i LỜI CAM ĐOAN Tên Cao Trần Tứ Hải, tác giả luận án tiến sĩ: “Tính tốn đối đồng điều toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương” hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Bằng danh dự mình, tơi xin cam đoan cơng trình tơi nghiên cứu thực hiện, khơng có phần chép bất hợp pháp từ cơng trình nghiên cứu tác giả khác Những kết luận án mà khơng trích dẫn kết tơi nghiên cứu Tất giúp đỡ cho việc thực luận án cảm ơn thơng tin trích dẫn luận án ghi rõ nguồn gốc Người cam đoan Cao Trần Tứ Hải ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức kết 0.1 0.2 0.3 12 Nhóm Lie đại số Lie - Đối đồng điều đại số Lie 12 0.1.1 Nhóm Lie Đại số Lie 12 0.1.2 Các kiểu đại số Lie 13 0.1.3 Đối đồng điều đại số Lie 15 Đại số Lie toàn phương đối đồng điều 17 0.2.1 Khái niệm đại số Lie toàn phương 17 0.2.2 Tích super-Poisson tính tốn đối đồng điều đại số Lie tồn phương 19 Siêu đại số Lie toàn phương đối đồng điều 19 0.3.1 Khái niệm siêu đại số Lie siêu đại số Lie tồn phương 19 0.3.2 Tích super Z × Z2 −Poisson siêu đại số ngồi đối đồng điều siêu đại số Lie toàn phương 21 Chương Các lớp đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất số chiều đối chiều thấp tính toán đối đồng điều 23 1.1 Phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều 24 1.1.1 Mở rộng đại số Lie đạo hàm đồng dạng tỉ lệ 24 1.1.2 Mô tả lớp Lie(n + 1, n) 25 1.1.3 Bài toán phân loại Lie(n + 1, n) 28 1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất đối chiều 32 iii 1.3 1.2.1 Bài toán wild 32 1.2.2 Mô tả lớp Lie(n + 2, n) 33 1.2.3 Bài toán phân loại Lie(n + 2, n) 35 1.2.4 Một lớp đặc biệt Lie(n + 2, n) 38 Tính tốn đối đồng điều đại số Lie có đại số dẫn xuất thấp chiều đối chiều thấp 1.4 46 1.3.1 Số Betti lớp đại số Lie giải có ideal dẫn xuất chiều 46 1.3.2 Số Betti lớp đại số Lie Kim cương tổng quát 51 Kết luận Chương 55 Chương Vài lớp đại số Lie toàn phương giải tính tốn đối đồng điều 2.1 2.2 56 Mở rộng kép, mở rộng T ∗ tốn phân loại đại số Lie tồn phương giải theo số chiều 56 2.1.1 Mở rộng kép mở rộng T ∗ 56 2.1.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải theo số chiều 58 Phân loại đạo hàm phản xứng đại số Lie tồn phương giải có số chiều ≤ 62 2.3 Mơ tả đối đồng điều đại số Lie tồn phương giải thấp chiều 66 2.4 Số Betti thứ hai đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan 69 2.4.1 Đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan 69 2.4.2 Tính tốn số Betti thứ hai đại số Lie toàn phương lũy 2.5 linh kiểu Jordan 70 Kết luận Chương 82 Chương Vài lớp siêu đại số Lie toàn phương giải tính tốn đối đồng điều 3.1 83 Một số công cụ phương pháp cần thiết cho tốn phân loại siêu đại số Lie tồn phương tính tốn đối đồng điều 84 Quỹ đạo phụ hợp đại số Lie symplectic sp(2n) 84 3.1.1 iv 3.1.2 Mở rộng kép mở rộng kép tổng quát siêu đại số Lie toàn phương 88 3.2 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân 91 3.3 Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân với phần chẵn chiều 94 3.4 Đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương bản106 3.5 Kết luận Chương 111 KẾT LUẬN 112 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ⊕ : Tổng trực tiếp ⊗, ∧ : Tích tenxơ tích ngồi ad, ad∗ : Biểu diễn phụ hợp biểu diễn đối phụ hợp I⊥ : Thành phần trực giao I ⊕ : Tổng trực tiếp trực giao End(g) : Không gian biến đổi tuyến tính g C, R : Trường số phức, trường số thực Tθ∗ (g) : Mở rộng T ∗ X∗ : Phần tử đối ngẫu X Der(g) : Không gian đạo hàm g Dera (g, B) : Không gian đạo hàm phản xứng (g, B) adg : Không gian đạo hàm g C k (g, V ) : Không gian ánh xạ k-tuyến tính phản xứng lấy giá trị V δ : Toán tử đối bờ (hay Toán tử vi phân) Z k (g, V ) : Không gian k -đối chu trình B k (g, V ) : Không gian k -đối bờ H k (g, V ) : Nhóm đối đồng điều thứ k ∼ = : Đẳng cấu đẳng cự g0 : Phần chẵn siêu đại số Lie g = g0 ⊕ g1 g1 : Phần lẻ siêu đại số Lie g = g0 ⊕ g1 Alt(g0 , C) : Khơng gian dạng đa tuyến tính phản xứng g0 Sym(g1 , C) : Không gian dạng đa tuyến tính đối xứng g1 C(g, C) : Siêu đại số ngồi {., } : Tích super-Poisson I : 3-dạng liên kết ⊥ i MỞ ĐẦU Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie (gọi chung lý thuyết Lie) khởi xướng Sophus Lie, nhà toán học Na Uy từ thập niên 70 kỷ XVIII phát triển nhiều nhà toán học giới suốt kỷ XIX đầu kỷ XX Felix Klein, Friedrich Engel, Wilhelm