TIỂU LUẬN PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN CHO PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Nhóm 8 - Lớp PP Toán sơ cấp K24 Mục lục 1 PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN 3 1.1 Hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Trường hợp 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Trường hợp 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 7 2.1 Bài tập 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Bài tập 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Bài tập 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 Bài tập 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Bài tập 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1 Mở đầu Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân, tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau như những hàm số của đối số nguyên. Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành phần, nhưng do đặc thù của nó, người ta thường xét và giải trực tiếp. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là tổng của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và một nghiệm riêng tùy ý của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. Phương pháp hàm Grin là một trong những phương pháp quan trọng để tìm nghiệm riêng. Đối với các hàm thông thường, nghiệm là một giá trị số (thực, phức ). Còn trong phương trình sai phân, mục tiêu là tìm racôngthứccủahàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra. Thông thường, nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó. Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. Trong các ứng dụng thực tế, việc tìm ra công thức của hàm đôi lúc nhiều lúc khó khăn. Thực tiễn người ta cũng chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập. Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng. Tuy nhiên, có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực cũng khó tìm ra, lúc này người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực. Việc giải các giá trị này thường được thực hiện bằng các phương pháp số và công cụ là máy tính. Với thành tựu của máy tính hiện nay, thời gian giải các bài toán vi phân có thể tính bằng giây. Qua quá trình tìm hiểu các nội dung trên, nhóm chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai”, trong đó các bài tập được giải nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple, một phần mềm hữu ích trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học hiện nay. Nhóm chúng tôi gồm năm thành viên với nhiệm vụ cụ thể sau: STT Họ và tên Nhiệm vụ 1 Nguyễn Hữu Lộc Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân 2 Nguyễn Thị Duy Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập 3 Nguyễn Thị Nở Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập 4 Lê Thị Thanh Lam Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp hàm Grin 5 Lưu Danh