ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN W@X TRƯƠNG TẤN DUY IDEAL BẤT KHẢ QUY MẠNH TRONG VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP. HỒ CHÍ MINH - 2009 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin gởi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, nhất là những thầy trong bộ môn Đại số, những người đã tận tì nh chỉ dạy cho em trong suốt thời gian e m học tại trường. Chính những kiến thức mà e m học trong suốt t hời gian qua là nền tảng hế t sức quan trọng để em có thể hoà n thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứu khoa học lâu dài sau này. Hơn ai hết, em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Trần Ngọc Hội, là người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn này. Thầy thường xuyên quan tâm và động viên và truyền đạt những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học cho học trò của mình, trong đó có em. Qua đó em đã tiếp thu được nhiều kiến thức và học đư ợc nhiều kinh nghiệ m đáng quý trong quá trình nghiên c ứu. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn thầy. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn TS. Nguyễn Viết Đông và PGS. TS. Mỵ Vinh Quang đã dành thời gian đọc, góp ý và chỉnh sửa luận văn của em. Xin cảm ơn gia đình và những người thân đã tạo mọi điều kiệ n về mọi mặt để em hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin cảm ơn các bạn Giang, Trí, Bá, Lợi đã cộng tác, giúp đỡ cũng như tất cả bạn bè khác đã động viên rất nhiều trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này. ii Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Bảng ký hiệu iv 1 Một s ố vấn đề cơ bản 1 1.1 Ideal trong vành gi ao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán 14 2.1 Định nghĩa và những t ính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa . . . . . . . . . . 18 3 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt 20 3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán . . . . . . . . . 20 3.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán khác . . . . . . . 27 3.3 Tôpô trên tập tất cả ideal bất khả quy mạnh . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 i BẢNG KÝ HIỆU [x,y] : Bội chung nhỏ nhất ⊆ : Con hoặc bằng ⊂ : Con thật sự ∈ : Thuộc /∈ : Không thuộc ∩ : Giao ∪ : Hợp = : Khác  : Lớn hơn hoặc bằng V (I) : Số phần tử sinh của I ⊗ : Tích ten xơ Z : Tập các số nguyên N : Tập các số tự nhiên /0 : Tập rỗng Spec(R) : Tôpô Zariski Jac(R) : Căn Jacobson Zdv(R) : Tập hợp ước của 0 iv LỜI NÓI ĐẦU Như chúng ta đã biết, trong vành giao hoán R ideal thật sự I được gọi là ideal là ideal bất khả quy nếu nó không là giao của hai ideal thật sự chứa nó. Ta có một kết quả thú vị là trong vành R, nếu I bất khả quy, J,K là hai ideal khác thỏa (J ∩K ) + I = (J + I)∩(K +I) và J ∩K ⊆ I thì J ⊆ I hoặc K ⊆ I. Vậy bà i toán đặt ra là với ideal thật sự I bất kì, J,K là hai ideal thỏa J ∩K ⊆ I thì liệu J ⊆ I hoặc K ⊆ I hay không? Từ bà i toán này chúng ta đi đến định nghĩa ideal bất khả quy mạnh của vành R. Tr ong luậ n văn này, chúng tôi khảo sát những tính chất của ideal bất khả o quy mạnh và mối liên hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, idea l nguyên sơ và ideal nguyên tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như vành Noether, Lasker, dẹt tuyệt đối, hầu nhân, ZPI-vành và miền Pr¨ufer, miền UFD, PID Luận văn gồm ba chương: + Chương 1. Một số vấn đề cơ bản Tóm tắt một số tính chất, định nghĩ a, định lý cần thiết của đại số giao hoán nhằm phục vụ cho Chương 2, 3, bạn đọc có thể tìm thấy phần chứng minh trong các tài liệu tham khảo của luận văn. + Chương 2. Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán Chúng tôi trình bày một số tính chất của ideal bất khả quy mạnh và mối liên hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và ideal nguyên tố trong vành giao hoán nói chung. + Chương 3. Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt Trong phần đầu của chương này, chúng tôi tiếp tục trình bày tính chất của ideal bất khả quy m ạnh và mối liên hệ giữa nó với ideal bấ t khả quy, nguyên sơ và nguyên tố trong một số vành giao hoán đặc biệt như: vành Noether, vành Lasker, vành số học, miền UFD Trong phần cuối của chương, chúng tôi giới thiệu và trình bày m ột số tính chất của tôpô trên tập các idea l bất khả quy mạnh. Luận văn này ta chỉ xét vành giao hoán có đơn vị. Cho nên khi nói đến vành mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị. iii Chương 1 Một số vấn đề cơ bản 1.1 Ideal trong vành gia o hoá n Định nghĩa 1.1.1 ([12], Định nghĩa 3.46). Cho Ilà ideal của vành R. Khi đó tập hợp {x ∈ R|x n ∈ I với n > 0} là ideal của R và được gọi là căn (radical) của I, kí hiệu là Rad(I) hay √ I. Định lý 1.1.2. ([10], Định lý 9, trang 147]) Cho I, J là hai i deal của R. Khi đó: i) √ I là ideal chứa I của R; ii) Nếu I k ⊂ J, với k là số nguyên dương thì √ I ⊂ √ J; iii) √ IJ = √ (I ∩J) = √ I ∩ √ J; iv) √ (I + J) = √ ( √ I + √ J); v) √√ I = √ I. Định nghĩa 1.1.3. Một ideal I của vành R thỏa mãn Rad(I) = I được gọi là ideal nửa nguyên tố. Định nghĩa 1.1.4. Cho đồng cấu vành f : R −→S. Khi đó: i) Nếu J là ideal của vành S thì f −1 (J) = {x ∈R|f (x) ∈J}là ideal của R và được gọi là ideal thu hẹp (contraction ideal) của J tới R, kí hiệu J ∩R hoặc J c . ii) Nếu I là ideal của R thì f (I)S là ideal của S được sinh bởi f (I) và được gọi là ideal mở rộng (extension ideal ) của I tới S, kí hiệu IS hoặc I e . Bổ đề 1.1.5. [[12], 2.43 ] Cho I, J là hai ideal của R và L, K là hai ideal của S. Khi đó: i) (I + J) e = I e + J e ; ii) (IJ) e = I e J e ; 1 1.1 Ideal trong vành giao hoán 2 iii) (L ∩K) c = L c ∩K c ; iv) ( √ L) c = √ (L c ). Bổ đề 1.1.6. ([12], Bổ đề 2.44) Cho R và S là những vành giao hoán, và đồng cấu vành f : R −→ S . Cho I và J lần lượt là ideal của R và S. Khi đó: i) I ⊆ I ec . ii) J ce ⊆ J. iii) I e = I ece . vi) J cec = J. IDEAL NGUYÊN SƠ VÀ IDEAL NGUYÊN TỐ Định nghĩa 1.1.7. Cho R là vành và Q là ideal thật sự trong R. Khi đó, Q được gọi là ideal nguyên sơ của R nếu ∀a,b ∈R,ab ∈ Q,b /∈ Q thì ∃n ∈N sao cho a n ∈ Q. Định lý 1.1.8. ([10], Định lý 12, trang 152) Cho Q là ideal nguyên sơ của R. Khi đó, nếu P = Rad(Q) thì P là ideal nguyên tố. Hơn nữa, nếu ab ∈Q và b /∈Q thì a ∈ P. Mặt khác, nếu I và J là hai ideal thỏa mãn IJ ⊆ Q và J  Q thì I ⊆ P. Định lý 1.1.9. ([10], Định lý 13, trang 153) Cho Q và P là các ide al của R. Khi đó Q là ideal nguyên sơ và P là căn của Q khi và chỉ khi các điều sau thỏa: i) Q ⊆ P; ii) nếu b ∈Q thì tồn tại m ∈N sao cho b m ∈ Q; iii) nếu ab ∈Q và b /∈P thì a ∈Q. Bổ đề 1.1.10. ([12], Bổ đề 3.28) Cho I, J là những ideal của vành R, s ao cho J ⊇ I. Khi đó J/I là ideal nguyên tố của vành R/I khi và chỉ khi J là ideal nguyên tố của R. Bổ đề 1.1.11. ([12], Bổ đề 3.55) Cho P là ideal nguyên tố và I 1 ,I 2 , , I n là những ideal của R. Khi đó những khẳng định sau tương đương: i) ∃j, 1  j  n, P ⊇ I j ; ii) P ⊇  n i=1 I i ; iii) P ⊇ ∏ n i=1 I i . 