Đang tải... (xem toàn văn)
các biện pháp phát triển tư duy thuật toán cho học sinh qua giải phương trình. phát triển tư duy sáng tạo qua giải phương trình
Chơng Rèn luyện t thuật toán t sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học phơng trình lợng giác lớp 11 nớc Cộng hòa dân chủ nhân dân Lào 2.1 Rèn luyện t thuật toán dạy học phơng trình bậc hai hàm số lợng giác 2.1.1 Rèn luyện t thuật toán dạy học phơng trình bậc hai sinx cosx 2.1.1.1 Các ví dụ Ví dụ Giải phơng trình: 2sin x + sin x = (Giáo viên làm mẫu) Bớc Đặt sin x = t (điều kiện : t [1,1]) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng tr×nh: 2t + t − = Bíc Giải phơng trình: 2t + t = đoạn [1,1] t = 2t + t − = ⇔ t = Bớc Giải phơng trình bản: sin x = sin x = − π π x = + k 2π x = + k 2π 6 • sin x = ⇔ ⇔ (k ∈ ¢ ) π 5π x = π − + k 2π x = + k 2π 6 π x = − + k 2π π • sin x = − ⇔ sin x = sin( − ) ⇔ x = 3π + k 2π 24 ( k ∈¢) π x = + k 2π 5π Bíc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = + k 2π (k ∈ ¢ ) π x = − + k 2π Ví dụ Giải phơng trình: 6cos 2 x −13cos x + = (Häc sinh giáo viên làm) Bớc Đặt: cos x = t (®iỊu kiƯn : t ∈ [−1,1]) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 6t 13t + = Bớc Giải phơng trình: 6t 13t + = đoạn [−1,1] t = > ( lo¹i ) 6t −13t + = ⇔ t = Bíc Gi¶i phơng trình bản: cos x = cos x = π ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ ) Bíc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = ± π + kπ (k ∈ ¢ ) x x + 4sin − = 2 (Học sinh giải có giúp đỡ giáo viên cần thiết) Ví dụ Giải phơng trình: 5sin Bớc Đặt: sin x = t (điều kiện : t [1,1]) Thay vào phơng trình (1) ta nhận đợc phơng trình: 5t + 4t = Bớc Giải phơng trình: 5t + 4t = đoạn [1,1] − + 19 t = 5t + 4t − = ⇔ + 19 < − ( lo¹i ) t = − 25 Bớc Giải phơng trình bản: sin x = −2 + 19 x −2 + 19 = sin α ⇔ x = 2α + 4kπ sin = x = 2(π − α ) + 4kπ (k ∈ ¢ ) x = 2α + 4kπ Bíc VËy ph¬ng trình đà cho có nghiệm là: (k  ) x = 2(π − α ) + 4kπ 2.1.1.2 Qui tắc giải Khái quát hóa: Từ ba ví dụ em hÃy phát biểu qui tắc tổng quát bao gồm bớc để giải phơng trình tổng quát: a.sin x + b.sin x + c = 0; a, b, c ∈ ¡ , a ≠ (a.cos x + b.cos x + c = 0; a, b, c ∈ ¡ , a ≠ 0) Bớc Đặt sin x = t (điều kiện : t [1,1]) ) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: a.t + b.t + c = Bớc Giải phơng trình: a.t + b.t + c = đoạn [1,1] - Nếu vô nghiệm đoạn [1,1] chuyển sang bớc 4, kết luận phơng trình đà cho vô nghiệm - Nếu cã nghiƯm t0 ∈ [−1,1] th× chun sang bíc (cã thĨ cã nghiƯm t0 ∈ [−1,1] ) Chó ý: Qui tắc giải đợc sử dụng để giải phơng trình tơng tự: (a.cos x + b.cos x + c = 0, a ≠ 0) Bíc Gi¶i phơng trình bản: sin x = t0 Bớc Kết luận 2.1.1.3 Ví dụ áp dụng quy tắc (thực theo qui tắc giải học sinh giải) Ví dụ Giải phơng trình: 6cos x cos x = Bớc Đặt cos x = t (điều kiện : t [1,1]) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 6t t = Bớc Giải phơng trình: 6t t = đoạn [−1,1] 26 t = 2 6t − t − = ⇔ t = − Bớc Giải phơng