Cường Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân Trong thời gian nghiên cứu, thực hiện đề tài, nhóm chúng tôi đã nhận được sự quan tâm, giảng dạy nhiệt tình của thầy giáo, TS Lê Hải Trung. Xin gởi đến thầy lời cám ơn chân thành nhất. Mặc dù các thành viên trong nhóm đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót. Mong được thầy cô và các bạn chân thành góp ý để đề tài chúng tôi được hoàn thiện hơn. 2 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN 1.1 Hàm Grin Xét phương trình sai phân ax n−1 + bx n + c n+1 = f n (1.1.1) hoặc x n+1 = px n + qx n−1 + f n (1.1.2) Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng a + bλ + cλ 2 = 0 (1.1.3) có môđun khác 1, tức là |λ 1 | = 1, |λ 2 | = 1, ta tìm nghiệm của (1.1.1) với vế phải f n = δ n 0 , trong đó δ n 0 =  1, n = 0 0, n = 0 là ký hiệu Krônecke. Nghiệm của (1.1.1) với vế phải f n = δ n 0 , được gọi là nghiệm cơ bản hay hàm Grin và ký hiệu là G n . 1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin Ta tìm được nghiệm cơ bản bị chặn, tức là nghiệm bị chặn của các nhóm phương trình sau: I. aG n−1 + bG n + cG n+1 = 0 khi n ≤ −1 II. aG −1 + bG 0 + cG 1 = 1 III. aG n−1 + bG n + cG n+1 = 0 khi n ≥ 1 Bắt đầu từ trường hợp λ 1 = λ 2 . Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng x n = αλ n 1 + βλ n 2 Bởi vậy, mỗi nghiệm riêng G n của phương trình thuần nhất nhóm 1 có dạng G n = α  λ n 1 + β  λ n 2 khi n ≤ 0 trong đó α  và β  là các hằng số thích hợp. Cũng như vậy, nghiệm riêng của phương trình thuần nhất nhóm III có dạng G n = α  λ n 1 + β  λ n 2 khi n ≥ 0 với α  và β  là các hằng số thích hợp. 3 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 1.1.2 Các trường hợp Vì λ 1 = λ 2 , |λ 1 | = 1, |λ 2 | = 1 nên có thể xảy ra các trường hợp sau: 1. |λ 1 | < 1, |λ 2 | > 1 2. |λ 1 | < 1, |λ 2 | < 1 3. |λ 1 | > 1, |λ 2 | < 1 4. |λ 1 | > 1, |λ 2 | > 1 1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp 1.2.1 Trường hợp 1 Ta tìm nghiệm cơ bản bị chặn trong trường hợp 1: Do G n bị chặn khi n → −∞, nên suy ra α  = 0; G n bị chặn khi n → +∞, suy ra β  = 0 Bởi vậy G n =  β  λ n 2 , khi n ≤ 0 α  λ n 1 , khi n ≥ 0 Khi n = 0 cả hai công thức cuối phải cho cùng một giá trị G 0 . Từ đây suy ra β  = α  . Chọn β  từ điều kiện thỏa mãn nhóm II : aβ  α −1 2 + bβ  + cβ  λ 1 = 1 suy ra β  = 1 aλ −1 2 + b + cλ 1 Mẫu số của β  khác 0 vì aλ −1 2 + b + cλ 1 = aλ −1 2 + b + cλ 2 + c(λ 1 − λ 2 ) = c(λ 1 − λ 2 ) = 0 Vậy G n =        1 aλ −1 2 + b + cλ 1 λ n 2 , n ≤ 0 1 aλ −1 2 + b + cλ 1 λ n 1 , n ≥ 0 Nhận xét rằng, nếu thỏa mãn các điều kiện max{|a|, |b|, |c|} ≥ B > 0 (1.2.1) |λ 1 | < 1 − θ 2 , |λ −1 2 < 1 − θ 2 với các hằng số tùy ý B > 0, 2 > θ > 0, thì |G n | ≤ 4 Bθ  1 − θ 2  |n| (1.2.2) Thật vậy, từ điều kiện đầu suy ra nhất thiết phải có: hoặc |a| > B 4 , hoặc |c| > B 4 , hoặc  b 2 − 4ac > B 2 , vì nếu trái lại, |a| ≤ B 4 , |c| ≤ B 4 ,  b 2 − 4ac ≤ B 