Killing, Elie Cartan, Hermann Weyl, Ngày nay, lý thuyết Lie phát triển đáng kể có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực Toán học, Cơ học, Vật lý Kinh tế, Tài Lý thuyết Lie không giải nhiều vấn đề liên quan đến Hình học, Tơpơ, Phương trình Vi phân, Cơ học, Vật lý, mà cịn kết nối Tốn học lý thuyết với giới thực, đặc biệt vấn đề Kinh tế xã hội Chính thế, lý thuyết Lie trở thành lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu giới Tốn học giới Cũng nhờ tầm ảnh hưởng đó, tốn Lý thuyết Lie phân loại nhóm Lie đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương, tính tốn đối đồng điều chúng ln nhận quan tâm cộng đồng tốn học Nhóm Lie nhóm đồng thời đa tạp khả vi, phép tốn nhóm tương thích với cấu trúc khả vi Trong q trình nghiên cứu “nhóm phép biến đổi vô bé” (theo thuật ngữ ban đầu Lie) nhóm Lie, đại số Lie đời Trong lý thuyết Lie, điều thú vị là, có tương ứng 1-1 tập nhóm Lie liên thơng đơn liên tập hợp đại số Lie Do đó, phép phân loại lớp nhóm Lie liên thơng đơn liên có “bản phân loại” lớp tương ứng đại số Lie ngược lại Tùy vào tình cụ thể, ta tiếp cận tốn lớp nhóm Lie hay lớp đại số Lie tương ứng Trong luận án này, chúng tơi tiếp cận tốn phân loại lớp đại số Lie Theo định lý Levi - Malshev, đại số Lie hữu hạn chiều trường có đặc số khơng phân tích thành tích nửa trực tiếp đại số nửa đơn ideal giải (xem tài liệu Levi [103] năm 1905 Malshev [67] năm 1945) Từ đó, tốn phân loại đại số Lie tổng quát quy phân loại đại số Lie nửa đơn đại số Lie giải Thật may mắn toán phân loại đại số Lie nửa đơn giải triệt để Cartan [101] năm 1894 (trên C) Gantmacher [48] năm 1939 (trên R) Bởi vậy, người ta cịn phải xét tốn phân loại đại số Lie giải Khác với trường hợp đại số Lie nửa đơn, việc phân loại lớp đại số Lie giải khó khăn nhiều tốn mở lớn Các phân loại làm cho vài trường hợp riêng lớp lớp đại số Lie giải Như ta biết, cách phổ biến để phân loại đại số Lie giải phân loại phần mở rộng giải lũy linh (nilradical) Tức là, bắt đầu với đại số Lie lũy linh sau phân loại đại số Lie giải nhận đại số Lie lũy linh nilradical Phương pháp khởi xướng Mubarakzyanov vào năm 1963 báo [71, 72] ông phân loại đại số Lie giải chiều trường có đặc số khơng Sử dụng phương pháp, Mubarakzyanov [73] Turkowski [94] phân loại xong đại số Lie giải chiều Tiếp theo đó, kết Shabanskaya Thompson [86, 91] Ndogmo Winternitz [109, 76] cho thấy phương pháp mở rộng hiệu việc phân loại đại số Lie giải chiều hữu hạn tùy ý Nhắc lại rằng, tốn phân loại gọi wild hay có tính chất wild (tạm dịch hoang dã hay vơ vọng) chứa tốn phân loại cặp ma trận vuông cấp n (n số nguyên dương tùy ý) sai khác tương đương đồng dạng (xem [31], [32]) Theo Belitskii Sergeichuk [17, Section 1], việc phân loại triệt để cặp ma trận vuông cấp n (n số nguyên dương tùy ý) theo quan hệ đồng dạng giải Nói cách khác, tốn wild khơng thể giải Các báo [15], [16], [24], [17], [47], [90] nhiều tài liệu tham khảo chúng dẫn hàng loạt tốn phân loại có tính chất wild Chẳng hạn, Belitskii cộng [15, Theorem 4] năm 2009 trường đóng đại số đặc số khác 2, tốn phân loại đại số Lie lũy linh bậc với đại số dẫn xuất chiều có tính chất wild Bởi thế, toán phân loại đại số Lie lũy linh wild Vì lớp đại số Lie giải chứa lớp đại số Lie lũy linh nên toán phân loại đại số Lie giải đương nhiên wild Vì tính phức tạp tính chất wild toán phân loại đại số Lie giải được, người ta thường tìm cách thu hẹp lớp đối tượng cần phân loại để dễ kiểm soát đồng thời để tính wild bị phá vỡ Có ba cách tiếp cận để thu hẹp đối tượng phân loại Thứ cách phân loại theo số chiều (tức cố định số chiều đại số Lie cần phân loại) Thứ hai cách phân loại theo cấu trúc (tức bổ sung thêm cấu trúc hay vài tính chất đặc biệt cho lớp đại số Lie cần phân loại) Thứ ba phối hợp hai cách trên, tức vừa cố định số chiều vừa bổ sung cấu trúc môt cách hợp lý để phân loại Về hướng thứ phân loại theo số chiều, nhiều thập kỷ qua, dường người ta khơng thể vượt qua số chiều khối lượng tính tốn trở nên khổng lồ, hỗ trợ phần mềm tính tốn chuyên dụng Sẽ khả thi tiếp cận toán phân loại đại số Lie giải theo hướng thứ hai thứ ba, tức bổ sung cấu trúc phối hợp việc cố định số chiều lẫn bổ sung cấu trúc Trong luận án này, theo hướng thứ ba, tức bổ sung cấu trúc thích hợp đồng thời phối hợp với hướng cố định số chiều cách hợp lý Trước hết, xét