Đang tải... (xem toàn văn)
D VinhUSBA2HK09 10mautn DVI ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009 20 10 Moân hoïc Ñaïi soá tuyeán tính Thôøi gian laøm baøi 90 phuùt Ñeà thi goàm 7 caâu Sinh vieân k hoâng ñöôïc söû duïn g taøi lieäu HÌNH[.]
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Môn học: Đại số tuyến tính Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên không sử dụng tài liệu HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA Câu : Trong không gian IR4 với tích vô hướng tắc, cho không gian F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = & x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = & x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = } Tìm chiều sở TRỰC CHUẨN F Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế a f sở t ma trận củ −1 −2 E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = −3 −3 Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieá t E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } laø A = Tìm sở số chiều Imf ma trận củ a f sở −4 Câu : Cho A B hai ma trận đồng dạng Chứng tỏ A chéo hoá B chéo hoá Câu : Tìm m để ma trận A = −1 −1 m có trị riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + x3 , −2 x1 + x2 + x3 , x1 − x2 + x3 ) Tìm m để véctơ x = ( , , m) véctơ riêng f Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép đối xứng hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng x−3 y = Tìm tất trị riêng sở không gian riêng f Giải thích rõ Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm Câu 1(1.5đ) Tìm sở tùy ý cuûa F : E = {( , −1 , , ) , ( , −1 , , ) } Dùng trình Gram-Schmidt đưa sở trực giao: E1 = {( , −1 , , ) , ( , , −7 , Chuẩn hóa, có sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( , −1 , , ) , √ 167 ( , , −7 , ) } 1 Caâu 2(1.5đ) Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P · D · P −1 , P = D = Cơ sở cần tìm B = {( , , 1 ) , ( , , ) , ( , , 1 ) } Ma trận f B D VTR A, phải đổi sang sở tắc!! )} 0 0 Các cột P Câu 3(1.5ñ) Dim(Imf ) = r( A) = ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( , , ) , f ( , , ) , f ( , , ) >= =< ( , , ) , ( , , ) , ( −2 , −4 , −2 ) > Cơ sở Im( f ) {( , , ) , ( , , ) ( −2 , −4 , −2 ) } Caùch khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( A) = , nên Im( f ) IR3 sở Im( f ) sở tắc IR3 Câu 4(1.0đ) A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 · A · Q Giả sử A chéo hóa ⇔ A = P · D · P −1 −1 Khi B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q) · D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →ñpcm Câu (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x21 + mx22 + x23 + x1 x2 − x1 x3 + x2 x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + x2 − x3 ) + ( x3 + x2 ) + ( m − ) x22 A có TR aâm ⇔ m < Caâu (1.5đ) x VTR f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( , , m) = λ · ( , , m) ⇔ ( −2 + m, −2 + m, m) = ( λ, λ, λm) ⇔ m = ∨ m = Câu (1.5đ).f : IR2 −→ IR2 VTR véctơ qua phép biến đổi có ảnh phương với véctơ ban đầu Các véctơ phương với véctơ phương a = ( , ) đường thẳng tất VTR tương ứng với TR λ1 = ; véctơ phương với véctơ pháp tuyến n = ( , −3 ) đường thẳng tất VTR tương ứng với λ2 = −1 Vì f axtt không gian chiều nên không VTR khác Kluận: Cơ sở Eλ1 : ( , ) cuûa Eλ2 : ( , −3 )