2 , thì B 2 4 ≥ b 2 − 4ac ≥ b 2 − B 2 4 =⇒ b 2 ≤ B 2 2 =⇒ b ≤ B √ 2 và max {|a|, |b|, |c|} = max  B 4 , B 2 √ 2  = B 2 √ 2 < B trái với giả thiết Ta lại có aλ −1 2 + b + cλ 1 = c(λ 1 − λ 2 ) = a(λ −1 2 − λ −1 1 ) = −  b 2 − 4ac Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 4 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 |λ 1 − λ 2 | ≥ |λ 2 | −|λ 1 | ≥ 1 1 − θ 2 −  1 − θ 2  = θ 2 − θ 2 2 −θ > θ |λ −1 2 − λ −1 1 | > θ. Từ các bất đẳng thức trên suy ra |aλ −1 2 + b + cλ 1 | ≥ Bθ 4 và do đó |G n | ≤ 4 Bθ  1 − θ 2  |n| 1.2.2 Trường hợp 2 Trong trường hợp 2, từ điều kiện bị chặn của G n khi n → −∞ suy ra α  = β  = 0, do đó G n =  0, khi n ≤ 0 α  λ n 1 + β  λ n 2 , khi n ≥ 0 Từ điều kiện G 0 = 0 =⇒ α  = −β  . Hệ số α  được chọn từ nhóm II: α  = 1 c(λ 1 − λ 2 ) Vậy nghiệm cơ bản trong trường hợp 2 có dạng G n =    0, khi n ≤ 0 1 c(λ 1 − λ 2 ) (λ n 1 − λ n 2 ), khi n ≥ 0. 1.2.3 Trường hợp 3 Trường hợp 3 tương tự 1. Hàm G n có dạng G n =        1 aλ −1 1 + b + cλ 2 λ n 1 , khi n ≤ 0 1 aλ −1 1 + b + cλ 2 λ n 2 , khi n ≥ 0. 1.2.4 Trường hợp 4 Trường hợp 4 tương tự trường hợp 2. Ta có G n =    1 a(λ −1 1 − λ 1 2 ) (λ n 1 − λ n 2 ), khi n ≤ 0 0, khi n ≥ 0. Chú ý a(λ −1 1 − λ −1 2 ) = a λ 2 − λ 1 λ 1 λ 2 = a λ 2 − λ 1 a c = c(λ 2 − λ 1 ) ta cũng có công thức G n =    1 c(λ 2 − λ 1 ) (λ n 1 − λ n 2 ), khi n ≤ 0 0, khi n ≥ 0. Nếu λ 1 = λ 2 = λ, thì x n = (α + βn)λ n . Trong trường hợp |λ| < 1, ta có G n =  0, khi n ≤ 0 1 c nλ n−1 , khi n ≥ 0. Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 5 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Trong trường hợp |λ| > 1, ta có G n =  − 1 a nλ n+1 , khi n ≤ 0 0, khi n ≥ 0. Do λ 1 λ 2 = λ 2 = a c , nên ta cũng có G n =  − 1 c nλ n−1 , khi n ≤ 0 0, khi n ≥ 0. Từ các công thức trên ta thấy G n giảm theo quy luật hàm mũ khi n → ∞: |G n | < Gρ |n| , trong đó G > 0 và 0 < ρ < 1 là các hằng số nào đó, đồng thời có thể lấy ρ là một số bất kỳ thỏa mãn bất đẳng thức ρ > max  min  |λ 1 |, 1 |λ 1 |  , min  |λ 2 |, 1 |λ 2 |  . Trong trường hợp vế phải f n bất kỳ, thì nghiệm riêng x ∗ n = ∞  k=−∞ G n−k f k (1.2.3) nếu chuỗi hội tụ. Chuỗi (1.2.3) sẽ hội tụ, nếu |f k | ≤ F Thật vậy, thay x ∗ n vào (1.1.1) và chú ý chuỗi hội tụ, ta có: ax n−1 + bx n + cx n+1 = a ∞  k=−∞ G n−1−k f k + b ∞  k=−∞ G n−k f k + c ∞  k=−∞ G n+1−k f k = ∞  k=−∞ (aG n−1−k + bG n−k + cG n+1−k )f k = δ n k f k = f n Khi đó |x ∗ n | =      ∞  k=−∞ G n−k f k      ≤ n  k=−∞ |G n−k f k | + ∞  k=n+1 |G n−k f k | ≤ GF  n  k=−∞ ρ n−k + ∞  k=n+1 ρ k−n  ≤ 2G 1 −ρ F Ở đây, ta đã sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1. Đối với phương trình sai phân (1.1.1) mà |λ 1 | = 1, |λ 2 | = 1 thì nghiệm x ∗ n cho bởi (1.2.3) là nghiệm bị chặn duy nhất khi đã cho vế phải. Trong trường hợp trái lại, nghiệm bị chặn thứ hai nhận được từ nghiệm bị chặn đã dựng, cộng thêm một nghiệm x bị chặn nào đó của phương trình