Đang tải... (xem toàn văn)
PHẢN THÍ DỤ LÝ THUYẾT NHÓM
1 Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin học MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG LÝ THUYẾT NHÓM Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy 12 – 2009 2 Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin học MỘT SỐ PHẢN THÍ DỤ TRONG LÝ THUYẾT NHÓM Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy 12 – 2009 3 Mục lục 1. Về mệnh đề đảo của định lý Lagrange 4 2. Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh không hữu hạn sinh 7 3. Nhóm Abel hạn có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm hữu hạn 12 4. Nhóm Abel không có nhóm con tối đại 14 5. Nhóm thỏa điều kiện đúng trong trường hợp 1 số nguyên và 2 số nguyên liên tiếp nhưng không là nhóm Abel 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 4 1. Về mệnh đề đảo của định lý Lagrange 1.1. Đặt vấn đề - Định lý Larange khẳng định rằng “Nếu là một nhóm con của nhóm hữu hạn thì cấp của chia hết cho cấp của ”. Ta xem xét tính đúng đắn của mệnh đề đảo định lý này. Nghĩa là nếu là một nhóm hữu hạn cấp và là một ước số của ), liệu rằng luôn tồn tại một nhóm con cấp của hay không? - Trong trường hợp mệnh đề đảo của định lý Lagrange không đúng thì cần bổ sung các điều kiện gì? 1.2. Phản thí dụ: Mệnh đề 1.2.1 (Định lý Sylow 1) Giả sử , với nguyên tố và . Khi đó với mọi , tồn tại trong một nhóm con có cấp . Nói riêng, tồn tại trong G các p – nhóm con Sylow. Chứng minh: Việc chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 37 trong [4]. Ở đây không trình bày lại mà chỉ áp dụng định lý này trong các chứng minh sau. Mệnh đề 1.2.2 Nhóm hữu hạn là một p – nhóm khi và chỉ khi là lũy thừa của . Chứng minh: Việc chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 36 trong [4]. Ở đây không trình bày lại mà chỉ áp dụng định lý này trong các chứng minh sau. Mệnh đề 1.2.3 Mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với hoặc đẳng cấu với Chứng minh: Giả sử X là nhóm cấp 6, khi đó theo định lý Sylow 1, X chứa một phần tử a cấp 3 và một phần tử b cấp 2. Xét hai trường hợp sau: + Nếu thì dễ dàng suy ra phần tử ab có cấp 6 Do đó X là nhóm cyclic sinh bởi ab. Do đó, X đẳng cấu với + Nếu thì và bảng toán (bảng 1) như sau: So sánh với bảng toán trên nhóm (bảng 2), trong đó các được xác định như sau: ; ; ; ; ; Ta có: , cho bởi tương ứng sau: 5 . . Bảng 1 Bảng 2 Tóm lại: mọi nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với hoặc đẳng cấu với . Mệnh đề 1.2.5 Nhóm thay phiên có cấp 12 nhưng không chứa nhóm con cấp 6. Chứng minh: Giả sử trong ta tìm được một nhóm con cấp 6. Khi đó, theo mệnh đề 1(1.2.2.), hoặc . Vì mọi phép thế trong đều không có cấp 6 nên không đẳng cấu với . Do đó . Trong có đúng 3 phần tử cấp 2 là các chuyển vị ; ; Trong cũng có đúng 3 phần tử cấp 2 đó là ; ; Các phần tử cấp 2 trong không giao hoán với nhau (chẳng hạn như ) nhưng các phần tử cấp 2 trong đều giao hoán với nhau. Điều này mâu thuẫn với . Vậy không chứa nhóm con cấp 6. 