Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân bội ba
§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính 1 2 , , , n Ω Ω Ω 1 2 , , , n V V V∆ ∆ ∆ Định nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ω k lấy 1 điểm bất kỳ M k (x k ,y k ,z k ) Lập tổng tích phân 1 ( , , ) n n k k k k k S f x y z V = = ∆ ∑ Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm M k thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền Ω max ( ) 0 k d Ω → Chú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu : ( , , ) ( , , )f x y z dV f x y z dxdydz Ω Ω = ∫∫∫ ∫∫∫ §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính max ( ) 0 1 ( , , ) lim ( , , ) k n k k k k d k f x y z dV f x y z V Ω → = Ω = ∆ ∑ ∫∫∫ Vậy: Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính ( )dxdydz V Ω = Ω ∫∫∫ 1. . ( , , ) ( , , )C f x y z dxdydz C f x y z dxdydz Ω Ω = ∫∫∫ ∫∫∫ 2. ( ( , , ) ( , , )) ( , , ) ( , , )f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz Ω Ω Ω + = + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 3. ( , , ) ( , , )f x y z dxdydz g x y z dxdydz Ω Ω ≤ ∫∫∫ ∫∫∫ 4. Nếu g ≥ f trên Ω thì 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz Ω Ω Ω = + ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 5. 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( )f x y z dxdydz f x y z V Ω = Ω ∫∫∫ Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng 1 ( , , ) ( ) f x y z dxdydz V Ω ∫∫∫ Ω 6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) sao cho : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Cách tính ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) x y D x y f x y z dxdydz f x y z dz dxdy ϕ ψ Ω = ∫∫∫ ∫∫ ∫ Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng ( , ) ( , ) ( , , ) x y D x y dxdy f x y z dz ϕ ψ ∫∫ ∫ Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 1 : Tính tích phân 1 2I zdxdydz Ω = ∫∫∫ Trong đó Ω giới hạn bởi 2 2 0 ,0 , 4x y x y z≤ ≤ + ≤ ≤ Còn z giới hạn bởi x 2 +y 2 ≤z ≤4, nên 2 2 4 1 2 D x y I dxdy zdz + = ∫∫ ∫ 2 2 2 4 ( ) x y D z dxdy + = ∫∫ 2 2 2 (16 ( ) ) D x y dxdy= − + ∫∫ 2 2 4 0 0 (16 )d r r dr π ϕ = − ∫ ∫ §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x 2 +y 2 ≤4, 0≤x, 0≤y §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính D x=0 y=0 z=4 z=x 2 +y 2 Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x 2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 2 ( )I x y dxdydz Ω = + ∫∫∫ Ví dụ 2 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi y=x 2 , y+z=1, z=0 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính -1 1 1 D Vì vậy: 1 2 0 ( ) y D I dxdy x y dz − = + ∫∫ ∫ 1 0 ( ( )) D y zx y dxdy − = + ∫∫ 2 1 1 2 1 ( )(1 ) x I dx x y y dy − = + − ∫ ∫ §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính y+z=1 z=0 y=x 2 §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=z Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1 x + y = 1 Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : 3 ( , , )I f x y z dxdydz W = òòò 3 0 x y D I dxdy xdz + = òò ò 1 1 3 0 0 x I xdx dy - = ò ò [...]