thuần nhất tương ứng với (1.1.1). Nhưng từ các công thức dựng nghiệm tổng quát của phương trình này, ta thấy khi |λ 1 | = 1, |λ 2 | = 1 nghiệm bị chặn duy nhất với −∞ < n < +∞sẽ là u ≡ 0. Đặt biệt, nghiệm cơ bản bị chặn G n trong trường hợp |λ 1 | = 1 và |λ 2 | = 1 cũng duy nhất. Nhận xét thêm rằng, khi thỏa mãn (1.2.1), ta sử dụng (1.2.2) thì từ (1.2.3) suy ra |x ∗ n | ≤ 16 Bθ 2 sup m |f m | Thật vậy |x ∗ n | ≤ 2 ∞  k=0 |G n−k ||f k | ≤ 2 ∞  k=0 4 Bθ ρ k sup |f k | = 8 Bθ 1 1 −ρ sup |f k | = 16 Bθ 2 sup k |f k |. Ở đây, ta đã sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1 và ρ = 1 − θ 2 Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 6 Chương 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 2.1 Bài tập 1. Tìm nghiệm riêng x ∗ n của phương trình sai phân sau đây bằng phương pháp hàm Grin: x n+1 + 5 2 x n − 3 2 x n−1 = 5 2  cos nπ 2 + sin nπ 2  Giải Phương trình đặc trưng λ 2 + 5 2 π − 3 2 = 0 có nghiệm λ 1 = 1 2 , λ 2 = −3 =⇒ |λ 1 | < λ 2 . Hàm Grin G n−k =      1 λ 1 − λ 2 λ n−k 2 , n − k ≤ 0 1 λ 1 − λ 2 λ n−k 1 , n − k ≥ 0 hay G n−k =      2 7 (−3) n−k , k ≤ n 2 7  1 2  n−k , k ≥ n Vậy: 7 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 x ∗ n = ∞  k=−∞ G n−k f k = n  k=−∞ 2 7  1 2  n−k 5 2  cos kπ 2 + sin kπ 2  + ∞  k=n+1 2 7 (−3) n−k 5 2  cos kπ 2 + sin kπ 2  = 5 7 . 1 2 n n  k=−∞ 2 k  cos kπ 2 + sin kπ 2  + 5 7 .(−3) n ∞  k=n+1 1 (−3) n  cos kπ 2 + sin kπ 2  Ta có 2 k  cos kπ 2 + sin kπ 2  = ∆2 k  a cos kπ 2 + b sin kπ 2  = 2 k+1  a cos(k + 1) π 2 + b sin(k + 1) π 2  − 2 k  a cos kπ 2 + b sin kπ 2  = 2 k  −2a sin kπ 2 + 2b cos kπ 2 − a cos kπ 2 − b sin kπ 2  =⇒  −2a −b = 1 −a + 2b = 1 =⇒ −5a = 3, a = −3 5 , b = 1 5 =⇒ 2 k  cos kπ 2 + sin kπ 2  = ∆2 k  − 3 5 cos kπ 2 + 1 5 sin kπ 2  Tương tự: 1 (−3) k  cos kπ 2 + sin kπ 2  = ∆ 1 (−3) k  − 3 5 cos kπ 2 − 6 5 sin kπ 2  Vậy n  k=−∞ 2 k  cos kπ 2 + sin kπ 2  = n  k=−∞ ∆  2 k − 3 5  cos kπ 2 + 1 5 sin kπ 2  = 2 n+1  − 3 5 cos(n + 1) π 2 + 1 5 sin(n + 1) π 2  − lim k→−∞ 2 k  − 3 5 cos kπ 2 + 1 5 sin kπ 2  = 2 n  − 6 5 sin nπ 2 + 2 5 cos nπ 2  . Tương tự ∞  k=−n+1 1 (−3) k  cos kπ 2 + sin kπ 2  = ∞  k=−n+1 ∆ 1 (−3) k  − 3 5 cos kπ 2 − 6 5 sin kπ 2  = − 1 (−3) n+1  − 3 5 cos(n + 1) π 2 − 6 5 sin(n + 1) π 2  + lim k→∞ 1 (−3) k  − 3 5 cos kπ 2 − 6 5 sin kπ 2  = 1 (−3) n+1  − 3 5 sin nπ 2 + 6 5 cos nπ 2  = 1 (−3) n  1 5 sin nπ 2 − 2 5 cos nπ 2  Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 8 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Thế thì x ∗ n = 5 7 . 1 2 n .2 n  6 5 sin nπ 2 + 2 5 cos nπ 2  + 5 7 (−3) n 1 (−3) n  1 5 sin nπ 2 − 2 5 cos nπ 2  = sin nπ 2 2.2 Bài tập 2. Tìm nghiệm riêng x ∗ n của phương trình sai phân x n+1 − 4x n + 4x n−1 = n 2 − 6n + 5 bằng phương pháp hàm Grin. Giải Phương trình đặc trưng λ 2 − 4λx n + 4 = 0 có nghiệm kép λ 1 = λ 2 = λ = 2. Vậy G n−k =  − 1 4 (n −k)2 n−k+1 , khi k ≤ n 0, khi k ≥ n và x ∗ n = − 1 4 ∞  k=n+1 (n −k)2 n−k+1 .