1.3. Điều kiện để mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng Với ví dụ trong 1.2.3., ta thấy rằng mệnh đề đảo của định lý Lagrange không đúng trong trường hợp tổng quát. Trong mục này, ta sẽ chứng minh mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng trong một số điều kiện đặc biệt. 1.3.1. Có thể thấy ngay, nếu trong phân tích tiêu chuẩn của 6 với là các số nguyên tố. Khi đó, theo định lý Sylow 1 (1.2.1.), ta luôn tìm được các nhóm con mà với Chẳng hạn: nhóm có cấp 24 (với ) thì ta luôn tìm được các nhóm con có cấp là 2, 4, 8, 3. Tức là, trong điều kiện tổng quát của nhóm , ta chỉ tìm được giới hạn một số nhóm con với cấp thỏa định lý Sylow 1. 1.3.2. Tuy nhiên, trong trường hợp nhóm đã cho ban đầu là nhóm Abel, mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng. Ta sẽ chứng minh khẳng định trên trong phần sau: Trước tiên ta xét bổ đề sau: Bổ đề 1.3.2.1. Giả sử A và B là các nhóm con của nhóm Abel X sao cho thì là nhóm con của X và . Chứng minh: i) là nhóm con của X. Thật vậy: + . + Nếu và thì , . Khi đó: . ii) Xét ánh xạ là một đẳng cấu nhóm. Thật vậy: + là đồng cấu nhóm vì + là đơn ánh vì . + Hiển nhiên là toàn ánh. Vậy: là nhóm con của X và . 1.3.2.2. Bằng quy nạp ta sẽ có được các hệ quả sau: Nếu là các nhóm con của nhóm Abel X sao cho ; với thì: i) là nhóm con của X và ii) 7 1.3.2.1. Chứng minh mệnh đề đảo của định lý Lagrange đúng khi nhóm hữu hạn cho trước là nhóm abel: Mệnh đề: Nếu X là nhóm Abel hữu hạn cấp n, thì với mỗi ước nguyên dương m của n, tồn tại một nhóm con A của X với cấp m. Chứng minh: Giả sử: Vì nên với mọi . Theo định lý Sylow 1 (1.2.1.), tồn tại nhóm con của X có cấp với mọi . Giả sử , với Khi đó theo mệnh đề 1.2.2, ta có với . Vì nên hay . Vậy , với . Theo 1.3.2.2. ta có: là nhóm con của X có cấp 1.4. Kết luận: Mệnh đề đảo của định lý Lagrange trong trường hợp tổng quát là không đúng. Nghĩa là, khi là nhóm hữu hạn cấp n, và m là một ước tùy ý của n, ta không khẳng định được sẽ tồn tại một nhóm con của có cấp m. Tuy nhiên, trong một số trường hợp sau, ta có thể khẳng định được luôn tìm được nhóm con của : + m là một ước của n có dạng (với là số nguyên tố). + là nhóm Abel. 2. Nhóm con của nhóm hữu hạn sinh không là nhóm hữu hạn sinh 2.1. Phản thí dụ: Trong nhóm , ta xét với ; Xét . Khi đó, là tập có lực lượng vô hạn đếm được. Gọi là nhóm con của sinh bởi tức là . 8 Ta sẽ chứng minh là nhóm con thực sự của bằng cách chứng tỏ rằng thuộc nhưng không thuộc . Lấy thuộc . Khi đó: với Để chứng minh không thuộc , ta sẽ chứng minh bằng cách quy nạp theo k. Với . + Nếu , ta có: Giả sử: Vậy với mọi + Nếu , ta có: Giả sử: Vậy với mọi Tóm lại: với mọi . Giả sử , , . Đặt với (*) Ta cần chứng minh , , . + Nếu Khi đó: (theo giả thiết quy nạp) + Nếu Khi đó: Giả sử: 9 Lấy (2) nhân với rồi cộng với , ta được . Điều này vi phạm điều kiện (*) trong giả thiết quy nạp. Hay ; ; + Nếu Giả sử: Lý luận tương tự, ta cũng dẫn đến điều vô lý Hay ; ; Tóm lại: ; Theo nguyên lý quy nạp, không thuộc . Vì vậy, là nhóm con thực sự của và là nhóm vô hạn sinh. 2.2. Điều kiện để nhóm con của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh: Ở ví dụ trên, ta thấy rằng, nhóm không là nhóm Abel. Trong phần này, ta chứng minh rằng “Nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh”; với quy ước tất