... N(r,φ) §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ta có công thức tính tích phân trong tọa độ trụ ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ r f (r cos ϕ, r sin ϕ, z )drdϕdz Ω Ω Chú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 4: Tính tích phân I3 =... ϕ ) + 2r 2 sin ϕ cos ϕ I5 = ∫ d ϕ ∫ r dr r 0 0 2π 1 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Như vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Ví dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1,... ≤2, 0≤z Suy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu z 0≤θ≤π/2 0≤θ≤π/2 ắt tc ặ M Miền D §2 Vậy Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu 2p I9 = ò d j 0 p 4 2 òd qò r 0 2 sin q(r sin qcos j + r sin qsin j )d r 0 2p I9 = ò(cos j + sin j )dj 0 p 4 2 sin2 qd qò r 3d r ò 0 0 Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0 Suy ra I9=0 Tuy... §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vì x2+y2≤1 nên I3 = Vậy: x2 + y 2 ≤ x2 + y 2 ∫∫ dxdy x 2 + y 2 ≤1 x2 +y 2 ∫ zdz x2 +y 2 Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z và ta có 2 r 2π 1 r 0 0 r2 I3 = ∫ dϕ ∫ rdr ∫ zdz 1 π z 2 4 I3 = 2π ∫ rdr ( ) = π ∫ r (r − r )dr = 12 2 r2 0 0 1 §2 Tích phân. .. ρ cosθ )dϕ dθ d ρ Ω Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 7 : Tính tích phân I6 = ∫∫∫ 2yzdxdydz Ω 2 2 2 Trong đó Ω giới... grid on rotate3d on title('x^2+y^2+z^2=1, x,y,z>0') [phi,theta]=meshgrid(linspace(0,pi/2 ,30 )); x=sin(theta).*cos(phi);y=sin(theta).*sin(phi);z=cos(theta); mesh(x,y,z,'FaceColor','y','EdgeColor','w','FaceAlpha',.5) §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y x2 y 2 trên miền Ω giới hạn bởi + + z 2 ≤ 1, x ≤ 0, y ≥ 0, z ≤ 0 4 9 Miền lấy tích phân là 1 phần... ∫ dθ ∫ 6 ρ 2 sinθ ( ρ sinθ cos ϕ + ρ sinθ sinϕ )d ρ π 2 π π 2 0 π 1 I8 = ∫ (sin ϕ + cos ϕ )dϕ ∫ sin θ dθ ∫ 6 ρ 3d ρ π 2 π 2 2 0 §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu D Hình chiếu z 1 0≤ρ≤ /2 π ≤π ≤θ ặt M ắt c §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Ví dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0 Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta... cầu của điểm M §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Khi đó, ta dễ dàng tính được x = ρ sinθ cos ϕ y = ρ sinθ sin ϕ z = ρ cos θ Ngược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau ρ = x 2 + y 2 + z2 y tan ϕ = x x2 + y 2 tanθ = z §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu Từ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu:... òç2 è 2 ç 0 1 2(cos j + sin j ) + (1+ sin2j 3 ö ÷ j = 7p )÷ d ÷ ø 3 x+y+z=√2 Ta sẽ tính bằng cách thứ 2 x2+y2=1 Miền D §2 trụ I5 = = Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ z ÷ 2 2 x + y 2 0 2 1 ∫∫ x 2 + y 2 ≤1 2 2−x −y dxdy 2 2 + x + y − 2 2x − 2 2y + 2 xy ∫∫ x 2 + y 2 ≤1 x2 + y 2 dxdy Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và... -x-y ≥0 =0 -y -x §2 Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ Vậy : 2−x −y I5 = ∫∫ dxdy z ∫ dz x2 + y 2 Hình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt x = r cos ϕ x 2 + y 2 ≤1 0 y = r sin ϕ z = z 2p I5 = ò d j 0 2p 2- r cos j - r sin j 1 ò rdr ò 0 1 0 æ ö z ÷ I5 = ò dj òç ÷ ç ÷ ç2 ø è 0 0 2 0 z dz r 2- r cos j - r sin j dr §2 Tích phân bội ba – Đổi biến . ∫ Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Ví. dr π ϕ = − ∫ ∫ §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính Hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x 2 +y 2 ≤4, 0≤x, 0≤y §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính D x=0 y=0 z=4 z=x 2 +y 2 Mặt. bội ba – Định nghĩa và cách tính -1 1 1 D Vì vậy: 1 2 0 ( ) y D I dxdy x y dz − = + ∫∫ ∫ 1 0 ( ( )) D y zx y dxdy − = + ∫∫ 2 1 1 2 1 ( )(1 ) x I dx x y y dy − = + − ∫ ∫ §2. Tích phân bội ba