lớp đại số Lie giải với tính chất bổ sung số chiều số đối chiều đại số (hay ideal) dẫn xuất cố định trước Cụ thể, ta ký hiệu Lie(n, k) (n, k số tự nhiên, < k < n) lớp đại số Lie thực giải n chiều với ideal dẫn xuất k chiều Vài thập niên gần đây, toán phân loại lớp Lie(n, k) với k = 1, nhà toán học quan tâm nghiên cứu rộng rãi Năm 1993, lớp Lie(n, 1) phân loại hoàn toàn bi Schăobel bi bỏo [84] Lp ny ch bao gồm đại số Lie affine thực, đại số Lie Heisenberg thực mở rộng tầm thường chúng đại số Lie giao hoán Từ năm 1993 năm 2010, lớp Lie(n, 2) phân loại [84], [42] [56] Cho đến đầu năm 2022 này, nhờ dùng công thức để xác định số chiều cực đại đại số giao hoán đại số Lie ma trận Schur [89] Jacobson [55], lớp Lie(n, 2) đươc liệt kê phân loại đầy đủ [66] Bài toán phân loại lớp Lie(n, k) với ≤ k ≤ n − chưa giải Trong luận án này, toán phân loại đại số Lie thực giải được, quan tâm nghiên cứu lớp đại số Lie thực giải với đại số dẫn xuất thấp chiều đối chiều thấp đạt số kết khả quan Đầu tiên kết phân loại triệt để lớp Lie(n + 1, n) đại số Lie thực giải n + chiều với đại số dẫn xuất n chiều (tức đối chiều 1) thông qua đối đồng điều thứ đại số dẫn xuất ứng với biểu diễn phụ hợp (Định lý 1.1) Tiếp đến khẳng định phân loại lớp Lie(n + 2, n) đại số Lie thực giải n + chiều với đại số dẫn xuất n chiều (tức đối chiều 2) toán wild (Định lý 1.2) Sau kết phân loại triệt để lớp đặc biệt lớp Lie(n + 2, n) tính chất wild bị phá vỡ (Định lý 1.3) Mặt khác, theo hướng cấu trúc, gần xuất đối tượng đại số Lie giải với cấu trúc bổ sung dạng song tuyến tính khơng suy biến bất biến tích Lie Chúng gọi đại số Lie toàn phương (dịch từ thuật ngữ tiếng Anh “quadratic Lie algebras”) Việc xét cấu trúc song tuyến tính bổ sung gợi ý từ dạng Killing Giả sử g đại số Lie (trên trường đó) Dạng Killing K g xác định K (X, Y ) = tr (adX ◦ adY ) với X, Y ∈ g Hiển nhiên dạng Killing K dạng song tuyến tính, đối xứng g đặc biệt bất biến tích Lie g, tức K ([X, Y ] , Z) = K (X, [Y, Z]) với X, Y, Z ∈ g Nếu g nửa đơn, K thỏa mãn tính chất khơng suy biến (Tiêu chuẩn Cartan) Nhờ dạng Killing với tính chất lý thú kể trên, nhiều toán liên quan đến đại số Lie nửa đơn giải quyết, chẳng hạn toán phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) sp(2n) giải trọn vẹn nhờ tính chất bất biến khơng suy biến dạng Killing (xem [28], Định lý Kostant-Morosov để biết thêm chi tiết) Tuy nhiên tiếc, g giải được, dạng Killing lại suy biến Một cách tự nhiên nảy sinh câu hỏi: Tồn hay đại số Lie giải mà xuất dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến không suy biến Câu trả lời khẳng định Ta xét ví dụ, xem mở đầu cho lớp đại số Lie tồn phương, đại số Lie Kim cương phức (trên C) g := span {X, P, Q, Z} với tích Lie cho bởi: [X, P ] := P, [X, Q] := −Q [P, Q] := Z Trên g ta định nghĩa dạng song tuyến tính đối xứng B xác định sau: B (X, Z) = B (P, Q) := 1, trường hợp khác không Dễ thấy B dạng song tuyến tính, đối xứng, bất biến không suy biến Nghĩa g trở thành đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến B Một ví dụ khác, xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g∗ g với không gian đối ngẫu g∗ biểu diễn đối phụ hợp ad∗ sau: [X, Y ]h := [X, Y ]g , [X, f ] := ad∗ (X)(f ), [f, g] := 0; X, Y ∈ g; f, g ∈ g∗ Trên h, ta xét dạng song tuyến tính B xác định sau: B (X + f, Y + g) := f (Y ) + g(X) với X, Y ∈ g f, g ∈ g∗ Khi B dạng song tuyến tính, đối xứng, bất biến khơng suy biến h Như h trở thành đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến B Chính ví dụ dẫn đến khái niệm đại số Lie toàn phương (đại số Lie mà tồn dạng song tuyến tính đối xứng, khơng suy biến bất biến) Lớp đại số Lie tồn phương xem lớp tổng quát hóa lớp đại số Lie nửa đơn với dạng song tuyến tính đối xứng khái quát từ dạng Killing Những câu hỏi xoay quanh đại số Lie toàn phương đặt từ lâu gần nhà toán học quan tâm nghiên cứu xuất nhiều công cụ dành cho chúng ( xem, chẳng hạn [107], [58], [44] [25]), đặc biệt sau phát mối liên hệ chặt chẽ đại số Lie toàn phương với số toán thuộc lĩnh vực Vật lý (xem [45], [29] tài liệu trích dẫn đó) Các đại số Lie tồn phương tổng qt lên cho khái niệm siêu đại số Lie toàn phương (xem [18]) Từ vài thập niên gần đây, toán phân loại đại số Lie toàn phương siêu đại số Lie toàn phương bắt đầu thu hút ý nhiều nhà toán học Gần phải kể đến cơng trình [14], [62], [29], [37], [20] [40] Bởi thế, chúng tơi có sở để tiếp tục nghiên cứu tốn phân loại có tính thời nhiều ý nghĩa khoa học 111 3.5 Kết luận Chương Tóm lại, Chương luận án giải vấn đề ❼ Về toán phân loại siêu đại số Lie toàn phương: Đã phân loại triệt để lớp siêu đại số Lie toàn phương giải bất khả phân chiều lớp siêu đại số Lie giải bất khả phân chiều với phần chẵn chiều ❼ Về tính tốn đối đồng điều: Đã tính tốn tường minh đối đồng điều thứ thứ hai lớp siêu đại số Lie toàn phương Như vậy, ta cần tiếp tục nghiên cứu số vấn đề mở ❼ Tiếp tục nghiên cứu toán phân loại lớp siêu đại số Lie toàn phương giải theo số chiều cao Nghiên cứu số đối tượng đặc biệt lớp đại số Lie tồn phương ❼ Nghiên cứu thêm tính chất vai trò đối đồng điều việc nghiên cứu siêu đại số Lie toàn phương Xây dựng số lớp siêu đại số Lie tồn phương tính tốn đối đồng điều cơng thức tổng quát 112 KẾT LUẬN Nhìn lại cách tổng thể, thấy rõ đối tượng nghiên cứu đề tài đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương tính tốn đối đồng điều chúng Các đối tượng rộng lớn thuộc lĩnh vực giao thoa Hình học-Tơpơ Đại số Luận án thu hẹp phạm vi nghiên cứu bao gồm vấn đề cụ thể ❼ Vấn đề thứ nhất: Nghiên cứu phân loại lớp các đại số Lie thực giải chiều hữu hạn tùy ý với ideal dẫn xuất thứ thấp chiều đối chiều thấp, đồng thời mơ tả, tính tốn đối đồng điều lớp đại số Lie phân loại ❼ Vấn đề thứ hai: Giới thiệu vài lớp đại số Lie toàn phương đặc biệt, đồng thời mô tả đối đồng điều chúng ❼ Vấn đề thứ ba: Nghiên cứu phân loại vài lớp siêu đại số Lie toàn phương giải số chiều thấp, đồng thời tính tốn cụ thể đối đồng điều vài lớp đặc biệt siêu đại số Lie toàn phương Để thực đề tài, chúng tơi sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp từ cơng trình có tính tảng kinh điển cơng trình gần vấn đề liên quan; học tập kỹ thuật tác giả với cải tiến thích hợp Cụ thể, ngồi số phương pháp bản, kinh điển Đại số tuyến tính Hình học vi phân, chúng tơi sử dụng phát triển, cải tiến cách thích hợp kỹ thuật phương pháp ❼ Phương pháp mở rộng đại số Lie đạo hàm Phương pháp cải tiến cho mở rộng đại số Lie cặp đạo hàm cho phù hợp với toán phân loại đại số Lie với đại số dẫn xuất đối chiều ❼ Phương pháp tính tốn đối đồng điều đại số Lie giải toán tử vi phân kết hợp cơng cụ đại số ngồi ❼ Phương pháp mở rộng kép mở rộng T ∗ toán phân loại đại số Lie toàn phương Đồng thời, hai cơng cụ khái qt hóa lên cho siêu đại số Lie toàn phương khái niệm mở rộng kép khái quát lên thành mở rộng kép tổng quát 113 ❼ Phương pháp mô tả đối đồng điều cách tính trực tiếp tốn tử đối bờ phương pháp mở rộng đại số Pouseele Đối với đại số Lie toàn phương siêu đại số Lie tồn phương, việc tính tốn đối đồng điều cịn tính tốn thơng qua mơ tả khơng gian đạo hàm phản xứng (cho trường hợp đối đồng điều thứ hai) tích super-Poisson giới thiệu Pinzon Ushirobira Áp dụng, cải tiến phát triển phương pháp lựa chọn, Luận án đạt mục tiêu đề thể qua kết (1) Phân loại triệt để lớp đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất đối chiều Chứng tỏ toán phân loại lớp đại số Lie thực giải với ideal dẫn xuất đối chiều wild phân loại lớp đặc biệt lớp tính wild bị phá vỡ Mơ tả tất đối đồng điều với hệ số trường sở đại số Lie giải có ideal dẫn xuất chiều đại số Lie Kim cương tổng qt (2) Tính tốn tường minh toàn số Betti tất đại số Lie tồn phương giải có số chiều bé phân loại [41] (3) Mô tả tường minh không gian đạo hàm phản xứng Dera (g, B) với (g, B) đại số Lie tồn phương giải có số chiều khơng vượt q Từ suy nhóm đối đồng điều thứ hai chúng (4) Tính tốn đối đồng điều thứ hai đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan Chú ý đến kiện đại số Lie toàn phương kỳ dị lũy linh đẳng cấu đẳng cự với tích trộn đại số Lie lũy linh kiểu Jordan (xem [38]), kết hướng tới cho phép giải triệt để tốn tính đối đồng điều đại số Lie toàn phương kỳ dị lũy linh (5) Phân loại lớp siêu đại số Lie toàn phương giải bất khả phân chiều lớp siêu đại số Lie toàn phương giải bất khả phân chiều với phần chẵn chiều (6) Mô tả nhóm đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương phân loại [39] Điều cho phép liệt kê toàn mở 114 rộng kép giúp cung cấp nhiều thơng tin cho tốn phân loại siêu đại số Lie tồn phương Từ kết đạt Luận án, đề xuất số vấn đề gợi mở thực sau đề tài ❼ Tiếp tục nghiên cứu toán phân loại