cả các nhóm được xét đến đều là nhóm Abel với phép toán cộng. Trước tiên ta xem xét một số kiến thức chuẩn bị sau: 2.2.1. Kiến thức chuẩn bị: Định nghĩa 2.2.1.1 Một nhóm Abel được gọi là nhóm Abel t do nếu là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp vô hạn. Nói rõ hơn, tồn tại một tập hợp gồm các phần tử có cấp vô hạn (gọi là của ) sao cho nghĩa là 10 Dễ thấy rằng, nếu là một cơ sở của nhóm Abel tự do thì với mỗi , tồn tại duy nhất một dạng biểu diễn Định lý 2.2.1.2 Cho là nhóm Abel bất kỳ, là nhóm Abel tự do có cơ sở X và là một ánh xạ. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu sao cho , nghĩa là . Chứng minh. Phần chứng minh định lý này đã được nêu rõ ở trang 82, trong [4]. Ở đây không trình bày lại. Định lý 2.2.1.3 Cho và là hai nhóm Abel tự do với các cơ sở tương ứng là và . Khi đó . Chứng minh. Phần chứng minh mệnh đề này đã được nêu rõ ở trang 83, trong [4]. Ở đây không trình bày lại. Mệnh đề 2.2.1.4 Nếu là nhóm con chuẩn tắc của và là nhóm Abel tự do thì tồn tại là nhóm con của sao cho . Chứng minh. Phần chứng minh mệnh đề này đã được nêu rõ ở trang 82, trong [4]. Ở đây không trình bày lại. Định lý 2.2.1.5 Cho là nhóm Abel tự do có cở sở hữu hạn, là một nhóm con của khác 0. Khi đó cũng là một nhóm Abel tự do có cơ sở hữu hạn và lực lượng cơ sở của bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của . Chứng minh. Gọi lực lượng cơ sở của là n, . Bằng phương pháp quy nạp theo n, ta chứng minh lực lượng cơ sở của bé hơn lực lượng của (*). Nếu , thì là nhóm cyclic cấp vô hạn. Vì nên cũng là nhóm cyclic. Mà nên . Do đó là nhóm Abel tự do và lực lượng cơ sở của bằng lực lượng cơ sở của . Gọi là lực lượng cơ sở của . [...]... đề: Xét bài toán 1.8 trong [1], nếu một nhóm thỏa mãn tính chất tồn tại ba số nguyên liên tiếp sao cho với mọi thì G là nhóm Abel Liệu rằng, điều kiện trên đã là tối ưu chưa? Tức là đúng với một số nguyên và hai số nguyên liên tiếp thì nhóm có là nhóm abel hay không? 5.2 Phản thí dụ: 5.2.1 Xét nhóm hoán vị Ta chỉ ra rằng, tồn tại một số nguyên i sao cho với mọi Đặt là cấp của nhóm Ta có: 16 Khi... tại một số nguyên sao cho với mọi Nhưng với , nhóm không là nhóm Abel 5.2.2 Trong ví dụ trên, dễ thấy rằng: Tức là với mọi Tóm lại, tồn tại hai số nguyên là và sao cho với mọi Nhưng với , nhóm không là nhóm Abel 5.3 Kết luận Tóm lại, ta sẽ có các tính chất sau trong nhóm i) là nhóm Abel ii) với mọi là tương đương: iii) với mọi iv) với mọi , v) với mọi và ba số nguyên Chứng minh (i) (ii) Do là nhóm. .. với Trong , tồn tại phần tử Chọn Khi đó sao cho Hay Mệnh đề 4.4 Nhóm với phép toán cộng không có nhóm con tối đại Chứng minh Lấy là nhóm con thực sự của Ta chỉ rằng luôn tồn tại nhóm là nhóm con thực sự của sao cho Chọn sao cho 〈 Xét nhóm 〉 Theo Mệnh đề 4.1, ta có 〈 〉 〈 〉 Hay ⋃〈 〉 Tức là 〈 〉 5 Nhóm thỏa điều kiện đúng trong trường hợp 1 số nguyên và 2 số nguyên liên tiếp nhưng không là nhóm. .. theo Định lý 2.2.1.5, 〈 lượng cơ sở bé hơn hoặc bằng Do đó Với mọi , ta có Suy ra 〈 Do đó Vậy là nhóm hữu hạn sinh là nhóm Abel tự do có lực 〉 với { } với , 〉 3 Nhóm Abel vô hạn có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm hữu