Đang tải... (xem toàn văn)
rèn luyện tư duy thuật giải thông qua bất đảng thức
MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệt trong dạy học toán. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễ tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinh giải quyết bài toán đó. Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán, từng dạng toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơn nữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn khám phá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc… Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêu cầu của con người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ thông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của cuộc sống. Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển TDTG chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn GV thực hiện. Do đó, GV chưa biết cách khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn luyện và phát triển TDTG cho học sinh. 1 Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội dung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài tập, các nội dung khác có liên quan. BĐT được giảng dạy cho học sinh THPT ở lớp 10. Tuy thời gian có ít và các lớp tiếp theo không được đề cập lại nhưng nó có nhiều ứng dụng để giải nhiều dạng toán khác. Nội dung BĐT phong phú, đa dạng, nó thu hút được sự quan tâm đặc biệt của cả giáo viên và học sinh. Tuy nhiên ở trường THPT, việc khai thác các ứng dụng của BĐT còn gặp nhiều khó khăn và hạn chế. Một trong những nguyên nhân của tình trạng này là GV và HS chưa biết cách khai thác, xây dựng các thuật giải và các qui tắc tựa thuật giải để giải quyết dạng toán này. Đó chính là những lý do mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức ở trường trung học phổ thông. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh khi dạy học nội dung: Ứng dụng bất đẳng thức trong giải toán. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Tổng hợp lí luận về phát triển TDTG qua môn toán. + Tìm hiểu thực tiễn về việc rèn luyện và phát triển TDTG của môn toán ở trường THPT. + Đề ra giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển TDTG thông qua dạy học nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT. 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu chúng ta tăng cường việc rèn luyện TDTG cho học sinh khi dạy học nội dung giải toán có ứng dụng bất đẳng thức thông qua một giải pháp dạy học dựa trên hệ thống các bài toán chọn lọc thì không những giúp học 2 sinh học tốt nội dung đó mà còn góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ năng, năng lực giải toán. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, các sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan. 5.2. Phương pháp quan sát điều tra: + Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm + Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về rèn luyện tư duy thuật giải của giáo viên và học sinh. + Sưu tầm các bài toán, các vấn đề có liên quan. Những kinh nghiệm của bản thân và của các đồng nghiệp. + Chọn lọc phân loại các vấn đề sưu tầm được. 5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tác giả trực tiếp dạy và phối hợp với đồng nghiệp dạy và kiểm tra học sinh ở trường THPT Yên Dũng số I và THPT Yên Dũng số II. 6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN: Ngoài phần mở đầu, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Chưong 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 3 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. TƯ DUY THUẬT GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 1.1.1. Một số vấn đề về tư duy * Khái niệm “Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết” [13, tr.1]. Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giác quan cái đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính, trên cơ sở của nhận thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm tòi, khám phá và giải quyết. * Các thao tác tư duy Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Các thao tác trí tuệ cơ bản là: - Phân tích, tổng hợp. - So sánh, tương tự. - Khái quát hóa, đặc biệt hóa. - Trừu tượng hóa. * Một số loại hình tư duy toán học Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong toán học có một số loại hình tư duy sau: - Tư duy hình thức và tư duy biện chứng. 4 - Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo. - Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp. - Tư duy thuật giải. - Tư duy hàm. Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối. Hiện nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư duy có những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không hoàn toàn độc lập với nhau, giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau. TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh. 1.1.2. Tư duy thuật giải 1.1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 1.1.2.1.1. Thuật giải Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải. Theo [10, tr. 378 ]: “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó” Theo [9, tr. 51] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn” 5 Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau: * Tính đơn trị Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế con người. Ví dụ: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất: =+ =+ ''' cybxa cbyax Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’. Bước 2: Tính các định thức: D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c. Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0 Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5. Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0 Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ; Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm. Bước 5: Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất: (x ; y) = ( ; ) Dx Dy D D Trong ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong một bước 4 nếu ta cho lần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của các học sinh là như nhau. * Tính dừng Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn. 6 Tính dừng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi. Ví dụ: Thuật giải tìm ƯCLN của hai số x, y. Bước 1: Phân tích x, y ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất. Bước 3: Kiểm tra xem trong số thứ hai xem thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất không? Nếu có chuyển sang bước 4. Nếu không chuyển sang bước 5. Bước 4: Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số. Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất. Bước 6: Kiểm tra trong thừa số thứ nhất còn lại thừa số nào chưa xoá không? Nếu còn thì trở lại: Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4 Bước 5 Bước 6. Nếu không chuyển sang bước 7. Bước 7: Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng. Tích của các số đó chính là ƯCLN của hai số x và y. 7 Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một số hữu hạn các thừa số nguyên tố. Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào. Khi đó thuật giải thu được kết quả mong muốn. * Tính đúng đắn Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp. Ví dụ: Giải phương trình ax + b = 0. Bước 1: Xác định các số a, b. Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b. Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a. Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x = a b 2 − (kết thúc). Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải. Nó không đầy đủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0. Khi đó, ta không chia hai vế được cho a. Ta cần có bước kiểm tra trường hợp a = 0. * Tính phổ dụng Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra những thuật giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp bài toán. Ví dụ: Thuật giải tìm ƯCLN áp dụng cho mọi cặp số nguyên (x,y), thuật giải 8 phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) áp dụng cho mọi phương trình bậc 2 * Tính hiệu quả Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là: + Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian. + Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian. + Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn. Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải. * Các hình thức biểu diễn thuật giải Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình và các ngôn ngữ lập trình. Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax 2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) để minh hoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải. Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c). Bước 2: Tính ∆ = b 2 - 4ac. Bước 3: + Nếu ∆ = 0 thì kết luận phương trình có nghiệm kép x = a b 2 − . + Nếu ∆ < 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm. + Nếu ∆ > 0 thì chuyển sang bước 4. Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 ∆−− ; x 2 = a b 2 ∆+− . Kết thúc. 9 Dạng 2: Sơ đồ khối Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình Thuật giải phương trình bậc hai: Biến a, b, c, D, x 1 , x 2 : thực; y: văn bản; Bắt đầu D: = b 2 - 4ac; Nếu D < 0 thì y := “phương trình vô nghiệm” Còn nếu D = 0 thì bắt đầu y := “phương trình có một nghiệm kép”; x 1 := -b/(2a); x 2 := x 1 ; kết thúc Còn bắt đầu y:= “pt có hai nghiệm phân biệt”; x 1 := (-b + D )/(2a); x 2 := (-b - D )/(2a); kết thúc Kết thúc. Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng trình như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn như PASCAL. Program pt2 Var a, b, c, d: real; Begin Writeln ( ’ Cho biet ba he so a, b, c ’ ); readln (a, b, c); d:= b*b – 4*a*c; if d < 0 then write ( ’ Phưong trinh vo nghiem ’ ) else if d = 0 10 Bắt đầu Nhập a,b,c acb 4 2 −=∆ 0∆ < PT vô ngiệm 0=∆ Pt có nghiệm kép Pt có 2 nghiệm phân biệt : x =(-b -)/(2a) x= (-b+)/(2a) Kết thúc + _ + - [...]... • Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tư ng đương + Nếu mệnh đề “ a < b ⇒ c < d ” đúng thì ta nói rằng: c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là: a 0 (x ∈ R) là bất đẳng thức sai • Để kiểm nghiệm một bất đẳng đúng thức ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: Tiêu chuẩn 1: a>b ⇔ a–b>0 Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a > b ta chỉ cần chứng minh a–b>0 Tiêu chuẩn 2: Nếu a > b và b > c ⇒ a > c (Tính... được gọi là các bất đẳng thức Để phân biệt ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a > b hoặc a < b là các bất đẳng thức ngặt Các tính chất nêu trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt 2.1.3 Một số BĐT cơ bản trong chương trình phổ thông 2.1.3.1 Các BĐT gốc Trong chương trình phổ thông ta thường gặp một số BĐT cơ bản sau: • x2 ≥ 0 với ∀ x ∈ R Đẳng thức xảy ra khi . tư duy sau: - Tư duy hình thức và tư duy biện chứng. 4 - Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo. - Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp. - Tư duy thuật giải. - Tư duy hàm. Sự phân. trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán học cho học sinh. 1.1.2. Tư duy thuật giải 1.1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải 1.1.2.1.1 dựng các thuật giải và các qui tắc tựa thuật giải để giải quyết dạng toán này. Đó chính là những lý do mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải toán