Đang tải... (xem toàn văn)
Project 2 1. Given the parametric equations {
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA TỐN ỨNG DỤNG BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG -oo0oo - BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH ĐỀ TÀI SỐ: 02 GVHD: Thầy Đậu Thế Phiệt Lớp: L16 Nhóm: 20 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THỰC HIỆN NGUYỄN THỊ KIM ANH 2210101 NGUYỄN ĐẠI ĐỒNG 2210780 NGUYỄN TRẦN ĐÔNG 2210777 NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN 2210944 HỒNG LÊ ĐƠNG HÀ 2210843 Tp.HCM, tháng 12 năm 2022 Lời cảm ơn Nhóm em xin phép gửi lời cảm ơn sâu sắc, chân thành đến thầy cô mơn Giải tích truyền đạt tri thức quý báu suốt thời gian chúng em làm tập Đặc biệt chúng em muốn gửi đến thầy Đậu Thế Phiệt- Một giảng viên tận tâm với nghề người thầy quan tâm đến sinh viên chúng em Nhờ giúp đỡ thầy mà nhóm chúng em hồn thành tập lớn Tuy nhiều sai sót mong Thầy góp ý nhận xét để chúng em hồn thiện Nhóm em xin chân thành cảm ơn! Trang Lời mở đầu Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triễn chia thành lĩnh vực: toán ứng dụng toán lý thuyết Trong lĩnh vực tốn ứng dụng có nhiều tốn liên quan đến việc giải phương trình vi phân, đạo hàm, vẽ đồ thị chuyển động, tìm cực trị, Chúng ta cịn ứng dụng tốn học để giải nhiều vấn đề sống đo vận tốc âm thay đổi, đo nhiệt độ theo thời gian, Những vấn đề nhóm em tổng hợp, phân tích giải đáp qua báo cáo sau Trang Mục lục Lời mở đầu Project I CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHƯƠNG PHÁP EULER 10 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI 11 Bài 11 Bài 13 Bài 14 III CODE MATHLAB 17 Tổng quan MATHLAB 17 Các lệnh sử dụng đoạn code 17 Code MATHLAB 19 IV KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN 32 KẾT QUẢ 32 KẾT LUẬN 35 V TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 Trang Project Given the parametric equations 𝑥 (𝑡 ) = 2𝑡 − 4𝑡 − { 𝑦(𝑡 ) = 𝑡 − 4𝑡 + Find a intersection of the curve and the tangents at that point Study the extrema of the curve Draw the figure You see a flash of lightning in the distance and note that the sound of thunder arrives seconds later You know that at 20◦ C sound travels at 343.4 m/sec This gives you an estimate of sec x 343.4 meters = 1717 meters sec for the distance between you and the spot where the lightning struck You also know that the velocity v of sound varies as the square root of the temperature T measured in degrees Kelvin (the Kelvin temperature = Celsius temperature + 273), so 𝑣 (𝑇) = 𝑘√𝑇 for some constant k a) Use the information given here to determine the value of k b) If your estimate of the temperature is off by degrees, how far off is your estimate of the distance to the lightning strike? How significant is this source of error likely to be in comparison with the imprecision with which you measured the second time lapse? (Suppose your uncertainty about the time is 25 seconds.) Give a clear analysis justifying your answer (a) Study the Euler method to approximate the solution of first order dif ferential equations Program a calculator or computer to use Euler’s method to compute y(1), where y(x) is the solution of the initial-value problem 𝑑𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 6𝑥 , 𝑦 = (0) = 𝑑𝑥 (i) h=1 (ii) h=0.1 (iii) h = 0.01 (iv) h =0.001 (b) Verify that 𝑦 = + 𝑒 −𝑥 is the exact solution of the differential equa tion (c) Find the errors in using Euler’s method to compute y(1) with the step sizes in part (a) Draw the figure in describing the exact solution and approximated solution in (a) Trang I CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM -Đạo hàm Giới hạn, có, tỉ số số gia hàm số số gia đối số x0, số gia đối số tiến dần tới 0, gọi đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 1.1 Ý nghĩa hình học tan = f ( x0 ) x x → x0 ( ) tan = f ( x0 ) x x x f’(x0) hệ số góc (slope) tiếp tuyến (tangent line) đường cong (C): y = f (x) tiếp điểm M(x0, f (x0)) 1.2 Ý nghĩa thực tế -Đạo hàm cấp f x0 mô tả tốc độ biến thiên f qua x0 f’(x0) xem độ thay đổi f x0 x tăng thêm đơn vị -Đơn vị tính f ' = (đơn vị f )/(đơn vị x) 1.3 Cách tính đạo hàm -Nếu f xác định biểu thức sơ cấp: dùng công thức đạo hàm quy tắc(tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp) -Nếu x0, biểu thức f’ khơng xác định: tính định nghĩa -Nếu hàm số có phân chia biểu thức x0: tính định nghĩa Nếu f(x) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) f(x) tích thương nhiều hàm: tính (lnf)’ 1.4 Đạo hàm phương trình tuyến tính Trang x(t) y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ y ′ (x) = y′ (t) x′ (t) Phương trình tiếp tuyến 𝑡 = 𝑡0 : y= y′ (t) x′ (t) (x − x(t )) + y(t ) 1.5 Kiến thức đường cong tham số x = x (t ) y = y (t ) -x, y liên hệ thông qua biến trung gian (tham số) Thể chiều đường t thay đổi Xử lý tương quan không thỏa mãn điều kiện tạo thành hàm số -Khảo sát mối liên hệ x, y dựa khảo sát hàm biến x(t) y(t) -Điều kiện xác định đường cong điều kiện xác định chung x(t) y(t) 1.6 Cực trị hàm số { 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) Bước 1: tính x’(t), y’(t) → điểm tới hạn y Bước 2: Đi qua x0 = x(t0) , y’(x) đổi dấu y đạt cực trị (theo x) x0 Giá trị cực trị y0 = y(t0) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PTVP phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm vi phân Cấp ptvp cấp cao đạo hàm ẩn hàm Nếu ẩn hàm hàm biến → PTVP thường Nếu ẩn hàm hàm nhiều biến → PTVP đạo hàm riêng Hệ PTVP hệ gồm nhiều PTVP nhiều ẩn hàm Trang Họ nghiệm phương trình : y' = y − x Có dạng: 𝑦 = 𝑥 + + 𝐶𝑒 𝑥 Họ đường cong tích phân Direction field 2.1.Các dạng phương trình vi phân cấp học Ptvp tách biến: y ' = f ( x) g ( y ) y = f ( x ) g ( y ) Cách giải dy = f ( x ) dx g ( y) Đưa tách biến: y = f ( ax + by + c ) u = ax + by + c cách giải y = u − a du = dx b bf ( u ) + a y y ' = f ( x, y ) = g x Ptvp đẳng cấp: f (tx, ty) = f ( x, y ) y y = f x cách giải y y = ux y = u x + u x Chuyển ptvp tách biến u x Trang u= Ptvp tuyến tính: y'+ p( x) y = q( x) y + p ( x ) y = q ( x ) Ptvp Bernoulli: cách giải H x = e p( x )dx ( ) q( x) H ( x)dx + C y ( x) = H ( x ) y'+ p( x) y = q( x) y y + p ( x ) y = q ( x ) y cách giải y + p ( x ) y1− = q ( x ) y u 2.2.Ứng dụng vi phân tính sai số Vi phân thường dùng để ước tính sai số, tính gần thay đổi hàm số tương ứng với biến thiên biến số Xấp xỉ vi phân Trong đạo hàm, ta biết với Δx nhỏ, Δy/Δx ≈ f ′(x) Δy ≈ f ′(x)Δx Hơn nữa, dy = f ′(x) dx kéo theo Δy ≈ dy dy sử dụng để ước tính Δy Ví dụ: Chi phí-Doanh thu Một cơng ty sản xuất bán x sản phẩm tuần Nếu phương trình chi phí doanh thu tuần C(x) = 5,000 + 2x R(x) = 10x -x^2/1,000