đại số Lie giải với đại số dẫn xuất có số chiều cho trước, đồng thời tính tốn đối đồng điều chúng ❼ Nghiên cứu thêm tính chất vai trò đối đồng điều nghiên cứu đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương ❼ Xây dựng thêm số lớp đại số Lie, đại số Lie tồn phương siêu đại số Lie tồn phương tính tốn đối đồng điều cơng thức tổng quát ❼ Nghiên cứu số đối tượng đặc biệt lớp đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie tồn phương vai trị nhóm đối đồng điều đối tượng ❼ Tiếp tục nghiên cứu toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được, siêu đại số Lie toàn phương giải theo số chiều cao đồng thời nghiên cứu toán phân loại đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương dựa theo số đặc trưng khác kỳ dị, lũy linh, Chúng hy vọng tiếp tục đầu tư nghiên cứu hy vọng sớm đạt kết khả quan tương lai không xa 115 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2015), “Số Betti không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải số chiều ≤ 7”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 5(70), tr 86-96 Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2016), “Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 12 (90), tr 162-174 Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2019), “Số Betti thứ hai đại số Lie lũy linh kiểu Jordan”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM số 16 (16), tr 877-890 Le Anh Vu, Ha Van Hieu, Nguyen Anh Tuan, Cao Tran Tu Hai, Nguyen Thi Mong Tuyen (2016), “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits”, Revista de la UMA, Vol 57, no 2, 119-143 Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2017), “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 19 , no 1, 32-42 Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2018), “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 20, no 2, 188-201 Le Anh Vu, Cao Tran Tu Hai, Duong Quang Hoa, Nguyen Anh Tuan, Vo Ngoc Thieu (2022), “On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras”, Communications in Algebras, Vol 50, no 9, 3775–3793 116 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dương Minh Thành (2013), “Nhóm đối đồng điều H (g, C) đại số Lie toàn phương bản”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 47 (81), tr 25 – 36 [2] Cao Trần Tứ Hải, Dương Minh Thành (2015), “Số Betti không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương giải số chiều ≤ 7”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số (70), tr 86-96 [3] Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2016), “Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 12 (90), tr 162-174 [4] Cao Trần Tứ Hải Dương Minh Thành (2019), “Số Betti thứ hai đại số Lie lũy linh kiểu Jordan” Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM số 16 (16), tr 877-890 [5] “ Cao Trần Tứ Hải, Lê Anh Vũ Dương Minh Thành (2016), “Nhóm đối đồng điều thứ thứ hai siêu đại số Lie toàn phương bản”, Kỷ yếu số Hội thảo Khoa học cho Học viên cao học Nghiên cứu sinh, Trường ĐHSP TP.HCM [6] H Albuquerque, E Bareiro and S Benayadi (2010), “Odd-quadratic Lie superalgebras”, J of Geo and Phys 60 (2), 230-250 [7] G F Armstrong, G Cairns and B Jessup (1997), “Explicit Betti numbers for a family of nilpotent Lie algebras”, Proc Amer Math Soc 125, 381-385 [8] D.V.Alekseevsky, J.Grabowski, G.Marmo, P.W.Michor (1998), “Poisson structures on double Lie groups”, J.Geom.Phys 26, 340-379 117 [9] W Bai, W Liu (2017), “Cohomology of Heisenberg Lie Superalgebras”, J of Math Physics 58 021701 [10] I Bajo, S Benayadi (2007), “Lie algebras with quadratic dimension equal to 2”, J Pure Appl Algebra 209 (3), 725–737 [11] I Bajo, S Benayadi (1997), “Lie algebras admitting a unique quadratic structure,” Commun, Algebra 25(9), 2795–2805 [12] I Bajo, S Benayadi, and M Bordemann (2007), “Generalized double extension and descriptions of quadratic Lie superalgebras”, arXiv:0712.0228v1 [13] I Bajo, S Benayadi and A Medina (2007), “Symplectic structure on quadratic Lie algebra”, J of Algebra 316 (1), 174-188 [14] H Baum and I Kath (2003), “Doubly extended Lie groups – curvature, holonomy and parallel spinors”, Differential Geom Appl 19, no 3, 253 – 280 [15] G R Belitskii, A R Dmytryshyn, R Lipyanski, V V Sergeichuk, A Tsurkov(2009), “Problems of classifying associative or Lie algebras over