Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1 Tìm ma trận X thỏamãn
2 Câu 1:Tìm ma trận X thỏamãn𝑋𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑋 + 𝐵 với𝐴 = −1 −2 𝐵 = −3 −3 𝑇 Giải: 𝑋𝐴 + 𝐴𝐵𝑇 = 𝑋 + 𝐵 ⇔ 𝑋 𝐴 − 𝐼 = 𝐵 − 𝐴𝐵𝑇 2 −1 −2 Với𝐴 = 𝐵 = −3 ta có −3 −5 −1 𝑋 −1 = 10 3 −10 −8 −3 −5 −1 ⇒𝑋= 10 −1 1 −10 −8 −3 −1 11 −4 −8 = −2 27 −7 −23 1 Câu 2:Giảihệphươngtrình: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = −𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = Giải: Biếnđổisơcấp: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 ⇔ ⇔ −𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 2𝑦 + 𝑧 = 9𝑧 + 8𝑡 = 14 3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 = 5𝑦 − 2𝑧 − 4𝑡 = 9𝑧 + 8𝑡 = 14 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑡 = ⇔ 3𝑦 − 3𝑧 − 4𝑡 = −2 9𝑧 + 8𝑡 = 14 Đặt𝑡 = 9𝑚, ta có 𝑧 = 14 − 8𝑚 3𝑦 = −2 + 36𝑚 + 𝑥 = − 9𝑚 − 14 8 − 24𝑚 = + 12𝑚 ⇒ 𝑦 = + 4𝑚 3 28 11 + 16𝑚 + + 4𝑚 = − + 11𝑚 9 Vậyhệ pt cónghiệmdạng 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = − 11 14 9 + 11𝑚, + 4𝑚, − 8𝑚, 9𝑚 (𝑚 ∈ ℝ) Câu 3:Trongℝ4 chohaikhônggian 𝑈 =< 2, 1, 0, >và 𝑉= 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 /𝑥1 + 3𝑥2 − 4𝑥3 + 𝑥4 = & − 𝑥1 + 2𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4 = Tìmcơsởvàsốchiềucủa𝑈 + 𝑉 Giải: Ta có𝑉 =< 1, −7, −5,0 , 1, −2,0,5 > Viếtlạithành ma trậnhàngvàbđsc −7−5 −7−5 → → −2 5 5 0 15 10 4 −7−5 1 −5 −11 Vậykhơnggian𝑈 + 𝑉 có chiều, mộtcơsởcủakhônggiannàylà 1, −7, −5, , 0, 1, 1, , (0, 0, 5, 11) Câu 4:Trongℝ3 vớitíchvơhướng 𝑥, 𝑦 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 = 3𝑥1 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 + 5𝑥2 𝑦2 + 2𝑥3 𝑦3 Tìmhìnhchiếucủa vector 𝑧 = (1, −1,3)lên không gian 𝑈 =< 1, 2, , (4, 1, 2) > Giải: Ta tìmcơsởcủa kg bùvnggóccủa U 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 1,2,3 =0 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 4,1,2 cơsởcủa kg bùvnggóc =0 Ta cóhệpt (với (x,y,z) làmột vector trongtập vector 𝑥 + 9𝑦 + 6𝑧 = Từđósuyra ⇔ 11𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 𝑥 = 15𝑡 𝑦 = 31𝑡 𝑧 = −49𝑡 Chọn u3 = (x,y,z) = (15,31,-49) Phântích𝑧 = 𝛼1 𝑢1 + 𝛼2 𝑢2 + 𝛼3 𝑢3 Ta có 1, −1,3 = 𝛼1 1,2,3 + 𝛼2 4,1,2 + 𝛼3 15,31, −49 𝛼1 = −5/334 ⇔ 𝛼2 = 141/334 𝛼3 = −15/334 Suy hìnhchiếuvnggóccủa z lên U : 𝛼1 𝑢1 + 𝛼2 𝑢2 = −5 1,2,3 +141(4,1,2) 334 = 334 (559,131,267) Câu 5: Cho ánhxạtuyếntính𝑓: ℝ3 → ℝ3 có ma trậncủa𝑓 sở 𝐸= 2, 3, , 1, 1, , (2, −1, 2) 𝐴𝐸 = −3 3 −5 −3 Tìm𝑓(1, 1, 1) Giải : Ta có: 𝑓(𝑥) 𝐸 = 𝐴𝐸 𝑥 𝐸 ⇒ 𝐸 −1 𝑓 𝑥 = 𝐴𝐸 𝐸 −1 𝑥 ⟹ 𝑓 𝑥 = 𝐸 𝐴𝐸 𝐸 −1 𝑥 2 𝑓 1,1,1 = −1 −3 −5 2 3 −3 −1 2 −1 = 11 Câu 6: Cho ma trận: −3 𝐴 = −3 −6 a Chéohóa ma trận A b Cho dãysố 𝑢𝑛 , (𝑣𝑛 ) (𝑤𝑛 ) thỏamãn: 𝑢1 = 2, 𝑣1 = 0, 𝑤1 = 𝑢𝑛+1 = −3𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 2𝑤𝑛 (∀𝑛 ≥ 1) 𝑣𝑛+1 = −3𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 𝑤𝑛 𝑤𝑛 +1 = −6𝑢𝑛 + 6𝑣𝑛 + 5𝑤𝑛 Tính𝑣12 Giải: a Ta có: 𝐴 = 𝑃 𝐷 𝑃−1 với𝐷 = 0 0 1 ,𝑃 = 1 0 3 b Ta có: 𝑢𝑛 +1 𝑢𝑛 𝑣𝑛+1 = 𝐴 𝑣𝑛 𝑤𝑛 +1 𝑤𝑛 Suyra 𝑢12 𝑢1 𝑢1 11 11 −1 𝑣12 = 𝐴 𝑣1 = 𝑃 𝐷 𝑃 𝑣1 𝑤12 𝑤1 𝑤1 1 211 = 1 Ta có𝑣12 = −350198 311 0 311 1 0 −1