1.1 Ideal trong vành giao hoán 3 Định lý 1.1.12. ([12], Định lý 3.60) Cho P 1 ,P 2 , ,P n , với n  2 là những ideal của R, sao cho có không quá hai ideal trong số P 1 ,P 2 , ,P n không nguyên tố. Cho S là nhóm con cộng của R và S đóng dưới phép nhân. Nếu S ⊆ n  i=1 P i thì tồn tại j, 1  j  n sao cho S ⊆P i . Mệnh đề 1.1.13. ([12],Mệnh đề 4.9) Cho Q là ideal của vành R và Q thỏa √ Q = M, với M là ideal nguyên tố tối đại của R. Khi đó Q là ideal nguyên sơ (hay M-nguyên sơ) của R. Ngược lại, mọi lũy thừa M n của ideal tối đại M là ideal M-nguyên sơ. Định lý 1.1.14. [12], Hệ quả 8.25 Cho I là ideal của vành Noether R, và I ⊆ Jac(R). Khi đó ∞  n=1 I n = 0. Hệ quả 1.1.15. Cho I là ideal thật sự của vành Noether giao hoán R. Khi đó I có sự phân tích nguyên sơ và sự phân tích nguyên sơ này là tối tiểu. VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA VÀNH Định nghĩa 1.1.16. Một tập con S của vành R là tập con nhân nếu 1 ∈S và xy ∈ S với mọi x,y ∈S. Mệnh đề 1.1.17. ([12], Mệnh đề 5.2) Cho S là một tập con nhân của vành giao hoán R. Ta định nghĩa một quan hệ ∼ trên R×S như sau: với mỗi (a;s) và (b;t) thuộc R×S ta viết (a; s) ∼ (b;t) nếu và chỉ nếu tồn tại u thuộc S sao cho u(at −bs) = 0. Khi đó quan hệ ∼ là quan hệ tương đương và lớp tương đương chứa (a; s) kí hiệu là a/s hoặc a s và tập tất cả các lớp tương đương của ∼ kí hiệu là S −1 R. Hơn nữa, S −1 R là vành giao hoán với hai phép toán sau: a s + b t = at + bs st , a s . b t = ab st với mọi a,b ∈R và s,t ∈S. Phần tử không của S −1 R là 0 1 , phần tử đơn vị của S −1 R là 1 1 . Vành S −1 R gọi là vành các thương của R. Từ định nghĩa vành các thương, ta xác định một ánh xạ f : R −→S −1 R 1.1 Ideal trong vành giao hoán 4 r −→ r 1 Khi đó f là một đồng cấu vành. Hơn nữa f là toàn cấu và gọi là đồng cấu tự nhiên. Bổ đề 1.1.18. ([12], Bổ đề 5.20) Cho P là ideal nguyên tố của R. Khi đó S = R −P là tập con nhân của R và vành các thương S −1 R (ký hiệu là R P ) là vành địa phương với ideal tối đại là { λ ∈ R P | λ = a s ,a ∈P,s ∈S}. Bổ đề 1.1.19. ([12], Bổ đề 5.24) Cho J là ideal của S −1 R. Khi đó J = J ce , hơn nữa ideal của S −1 R được mở rộng từ ideal của R. Bổ đề 1.1.20. ([12], Bổ đề 5.25) Cho I là ideal của R, S là tập con nhân của R và đồng cấu tự nhiên f : R −→ S −1 R. Khi đó, ta có I e = { λ ∈ S −1 R| λ = a s , a ∈I,s ∈S}. Bổ đề 1.1.21. ([12], Bổ đề 5.29) Cho S là tập con nhân của R và Q là ideal nguyên sơ của R sao cho Q ∩S = /0. Khi đó nếu λ ∈ Q e và a/s = λ là biểu diễn dưới dạng phân thức của λ (với a ∈ R và s ∈S ) thì a ∈Q. Bổ đề 1.1.22. ([12], Bổ đề 5.31) Cho I, J là những ideal của R và đồng cấu vành f : R −→S −1 R. Khi đó: i) (I + J) e = I e + J e ; ii) (IJ) e = I e J e ; iii) (I  J) e = I e  J e ; vi) ( √ I) e = √ (I e ); v) I e = S −1 R nếu và chỉ nếu I  S = /0. Định lý 1.1.23. ([12], Định lý 5.32) Cho S là một tập con nhân của R, đồng cấu tự nhiên f : R −→ S −1 R. Khi đó: i) Nếu P ∈ Spec(R) và P ∩S = /0 thì P e = S −1 R. ii) Nếu P ∈Spec(R) và P ∩S = /0 thì P e ∈ Spec(S −1 R). iii) Nếu P ∈Spec(S −1 R) thì P c ∩S = /0. Hơn nữa, P ce = Q. iv) Tồn tại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên tố của S −1 R và tập tất cả ideal nguyên tố của R không giao với S. 1.1 Ideal trong vành giao hoán 5 Định lý 