a field of characteristic not two and finite metabelian groups are wild”, Electron J Linear Algebra 18 516–529 [16] G R Belitskii, R Lipyanski, V V Sergeichuk (2005), “Problems of classifying associative or Lie algebras and triples of symmetric or skew-symmetric matrices are wild”, Linear Algebra Appl 407 249–262 [17] G R Belitskii, V V Sergeichuk (2003), “Complexity of matrix problems”, Linear Algebra Appl 361 203–222 [18] H Benamor and S Benayadi (1999), “Double extension of quadratic Lie superalgebras”, Comm in Algebra 27(1), 67 – 88 [19] S Benayadi and A Elduque, “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension”, arXiv:1404.5174v1 [math.RA] 118 [20] S Benayadi and A Elduque (2014), “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension”, J of Math Physics, Vol 55, Issue [21] H Benamor, G Pinczon (1989), “The graded Lie algebra structure of Lie superalgebra deformation theory”, Lett Math Phys 18 (4), 307–313 [22] S Benayadi (2003), “Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras”, J Algebra 261 (2), 245–291 [23] L Boza , E M Fedrian , J Nunez, A F Tenorio (2013), “A historical review of the classifications of Lie algebras”, Rev Un Mat Argentina, 54 (2), 75–99 [24] V M Bondarenko, A P Petravchuk (2019), “Wildness of the problem of classifying nilpotent Lie algebras of vector fields in four variables”, Linear Algebra Appl 568 165–172 [25] M Bordemann (1997), “Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras”, Acta Math Univ Comenianac LXVI, no 2, 151 – 201 [26] T T H Cao, M T Duong and A V Le (2017), “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 19, no 1, 32-42 [27] T T H Cao, M T Duong and A V Le (2018), “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol 20, no 2, 188-201 [28] D H Collingwood and W M McGovern (2017), Nilpotent Orbits in Semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York [29] R Campoamor-Stursberg (2008), “Quasi-classical Lie algebras and their contractions”, Int J Theor Phys 47, no 2, 583 – 598 [30] N D Do, Methods of Noncommutative Geometry for Groups C ∗ -algebras, Chapman & Hall/Research Notes in Math Series, Vol 416, Boca-Raton Florida, New York-Cambridge-London 119 [31] P Donovan, M R Freislich (1972), “Some evidence for an extension of the Brauer–Thrall conjecture”, Sonderforschungsbereich Theor Math 40 24–26 [32] P Donovan, M R Freislich (1973), The representation theory of finite graphs and associated algebras, Carleton Lecture Notes 5, Ottawa [33] V.G.Drinf’d (1983), “Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Baxter equations”, Soviet Math Dokl 27 (1), 68-71 [34] V.G.Drinf’d (1986), Quantum groups, in: Proc ICM, vol 1, Berkeley, 789-820 [35] M T Duong (2013), “Two-step nilpotent quadratic Lie algebras and 8-dimensional non-commutative symmetric Novikov algebras”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 41 (2), 135-148 [36] M T Duong (2014), “A classification of solvable quadratic and odd quadratic Lie superalgebras in low dimensions”, Revista de la Unión Matemática Argentina, 55, No 1, 119–138 [37] M T Duong (2014), “The Betti number for a family of solvable Lie algebras”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 40, Issue 2, 735–746 [38] M T Duong, G Pinczon, and R Ushirobira (2012), “A new invariant of quadratic Lie algebras”, Alg and Rep Theory 15 (6), 1163-1203 [39] M T Duong and R.Ushirobira (2014), “Singular quadratic Lie superalgebras”, J of Algebra 407, 372–412 [40] M T Duong and R.Ushirobira (2014), “Jordanian double extensions of a quadratic vector space and symmetric Novikov algebras”, arXiv:1012.5556 [math-ph] [41] M T Duong and R.Ushirobira (2014), “Solvable quadratic Lie algebras of dimension ≤ 8”, arXiv:1407.6775v1 [42] P Eberlein (2003), “The moduli space of 2-step nilpotent Lie algebras of type (p, q)”, in: J Bland, K-T Kim, S G Krantz (Eds.), Contemporary Mathematics 120 332 (Explorations in Complex and Riemannian Geometry), AMS, Providence, Rhode Island, pp 37–72 [43] Fisher, D J., Gray, R J., Hydon, P E (2013) “Automorphisms of real Lie algebras of dimension five or less”, J Phys A: Math Theor 46(22):225204 (18pp) [44] G Favre and L J Santharoubane (1987), “Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra”, J Algebra 105, 451–464 [45] J M Figueroa-O’Farrill