(k 2 − 6k + 5) =− 1 4 n2 n+1 ∞  k=n+1 (k 2 − 6k + 5)2 −k + 1 4 2 n+1 ∞  k=n+1 (k 3 − 6k 2 + 5)2 −k =− 1 4 n2 n+1 ∞  k=n+1 ∆2 −k (−2k 2 + 8k − 4) + 1 4 2 n+1 ∞  k=n+1 ∆2 k (−2k 3 + 6k 2 − 4k) =− 1 4 n2 n+1 lim k→+∞ 2 −k (−2k 2 + 8k − 4) + 1 4 n2 n+1 + 1 2 n+1 [−2(n + 1) 2 + 8(n + 1) − 4] + 1 4 2 n+1 lim k→+∞ 2 −k (−2k 3 + 6k 2 − 4k) − 1 4 2 n+1 + 1 2 n+1 [−2(n + 1) 3 + 6(n + 1) 2 − 4(n + 1)] = n 2 2.3 Bài tập 3. Viết công thức hàm Grin G n , rồi tìm nghiệm riêng x ∗ n của phương trình sai phân sau đây: x n+1 − 5 2 x n + x n−1 = − 5 2 cos nπ 2 Giải. Phương trình đặc trưng λ 2 − 5 2 λ + 1 = 0 có nghiệm λ 1 = 2, λ 2 = 1 2 Suy ra |λ 1 | > |λ 2 |, |λ 1 | > 1, |λ 2 | < 1 Hàm Grin G n−k =      1 C(λ 2 − λ 1 )λ n−k 1 , n − k ≤ 0 1 C(λ 2 − λ 1 ) λ n−k 2 , n − k ≥ 0 G n−k =      1 λ 2 − λ 1 λ n−k 1 , k ≥ n 1 λ 2 − λ 1 λ n−k 2 , k ≤ n Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 9 [...]... sin 2 2 =2k (2a1 k + 2a1 + 2b1 ) cos (k+1)π + (2a2 k + 2a2 + 2b2 ) sin (k+1)π 2 2 kπ kπ + (a2 k + b2 ) sin 2 2 (k + 1)π (k + 1)π k = 2 (2a1 k + 2a1 + 2b1 ) cos + (2a2 k + 2a2 + 2b2 ) sin 2 2 kπ kπ k + (a2 k + b2 ) sin 2 (a1 k + b1 ) cos 2 2 −2k (a1 k + b1 ) cos kπ kπ + (2a2 k + 2a2 + 2b2 ) cos 2 2 (−2a1 − a2 )k − 2a1 − 2b1 − b2 = −k 1 =⇒ a = , a2 = 3 4 (2a2 − a1 )k + 2a2 + 2b2 − b1 = 4k =2k −[(2a1... 3 4 2 −a + 2b = 4 3 kπ kπ 1 kπ 1 kπ =⇒ 2k cos − sin = ∆2k cos + sin 4 2 2 4 2 2 2 Ta có kπ kπ 2k 3 k cos − k sin 4 2 2 kπ kπ = ∆2k (a1 k + b1 ) cos + (a2 k + b2 ) sin 2 2 π π = 2k+1 (a1 (k + 1) + b1 ) cos (k+1) + (a2 (k + 1) + b2 ) sin (k+1) 2 2 2 2 =⇒ Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 11 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 −2k (a1 k + b1 ) cos kπ kπ + (a2 k + b2 )... k→−∞ 5 2 5 2 Tương tự ∞ k=−n+1 ∞ 1 kπ cos 2k 2 = ∆ k=−n+1 =− 1 2n+1 1 2n 1 =− n 2 =− Nhóm 8 1 2k 4 kπ 2 kπ − cos + sin 5 2 5 2 4 π 2 π − cos(n + 1) + sin(n + 1) 5 2 5 2 2 nπ 1 nπ sin + cos 5 2 5 2 2 nπ 1 nπ sin + cos 5 2 5 2 1 k→∞ 2k + lim 4 kπ 2 kπ − cos + sin 5 2 5 2 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 10 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Thế thì x∗ = n 5 1 n 2 3 2n 2 nπ... sin 2 2 2 2 = 2k −2a sin kπ kπ kπ kπ + 2b cos − a cos − b sin 2 2 2 2 −2a − b = 0 1 2 =⇒ a = − , b = 5 5 −a + 2b = 1 kπ 1 kπ 2 kπ =⇒ 2k cos = ∆2k − cos + sin 2 5 2 5 2 =⇒ Tương tự k 1 2 cos kπ =∆ 2 1 2 k kπ 2 kπ 4 + sin − cos 5 2 5 2 Vậy n kπ = 2 cos 2 n k k=−∞ k=−∞ 1 kπ 2 kπ ∆ 2k − cos + sin 5 2 5 2 1 π 1 π = 2n+1 − cos(n + 1) + sin(n + 1) 5 2 5 2 2 nπ 4 nπ = 2n sin + cos 5 2 5 2 1 kπ 2 kπ − lim 2k... (n + 1) + − 4 2 2 2 nπ nπ −(n + 1) sin + n cos 2 2 2 = 2n+1 2n kπ 2 sin (n + 1) π − lim 2k 2 k→−∞ k kπ cos + 4 2 k 1 − 2 2 sin kπ 2 = Vậy 1 −(n + 1) 1 nπ nπ 1 nπ nπ n.2n − sin + cos − 2 n 2n sin + n cos 2n 2 2 2 2 2 2 2 nπ nπ nπ nπ nπ = −n sin + 2n cos + (n + 1) sin − 2n cos = sin 2 2 2 2 2 x∗ = 2 n 2. 