hạn Mệnh đề 3.1 √ là tập hợp các căn bậc một nhóm con cyclic của Chứng minh + Ta có √ vì của 1 trong trường số phức Khi đó √ là √ + Nếu √ thì Vậy √ Do đó √ là một nhóm con của... hạn Vậy mọi nhóm con thực sự của đều là nhóm cyclic cấp hữu hạn Nhận xét 3.4 Ta thấy rằng tuy có mọi nhóm con thực sự đều là nhóm cyclic nhưng không là nhóm cyclic 〈 〉 Thật vậy, giả sử là nhóm cyclic, Khi đó nên tồn tại số tự nhiên sao cho Do đó có cấp hữu hạn nên nhóm sinh bởi có cấp hữu hạn Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng nhóm Vậy không là nhóm cyclic 4 Nhóm Abel không có nhóm con tối... Chứng minh định lý: Nhóm con của nhóm Abel hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh Chứng minh 11 { { Cho là nhóm Abel sinh bởi với Gọi là nhóm Abel tự do sinh bởi Xét ánh xạ }, } là nhóm con của Theo Định lý 2.2.1.2, tồn tại duy nhất đồng cấu Vì sao cho { } nên theo Định lý 2.2.1.6 thì là toàn cấu là toàn ánh lên hệ sinh của Ta chứng minh + Thật vậy: vì + Lấy thuộc thì [ Do thuộc ] nên Vì là nhóm Abel tự... đó √ là nhóm cyclic sinh bởi Đặt Mệnh đề 3.2 Với Chứng minh Lấy ta có √ √ √ Khi đó: 12 ( ) ( ) ( Do đó ) √ Mệnh đề 3.3 Đặt ⋃ √ là nhóm con cấp vô hạn của cấp hữu hạn Chứng minh nhưng mọi nhóm con thực sự của Kiểm tra là nhóm con cấp vô hạn của + vì + Nếu , thì tồn tại các số tự nhiên sao cho ( ) Theo cách xây dựng Giả sử , khi đó Vậy là nhóm con của đều là nhóm cyclic Do đó là nhóm vô... bài tập 1.18 trong [1] 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội, Đ i số đ i cương, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2004 [2] Hoàng Xuân Sính, Đ i số đ i cương, NXB Giáo dục, 2007 [3] Mỵ Vinh Quang, Bài tập Đ i số đ i cương, NXB Giáo dục, 1998 [4] Bùi Xuân Hải, Trịnh Thanh Đèo, Đ i số hiện đ i, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002 [5] Nguyễn Thế Hữu, Bài tập Đ i số, Trung tâm... bằng lực lượng cơ sở của Mà cơ sở của nhiều hơn cơ sở của là một phần tử Nên lực lượng cơ sở của bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của Trong 2 trường hợp trên, ta có được lực lượng cơ sở của bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của Vậy theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh { Định lý 2.2.1.6 Cho là nhóm, là nhóm sinh bởi tập cấu nhóm Khi đó là toàn cấu khi và chỉ khi là toàn ánh lên Chứng... 4.2 Trong nhóm cộng các số hữu tỷ , nhóm con cyclic của nó Chứng minh Ta sẽ chứng minh ⋃〈 〉 ⋃〈 〉 Hiển nhiên đúng vì 〈 〉 , với mọi 14 〉 là hợp của chuỗi tăng vô hạn các ⋃〈 〉 Lấy Khi đó Khi đó Không mất tính tổng quát giả sử 〈 〉 ⋃〈 〉 Vậy: ⋃〈 〉 Mệnh đề 4.3 Mọi nhóm con thực sự của cyclic Chứng minh Giả sử là nhóm con thực sự của Xây dựng Lấy phần tử Khi đó đều có thể biểu diễn dưới hợp của các nhóm . TRONG LÝ THUYẾT NHÓM Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy 12 – 2009 2 Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố. TRONG LÝ THUYẾT NHÓM Giảng viên phụ trách: TS. Nguyễn Viết Đông Sinh viên thực hiện: Phan Đức Duy 12 – 2009 3 Mục lục 1. Về mệnh đề đảo của. tại duy nhất một dạng biểu diễn Định lý 2.2.1.2 Cho là nhóm Abel bất kỳ, là nhóm Abel tự do có cơ sở X và là một ánh xạ. Khi đó tồn tại duy nhất