and S Stanciu (1996), “On the structure of symmetric self-dual Lie algebras”, J Math Phys 37, 4121–4134 [46] D.B.Fuchs, D.A.Leites (1984), “Cohomology of Lie superalgebras”, Dokl.Bolg Akad Nauk 37 (10), 1294-1296 [47] V Futorny, T Klymchuk, A P Petravchuk, V V Sergeichuk, “Wildness of the problems of classifying two-dimensional spaces of commuting linear operators and certain Lie algebras”, Linear Algebra Appl 536 (2018) 201–209 [48] F R Gantmacher (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb Math., (2), 217–250 [49] M Gerstenhaber (1961), “Dominance over the classical groups”, Ann of Math 74 (3) 532–569 [50] M P Gong (1998),Classification of Nilpotent Lie algebras of Dimension (Over Algebraically Closed Fields and R), PhD Thesis, University of Waterloo, Ontario, Canada [51] W.A de Graaf (2005), “Classification of solvable Lie algebras”, Experimental Mathematics, 14:1, 15–25 [52] J Humphreys (1995), “Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups”, Math Surveys Monogr., vol 43, American Mathematical Society [53] Jacobson N., “A note on automorphisms and derivations of Lie algebras”, Proc Amer Math Soc., (1955), 281–283 121 [54] N Jacobson (1962), Lie Algebras, Dover, New York [55] N Jacobson (1944), “Schur’s Theorem on commutative matrices”,Bull Amer Math Soc 50 (6) 431–436 [56] T Janisse (2010), “Classification of finite dimensional Lie algebras with derived algebras having dimension or 2”, Technical Reports 10-04, University of Windsor, Windsor, Ontario [57] V Kac (1977), A sketch of Lie superalgebra theory, Commun Math Physics, 53 31—64 [58] V Kac (1985), Infinite-dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York [59] A A Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg [60] I Kath and M Olbrich (2004), “Metric Lie algebras with maximal isotropic centre”, Math Z 246, 23–53 [61] I Kath and M Olbrich (2006), “Metric Lie algebras and quadratic extensions, Transform, Groups” 11 , no 1, 87 – 131 [62] I Kath (2007), “Nilpotent metric Lie algebras of small dimension”, J Lie Theory 17, no 1, 41 – 61 [63] A V Le (1992), “On the foliations formed by the generic K-orbits of the MD4groups”, Acta Math Vietnam., 15 (2), 39–55 [64] A V Le, V H Ha, A T Nguyen, T T H Cao, T M T.Nguyen (2016), “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits”, Rev Un Mat Argentina 57 (2) 119–143 122 [65] A V Le, T T H Cao, Q H Duong, A T Nguyen, N T Vo (2022), “ On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras”, Communications in Algebras, Vol 50, no 9, 3775–3793 [66] A V Le, A T Nguyen, T C T Nguyen, T M T Nguyen, N T Vo (2020), “Applying matrix theory to classify real solvable Lie algebras having 2-dimensional derived ideals“, Linear Algebra Appl 588 282–303 [67] Malcev A I (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv Ross Akad Nauk Ser Mat., (5), 329–356 [68] L Magnin (2010), “Determination of 7-dimensional indecomposable Lie algebras by adjoining a derivationto 6-dimensional Lie algebras”, Algebr Represent Theory 13, 723–753 [69] I.A Musson, G Pinczon, R Ushirobira (2009), “Hochschild cohomology and deformations of Clifford–Weyl algebras”, SIGMA 5, 27 [70] A Medina (1991), Structures de Poisson affines, in: P.Donato (Ed.), Symplectic Geometry and Mathematical Physics, in: Progress in Mathematics, Birkhaser [71] G M Mubarakzyanov (1963), “On solvable Lie algebras”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat 114–123 [72] G M Mubarakzyanov, “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat (1963) 99–106 [73] Mubarakzyanov, G M (1963), “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with a non-nilpotent basis element”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat 4:104– 116 [74] A Nijenhuis, R.W Richardson (1966), “Cohomology and deformations in graded Lie algebras”, Bull Amer Math Soc 72, 1–29 [75] Nguyen, A T., Le, A V., Vo, N T (2021), “Testing isomorphism of complex and real Lie algebras”, 14pp https://arxiv.org/abs/2102.10770arXiv:2102.10770 123 [76] Ndogmo, J C., Winternitz, P (1994) “Solvable Lie algebras with Abelian nilradicals”, J Phys A Math Gen 27:405–423 [77] A Ooms (2009), “Computing invariants and semi-invariants by means of Frobenius Lie algebras”, J.Algebra 4, 1293–1312 [78] M Postnikov,Lectures in Geometry Semester