Đang tải... (xem toàn văn)
Slide 1 KHÔNG GIAN EUCLIDE TRẦN NGỌC DIỄM Tích vô hướng và kg Euclide f là tích vô hướng trên kg vector V, nếu Ký hiệu Không gian vector với 1 tvh gọi là kg Euclide Tích vô hướng và kg Euclide Định ng[.]
KHƠNG GIAN EUCLIDE TRẦN NGỌC DIỄM Tích vơ hướng kg Euclide f tích vơ hướng kg vector V, nếu: i f x, y f y, x ii f x f x iii f x y, z f x, z f y, z iv f x, x 0, x f x, x 0 x 0 Ký hiệu: f x, y x, y Không gian vector với tvh gọi kg Euclide Tích vơ hướng kg Euclide Định nghĩa: x x, x : độ dài vector x x y d ( x , y ) : khoảng cách x, y x, y cos x.y : góc x y Tích vơ hướng khơng gian Euclide Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 a) Tính với x = (1,2), y = (-2,1) b) Tính khoảng cách x y c) Tìm độ dài vector x Trên R3 tích vơ hướng (với x = (x1,x2,x3), y = (y1,y2,y3)) x, y 5 x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x3 y3 a) Tính tích x = (1,2,3) y = (1,-1,2) b) Tính độ dài x c) Tính khoảng cách x, y Sự trực giao i) x, y trực giao x y = 0, ii) S trực giao S gồm vector đôi trực giao iii)S trực chuẩn S trực giao ॥x॥= 1, x S iv) x M x y , yM v) M M’ x y , xM, yM’ vi) Bù trực giao M : M = {x V: x M} vii) U, W ≤ E, UW : U+W=U W: tổng trực giao Sự trực giao Một số kết cần nhớ: x E x= xy, xz x y + z, , R U E, < S > = U, x U x S = U, < S’> = U’, U U’ S S’ M E M E Nếu M E dimM + dimM = dimV M M = E Sự trực giao Một hệ trực giao khơng có vector độc lập tuyến tính Hình chiếu trực giao: x E ( kg Euclide), U E ! y U , z U x y z y =prU x : hình chiếu trực giao (vng góc) x lên U Sự trực giao S ={ e1, e2,…,en} sở trực chuẩn E x1 y1 x y [ x ]S , [ y ]S x y n n a xi x, ei b x, y x1 y1 x2 y2 xn yn 2 2 n c x x x x Sự trực giao Trên R2, với tvh = 2x1y1 – x1y2 – x2y1 + x2y2 Vector sau trực giao với nhau: x = (-1,2), y = (1,2), z = (1,1), t = (3,4) Tìm hệ trực chuẩn từ vector trực giao vừa tìm Trên R2 với tvh tắc cho u=(1, -2, 1), v=(4,m+2,-1) Tìm m để u v trực giao • Làm lại với tvh sau: x, y 5 x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x3 y3 Sự trực giao Trên khơng gian R3 với tvh tắc, cho U 1,1, 1, 2,3,2 a Vector sau vng góc với U: u 3,1,1, v 5,4, 1, w 5,4, 1 b Tìm m để v = (– 3, m, m – 3) vng góc với U Làm lại với tvh: x, y 5 x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x3 y3 Sự trực giao Trong R3, với tvh tắc cho U x1 , x2 , x3 : x1 x2 x3 0 W x1 , x2 , x3 : x1 x2 x3 0 Tìm vector u U cho u vng góc với W Sự trực giao Trên R3 với tvh tắc, tìm sở W a Cho W= | b W không gian nghiệm hệ pt x1 x2 2 x1 x2 x 2x x3 x3 x3 x4 x4 0 0 0 Sự trực giao Trên R3, cho khôg gian U x1 , x2 , x3 : x2 x3 0 W x1 , x2 , x3 : x1 x2 x3 0, x1 x2 x3 0 Chứng minh U W Sự trực giao Trong R4, cho U 1, 1,2,1, 2,0,3, 1 W 1,3,0, m , 0,5,1, n Tìm m, n để U W Sự trực giao Trong R3 cho kg U 1,2,1, 1,0,1 W x1 , x2 , x3 : x1 x2 mx3 0, x1 x2 x3 0 Tìm m để U W Sự trực giao Trên không gian R3 cho S = {(1,1,1), (-2,1,1), (0,-1,1)} a) Kiểm tra tính trực giao S b) Tìm sở trực chuẩn S’ R3 từ S c) Cho u = (1,2,2), tìm tọa độ u theo S’ Sự trực giao Qua trình trực giao hóa Gram - Schmidt: cho {x1, …, xp} hệ đltt E Đặt: y1 x1 , x2 , y1 y2 x2 y1 , y1 , y1 yk xk k1 xk , y j y ,y j 1 j j y j , k 2, , p Khi {y1, …, yp} hệ trực giao Sự trực giao Trên không gian R3, trực giao hóa hệ vecor sau: u 1,3, , u 0,1,1 u 1,1,1, u 1, 1,1, u 1,1, 1 Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R3 u 1, 3,2 , u 1,1,1 Sự trực giao Bổ sung vào tập hợp sau để sở trực giao R4 2,2, 2, , 2,2, 1,1 Cho U = , x = (-1,1,2) Tìm y U, z U cho x = y + z Sự trực giao Tìm hình chiếu trực giao x 1,1,1 lên kg U 1,1,2 , 3,0, Trên kg R3 với tích vơ hướng x, y 4 x1 y1 x1 y3 x3 y1 3x2 y2 3x3 y3 Tìm hình chiếu trực giao lên kg x 1,1,1 U 1,1,2 , 3,0,