân biệt? A D + x + ) dx S = π ∫ ( − x + x + ) dx −1 có đồ thị hình vẽ có nghiệm thực y = f ( x) số có f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x + x ) , x ∈ ¡ −1 B D C Câu 29: Hàm 2 S = π ∫ ( x − x − ) dx −1 ∫ ( −x A đạo hàm Hỏi hàm số B y = f ( x) C có điểm cực trị? D M ( −1; − 2; − 3) Câu 30: Trong không gian Oxyz , đường thẳng ∆ qua điểm vng góc với mặt ( α ) : x + y + z = có phương trình phẳng x +1 y + z + = = −2 A x −1 y − z − = = −2 C x −1 y − z − = = 1 B x +1 y + z + = = 1 D · Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có AB = BC = AA′ = a , ABC = 120 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ a3 3a 3a3 B C D o Câu 32: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , bán kính đáy a Diện tích tồn phần hình nón 3a A 12 A π a B 3π a C 2π a D 3π a Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 33: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên hình sau Trong hệ số sau a, b, c d có số âm? A B C f ( x) Câu 34: Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1] D f ( 1) = −1 , 18 ∫ xf ' ( x ) dx = 36 Giá trị f ( x ) dx ∫ A − B 36 12 C 12 D Câu 35: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn A B ∫ xf ( x)dx = 2 C 36 − Tính tích phân ( ) ∫ xf (3x)dx D 18 ( ) A 2,4,1 B −1,1,3 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ; mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 2z − = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) góc với (P ) ? ( Q ) : 2y + 3z − 10 = ( Q ) : 2y + 3z − 13 = C qua hai điểm A,B vuông ( Q ) : 2y + 3z − 11 = ( Q ) : 2y + 3z − 12 = D A B Câu 37: Ban đạo phòng chống dịch COVID-19 sở Y tế Nghệ An có người, có bác sĩ Chia ngẫu nhiên Ban thành ba tổ, tổ người để kiểm tra cơng tác phịng dịch địa phương Trong tổ, chọn ngẫu nhiên người làm Tổ trưởng Xác suất để ba Tổ trưởng bác sĩ 1 1 A 42 B 21 C 14 D y = f ( x ) = x − m − x2 Câu 38: Có giá trị tham số m để hàm số đạt giá trị lớn A B Câu 39: Cho hàm số ∫ f ( x) x y = f ( x) C D 1 1  f ( x ) + f  ÷ = 3x x ∈  ;2 x   Tính liên tục thỏa mãn với dx Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 − A B − C D ( S ) : x2 + y + z − 2x + y + 2z − = Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( P ) : x − y + z − 14 = Điểm M thay đổi ( S ) , đểm N thay đổi ( P ) mặt phẳng Độ dài nhỏ MN A B C D Câu 41: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , AC = a , I trung điểm SC Hình ( ABC ) trung điểm H BC Mặt phẳng ( SAB ) tạo với chiếu vng góc S lên ( ABC ) góc 60° Tính khoảng cách từ I đến ( SAB ) 3a 3a 5a 2a A B C D Câu 42: Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình x2 − x + m + 2.3 x2 − x + m − + x < 32 x − có nghiệm? B A C D Câu 43: Cho m số thực, biết phương trình z − 2mz + = có hai nghiệm phức z1 , z2 Có z z + z2 z1 < 16 giá trị nguyên m cho ? A B C D Câu 44: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy r = 10 và đường sinh l = 117 Gọi A , B M ba điểm thuộc đường tròn đáy cho AB = 12 Giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB SM 340 1700 A 117 B 13 C D 117 A ( 0;0;8 ) B ( 6;8;7 ) Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm , Xét điểm M thay đổi cho tam giác OAM ln vng M có diện tích Giá trị lớn độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng sau đây? A ( 12;13) B ( 13;14 ) C ( 14;15) D ( 15;16 ) 2 2 2 ( x + y + ) + log  + ÷ = ( xy − ) x y Câu 46: Xét số thực dương x , y thỏa mãn Khi x + y x đạt giá trị nhỏ nhất, y A B C D P = z − 5i z − + 7i + z + − 5i ≤ 13 Câu 47: Cho số phức z1 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ A B 26 C D 13 Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 48: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục y = f ′( x) ¡ Đồ thị hàm số hình vẽ bên Hàm số y = f ( x2 + x ) − x2 − x điểm cực trị thuộc A ( −5;1) B D C Câu 49: Cho hàm số có y = f ( x) f ( 1) = y = f ′( x) có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số hình bên Có số nguyên dương a để hàm số y = f ( sin x ) + cos x − a  π  0; ÷ biến   ? A C Vô số B D Câu 50: Cho hình lập phương phẳng ( P) ( P) qua cắt cạnh ABCD A ' B ' C ' D ' MN DD ' V1 =1 V2 Gọi tạo với mặt phẳng gọi thể tích phần chứa điểm A nghịch B DC A M,N ( ABB ' A ') Khi mặt phẳng V1 V1 =2 V2 trung điểm ( P) góc cho B'B tan α = Mặt Biết chia khối lập phương thành hai phần, phần lại tích C α B ' A' V1 = V2 V2 Tỉ số V1 V2 D V1 = V2 HẾT Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 1.C 11.A 21.B 31.C 41.A Câu 1: 2.C 12.C 22.D 32.B 42.C 8.C 18.C 28.B 38.C 48.A 9.C 19.A 29.D 39.D 49.B 10.C 20.D 30.D 40.C 50.A B + i C + 3i Lời giải z + w = ( −1 + 2i ) + ( + i ) = + 3i D − i Ta có z = −1 + 2i , w = + i nên Hình vẽ bên đồ thị hàm số nào? A y = x − x Câu 3: 4.A 14.A 24.D 34.A 44.C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Trong hình bên M , N điểm biểu diễn số phức z w Số phức z + w A − 3i Câu 2: 3.C 13.D 23.B 33.A 43.C BẢNG ĐÁP ÁN 5.C 6.B 7.D 15.A 16.B 17.A 25.D 26.B 27.B 35.A 36.B 37.B 45.C 46.A 47.C B y = − x + x Hàm số trùng phương → Loại B, D lim = −∞ x→+∞ → Chọn C y = log ( x − 1) Tập xác định hàm số ( 0; +∞ ) [ 0; +∞ ) A B C y = − x + x Lời giải ( 1; +∞ ) C Lời giải D y = x − x D [ 1; +∞ ) Điều kiện xác định x − > ⇔ x > ( 1; +∞ ) Vậy tập xác định hàm số Câu 4: Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên 6h 2 2 A 6a h B 3a h C 2a h D a h Lời giải Từ giả thiết khối lăng trụ có đáy hình vng nên diện tích đáy S = a.a = a 2 Thể tích khối lăng trụ tứ giác là: V = Sh = a 6h = 6a h Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 5: Tính thể tích khối trụ có bán kính đáy 2, đường cao A 6π B 4π C 12π D 3π Lời giải Thể tích khối trụ là: V = π r h = π = 12π 2 Câu 6: Biết f ( x ) dx = ∫ 0 Tích phân ∫ f ( x ) dx B −12 A 12 C Lời giải D − ∫ f ( x ) dx = −3∫ f ( x ) dx = −3.4 = −12 Câu 7: Ta có Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh? 12 A A12 B C 12 D C12 Lời giải Câu 8: Số cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh C12 (u ) Cho cấp số nhân n với u1 = u2 = −6 Công bội cấp số nhân cho 1 − A B C −3 D Gọi q công bội cấp số nhân cho u −6 u2 = u1.q ⇔ q = = = −3 u Ta