trình bản: cos x = ã cos x = 1 vµ cos x = − π π ⇔ cos x = cos ⇔ x = ± + 2k (k  ) 3 ã cos x = − ⇔ cos x = cos α ⇔ x = ± α + 2kπ (k ∈ ¢ ) π x = ± + kπ Bíc KÕt ln pt ®· cho cã nghiƯm là: (k  ) x = + 2k Ví dụ Giải phơng tr×nh: sin x − sin x − = Bớc Đặt: sin x = t (điều kiện : t [1,1]) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: t t = Bớc Giải phơng trình: t t = đoạn [1,1] t = > ( lo¹i ) t2 − t − = ⇔ t = − Bớc Giải phơng trình bản: sin x = − π π kπ ⇔ sin x = sin(− ) ⇔ x = − + (k ∈ ¢ ) Bíc KÕt luận phơng trình đà cho có nghiệm là: x = − π kπ + (k ∈ ¢ ) Ví dụ Giải phơng trình: 3cos x − 2cos x − = Bíc Đặt: cosx = t (điều kiện : t [1,1]) Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 3t − 2t − = Bíc Gi¶i phơng trình: 3t 2t = đoạn [1,1] t =1 3t 2t = ⇔ t = − 27 Bớc Giải phơng trình bản: cos x = vµ cos x = − • cos x = ⇔ cos x = cos ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢ ) • cos x = − = cos α ⇔ x = ± α + 2kπ (k ∈ ¢ ) x = k 2π Bíc Kết luận phơng trình đà cho có nghiệm là: ( k ∈ ¢ ) x = ± α + 2k Bài tập Giải phơng trình sau: 1) cos x − 3cos x − = ( 2) 5sin x − 4sin x − 1= ) ( ) 3) 2sin x − + sin x + = 4) 4cos x − 5) 2cos 2 x − 3cos x + = 6) 4cos x − 3cos x − = 7) 2sin x x + 5sin − = 2 +1 cosx + = 8) 3cos x − 7cos x + = 9) 2sin x − sin x − = 10) 2sin x − 5sin x − = 11) 2sin x − 7sin x −1 = 12) 2cos 13) 2sin x + cos x + = 14) 5cos 2 x + 8cos x − = x x − 2cos + = 2 16) 3cos 2 x + 2sin x − = 15) sin x x + 3cos − = 2 17) 8cos x + 2sin x − = 18) 30cos x − 29sin x − 23 = 19) 2sin x + 5cos x + = 20) 2cos 2 x − 3cos x + = Lời giải Bài Giải phơng tr×nh: cos x − 3cos x − = Phơng trình tơng đơng với : 2cos x 3cos x = Bớc Đặt: cosx = t (®iỊu kiƯn t ∈ [ −1,1] ) Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng: 2t 3t = Bớc Giải phơng tr×nh: 2t − 3t − = ®o¹n [−1,1] 28 (lo¹i) t = >1 2t − 3t − = ⇔ t = Bớc Giải phơng trình bản: cos x = cosx = ⇔ cosx = cosπ ⇔ x = π + 2k (k  ) Bớc Kết luận phơng trình đà có nghiệm là: x = + 2k ( k  ) ( ) Bài Giải phơng trình: 2sin x + sin x + = Bớc Đặt: sin x = t (®iỊu kiƯn t ∈ [ −1,1] ) ( ) Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng: 2t − + t + = ( ) Bớc Giải phơng trình: 2t − + t + = ®o¹n [−1,1] t =1 2t − + t + = ⇔ t = ( ) Bớc Giải phơng trình bản: sin x =1 sin x = • sin x =1 ⇔ sin x = sin • sin x = π π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 2 π ⇔ sin x = sin π x = + 2kπ π ⇔ sin x = sin ⇔ ( k ∈ ¢) 2π x= + 2kπ π x = + kπ π Bíc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = + 2kπ (k ∈ ¢ ) 2π x = + kπ Bài 16 Giải phơng trình: 3cos 2 x + 2sin x = 29 Phơng trình tơng đơng với : 3sin 2 x 2sin x = Bớc Đặt: sin x = t (®iỊu kiƯn t ∈ [ −1,1] ) Thay vào phơng trình ta nhận đợc dạng: 3t 2t = Bớc Giải phơng trình: 3t 2t = đoạn [1,1] t = 3t − 2t = ⇔ t = Bớc Giải phơng trình bản: sin x = vµ sin x = • sin x = ⇔ x = kπ ⇔ x = kπ (k ∈ ¢ ) α x = + kπ x = α + kπ • sin x = = sin α ⇔ ⇔ (k ∈ ¢) x = π − α + 