Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình vi phân
CHƯƠNG V : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN I Phương trình vi phân cấp II Phương trình vi phân cấp cao III Hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Bài toán 1: Tìm tất đường cong A y=f(x) cho đoạn [1,x], diện tích hình thang cong bị chắn cung đường cong tỉ số hoành độ x tung độ y Nhìn hình vẽ, ta có B x y − xy′ f (t )dt = ⇔ f ( x) = ⇔ y = y − xy′ ∫ y y x Ta gọi phương trình vi phân cấp 1(phương trình chứa đạo hàm cấp y’) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Bài toán 2: Một vật khối lượng m rơi tự với lực cản khơng khí tỉ lệ với vận tốc rơi Tìm mối liên hệ thời gian rơi t & quãng đường vật s(t) ds Gọi v(t) vận tốc rơi vật v(t ) = (1) dt ma = F (2) Theo định luật Newton, ta có dv , F = F1 + F2 , F1 = mg trọng lực Trong a = dt F2 = −α v lực cản khơng khí, α>0 hệ số cản Thay a, F, F1, F2 vào phương trình (2) ta d s ds dv (1) m = mg − α v ¬ → m = mg − α dt dt dt Ta gọi ptvp cấp (chứa đạo hàm cấp s”) Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân phương trình chứa đạo hàm vi phân vài hàm cần tìm Định nghĩa 2: Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có phương trình Ví dụ: Ptvp cấp 1: ′ − xy = x y ( x − xy )dx + (e + y )dy = Ptvp cấp : y′′y + y′x − xy = Ptvp cấp : y′′′ + y′′ + y′ + y = ln x x Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n ′, y′′, , y ( n ) ) = giải với y(n) F ( x, y , y y ( n) = f ( x, y, y′, , y ( n −1) ) Định nghĩa 3: Nghiệm phương trình vi phân khoảng (a,b) hàm số y=y(x) cho thay vào phương trình ta đồng thức (a,b) (đẳng thức ln với x (a,b)) Ví dụ: Nghiệm ptvp y′′ − y′ + y = x 2x hàm số y = C1e + C2e Đồ thị hàm số y=y(x) gọi đường cong tích phân ptvp Phương trình vi phân cấp 1– Khái niệm chung Dạng tổng quát ptvp cấp 1: F ( x, y, y′) = 0(1) hoặc: y′ = f ( x, y )(2) Bài tốn Cauchy: tốn tìm nghiệm ptvp (1) (2) thỏa điều kiện đầu y ( x0 ) = y0 Hay nói cách khác tìm đường cong tích phân ptvp (1) (2) qua điểm (x0,y0) Ví dụ: Tìm nghiệm ptvp xdx = y dy thỏa điều kiện y(1)=1 Ta có : xdx = y dy ⇔ dx = dy ⇔ x + C = y Với x=1, y=1 ta thay vào đẳng thức C=0 Vậy nghiệm toán y = x 2 Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung x = y , y (1) = x − = y , y (1) = x + = y , y (0) = Đường cong tích phân ptvt với trường hợp Trong phạm vi mơn học, tốn Cauchy ln có nghiệm xác định lân cận ( x0 − ε , x0 + ε ) Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Nghiệm tổng quát: Hàm y=y(x,C) gọi nghiệm tổng quát ptvp cấp miền D ∈ R ∀( x0 , y0 ) ∈ D : ∃!C0 , y = y ( x, C0 ) nghiệm toán Cauchy với điều kiện đầu y(x0) = y0 Nghĩa là: y = y ( x, C0 ), ∀x ∈ ( x0 − ε , x0 + ε ) ∃!C0 : y0 = y ( x0 , C0 ) Nghiệm nhận từ nghiệm tổng quát cách