5 Bài tập 5 Viết công thức hàm Grin Gn , rồi tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân sau đây... −[(2a1 k + 2a1 + 2b1 ) sin =⇒ Suy ra 3 kπ kπ 2k k cos − k sin 4 2 2 n 1 kπ k cos + 4 2 k 1 − 2 2 sin kπ 2 Mặt khác kπ 1 kπ 1 cos + sin 4 2 2 2 ∆ 2k k=−∞ = 2n+1 1 π 1 π cos (n + 1) + sin (n + 1) − lim 2k k→−∞ 4 2 2 2 1 kπ 1 kπ cos + sin 4 2 2 2 π nπ 1 sin + cos 2 2 2 = 2n n = ∆2k kπ kπ − (a2 k + b2 ) sin 2 2 1 1 , b1 = 0, b2 = − 2 2 − (a1 k + b1 ) cos Và ∆ 2k k=−∞ k kπ cos + 4 2 k 1 − 2 2 sin π n+1.. .Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hay Gn−k 2 n−k (2) , k≥n 3 n−k =  2 1  , k≤n 3 2    Vậy: ∞ n x∗ = n − Gn−k fk = k=−∞ 5 = 3 n n 1 2 k=−∞ 2k cos k=−∞ kπ 5 + (2) n 2 3 n−k 1 2 2 3 5 2 cos cos ∞ 1 2 k=n+1 k kπ + 2 ∞ kπ 2 − k=n+1 5 2 − (2) n−k − 3 2 cos kπ 2 Ta có 2k cos kπ kπ kπ = ∆2k a cos + b sin 2 2 2 = 2k+1 a cos(k + 1) kπ π π kπ − 2k a cos + b sin(k... − k) khi k ≤ n 2 Vậy: ∞ n x∗ = n (n − k) Gn−k fk = k=−∞ 1 =2 n n 2 n 2 k=−∞ k k=−∞ kπ kπ 3 cos − sin 4 2 2 1 − 2 nn 2 1 2 n 2k k=−∞ n−k−1 3 kπ kπ cos − sin 4 2 2 kπ kπ 3 k cos − k sin 4 2 2 Ta có 2k 3 kπ kπ k cos − k sin 4 2 2 = 2k+1 a cos(k + 1) = ∆2k a cos kπ kπ + b sin 2 2 π kπ kπ π + b sin(k + 1) − 2k a cos + b sin 2 2 2 2 = 2k −2a sin kπ kπ kπ kπ − b sin + 2b cos − a cos 2 2 2 2 −2a − b = −1 1... + 1 )2 − 9(n + 1)] k→∞ 3 3 1 1 = − n+1 (−6n3 − 3n2 + 3n) = − n (−2n3 − n2 + n) 3 3 Từ đó ta có 1 1 1 1 x∗ = − 3n n − n (−2n2 + 2n + 1) + 3n − n (−2n3 − n2 + n) n 3 3 3 3 1 1 x∗ = (−2n3 + 2n2 + n) + (2n3 + n2 − n) = n2 n 3 3 Vậy x∗ = n2 n Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 13 KẾT LUẬN Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là một phương trình khá phức tạp Tuy nhiên, chúng ta cũng có một số phương. .. phương pháp tìm nghiệm riêng của nó như phương pháp chọn (còn gọi là phương pháp hệ số bất định), phương pháp biến thiên hằng số, phương pháp hàm Grin, Qua tiểu luận này, nhóm chúng tôi đã trình bày: " Phương pháp hàm Grin cho phương trình dạng axn−1 + bxn + cxn+1 = fn Đây có thể coi là một phương pháp rất hữu ích trong việc giải quyết các phương trình phức tạp như là phương trình sai phân tuyến tính cấp . Sơ Cấp K24 11 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 2 k  (a 1 k + b 1 ) cos kπ 2 + (a 2 k + b 2 ) sin kπ 2  =2 k  (2a 1 k + 2a 1 + 2b 1 ) cos (k+1)π 2 + (2a 2 k. − 1 2 n  2 5 sin nπ 2 + 1 5 cos nπ 2  = − 1 2 n  2 5 sin nπ 2 + 1 5 cos nπ 2  Nhóm 8 Lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp K24 10 Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Thế thì x ∗ n = 5 3 . 1 2 n .2 n  2 5 sin nπ 2 + 4 5 cos nπ 2  − 5 3 2 n 1 2 n  2 5 sin nπ 2 + 1 5 cos nπ 2  Vậy. của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là tổng của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và một nghiệm riêng tùy ý của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. Phương pháp hàm