V: Lie Groups and Lie Algebras, Mir Publishers, Moskow , First published 1986, Revised from the 1982 Russian edition [79] T D Pham, M T Duong, A V Le (2012), “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”, East-West J of Math 14 (2) 208-218 [80] G Pinczon and R Ushirobira (2012), “New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology”, J Lie Theory 17 (3), 633 – 668 (2007) [81] H Pouseele (2005), “On the cohomology of extensions by a Heisenberg Lie algebra”, Bull Austral.Math Soc 71, 459-470 [82] H Samelson (1980), Notes on Lie Algebras, Universitext.Springer [83] L J Santharoubane (1983), “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”, Proc Amer Math Soc 87, 23-28 [84] C Schăobel, A classification of real finite-dimensional Lie algebras with a lowdimensional derived algebra”, Rep Math Phys 33 (1-2) (1993) 175–186 [85] M Scheunert (1979), The Theory of Lie Superalgebras, Lecture Notes in Math, vol 716, Springer-Verlag, Berlin [86] Shabanskaya, A., Thompson, G (2013) “Solvable extensions of a special class of nilpotent Lie algebras”, Arch Math (Brno) 49(3):141–159 ˘ [87] L Snobl, P Winternitz (2014), “Classification and Identification of Lie Algebras”, CRM Monograph Series, Vol 33, AMS, Providence, Rhode Island, 124 [88] M.Scheunert, R.B.Zhang (1998), “Cohomology of Lie superalgebras and their generalizations”, J.Math Phy 39 (9), 5024-5061 [89] J Schur (1905), Zur Theorie vertauschbaren Matrizen, J Reine Angew Math 130 66–76 [90] V V Sergeichuk (2000), “Canonical matrices for linear matrix problems”, Linear Algebra Appl 317 53–102 [91] Shabanskaya A (2016) “Solvable indecomposable extensions of two nilpotent Lie algebras”, Comm Algebra 44(3):3626–3667 [92] M Solleveld, Lie algebra cohomology and Macdonald’s conjectures, Master’s Thesis, University of Amsterdam, September 2002 [93] Y.C.Su, R.B.Zhang (2007), “Cohomology of Lie superalgebras slm|n and osp2|2n ”, Proc London Math Soc 94 (3), 91-136 [94] Turkowski, P (1990), “Solvable Lie algebras of dimension six”, J Math Phys 31:1344–1350 [95] Turkowski, P (1992), “Structure of real Lie algebras”, Linear Algebra Appl 171:197–212 [96] F Zhu, Z Chen, Tianjin (2010), “Novikov superalgebras with A0=A1A1”, Czechoslovak Mathematical Journal, 60 (135), 903-907 [97] N Bourbaki (1958), Eléments de Mathématiques, Algèbre, Algèbre Multilinéaire, vol Fasc VII, Livre II Hermann, Paris [98] N Bourbaki (1959), de Mathématiques Algèbre, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, vol Fasc XXIV, Livre II Hermann, Paris [99] N Bourbaki (1959), Éléments de Mathématiques, Algèbre, Formes sesquilinéaires, Vol Fasc XXIV, Livre II, Hermann, Paris [100] N Bourbaki (1971), Eléments de Mathématiques Groupes et Algèbres de Lie, Chapitre I, Algèbres de Lie Hermann, Paris 125 [101] E J Cartan (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Ph.D Thesis, Nony, Paris [102] J Dixmier, “Sur les representations unitaires des groupes de Lie nilpotents III”, Canad J Math., 10 (1958), 321-348 [103] E E Levi (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad Sci Torino Cl Sci Fis Mat Natur., 40, 551–565 [104] P.A Gié (2004), Nouvelles structures de Nambu et super-théorème d’Amitsur–Levizki, Thèse de l’Université de Bourgogne, tel-00008876 [105] G M Mubarakzyanov (1963), “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., 3, 99–106 [106] A Medina and P Revoy (1984), Caractérisation des groupes de Lie ayant une pseudo-métrique bi-invariante, in : Géométrie symplectique et de contact, in : Collection Travaux en Cours, Hermann, Paris [107] A Medina and P Revoy (1985), “Algèbres de Lie et produit scalaire invariant”, Ann Sci École Norm Sup 4, 533 – 561 [108] A Medina (1985), “Groupes de Lie munis de métriques bi-invariantes“, Tôhoku Math J 37, 405–421 [109] Ndogmo, J C (1994) Sur les fonctions invariantes sous l’action coadjointe d’une algèbre de Lie résoluble avec nilradical abélien, PhD dissertation, Universit ’e of Montréal, Montréal, Quebéc, CA https://umontreal.on.worldcat.org/v2/ oclc/53598383 [110] M.S Vuong, H V Ho (1984), “Sur la structure des C ∗ -algebres d’une classe de groupes de Lie”, J Operator Theory, 11 (1), 77–90 [111] H Zassenhaus (1939), “Uber Lie’sche Ringe mit Primzahlcharacteristik ” , Abh Math Sem Univ Hamburg 13, 1-100