cho số C giá trị cụ thể gọi nghiệm riêng tức nghiệm toán Cauchy nghiệm riêng Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Lưu ý 1: Không phải nghiệm ptvp nhận từ nghiệm tổng quát (NTQ) cách cho số C giá trị cụ thể Những nghiệm gọi nghiệm kì dị ′ = − y Ta biến đổi pt Ví dụ: Xét ptvp y dy = dx arcsin y = x + C 2 ⇔ y′ = − y ⇔ − y y ≠ ±1 y ≠ ±1 y = sin( x + C ) Rõ ràng, y=1 hay y=-1 ⇔ nghiệm ptvp Đó y ≠ ±1 nghiệm kì dị Phương trình vi phân cấp – Khái niệm chung Lưu ý 2: Trong phạm vi mơn học này, ta tìm nghiệm ptvp cách không đầy đủ, tức ta biến đổi phương trình khơng chặt ví dụ Ta giải phương trình hệ khơng giải phương trình tương đương Ví dụ: Khi biến đổi ptvp y′ = y Ta không xét trường hợp y=0 hay y≠0 dy y′ = y ⇒ = dx ⇒ ln y = x + C y ⇒ y = e x +C ⇒ y = Ce x Ta giải thiếu nghiệm y=0 pt ta khơng gpt tương đương, tức tìm nghiệm khơng đầy đủ Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Bài tập: Tìm NTQ nghiệm riêng pt ( ) ′ = y + xe x − 2e x y x 2.(1 + x ) y′ + y = arctan x ydx − ( x + y sin y ) dy = ′ − x + y = arcsin x, y (0) = y y y′ = , y (1) = y ln y + y − x Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernullli α Dạng : y′ + p ( x ) y = q ( x) y Trong đó: α≠0 α=0 ta pt tuyến tính α≠1 α=1 ta pt tách biến z = y1−α Cách giải : Đặt ′ = (1 − α ) y′ y −α ⇒z α z′ y ⇒ y′ = Thay vào pt 1−α α z′y α + yp( x) = q( x) y 1−α z′ + z.(1 − α ) p ( x) = (1 − α ) q( x) Phương trình vi phân cấp 1- PT Bernulli Ví dụ: Tìm NTQ pt y′ − y tan x = − y sin x 2 Đây pt Bernulli với α = Đặt z = y −1 ′ = − z′ y ⇒y Thay vào pt − z′y − y tan x = − y sin x 2 z′ + z tan x = sin x z=e − ∫ tan xdx ( ∫ sin xe ∫ tan xdx y= cos x( x − tan x + C ) dx + C ) Phương trình vi phân cấp 1- PT tuyến tính Bài tập: Tìm NTQ nghiệm riêng pt xy y′ + =x y 1− x ′ = y ( y cos x + tan x) y ydx + ( x + x y )dy = 2 4.3dy + (1 + y ) y sin xdx = 0, y (π ) = 2 5.( y + y + x ) y′ + x = 0, y (1) = Phương trình vi phân cấp 1- PT vp toàn phần Dạng : P ( x, y )dx + Q ( x, y ) dy = ′ Trong đó: Py′ = Qx Cách giải : Ta tìm nghiệm pt dạng U(x,y)=C hàm U(x,y) tìm cách Cách 1: Chọn điểm (x0,y0) cho hàm P, Q liên tục : x y x0 y0 U ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x0 , y )dy Cách 2: Ta tìm U(x,y) cho ′ U x = P ( x, y ),U ′ = Q ( x, y ) y Phương trình vi phân cấp 1- PT vp tồn phần Ví dụ: Tìm NTQ pt (e x+ y + y )dx + (e x+ y + x − 2)dy = x+ y ′ = e x+ y + P = e + y ⇒ Py ′ ⇒ Py′ = Qx x+ y ′ = e x+ y + Q = e + x − ⇒ Qx Cách 1: Chọn (x0,y0)=(0,0) x U = ∫ (e ( x+ y U = (e U =e x+ y x+ y y + y )dx + ∫ (e y 0+ y + 2.0 − 2)dy ) ( + xy ) − (e − 0) + (e − y ) − (e − 0) + xy − y y ) Phương trình vi phân cấp 1- PT vp tồn phần Cách 2: Tìm hàm U(x,y) cho U x = e x + y + y (1) ′ U ′ = e x + y + x − (2) y Từ (1): U = e x + y + y.x + C1 ( y ) x+ y + x y − y + C2 ( x) Từ (2): U = e So sánh đẳng thức trên, ta U =e x+ y + xy − y + C e x + y + xy − y = C Vậy NTQ pt cho Phương trình vi phân cấp 1- PT vp tồn phần Ví dụ: Tìm NTQ pt ( y + )dx + ( x − ) dy = x y Kiểm tra điều kiện để pt ptvp tồn phần Tìm hàm U(x,y) cho U x = y + ′ x Đạo hàm theo x y nguyên hàm xy Đh theo x x nguyên hàm − x Suy U = xy − x Lấy đh U theo y so sánh với Q = x − y Phương trình vi phân cấp 1- PT vp tồn phần Ta thấy thiếu nguyên hàm − y Thêm nguyên hàm y Suy : U = xy − + x y Thử lại cách lấy đạo hàm U theo x (so sánh với P) theo y (so sánh với Q) Vậy NTQ pt cho xy − + = C x y Phương trình vi phân cấp 1- PT vp tồn phần Bài tập: Tìm NTQ nghiệm riêng pt 1.( x + y )dx + ( x − y )dy = 2.(e x + y + sin y ) dx + (e y + x + x cos y ) dy = π y cos xdx + sin xdy = cos xdx, y ( ) = 2 4.(3 y − x) dx + y ( y − x) dy = Biết nhân vế phương trình với hàm h = h( x + y ) ta ptvp tồn phần Phương trình vi phân cấp1 Bài tập: Nhận dạng giải pt sau ′ = y2 + 2x2 1.xyy 2.xy′ = xe y x +y e2 x 3.e tgydx = dy x −1 y′ = x − y 5.( x + y − 4) dy + ( x + y − 2) dx = y′ cos x + y = − sin x 1+ x y′( x + y ) = y 8.4 xy′ + y = −e x x y Phương trình vi phân cấp1 y ln y + y′ x + = ′ = e x+ y + e x− y 10 y 11.( x + x y + y )dx + xy ( x + y )dy = 12.(2 x + y + 1)dx + ( x + y − 1)dy = xy 13 y′ + = arcsin x + x 1− x 14 y = xy′ + y′ ln y 2 15 ydx + ( x + x y )dy = 16 y′ = − xy 2 2 Phương trình vi phân cấp1 17.( x ln y - x )y ¢ = y 18.y ¢ sin y + 2y = xy ¢ x y2 19.y ¢ = xy + y ¢ 2x y arctgx 20 =4 y 1+ x 1+ x 21.( y + 2y + x )y ¢+ x = cos y - sin y - 22.y ¢ = cos x - sin x + 23.3 y sin(3 y )dx + ( y - xs in(3 y )dy = x x x+ y 24.y ¢ = x- y Phương trình vi phân cấp1 25.2 xdx = ( x + y - 2y )dy y y2 26.y ¢= x- x- 27.y ¢+ y = e x y y 28.y ¢= x ln x x ln x 29.(e x sin y + x )dx + (e x cos y + y )dy = 30.2( x + y )y ¢= ( x + y )2 + ¢- y = 3e x y 31.y 32.(1+ x )y ¢+ xy = (1 + x )3 Phương trình vi phân cấp1 34.(2 x y ln y - x )y ¢ = y 35.y cos xdx + sin xdy = cos xdx 36.e y dx + ( xe y - 2y )dy = 37.y ¢ + x + y = acr sin x 38.y ¢- 2ytgx + y sin2 x = 39.x y ¢- y - xy = x ... dv (1) m = mg − α v ¬ → m = mg − α dt dt dt Ta gọi ptvp cấp (chứa đạo hàm cấp s”) Phương trình vi phân cấp 1? ?? Khái niệm chung Định nghĩa 1: Phương trình vi phân phương trình chứa đạo hàm vi phân. .. xy′ f (t )dt = ⇔ f ( x) = ⇔ y = y − xy′ ∫ y y x Ta gọi phương trình vi phân cấp 1 (phương trình chứa đạo hàm cấp y’) Phương trình vi phân cấp 1? ?? Khái niệm chung Bài tốn 2: Một vật khối lượng m rơi... 1) dy = xy 13 y′ + = arcsin x + x 1? ?? x 14 y = xy′ + y′ ln y 2 15 ydx + ( x + x y )dy = 16 y′ = − xy 2 2 Phương trình vi phân cấp1 17 .( x ln y - x )y ¢ = y 18 .y ¢ sin y + 2y = xy ¢ x y2 19 .y ¢ =