có Lời giải log ( x + 1) < Tập nghiệm bất phương trình [ −1;7 ) ( −1;5) ( −1;7 ) A B C Lời giải log ( x + 1) < ⇔ < x + < 23 ⇔ −1 < x < Ta có ( −1;7 ) Vậy tập nghiệm bất phương trình x−1 Câu 10: Nghiệm phương trình = 25 x = log5 26 x = log5 24 A B C x = Lời giải x −1 Ta có = 25 ⇔ x − = log 25 ⇔ x − = ⇔ x = Câu 9: D ( 0;8) D x = x−1 Vậy nghiệm phương trình = 25 x = Câu 11: Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? Page PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A y= x +1 x −1 B y= 2x −1 x −1 y= x x +1 y= x −1 x +1 C D Lời giải Ta thấy đồ thị hàm số có đường TCN: y = , TCĐ: x = , có đáp án A thỏa mãn Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hình sau: Hàm số cho nghịch biến khoảng sau đây? A (−1; 0) B (−2; −1) C (0;1) D (0; 2) Lời giải Dựa vào đồ thị, dễ thấy hàm số cho nghịch biến khoảng (0;1) y = f ( x) Câu 13: Cho hàm số liên tục ¡ có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Số điểm cực trị hàm số cho A B C -Lời giải D f ′( x) Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy đổi dấu qua điểm x = −1; x = 0; x = y = f ( x) Vậy hàm số có điểm cực trị Câu 14: Tính diện tích xung quanh hình nón có đường sinh , bán kính đáy A 2π B 4π C π -Lời giải Diện tích xung quanh hình nón S = π rl = 2π Câu 15: Khối cầu có bán kính tích A 36π B 108π C 18π D 3π D 72π Page 10 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 A 10 B Ta có: ∫ C 12 Lời giải D 14 3 1 f ( 3x ) dx = ∫ f ( x ) d ( 3x ) = ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 18 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 18 30 30 0 3 1 0 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 18 − = 14 Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 3a , SA = a SA vng góc với ( ABCD ) (tham khảo hình vẽ bên) ( ABCD ) Góc SC ° ° A 90 B 30 ° ° C 45 D 60 Lời giải · ( ABCD ) nên góc SC ( ABCD ) SCA Ta có AC hình chiếu SC SA a · tan SCA = = = ⇒ SCA = 30° AC 3a Xét ∆SAC vng A có: Câu 27: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x + tính theo cơng thức S= A ∫ ( x − x − ) dx −1 S= B C S = π ∫ ( x − x − ) dx −1 ∫ + x + ) dx −1 x − x − dx −1 Câu 28: Cho hàm số bậc bốn S = π ∫ ( − x + x + ) dx ⇒S = 2 D Lời giải  x = −1 x2 = x + ⇔ x2 − x − = ⇔  x = Ta có: −1 ∫ ( −x x − x − < 0∀x ∈ ( −1;2 ) S= mà y = f ( x) nên ∫ ( −x −1 + x + ) dx có đồ thị hình vẽ Page 13 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Hỏi phương trình A f ( x) = có nghiệm thực phân biệt? B C Lời giải D * Cách 1:  f ( x) = f ( x) = ⇔   f ( x ) = −1 Ta có: f ( x) = y = f ( x) Với dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị điểm nên cho ta nghiệm f ( x ) = −1 y = f ( x) Với dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = −1 cắt đồ thị điểm nên cho ta nghiệm Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt * Cách 2: f ( x) ta suy đồ thị hàm sau: y = f ( x) (C ) + Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trục hồnh ta phần đồ thị y = f ( x) + Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trục hồnh qua trục hồnh xóa bỏ phần