1.1.24. ([12], Định lý 5.37) Cho S là tập con nhân của R và đồng cấu tự nhiên f : R −→S −1 R. Khi đó: i) Nếu Q là ideal nguyên sơ của R sao cho Q ∩S = /0 thì Q e = S −1 R. ii) Nếu Q là P-nguyên sơ của R sao cho Q ∩S = /0 thì Q e là P e -nguyên sơ của S −1 R. iii) Nếu Q là P-nguyên sơ của S −1 R thì Q c là P c -nguyên sơ của R sao cho Q c ∩S = /0. Hơn nữa, Q ce = Q. iv) Tồn t ại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal nguyên sơ của S −1 R và tập tất cả ideal nguyên sơ của R mà không giao với S. Mệnh đề 1.1.25. ([15], Mệ nh đề 3.13) Cho A và B là hai ideal của vành R. Khi đó A = B khi và chỉ khi AR P = BR P với mọi ideal nguyên tố P của R. IDEAL BẤT KHẢ QUY Định nghĩa 1.1.26 ([12], Định nghĩ a 4.31). Ideal thật sự I của vành R được gọi l à ideal bất khả quy nếu với mọi ideal J, K của R thỏa mãn J ∩K = I thì J = I hoặc K = I. Mệnh đề 1.1.27. ([12], Mệnh đề 4.34) Cho R là vành Noether giao hoán và I là ideal bất khả quy của R. Khi đó I là ideal nguyên sơ. Định lý 1.1.28. ([10], Định lý 34, trang 248) Cho (R,M) là vành đị a phương Noether và Q là ideal M-nguyên s ơ. Khi đó những khẳng định sau tương đương: i) Q bất khả quy; ii) (Q : R M)/Q là một R/M-không gian vectơ và có chiều bằng 1; iii) (Q : R M) là phần tử nhỏ nhất trong tập tất cả ideal thật sự chứa Q của R ; iv) giả sử J là ideal bất kỳ của R thỏa mãn Q ⊆ J. Khi đó tồn tại ideal K của R sao cho K = Q và J = (Q : R K). PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ Định nghĩa 1.1.29. ([12], Định nghĩa 4.15) Cho I là ideal thật sự của vành R. Ideal I được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu I được phân tích thành giao của hữu hạn các ideal nguyên sơ của R, tức là I =  n i=1 Q i trong đó Q i là P i -nguyên sơ với 1  i  n. Một sự phân tích của I như sau I =  n i=1 Q i trong đó Q i là P i -nguyên sơ với 1  i  n, được gọi là phân tích tối tiểu hay chuẩn tắc nếu i) P 1 ,P 2 , ,P n là các ideal nguyên tố khác nhau của R; [...]... IRM bất khả quy mạnh trong RM Suy ra IRM ∩ R là ideal bất khả quy mạnh của R Và do I là ideal nguyên sơ, nên IRM ∩ R = I Vậy I bất khả quy mạnh trong R Chương 3 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt 3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán Mệnh đề 3.1.1 Cho I là ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether R, Rad(I) = P và giả sử I = P Khi đó: i) (I :R P)RP là ideal. .. khả quy mạnh trong R thì S−1 I bất khả quy mạnh trong S−1 R Ngược lại, nếu I bất khả quy mạnh trong S−1 R thì theo định lý trên ta cũng thu được I ∩ R bất khả quy mạnh trong R Bổ đề 2.2.3 Cho vành R Những khẳng định sau tương đương: i) Mọi ideal nguyên sơ của R bất khả quy mạnh ii) Cho P là ideal nguyên tố bất kỳ của R Khi đó mọi ideal nguyên sơ của RP bất khả quy mạnh iii) Cho M là ideal tối đại bất. .. Nếu R là vành dẹt tuyệt đối thì có một tương ứng 1-1 giữa tập gồm tất cả ideal bất khả quy mạnh của S−1 R và tập gồm tất cả ideal bất khả quy mạnh của R mà không giao với S 3.