2kπ π −α x = + kπ kπ x= α Bíc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = + kπ (k ∈ ¢ ) π −α x = + kπ Bài 19 Giải phơng trình: 2sin x + 5cos x + = Phơng trình tơng đơng với : 2cos x − 5cos x − = Bớc Đặt: cosx = t (điều kiện t [ 1,1] ) Khi phơng trình đợc chuyển vỊ d¹ng: 2t − 5t − = Bớc Giải phơng trình: 2t 5t = đoạn [1,1] 11 (loại) t = > 2t − 5t − = ⇔ t = − 30 Bớc Giải phơng trình bản: cosx = − cosx = − 2π 2π ⇔ cosx = cos ⇔ x=± + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 Bíc KÕt luận phơng trình đà cho có nghiệm là: x = ± 2π + 2kπ ( k ∈ ¢ ) Bình luận Quá trình dạy học giải phơng trình lợng giác dạng: bậc hai sinx cosx theo hàm số lợng giác đà góp phần phát triển mét sè u tè cđa t tht to¸n Tõ ba ví dụ cụ thể phát biểu thành qui tắc giải phơng trình tổng quát(khái quát hóa trình diễn số đối tợng riêng lẻ thành trình điễn lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giải phơng trình cụ thể(khả thực thuật toán) 2.1.2 Rèn luyện t thuật toán dạy học phơng trình bậc hai tgx cotgx 2.1.2.1 Các ví dụ Ví dụ Giải phơng trình: 3tg x 4tgx + 3=0 (Giáo viên làm mẫu) Bớc Đặt điều kiện: cos x x π + kπ ( k ∈ ¢ ) Bíc Đặt: tgx = t Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: Bớc Giải phơng trình: 3t − 4t + t − 4t + 3=0 t = 3=0 ⇔ t= 3t − 4t + Bíc Gi¶i phơng trình bản: tgx = tgx = π π ⇔ x = + kπ ( k  ) 3 ã tgx = ⇔ tgx = tg • tgx = π π ⇔ tgx = tg ⇔ x = + kπ (k ∈ ¢ ) 6 31 3=0 Bíc Các giá trị x tìm đợc thoả mÃn điều kiện: x + k , phơng trình π x = + kπ ®· cho có nghiệm là: (k  ) x = π + kπ x x − 5co t g + = 2 (Gi¸o viên học sinh làm) Ví dụ Giải phơng trình: 4co t g x Bớc Đặt ®iỊu kiƯn: sin ≠ ⇔ x ≠ 2kπ , ( k  ) Bớc Đặt: cotg x =t Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 4t 5t + = Bớc Giải phơng trình: 4t 5t + = t = 4t − 5t + = ⇔ t = Bớc Giải phơng trình bản: cotg ã cotg x x = vµ cotg = 2 x x π π = ⇔ cotg = cotg ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 2 x = = cotgα ⇔ cot gx = cot gα ⇔ x = 2α + 2kπ ( k ∈ ¢ ) Bớc Các giá trị x tìm đợc thoả mÃn điều kiện: x 2k , phơng trình ®· • cotg π x = + 2k (k  ) cho có nghiệm là: x = 2α + 2kπ VÝ dơ Gi¶i phơng trình: 9tg 2 x tg x − = (Häc sinh lµm lµ chủ yếu) 32 Bớc Đặt điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π kπ + (k  ) Bớc Đặt: tg x = t Thay vào phơng trình ta nhận đợc phơng trình: 9t 3t = Bớc Giải phơng trình: 9t t − = t = 9t − t − = ⇔ t =− Bíc Giải phơng trình bản: tg x = vµ tg x = − π π kπ ⇔x= + ( k ∈ ¢) • tg x = ⇔ tg x = tg • tg x = − α kπ (k ∈ ¢ ) = tgα ⇔ tg x = tgα ⇔ x = + 2 π kπ x = + Bíc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: ( k ∈ ¢ ) α kπ x = + 2 2.1.2.2 Qui tắc giải Khai quát hóa: Từ ba ví dụ em hÃy phát biểu qui tắc tổng quát bao gồm bớc để giải phơng trình tổng quát: a.tg x + b.tgx + c = (a, b, c ∈ ¡ , a 0) Bớc Đặt điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ( k  ) Bớc Đặt: tgx = t Thay vào phơng trinh ta nhận đợc phơng trình: at + bt + c = Bíc Gi¶i phơng trình: at + bt + c = - Nếu vô nghiệm chuyển sang bớc 5, kết luận phơng trình đà cho vô nghiệm - Nếu có nghiƯm t0 th× chun sang bíc (cã thĨ cã nghiệm t0 ) Bớc Giải phong trình b¶n: tgx = t0 33 ⇔ cot g x = cot g • ⇔ π kπ π ⇔x= + (k ∈ ¢ ) sin x cos x cos x − sin x − = ⇔ cot g x = − ⇔ =− cos x sin x sin x.cos x 3 π π kπ ⇔ cot g x = cot g (− ) ⇔ x = − + (k ∈ ¢ ) π kπ x= + Bớc Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: (k  ) π kπ x = − + Bài Giải phơng trình: 2(tg x + cot g x) − 3(tgx − cot gx ) − = sin x ≠ kπ Bíc Đặt điều kiện: sin x ⇔ x ≠ (k ∈ ¢ ) cos x Bớc Đặt: tgx cot gx = t , tg x + cot g x = t + Thay vào phơng trình ta ®ỵc: 2t − 3t − = Bíc Giải phơng trình: 2t 3t = t = 2t − 3t − = ⇔ t = Bíc Giải phơng trình: tgx cot gx = tgx − cot gx = • ⇔ sin x cos x cos x − sin x − =2 ⇔ = − ⇔ cot g x = − cos x sin x sin x.cos x π kπ π (k ∈ ¢ ) ⇔ cot g x = cot g (− ) ⇔ x = − + • ⇔ sin x cos x cos x − sin x − =1⇔ = − ⇔ cot g x = − cos x sin x sin x.cos x ⇔ cot g x = − = cotgα kπ ⇔ x =α + (k ∈ ¢ ) 2 82 Bớc Các giá trị tìm đợc ®Ịu tháa m·n ®iỊu kiƯn: x ≠ kπ , vËy ph¬ng π kπ x=− + trình đà cho có nghiệm là: ( k ¢) x = α + kπ Bài Giải phơng trình: (tg x + cot g x ) + 5(tgx − cot gx) + = sin x ≠ kπ Bíc Đặt điều kiện: sin x ⇔ x ≠ (k ∈ ¢ ) cos x Bớc Đặt: tgx cot gx = t , tg x + cot g x = t + Thay vào phơng trình ta đợc: t + 5t + = Bớc Giải phơng trình: t + 5t + = t = − t + 5t + = ⇔ t = Bớc Giải phơng trình: tgx cot gx = − vµ tgx − cot gx = − • ⇔ sin x cos x cos x − sin x − = −2 ⇔ = ⇔ cot g x = cos x sin x sin x.cos x ⇔ cot g x = cot g • ⇔ π kπ π ⇔ x= + (k ∈ ¢ ) sin x cos x cos x − sin x − = −3⇔ = ⇔ cot g x = cos x sin x sin x.cos x cot g x = = cotgα ⇔ x = α + kπ (k ∈ ¢ ) Bíc Các giá trị tìm đợc thỏa mÃn ®iỊu kiƯn: x ≠ π kπ x= + phơng trình đà cho có nghiệm là: (k ∈ ¢ ) kπ x = α + 83 kπ , vËy B×nh luËn Quá trình dy hc gii phng trình lng giác dng đối xứng tgx vµ cotgx đ· gãp phần ph¸t triển số yÕu tè tư thuật to¸n Từ ba vÝ dụ cụ thể ph¸t biểu thành qui tc gii phng trình tng quát (khái quát hóa mt trình din mt s i tng riêng l thnh mt trình din mt lớp đối tượng), ¸p dụng qui tắc tổng qu¸t để gii phng trình c th (kh nng thc hin thut toán) 2.5 Rèn luyện t sáng tạo dạy học phơng trình lợng giác không mẫu mực Trong chơng trớc, đà gặp phơng trình mà cách giải gần nh có sẵn hay nói cách khác mẫu mực chơng này, gặp số phơng trình mà cách giải phải dựa vào đặc điểm riêng phơng trình thờng gọi phơng trình không mẫu mực Tính không mẫu mực đợc thể dạng phơng trình, nhng nhiều xuất cách giải phơng trình nhìn tởng đơn giản Sau đây, xin giới thiệu số định hớng tìm lời giải phơng trình 2.5.1 Đa dạng tổng đại lợng không âm không dơng Ta đà biết: a = a m + b n + c k = (m, n, k ∈ ¢ + ) ⇔ b = c = Ví dụ Giải phơng trình: sin x + sin x = sin x.sin x Phơng trình đà cho tơng đơng víi: sin x − sin x.sin x + sin x = 1 ⇔ sin x − sin x ÷ − sin x + sin x = ⇔ sin x − sin x ÷ + sin x ( − sin x ) = sin x.cos x = ⇔ sin x − sin x ÷ + sin x.cos x = ⇔ 2 sin x − sin x = 84 Hệ cho ta hai trờng hợp : sin x = 3sin x − 4sin x = ⇔ ⇔ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) ( I) : sin x = sin x = cos 3x = cos3 x = ⇔ ( II ) : 1 sin x = sin x = sin 3x π π x = + m , (m ∈ ¢ ) ⇔ x = π + 2nπ hay x = 5π + 2nπ ( n ∈ ¢ ) 6 π π x= +m π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) x = π + 2nπ ⇔ x = π + m π 5π ⇔ x= + kπ ( k ∈ ¢ ) 5π x = + 2nπ Chó ý: cách giải này, gặp : sin x.cos x = không nên đa sin x = v× nh vËy viƯc kết hợp nghiệm với phơng trình: sin x sin x = trở nên phức tạp số phơng trình, sau biến đổi ta ®a vỊ hƯ cã d¹ng: sin x = a cosx = a hc cosx = b cos3 x = b Ta không nên giải phơng trình riêng rẽ kết hợp nghiệm, mà nên biến sin x = a đổi : , sau thay giá trị a vào phơng trình sau, sin x = 3sin x − 4sin x = b 85 thoả mÃn hệ tơng đơng với sinx = a , không thoả mÃn, kết luận đợc hệ vô nghiệm co sx = a Làm tơng tự ®èi víi hƯ: 4cos x − 3cosx = b Với phơng trình: sin x + sin x = sin x.sin x cßn sử dụng vài cách giải khác, cách giải sử dụng bất đẳng thức Côsi nh sau: Cách 1: Giả thiết cho ta sin x nên: - Nếu sinx = phơng trình tơng đơng với: sin x = x = kπ ( k ∈ ¢ ) sin x = - NÕu sin x > ⇒ sin x > ta chia ph¬ng trình cho sin x.sin x Khi phơng trình đợc chuyển dạng: Theo bất đẳng thức Côsi sin x + =1 sin x 4sin x sin x 1 + ≥2 = ≥1 2 sin x 4sin x 4sin x sin x Do phơng trình xảy vµ chØ khi: sin x = vµ sin x = sin x 4sin x sin x = ⇔ sin x 4sin x ⇔ sin x = sin x = π x = + kπ ( k ∈ ¢ ) ⇔ sin x = (v× sin x ≥ ) ⇔ 5π x = + kπ Cách 2: Theo bất đẳng thức Côsi, ta cã: sin x + sin x ≥ sin x sin x ≥ sin x.sin x (Vì theo giả thiết sin x ta luân có sin x ≥ sin x ) 86 sin x = sin x Vậy phơng trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi hƯ: sin x sin x = sin x.sin x sin x = sin x (v× sin x ≥ ) ⇔ sin x sin x = sin x.sin x Phơng trình thứ hai cho ta: sin x = , sin x = 0, sin x = ± Tõ ®ã rót nghiƯm cđa phơng trình đà cho Ta sử dụng phơng trình pháp giải ẩn theo ẩn Có nghĩa ta coi phơng trình nh phơng trình bậc hai ®èi víi sin x , ta tÝnh sin x theo sin 3x : 1 sin x + sin x = sin x.sin x ⇔ sin x − (sin x)sin x + sin x = 4 ∆ = sin x − sin 2 x = sin x ( sin x − 1) = − sin x.cos x Để giải phơng trình có nghiệm th×: ∆ = sin x.cos3 x = ⇔ sin x = sin x sin x = sin x 2 sin x.cos3 x = ⇔ sin x = sin x sin x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ (k ∈ ¢ ) sin x = 4cos x − 3cosx = π ⇔ cos3 x = x = + kπ cosx = ⇔ ⇔ sinx = x = 5π + 2kπ cosx = − 87 x = k Vậy phơng trình đà cho có nghiệm lµ: x = + 2kπ 5π x = + kπ ( k Â) Ví dụ Giải phơng trình: x − x sin x − 2cos x + = Phơng trình đà cho tơng đơng với: x − x sin x − 2cos x + = ⇔ ( x − sin x ) − sin x − 2cosx + + = x = sinx 2 ⇔ ( x − sinx ) + ( cosx − 1) = ⇔ ⇔ x=0 cosx = Chó ý: Bài có cách giải khác coi phơng trình đà cho phơng trình hạ bậc hai x sinx cosx đợc xem nh lµ hµm