Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập KGVT 1 CHƯƠNG II (Tiếp sau phần KTGK) TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉCTƠ ĐỊNH NGHĨA Trong kgvt X, cho trước cơ sở E= { e1 , e2, , en } được sắp thứ tự Khi đó với mỗi véctơ u tùy ý trong X, u luôn biểu diễn[.]
CHƯƠNG II (Tiếp sau phần KTGK) TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉCTƠ : ĐỊNH NGHĨA: Trong kgvt X, cho trước sở E= { e1 , e2, …, en } thứ tự Khi với véctơ u tùy ý X, u biểu diễn cách qua véctơ E Nói cách khác, với véctơ u, ln có số (a1, a2, … ,an) cho u = a1e1 + a2e2 + … + anen Ta nói tọa độ véctơ u sở E u|E = a1 , a , ,a n hay u E a1 a 2 an Về mặt thực hành: Rn , viết [E] ma trận mà cột tọa độ véctơ sở E [u] ma trận cột tọa độ véctơ u [E] u E =[u] hay u E E u 1 MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ: ĐỊNH NGHĨA: Trong kgvt X, xét sở E= { e1 , e2, …, en } sở B = { b1 , b2, …, bn } Ta gọi ma trận SE B b1 E b2 E bn E ma trận chuyển sở từ E sang B Khi ma trận chuyển sở từ B sang E S-1 Chúng ta lưu ý có cách xây dựng định nghĩa ma trận chuyển sở khác tài liệu Về mặt thực hành: kgvt Rn ma trận S E B =[E]-1[B] ( bi E [ E ]1 bi ) Từ biểu thức: u E E u u B B u suy mối liên hệ tọa độ 1 1 véctơ u sở E B là: u E SE B u B BÀI TẬP: Trong kgvt R3, xét sở sau: E={ e1=(1,0,0); e2=(0,1,0); e3=(0,0,1) } B1= { x1=(-1,1,1); x2=(1,-1,1); x3=(1,1,-1) } B2={ y1=(2,1,4); y2=(3,2,1); y3=(1,2,3) } a) Tìm ma trận S chuyển sở từ E sang B1, ( kí hiệu SEB ), nhận xét ma trận S (Lưu ý sử dụng định nghĩa ma trận chuyển sở giảng lý thuyết) b) Tìm ma trận Q chuyển sở từ B1 sang E Kiểm tra Q=S-1 c) Tìm ma trận P chuyển sở từ B1 sang B2 d) Cho véctơ u=(3,4,5) Tìm tọa độ u sở theo định nghĩa, sau kiểm tra lại đẳng thức: + [u]E = SEB [u]B + [u]B = PB B [u]B e) Biết véctơ v có tọa độ sở B1 (6,7,8) Hãy tìm tọa độ v sở B2 (làm theo nhiều cách ) 1 1 2 Bài tập KGVT KHÔNG GIAN CON: Cho (X,+, ) không gian véctơ U X, U DN (U,+, ) không gian X U không gian véctơ TC x,y U; k1,k2 R k1.x+k2.yU Hai dạng khơng gian thường gặp Rn: Dạng 1: Không gian sinh hệ véctơ: U = < x1, x2,….,xm > M={ x1, x2,….,xm } tập sinh U m U= u αi x i ,αi R i=1 Gọi A ma trận tọa độ viết theo dòng hệ véctơ M Dim U = Hạng hệ véctơ M = r(A) = r(AT) Cơ sở U chọn: - hệ véctơ độc lập tuyến tính tối đại M - hệ véctơ đltt U có số véctơ = dim U - hệ véctơ dòng khác ma trận bậc thang bđsc từ A Dạng 2: Không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: Kí hiệu ma trận Am,n X= (x1, x2, …,xn)T U x1, x , , x n n , A.X Dim U = số ẩn tự hệ phương trình = n – r(A) Cơ sở U hệ nghiệm hệ phương trình Quan hệ khơng gian con: Kí hiệu U, V khơng gian khơng gian véctơ X Khi đó: + {0} không gian nhỏ X Mọi kg X chứa véctơ + dim U dim X + Nếu U V dim U dim V + Nếu U V dim U = dim V U = V + UV = {x, x U x V} không gian X + UV nói chung khơng phải khơng gian X + U+V ={ x = x1 + x2 ; x1 U x2 V} kg X Lưu ý: UV U+V + Dễ thấy UV U U+V + dim (U+V) = dim U + dim V – dim(UV) Bài tốn: Cho khơng gian U,V Rn Tìm sở chiều kgvt UV; U+V Giả thiết: U+V UV U= U+V= V= < x1,x2, ,xm, y1,y2, ,yk > U kg nghiệm hệ A.X=0 ? V kg nghiệm hệ B.X=0 ? U= ? V kg nghiệm hệ B.X=0 ? U V= X n Bài tập KGVT A.X : B.X BÀI TẬP Trong kgvt R3, cho A = { ( x,y,z) : 2x – 3y+5z = 0} B = { ( x,y,z) : 2x – 3y+5z = 1} Chứng minh A không gian R3 Vì B khơng phải khơng gian R3? Trong kgvt R3, cho U =< x=(2,1,3); y=(1,2,1); z=(3,3,4) > a) Tìm dim U sở U b) Có thể coi hệ véctơ {(2,1,3); (1,1,1)} sở U hay khơng? c) Tìm điều kiện m để hệ véctơ {(0,3,-1),(1,m,1)} sở U d) Tìm m để hệ véctơ {(0,3,-1),(1,m,1),(1,1,0)} hệ sinh U Trong kgvt R4, cho U = < x1=(1,2,1,1); x2=(2,0,-1 3); x3 = (1,-6,-5,3)> V = < y1=(3,-2,-3,5) ; y2=(-2,m,7,-5) > Tìm điều kiện m để khơng gian U V Trong R4 cho U= V=< (2,1,1,0), (1,m,0,1)> Tìm m để U+V có chiều nhỏ Hãy sở U+V Trong R3, xét không gian con: U = {(x,y,z) : 3x+2y+z=0 2x+5y+3z=0 } V = { (x,y,z): x +my -2z =0 } a) Tìm chiều sở U b) Biện luận chiều sở kg UV theo m c) Biện luận chiều sở kg U+V theo m d) Với m ta nói R3 = UV ? Trong R3, cho U=< x1=(1,0,0); x2=(1,-1,0)> V = < (0,1,0), y2=(0,0,1) > Tìm chiều sở UV Trong R4, cho U=< x1=(1,0,1,2); x2=(1,-1,0,1)> V = < (0,1,0,1), y2=(1,0,0,2) > Tìm chiều sở UV, U+V Trong R3, cho U=< x1=(1,0,2); x2=(2,1,1)> V = { (x,y,z): y -z =0 }.Tìm chiều sở UV HD 9: Cách 0: Trong ta thấy x1 V x2V Vì x1 V nên [dim V =2] < [ dim U+V] [dim R3= 3] nên suy dim U+V =3 Theo cơng thức liên hệ số chiều dim UV = + – =1 Mặt khác x2V nên x2 UV , nên UV = < x2 > Cơ sở UV { (2,1,1) } Cách 1: Viết lại: V = < x3=(1,0,0); x3=(0,1,1)> u U u ax1 bx2 (1) u V u cx3 dx4 (2) Lấy u bất kỳ, u UV (1)(2) ax1 +bx2 –cx3 – dx4 = 1 0 1 1 1 0 1 0 4 a; b c 2 d (2) u (2 x3 x4 ) (2,1,1) Bài tập KGVT Suy UV = { (2,1,1); } hay UV = < (2,1,1) > Dim UV = 1; Cơ sở UV { (2,1,1) } Cách 2: Viết lại: V = < x3=(1,0,0); x3=(0,1,1)> Lấy u bất kỳ, u UV Do u U u ax1 bx2 = (a+2b, b, 2a+b) Đồng thời uV nên rank(x3, x4,u)=rank(x3, x4) = 2, tức là: 0 rank 1 a 2b b 2a b a 2b a 2b b rank b 2a 0 rank 2a b 0 2a Suy u = (2b, b, b) = b(2,1,1) UV = < b(2,1,1) > Dim UV = 1; Cơ sở UV { (2,1,1) } ( Có thể làm ngắn nhận xét b 0, nên chọn ln b=1) Cách 3: Viết lại U dạng U={ (x,y,z): ax+by+cz =0 } dạng V Dùng tích có hướng hay lập hệ pt tìm a=-2; b=3 ; c=1 Vậy U V ( x, y, z ) 2 x y z : = yz 0 Dim UV = 1; Cơ sở UV { (2,1,1) } ( Hạn chế cách không dễ nhẩm U gặp kgvt R4) Cách 4: Lấy u bất kỳ, u UV Do u U u ax1 bx2 = (a+2b, b, 2a+b) Đồng thời u V nên u nghiệm pt y-z = 0, tức b- (2a+b)=0, suy a=0 Vậy u = (2b, b, b) = b(2,1,1) UV = < b(2,1,1) > Dim UV = 1; Cơ sở UV { (2,1,1) } Cách 5:…… Bài tập KGVT KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLIDE KHÁI NIỆM KGVT EUCLIDE: * Giả sử X kgvt R x, y, z X Ta định nghĩa tích vô hướng véctơ X số thỏa: i) (x,y) = (y,x) ii) (x+y,z) = (x,z) + (y,z) iii) a(x,y) = (ax,y) = (x,ay) iv) (x,x) ≥ (x,x) = x= Tính chất (iv) phát biểu tương đương: Dạng tồn phương (x,x) xác định dương Mọi định thức dạng toàn phương xác định dương (Sẽ học chương sau) Kgvt X hữu hạn chiều có tích vơ hướng gọi khơng gian Euclide * Tích vơ hướng tắc Rn tích vơ hướng học THPT x ( x, x) * Độ dài véctơ : * Khoảng cách véctơ x,y: d ( x, y) x y ( x y, x y) * Góc véctơ x,y: cos ( x, y ) x y * Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức tam giác (TL) CÁC KHÁI NIỆM TRỰC GIAO TÍNH CHẤT * x y (x,y)= Mọi véctơ trực giao với véctơ không * Hệ véctơ M trực giao Các véctơ hệ trực giao đôi * Hệ véctơ M trực giao + M khơng chứa véctơ khơng M độc lập tuyến tính * Hệ véctơ M trực chuẩn M trực giao + véctơ có độ dài * Véctơ x kgc U x tất véctơ U x tất véctơ sở U * Kgc U kgc V véctơ U tất véctơ V véctơ sở U tất véctơ 1cơ sở V UV ={0} (Khác với khái niệm mặt phẳng vng góc tốn PT) * U = { x X: x U } Dễ thấy U U U U =X * Quá trình trực giao hóa hệ véctơ đltt: C1: Gram Schmidt { y1, y2,…,ym } trực giao { x1, x2,…,xm } độc lập tt C 2: ? < x1, x2,…,xm > = < y1, y2,…,ym > Công thức Gram-Schmidt với hệ véctơ : y1 = x1 y2 = x2 + α.y1 y3 = x3 + β1.y1 + β2.y2 ( x2 , ( y1 , (x, ( y1 , y1 ) y1 ) y1 ) y1 ) 2 ( x3 , y2 ) ( y2 , y2 ) Bài tập KGVT HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT VÉCTƠ XUỐNG MỘT KG CON Giả sử U kg kgvt X, véctơ x tùy ý, x X Ta biểu diễn cách x= u + h ; u U h U Hình chiếu vng góc ( gọi tắt hình chiếu) x xuống U prU x u ; h xu Khoảng cách từ x đến U d ( x,U ) Đương nhiên prU x h ; d ( x,U ) u x = prU x + prU x Cách tìm u: Giả sử {y1, y2, y3} sở U Vì x= u + h nên ta tìm prU x u = a.y1 +b.y2 + c.y3 a(y1 , y1 ) b( y2 , y1 ) c( y3 , y1 ) ( x, y1 ) với a,b,c nghiệm hệ: a(y1 , y2 ) b( y2 , y2 ) c( y3 , y2 ) ( x, y2 ) a(y , y ) b( y , y ) c( y , y ) ( x, y ) 3 3 * Trường hợp riêng: {y1, y2, y3} sở trực giao U Ta với a = ( x , y1 ) ; b = ( x , y2 ) ; c= ( x , y3 ) prU x u = a.y1 +b.y2 + c.y3 ( y1 , y1 ) ( y2 , y2 ) ( y3 , y3 ) * Trong số trường hợp, việc tìm prU x lại nhanh hơn, ta sử dụng cơng thức: prU x = x - prU x BÀI TẬP 10 (ĐCK) Trong kgvt R2, xét tích véctơ x=(x1, x2) y=(y1,y2) định nghĩa sau: (x, y) = x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + mx2y2 a) Với giá trị m tích cho tích vơ hướng? b) Cho x=(1,-2) Tính x theo tích vơ hướng câu a) c) Tìm giá trị p để véctơ y=(2, p) trực giao với x=(1, -2) theo tvh câu a) 11 Trong R3, cho U = < (1,1,-1); (1,2,3); (2,3,2) > Tìm tất véctơ x vng góc với U có độ dài 12 (ĐCK) Trong kgvt R4 cho không gian con: U=< x1=(1,-2,2,1); x2=(2,0,3,-1) > V= < x3=(1,3,0,m); x4=(0,5,1,n) > Tìm giá trị m,n để UV 13 (ĐCK) Trong không gian véc tơ R4, xét hệ véctơ { (-1,2,1,3); (2,1,-3,1) } Hãy bổ sung thêm véctơ vào hệ để hệ trở thành sở trực giao R4 14 Trong kgvt R3, cho không gian A = {(x,y,z) : 2x -3y+5z=0} a) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn A b) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn A c) Tìm hình chiếu vg véctơ x=(1,2,3) xuống A khoảng cách từ x đến A 15 Trong kgvt R4 cho không gian con: U={(x,y,z,t): x + 2y -3z-t =0 2x-y-3z=0} a) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn U b) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn U c) Tìm hình chiếu vg véctơ x=(1,2,3,4) xuống U khoảng cách từ x đến U 16 (ĐCK-Tham khảo) a) Tính thể tích tứ diện ABCD với đỉnh A(2,2,2); B(4,5,4); C(5,5,6); D(4,3,3) b) Tính độ dài đường cao hạ từ A tứ diện ABCD c) Tìm đỉnh thứ tứ diện ABCD biết D nằm trục Oy; A(0,1,1); B(4,3,-3); C(2,-2,1) thể tích tứ diện Bài tập KGVT