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán khác 31 Chứng minh Ta đã biết trong vành dẹt tuyệt đối, ideal bất khả quy mạnh là ideal nguyên sơ (theo Bổ đề 3.2.8) Do đó theo Hệ quả 2.2.2 nếu I bất khả quy mạnh trong R thì... bất khả quy Theo đó, nếu R là vành Noether thì I là ideal nguyên sơ ii) Nếu I là ideal nguyên tố thì I bất khả quy mạnh iii) Nếu I bất khả quy mạnh và H là ideal của R chứa trong I thì I/H bất khả quy mạnh trong R/H iv) Nếu I bất khả quy mạnh thì I là ideal nguyên tố khi và chỉ khi I là ideal nửa nguyên tố v) Nếu I là ideal thật sự của R thì tồn tại phần tử tối tiểu trong tập gồm những ideal bất khả quy. .. số vành giao hoán khác 30 Nhận xét 3.2.7 Trong miền PID, ideal I bất khả quy mạnh khi và chỉ khi I nguyên sơ Mệnh đề 3.2.8 Cho I là một ideal của vành R i) Nếu R là vành Lasker thì mọi ideal bất khả quy mạnh của R nguyên sơ ii) Nếu R là vành dẹt tuyệt đối thì I bất khả quy mạnh khi và chỉ khi I là ideal nguyên sơ iii) Cho T là mở rộng dẹt trung thành của R Nếu IT bất khả quy mạnh thì I bất khả quy mạnh. .. 3.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán khác 29 i) Ideal chính I của R là ideal bất khả quy mạnh nếu và chỉ nếu I là ideal nguyên sơ ii) Ideal bất khả quy mạnh của R được sinh bởi tập mà phần tử của tập này là lũy thừa của nguyên tố iii) Cho S là tập con nhân của R Khi đó tồn tại một tương ứng 1-1 giữa tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của S−1 R và tập tất cả ideal bất khả quy mạnh. .. I bất khả quy mạnh suy ra C ∩ R ⊆ I hoặc D ∩ R ⊆ I Theo đó hoặc C = S−1 (C ∩ R) ⊆ S−1 I D = S−1 (D ∩ R) ⊆ S−1 I Vậy S−1 I là ideal bất khả quy mạnh trên vành S−1 R 2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa 19 Hệ quả 2.2.2 Cho S là tập con nhân của R Khi đó i) Nếu I là ideal nguyên sơ bất khả quy mạnh và không giao với S của R thì S−1 I là ideal bất khả quy mạnh của S−1 R ii) Nếu R là vành. .. 2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành giao hoán 2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản Định nghĩa 2.1.1 Ideal thật sự I của vành R được gọi là ideal bất khả quy mạnh nếu với mọi ideal J, K của R thỏa mãn J ∩ K ⊆ I thì J ⊆ I hoặc K ⊆ I Ví dụ 2.1.2 {pn Z | với p nguyên tố , n ∈ N} là tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của Z Bổ đề 2.1.3 Cho I là ideal của vành R Ta có: i) Nếu I bất khả quy mạnh thì I bất. .. IRP bất khả quy mạnh Từ đó theo Hệ quả 2.2.2 I là ideal bất khả quy mạnh (⇒) Giả sử I bất khả quy mạnh và không nguyên tố Do R là vành Noether nên theo Bổ đề 2.1.3 I nguyên sơ Đặt P = Rad(I), hiển nhiên I = P, áp dụng Mệnh đề 3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán 25 3.1.7 IRP là ideal chính quy Hơn nữa do htI > 0 nên theo Mệnh đề 3.1.1 htI = 1 Mặt khác áp dụng Hệ quả 2.2.2 IRP bất khả. .. M), theo Bổ đề 2.1.3 I bất khả quy mạnh và hiển nhiên M = (M :R M) = R 2.2 Ideal bất khả quy mạnh trong vành địa phương hóa Định lý 2.2.1 Cho S là tập con nhân của R Đặt C = {I ∩ R|I là ideal của S−1 R} Khi đó tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của S−1 R tương ứng 1-1 với tập tất cả ideal bất khả quy mạnh của R thuộc C và không giao với S Chứng minh Cho I là ideal bất khả quy mạnh của S−1 R Khi đó I ∩ . Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán đặc biệt 20 3.1 Ideal bất khả quy mạnh trong vành Noether giao hoán . . . . . . . . . 20 3.2 Ideal bất khả quy mạnh trong một số vành giao hoán. của ideal bất khả quy mạnh và mối liên hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy, ideal nguyên sơ và ideal nguyên tố trong vành giao hoán nói chung. + Chương 3. Ideal bất khả quy mạnh. nghĩa ideal bất khả quy mạnh của vành R. Tr ong luậ n văn này, chúng tôi khảo sát những tính chất của ideal bất khả o quy mạnh và mối liên hệ giữa ideal bất khả quy mạnh với ideal bất khả quy,