Từ đồ thị hàm f ( x) ta phần đồ thị Đồ thị hàm y = f ( x) ( C2 ) hợp thành hai phần đồ thị ( C1 ) ( C2 ) Page 14 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Số nghiệm phương trình f ( x) = số giao điểm đường thẳng y = đồ thị y = f ( x) y = f ( x) Dựa vào đồ thị ta thấy y = giao đồ thị điểm Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt f ′ ( x ) = ( x − 1) ( x − ) ( x + x ) , x ∈ ¡ y = f ( x) y = f ( x) Câu 29: Hàm số có đạo hàm Hỏi hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải  x = −1 x =1  ⇔  x = −2  x = 2 2  x = f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) ( x + x ) = Ta có: x = −1 nghiệm kép, nghiệm lại nghiệm đơn nên qua nghiệm đơn hàm f '( x) đổi dấu, hàm số y = f ( x) có điểm cực trị M ( −1; − 2; − 3) Câu 30: Trong không gian Oxyz , đường thẳng ∆ qua điểm vuông góc với mặt ( α ) : x + y + z = có phương trình phẳng x +1 y + z + x −1 y − z − = = = = −2 B 1 A x −1 y − z − x +1 y + z + = = = = −2 D 1 C Lời giải Ta có: đường thẳng ∆ qua điểm M ( −1; − 2; − 3) nhận vectơ x +1 y + z + = = 1 Do phương trình đường thẳng ∆ r a = ( 1;1;1) làm VTCP Page 15 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 · Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có AB = BC = AA′ = a , ABC = 120 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ 3a A 12 B 3a Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ = C Lời giải a3 D 3a3 VABC A ' B 'C ' = AA′.S ∆ABC = AA′.BA.BC sin ·ABC 3a a sin1200 = o Câu 32: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , bán kính đáy a Diện tích tồn phần hình nón A π a B 3π a C 2π a Lời giải D 3π a Ta có: a = 2a sin 30o Stp = S xq + S day = π rl + π r = π a.2a + π a = 3π a l= Câu 33: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên hình sau Trong hệ số sau a, b, c d có số âm? A B C Lời giải Dựa vào bảng biến thiên hàm số bậc ba ta có: a < D y′ = 3ax + 2bx + c = 3a ( x + 1) ( x − 2) = 3a ( x − x − ) = 3ax − 3ax − 6a −3a  >0 2b = −3a b = ⇒ ⇒  c = −6 a c = −6a > Mặt khác: y ( −1) = ⇔ −a + b − c + d = ⇔ −a − 3a −7 a + 6a + d = ⇒ d = >0 2 Page 16 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Vậy có số âm f ( x) Câu 34: Cho [ 0;1] hàm số có đạo hàm liên tục f ( 1) = −1 , 18 ∫ xf ' ( x ) dx = 36 Giá trị A ∫ f ( x ) dx − B 36 12 C 12 Lời giải D − 36 Ta xét I = ∫ xf ' ( x ) dx u = x du = dx ⇒  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x ) Đặt:  Khi đó: 1 0 I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − ∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = f ( 1) − I = − 1 1 − =− 18 36 12 Câu 35: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn A B ∫ xf ( x)dx = Tính tích phân C Lời giải x = ⇒ t = dt  x = t ⇒ dx = Đổi cận:  x = ⇒ t = Đặt Vậy ∫ xf (3x)dx D 18 t dt f (t ) = ∫ f (t )dt = 3 90 ∫ xf (3x)dx = ∫ ( ) ( ) A 2,4,1 B −1,1,3 Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ; mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 2z − = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) góc với (P ) ? ( Q ) : 2y + 3z − 10 = ( Q ) : 2y + 