sè: x − 2(sin x) x − 2cos x + = Ta tÝnh : ∆′ = sin x + 2cosx − = − ( cos x − 2cosx + 1) = − ( cosx − 1) ≤ ∆′ = cosx = Để phơng trình có nghiệm thì: ⇔ ⇔ x=0 x = sinx x = sinx Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: x = + cos ( x + y ) Sử dụng công thức hạ bậc, phơng trình đà cho tơng đơng với Ví dụ Giải phơng tr×nh: sin x + sin y = − cos x − co s y + = + cos ( x + y ) 2 ⇔1 − cos ( x + y ) cos ( x − y ) = + cos ( x + y ) ⇔ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) cos ( x + y ) + = ⇔ 1 ⇔ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ÷ − cos ( x − y ) + = ⇔ cos ( x + y ) + cos ( x − y ) ÷ + sin ( x − y ) = 88 sin ( x − y ) = sin ( x − y ) = x − y = kπ ⇔ ⇔ 2π 1 ⇔ x+ y=± + mπ cos ( x + y ) = − cos ( x − y ) cos ( x + y ) = ± π π x = + (k + m) y = π + ( m − k ) π ⇔ x = − π + ( k + m ) π y = − π + ( m − k ) π ( k, m  ) Chú ý: Ví dụ sử dụng cách giải phần ý vÝ dơ víi Èn lµ cos(x+y) vµ hµm sè lµ cos(x-y) cos ( x + y ) + cos ( x − y ) cos ( x + y ) + =0 Ta tÝnh: ∆ = cos ( x − y ) − = − sin ( x − y ) ≤ Để phơng trình có nghiệm thì: sin ( x − y ) = ∆ = ⇔ 1 cos ( x + y ) = − cos ( x − y ) cos ( x − y ) = ± π π x = + ( k + m) y = π + ( m − k ) π Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: x = − π + ( k + m ) π y = − π + ( m − k ) π ( k, m ∈ ¢ ) 2.5.2 Sử dụng tính bị chặn hàm số sinx cosx để dẫn tới đối lập hai vế phơng trình f ( x) = a f ( x) ≤ a Ta ®· biÕt: f ( x ) = g ( x ) ⇔ nÕu g ( x) = a g ( x) ≥ a 89 f ( x) ≤ a f ( x ) = g ( x ) v« nghiƯm nÕu g ( x) > a Ví dụ Giải phơng trình: 2sin x = x + x + Do sin x ≤ nªn sin x ≤ 2 14 14 Cßn x + x + = x + + ≥ > ÷ 5 VËy: x + x + > 2sin x nên phơng trình vô nghiện Ví dụ Giải phơng trình: cos x + sin1940 x = Do cos x ≤ vµ sin x ≤ cos x ≤ cos x nªn : 1940 ⇒ cos x + sin1940 x ≤ sin sin x Vì phơng trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi: cos x = 1938 cos5 x = cos x cos x(cos3 x − 1) = sin x − = ⇔ ⇔ 1940 1938 sin x = sin x = sin x sin x(sin x − 1) = cos3 x − = cos x = cosx = π ⇔ x = + kπ 1938 sin x = ±1 sin x − = ⇔ ⇔ sin x = sin x = ⇔ x = kπ cos3 x − = cos x − π x = + k (k  ) Vậy nghiệm phơng ®· cho lµ: x = kπ VÝ dụ Giải phơng trình: sin x cos x = Do cosx ≤ vµ sin x mà cos x > sin x > , điều không đợc Nên : cos x hay cos x = cos x 90 Từ phơng trình đà cho tơng với : sin x + cos x = L¹i : sin x ≤ sin x cos x = cosx ≤ cosx = cos x Ta cã : sin x + cos x ≤ Do phơng trình đà cho tơng đơng với : sin x = sin x sin x(sin x − 1) = ⇔ ⇔ cosx = cosx cosx cosx − = ( sin x = sin x = cosx = ⇔ ⇔ cosx = −1 cos x = sin x = ) x = π + kπ ⇔ π x = + kπ cosx ≤ 1) ( ( k Â) Chú ý: Ví dụ ta giải cách Phơng trình đà cho tơng ®¬ng víi : sin ( π − x ) + cos ( π − x ) = Nh vËy ta trở lại ví dụ trên, ta có : π π π π − x = + kπ x = − kπ x = + kπ ⇔ ⇔ 2 π − x = 2kπ x = π − 2kπ x = π + 2kπ x = + k Vậy phơng trình đà cho có nghiƯm lµ: π x = + kπ ( k ∈¢) ( k ∈¢) 2.5.3 Chøng minh phơng trình có nghiệm Chú ý: Loại phơg trình thờng chứa sinx cosx đa vào đặc điểm sin x cos x để giải Ví dụ Giải phơng trình: 4cos x + 1995sin1996 x = 1995 cos x = Ta nhận thấy phơng trình đà cho cã nghiÖm: ⇔ x = + kπ sin x = Ta chøng minh nghiƯm nµy Giả sử sin x < sin1996 x sin x nên : 91 1995 = 4cos x + 1995sin1996 x ≤ 4cos x + 1995sin x = 4(1 − sin x) + 1995sin x = + 1991sin x < + 1991 = 1995 §iỊu nµy chøng tá sin x = lµ nghiƯm Ví dụ Giải phơng trình: x = sin π π ( + x ) sin ( − x ) víi ≤ x ≤ 3 2 Phơng trình đà cho đợc tơng đơng với: x + cos cos 3 x ÷= π π ( + x ) sin ( − x ) ⇔ x = lµ nghiƯm 3 Ta chøng minh nghiƯm nµy lµ nhÊt Ta nhËn thÊy x = sin 1 2π Gäi: f ( x ) = x + − − cos 2 1 2π x ÷ = x − − cos x víi ≤ x ≤ π 2π sin x > víi ≤ x ≤ , chøng tá hµm f ( x ) luân luân 3 đồng biến ≤ x ≤ TÝnh: f ′ ( x ) = + Nªn f ( x ) = chØ cã thĨ nghiƯm nhÊt x = Ví dụ Giải phơng trình: 19cos x + 20sin1996 x = 20 Phơng trình đà cho tơng đơng với : 19 ( sin x ) + 20sin1996 x = 20 ⇔ 20sin1996 x = + 19sin x Ta nhËn thÊy sin1996 x = sin x = ⇔ x = π + kπ lµ nghiƯm Ta chøng minh nghiƯm nµy lµ nhÊt Do ≤ sin1996 x ≤ , ≤ sin x ≤ nên sin1996 x sin x ≠ th× : 0 ≤ sin1996 x < ta đợc: sin1996 x < sin x 0 ≤ sin x < (v× sin1996 x = sin x = không nghiệm phơng trình đà cho) Nh vậy: < 19sin1996 x < 19sin x ⇒ < sin1996 x < Cộng bất đẳng thức chiều ta suy : 20sin1996 x < + 19sin x 92 điều trái giả thiết Vậy phơng trình đà cho cã nghiƯm lµ: x = π + kπ ( k  ) 2.5.4 Một số phơng trình dạng khác sin f ( x ) sin g ( x ) = ±1 ( I ) cos f ( x ) cos g ( x ) = ±1 sin f ( x ) cos g ( x ) = ± sin f ( x ) ± sin g ( x ) = ±2 hc ( II ) cos f ( x ) ± cos g ( x ) = ±2 sin f ( x ) ± cos g ( x ) = ± Chú ý 1: Khi gặp phơng trình có dạng (I) nến sử dụng phép biến đổi tích thành tổng đa dạng (II) để phơng trình tơng đơng víi mét hƯ V× sin f ( x ) ≤ 1, sin g ( x ) ≤ cos f ( x ) ≤ 1, cos g ( x ) nên phơng trình: sin f ( x ) = • sin f ( x ) + sin g ( x ) = ⇔ sin g ( x ) = sin f ( x ) = • sin f ( x ) − sin g ( x ) = ⇔ sin g ( x ) = −1 sin f ( x ) = −1 • sin f ( x ) + sin g ( x ) = − ⇔ sin g ( x ) = −1 sin f ( x ) = −1 • sin f ( x ) − sin g ( x ) = − ⇔ sin g ( x ) = Tơng tự phơng trình: sin f ( x ) sin g ( x ) = ± vµ cos f ( x ) ± cos g ( x ) = ±2 Chú ý 2: Khi giải phơng trình hệ không đợc lấy kí hiệu k (hoặc m …) cho c¸c hä nghiƯm hƯ Chó ý 3: ViƯc kÕt hỵp nghiƯm hƯ cã thĨ : - Dùng đờng tròn đơn vị : - Dùng phơng trình vô định (phơng trình bậc hai ẩn) với ẩn số nguyên thông thờng ta hay sử dụng điiều kiƯn chia hÕt 93 - NÕu hƯ cã ph¬ng trình chứa hàm số lợng giác x, 2x, 3x, 4x nên biến đổi hàm số lợng giác x 2x, phần đơn giản việc rót nghiƯm chung cđa hƯ VÝ dơ 10 Gi¶i phơng trình: cos x.cosx = Phơng trình đà cho tơng đơng với : cos3x = cos x.cosx = −1 ⇔ 2cos x.cosx = −2 ⇔ cos3x + cosx = −2 ⇔ cosx = −1 3x = π + 2mπ ⇔ , ( m, n  ) cos3x 1, cosx x = π + 2nπ π π 3x = π + 2mπ x = + 2m ⇔ ⇔ 3 ⇔ x = π + 2kπ (k ∈ ¢ ) x = π + 2nπ x = π + 2nπ C¸ch kh¸c: cos3x = −1 4cos x − 3cosx = −1 Ta cã: ⇔ cosx = −1 cosx = −1 d ⇔ cosx = −1 ⇔ x = π + 2kπ Chú ý: Trong cách giải thứ nhất, không dùng đờng tròn đơn vị, ta phải xét: + 2m = π + 2nπ ⇔ + 2m = + 6n ⇔ m = 3n + 3 n = k Vậy để hệ có nghiệm m = 3k + (k ∈ ¢ ) π π x = + ( 3k + 1) = π + 2kπ Tõ ®ã : ⇔ x = π + 2kπ 3 x = + 2k Ví dụ 11 Giải phơng tr×nh: sin x + cos x + = Phơng trình đà cho có viết lại : ( k Â) sin x = sin x ≤ 1, cos x ≤ sin x + cos x = −2 ⇔ cos x = −1 94 π 3x = − + 2mπ ⇔ , 2 x = π + 2nπ π π x = − + m π ⇔ x = + kπ ( m, n ∈ ¢ ) ⇔ x = π + nπ W C¸ch kh¸c: sin x = −1 sin x + cos x = −2 ⇔ cos x = −1 3sin x − 4sin x = −1 ⇔ sin x = ±1 − Chú ý: Cũng nh trớc ta phải tìm giá trị m, n thuộc  cho hÖ cã nghiÖm chung : − π π π n + m = + nπ ⇔ − + 4m = + 6n ⇔ m = + n + 2 Do m , n ∈ ¢ ⇒ ( m, n ∈ ¢ ) n = 2k n n  , đặc = k ⇒ 2 m = + 3k π π π x = − + ( + 3k ) = + 2kπ π Tõ ®ã: ⇔ x = + kπ x = π + kπ Ví dụ 12 Giải phơng trình: sin x.cos16 x = Phơng trình đà cho tơng đơng víi : ( k ∈¢) sin 20 x = sin x.cos16 x = ⇔ sin 20 x − sin12 x = ⇔ sin12 x = −1 π π π x= +n 20 x = + 2nπ 40 10 ⇔ ⇔ ( n, m ∈ ¢ ) π π π 12 x = − + 2mπ x = − + m 24 §Ĩ hƯ cã nghiƯm th×: π π π π + n = − + m ⇔ + 12n = −5 + 20m ⇔ 12n = −8 + 20m 40 10 24 ⇔n= −2 + 5m 2+m = 2m − 3 95 Do m, n ∈ ¢ ⇒ m = 3k 2+m 2+m  , đặt =k ⇒ 3 n = 5k − π π x= + ( 5k − ) 3π π 40 10 Thay l¹i, ta cã: ⇔ x=− +k x = − π + ( 3k − ) π 24 Vậy phơng trình đà cho có nghiệm là: x = − 3π π +k ( k ∈¢) Bài tập Giải phơng trình sau: Bài 4cos x + cot g x + = ( 2cosx − cot gx ) Bµi x − x.cosxy + = Bµi sin x = x + x + Bµi sin x + 2sin x = + sin x Bµi sin x ( cosx − 2sin x ) + cos x ( + sin x − 2cos x ) = ( ) Bµi sin x + 3cosx sin x = Bình luận Quá trình dạy học phơng trình lợng giác không mẫu mực đà góp phần phát triển số yếu tố t sáng tạo thật vậy: - Học sinh vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp để tìm lời giải phơng trình lợng giác không mẫu mực (tính mềm dẻo) - Học sinh biết nhìn phơng trình lợng giác không mẫu mức dới nhiều góc độ khác (tính miềm dẻo) vận dụng kiến thức thích hợp để tìm lời giải (tính nhuần nhuyễn) Khi tìm đợc nhiều lời giải cho phơng trình học sinh so sánh chúng với để tìm lời giải hay nhất, đẹp (tính độc đáo) - Học sinh có nhận xét tinh tế, đặc biệt mà nhiều học sinh khác không nhận để dẫn đến lời giải độc đáo (tính độc đáo) 96 ... phng trình c th( kh thực thuật to¸n) - Tư s¸ng tạo: Tìm nhiu li gii khác ca mt bi toán 2.4 Rèn luyện TDTT dạy học phơng trình lợng giác dạng đối xứng với hàm số lợng giác 2.4.1 RÌn luyện tư thuật. .. gii phng trình cụ thể ( khả thực thuật to¸n) - T sáng to: Tìm nhiu li gii khác ca bi toán 2.3 Rèn luyện TDTT TDST dạy học phơng trình đẳng cấp sinx cosx 52 2.3.1 Các ví d Ví d Giải phương tr×nh:... phơng trình tổng quát(khái quát hóa trình diễn số đối tợng riêng lẻ thành trình điễn lớp đối tợng), áp dụng qui tắc tổng quát để giải phơng trình cụ thể(khả thực thuật toán) 2.1.2 Rèn luyện t thuật