Đang tải... (xem toàn văn)
D VinhUSBA2HK09 10mautn DVI ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009 20 10 Moân hoïc Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian laøm baøi 90 phuùt Ñeà thi goàm 7 caâu Sinh vieân k hoâng ñöôïc söû duïn g taøi lieäu HÌNH[.]
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : a/ Cho ma trận A = −3 −4 a/ Chéo hoá ma trận A b/ Áp dụng, tìm ma trận B cho B 20 = A Caâu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A = Tìm ma trận f sở tắc Câu : Cho ma trận A = −3 ma traän A −2 Câu : Tìm m để vectơ X = ( , , m) Caâu : Tìm m để ma trận A = −2 ma trận củ a f sở −1 −3 Tìm trị riêng, sở không gian riêng T −5 véctơ riêng ma trận A = −3 −3 m −4 3 −2 −4 coù hai trị riêng dương trị riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép quay hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều kim đồng hồ góc o Tìm ánh xạ tuyến tính f Giải thích rõ Câu : Cho A ma trận vuông cấp n Chứng tỏ A khả nghịch λ = KHÔNG trị riêng A Khi A khả nghịch chứng tỏ λ trị riêng A, trị riêng A−1 λ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm −1 Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP ; P = D= −1 −1 20 20 −1 Ta coù A = √ P · D · P Giả sử B = Q · D1 · Q , ta coù B = Q · D1 · Q = A Chọn Q = P 20 √ D1 = Vaäy ma traän B = P · D1 · P −1 20 Câu (1.5đ) Có nhiều cách làm Gọi ma trận chuyể n sở từ E sang tắc làP Khi ma 1 trận chuyển sở từ tắc sang E : P −1 = 1 Ma trận ánh xạ tuyến tính −6 sở tắc B = P −1 AP = −9 −1 Câu (1.5đ) Giả sử λ0 trị riêng A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 Khi A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 Lập ptrình đặc trưng, tìm TR A: λ1 = , λ2 = , Cơ sở Eλ1 : {( −1 , , ) T , ( −1 , , ) T }, cuûa Eλ2 : {( , −3 , ) T } TR cuûa A6 : δ1 = , δ2 = , Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 , , ) T , ( −1 , ,1 ) T }, cuû a Eδ2 : {( , −3 , ) T } −5 3 2 Câu (1.5đ) x VTR cuûa A ⇔ A · x = λ · x ⇔ −3 = λ · ⇔ m = −3 m m Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x1 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 − x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − 1 ) x23 Ma trận A có TR dương, TR âm ⇔ m < 1 Câu (1.5đ) f : IR2 −→ IR2 f xác định hoàn toàn biết ảnh sở IR2 Chọn sở tắc E = {( , ) , ( , ) } √ √ √ √ Khi f ( , ) = ( 12 , −2 ) ,f ( , ) = ( 23 , 12 ) f ( x, y) = ( x2 + y , −x2 + y2 ) Caâu (1.0đ) A khả nghịch ⇔ det( A) = ⇔ λ = không TR A Giả sử λ0 TR A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = ) → ñpcm