3z − 13 = C ( Q ) : 2y + 3z − 11 = ( Q ) : 2y + 3z − 12 = D A Ta có B Lời giải uuur AB = −3, −3,2 ( ); ( ) qua hai điểm A,B vuông P : x − 3y + 2z − = ( ) có véc tơ pháp tuyến u r n = 1, −3,2 ( ) ( ) Q P Mặt phẳng qua hai điểm A,B vng góc với nên nhận uu r uuur u r n′ = AB, n  = 0,8,12 = 0,2,3 Q   véc tơ pháp tuyến, phương trình mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( Q ) : 2y + 3z − 11 = Page 17 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Câu 37: Ban đạo phòng chống dịch COVID-19 sở Y tế Nghệ An có người, có bác sĩ Chia ngẫu nhiên Ban thành ba tổ, tổ người để kiểm tra cơng tác phịng dịch địa phương Trong tổ, chọn ngẫu nhiên người làm Tổ trưởng Xác suất để ba Tổ trưởng bác sĩ 1 1 A 42 B 21 C 14 D Lời giải Cả ba Tổ trưởng bác sĩ tổ phải có bác sĩ 3C41C52C31C32C22 C11 = C93C63C33 14 ⇒ Xác suất để tổ có bác sĩ là: Có tổ có hai bác sĩ hai tổ có bác sĩ 1 = ⇒ Xác suất để chọn bác sĩ làm Tổ trưởng là: 3 27 = Vậy xác suất cần tìm là: 14 27 21 y = f ( x ) = x − m − x2 Câu 38: Có giá trị tham số m để hàm số đạt giá trị lớn A B C D Lời giải y = f ( x) x − m − x ≤ ⇔ x − m ≤ x + ∀x ∈ ¡ Hàm số đạt giá trị lớn , 4 x − m ≤ x + 5, ∀x ∈ ¡  m ≥ − x + x − 5, ∀x ∈ ¡ m ≥ −1 ⇔ ⇔  ⇔ 2 4 x − m ≥ − x − 5, ∀x ∈ ¡  m ≤ x + x + 5, ∀x ∈ ¡ m ≤  m = −1 ⇔ ⇔ m ∈ { −1;1} y = f ( x) m =  Do giá trị lớn hàm số m Vậy có giá trị cần tìm 1 1  f ( x ) + f  ÷ = 3x x ∈  ;2 y = f ( x) x   Tính Câu 39: Cho hàm số liên tục thỏa mãn với ∫ f ( x) x − A dx B − C Lời giải 1 1  f ( x ) + f  ÷ = 3x ⇔ x ∈  ;2 x   Ta có: Xét ∫ Lấy tích phân vế ta được: f ( x) x D 1 f ÷ x +2   =3 x 1 f ÷ f ( x) x dx + 2∫   dx = ∫ xdx = x x 1 2 Page 18 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023   x = ⇒ t =  1 x = ⇒ t = = t ⇒ − dx = dt ⇔ dx = − dt x t Đặt x Đổi cận:  1 f  2 2 ÷ f ( t) f ( x) f ( x) f ( x) x  2∫ dx =2 ∫ dt = 2∫ dx ⇒ 3∫ dx = ⇔ ∫ dx = x t x x x 1 1 2 2 Khi đó: 2 ( S ) : x + y + z − 2x + y + 2z − = Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 14 = Điểm Độ dài nhỏ MN A B M thay đổi ( S ) , đểm N thay đổi ( P ) D C Lời giải d ( I,( P) ) = I ( 1; −2; −1) 2.1 − ( −2 ) + ( −1) − 14 =4>R + ( −1) + , bán kính R = ( S ) mặt phẳng ( P ) khơng có điểm chung, gọi H hình chiếu I lên Do mắt cầu Mặt cầu có tâm 2 ( P ) K giao điểm đoạn IH với mặt cầu ( S ) mặt phẳng MN ≥ MK = d ( I , ( P ) ) − R = − = Ta có Vây MN = Câu 41: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A , AC = a , I trung điểm SC Hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) A ( ABC ) ( SAB ) tạo với trung điểm H BC Mặt phẳng ° ( SAB ) góc 60 Tính khoảng cách từ I đến 3a B 3a C Lời giải 5a D 2a  HK // AC  ⇒ AC a  HK = = Gọi K trung điểm cạnh AB Page 19 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Mà AC ⊥ AB ⇒ HK ⊥ AB  AB ⊥ HK  ⇒ AB ⊥ ( SHK ) ⇒ AB ⊥ SK Ta có:  AB ⊥ SH ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB  ( SAB ) ⊃ SK ; SK ⊥ AB  · · · ( ABC ) ⊃ HK ; HK ⊥ AB ⇒ ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = ( SK ; HK ) = SKH = 60° ⇒ HM ⊥ ( SAB ) Kẻ HM ⊥ SK HI // ( SAB ) Mặt khác ⇒ d ( I ; ( SAB ) ) = d ( HI ; ( SAB ) ) = d ( H ; ( SAB ) ) = HM Xét tam giác SHK vng H ta có: + SH = HK tan 60 = ° 3a 1 4 16 3a = + = + = ⇒ HM = 2 HK SH a 3a 3a + HM ⇒ d ( I ; ( SAB ) ) = 3a Câu 42: Có giá trị nguyên dương tham số x −3 x + m + 2.3 m để bất phương trình x −3 x + m − 2+ x < 32 x − có nghiệm? B A C Lời giải D x − 3x + m = a ( a ≥ ) Đặt: Khi đó: 2 1 2  + 2.3 2⇔ m<  a < x −  x − 3x + m < x − x >  Nên: Do m nguyên dương nên m = Câu 43: Cho m số thực, biết phương trình z − 2mz + = có hai nghiệm phức z1 , z2 Có 2a a − 2+ x x −3 2a − x z z + z2 z1 < 16 giá trị nguyên m cho ? A B C Lời giải 2 z − 2mz + = (*) có ∆′ = m − * ∆′ ≥ ⇔ m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 3; +∞ ) D Khi phương trình có hai nghiệm thực z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 + z2 z1 = z1.z2 + z2 z1 = 18 > 16 ( khơng thỏa mãn tốn) Page 20 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 * ∆′ < ⇔ − < m < Áp dụng định lý Vi-ét ta có, z1 + z2 = 2m, z1 z2 = Ta có z1 = z2 = z1 z2 = z1 z2 = = ⇒ z1 z2 + z2 z1 = z1.3 + z2 = ( z1 + z2 ) = 6m Theo đề, z1 z2 + z2 z1 < 16 ⇔ 6m < 16 ⇔ m < −3 < m < z1 = z1 , z2 = z2 8 Mà m nguyên nên m ∈ { −2; −1;0;1; 2} Kết hợp với điều kiện ta Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 44: Cho khối nón đỉnh S , bán kính đáy r = 10 và đường sinh l = 117 Gọi A , B M ba điểm thuộc đường tròn đáy cho AB = 12 Giá trị lớn khoảng cách hai đường thẳng AB SM A 117 340 B 13 C Lời giải 1700 D 117 Ta có chiều cao h = 117 − 100 = 17 Không tổng quát ta cố định AB , điểm M di động Gọi O tâm đáy, I trung điểm AB , P L giao điểm IO với đường tròn đáy cho O nằm I P Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt IO K Khoảng cách hai đường thẳng AB SM khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng SK Xét tam giác ∆SPI , M thay đổi K thay đổ đoạn PL Khoảng cách từ I đến SK IH (với H hình chiếu I SK ) · Nếu góc PSI nhọn IH lớn K trùng với P Page 21 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 · Nếu góc PSI tù vng IH lớn SK vng góc với SI H trùng với S 2 Ta có IO = r − IA = , OP = r = 10 , SO = h = 17 , IP = 18 , SP = 117 ( ) SP + SI − PI −143 · cos PSI = = 0 f ( t) ( 0; +∞ ) t ln Ta có , ∀t > ⇒ đồng biến khoảng ( 1) Vậy Do ⇔ x + y = xy ⇔ x + 4y = x + y= 2x x − ( x > x, y > ) 8x 16 = ( x − 2) + + 10 ≥ 10 + x−2 x−2 ( x − 2) 16 = 18 x−2  x >  x = 16  ⇔ x − = x−2 y =  2x   y = x − Đẳng thức xảy x = x =2  ( x + y ) = 16 Vậy  y = ⇒ y P = z − 5i z − + 7i + z + − 5i ≤ 13 Câu 47: Cho số phức z1 thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ A B 26 z − + 7i + z + − 5i ≤ 13 Ta có: ⇔ z + 5i − + 2i + z + 5i + − 10i ≤ 13 C Lời giải D 13 (1) M ( a; b ) , A ( 3; −2 ) , B ( −2;10 ) Gọi điểm biểu diễn số phức w = z + 5i; z1 = − 2i; z2 = −2 + 10i uuu r AB = ( −5;12 ) ⇒ AB = 13 Biểu thức (1) viết lại: MA + MB ≤ AB ⇒ MA + MB = AB ⇒ tập hợp điểm M biểu diễn số phức w đoạn thẳng AB Page 23 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023  x = − 5t AB :  ( t ∈ [ 0;1] ) y = − + 12 t  * Phương trình đường thẳng M ( − 5t; −2 + 12t ) ∈ AB Gọi uuur OM = ( − 5t; −2 + 12t ) ( − 5t ) OM = + ( −2 + 12t ) = 169t − 78t + 13 OM = ⇔ t = 13 (thỏa) P = z − 5i = z + 5i = OM * Pmin = Câu 48: Cho hàm số Hàm số A f ( x) y = f ′( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số hình vẽ bên y = f ( x2 + x ) − x2 − x B có điểm cực trị thuộc C y′ = ( x + ) f ′ ( x + x ) − x − ( −5;1) D Lời giải Ta có:  x = −2 y ′ = ⇔ ( x + )  f ′ ( x + x ) − 1 = ⇔   f ′ ( x + x ) = 1( *) Do đó:  x + x = −4  ( *) ⇔  x + x =  x2 + x = a ( < a < 5) y = f ′( x)  Dựa vào đồ thị hàm số suy ra:  x = −2 ( nghiem kep) x = ⇔  x = −4   x + x = a ( < a < ) ( **) ( **) có ∆′ = + a ∈ ( 5;9 ) Phương trình Nên phương trình ( **) có nghiệm ( x1 = −2 − ∆ ' ∈ −5, −2 − ) Page 24 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 Và ( ) x2 = −2 + ∆ ' ∈ −2 + 5;1 ( −5;1) khác nghiệm Cả nghiệm thuộc Vậy phương trình y ′ = có nghiệm có nghiệm bội ba nghiệm đơn thuộc ( −5;1) y = f ( x2 + x ) − x2 − x ( −5;1) có điểm cực trị thuộc y = f ( x) f ( 1) = y = f ′( x) Câu 49: Cho hàm số có đạo hàm ¡ Đồ thị hàm số hình bên Vậy hàm số y = f ( sin x ) + cos x − a Có số nguyên dương a để hàm số nghịch biến  π  0; ÷  ? A B C Vô số Lời giải D y = f ( sin x ) + cos x − a Xét hàm số y′ = cos x  f ′ ( sin x ) − 4sin x   π ∀x ∈  0; ÷  2 Ta thấy, cos x > , y = f ′( x) Đồ thị hàm số y = x vẽ cùng hệ trục tọa độ sau: Từ đồ thị ta có  π ⇒ f ′ ( sin x ) < sin x, ∀x ∈  0; ÷ ′ f ( x ) < x, ∀x ∈ ( 0;1)  2  π y′ < 0, ∀x ∈  0; ÷   Suy Ta có bảng biến thiên Page 25 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ⇔ f ( 1) − − a ≥ ⇔ a ≤ f ( 1) − = Dựa vào bảng biến thiên ycbt a ∈ { 1; 2;3} Vì a số nguyên dương nên Câu 50: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M , N trung điểm B ' A ' B ' B Mặt phẳng ( P) ( P) ( ABB ' A ') góc α cho tan α = Biết qua MN tạo với mặt phẳng ( P ) chia khối lập phương thành hai phần, cắt cạnh DD ' DC Khi mặt phẳng V1 gọi thể tích phần chứa điểm A V1 phần cịn lại tích V2 Tỉ số V2 V1 V1 V1 V1 =1 =2 = = V V V V 2 2 A B C D Lời giải Khơng tính tổng quát, giả sử độ dài cạnh hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi Q, R, I trung điểm cạnh DC , DD ', AA ' ′ ′ Ta có QR // MN // D C // A B nên M , N , Q, R đồng phẳng ( MNQR ) ∩ ( ABB ' A ') = MN Trong ( ABB ' A ') , ta có IM ⊥ MN RI ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ RI ⊥ MN MN ⊥ ( IMR ) ⇒ MR ⊥ MN Do đó, RI tan β = = · β = (· MNQR ) , ( ABB ' A ' ) ) = ( IM , MR ) = RMI ( MI Suy , Page 26 PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2023 ( P ) mặt phẳng MNQR Như vậy, mặt phẳng Gọi T = MN ∩ AA ', K = MN ∩ AB, P = QK ∩ BC , S = RT ∩ A ' D ' Khi đó, thiết diện khối ( P ) lục giác MNPQRS lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cắt mặt phẳng V1 = VA.MNPQRS + VAA ' MS + VADRQ + VABNP V2 = VC '.MNPQRS + VC ' D ' RS + VC 'CPQ + VC ' MNB ' Dễ thấy VA.MNPQRS = VC '.MNPQRS VAA' MS = VADRQ = VABNP = VC ' D ' RS = VC 'CPQ = VC ' MNB ' Do đó, V1 = V2 ⇒ 11 =  ÷ =   24 V1 =1 V2 HẾT Page 27