Đang tải... (xem toàn văn)
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN Số báo danh ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HSG TỈNH Năm học 2022 2023 Môn Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 17 tháng 3 năm 2023 (Đề có 01 trang, g.
PHONG GIAO DUC VA DAO TAO DE THI CHON DOI DU TUYEN HSG TINH TRIEU SON Nam hoc 2022 - 2023 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày 17 tháng năm 2023 : SO bao danh CHH HD n2 0, (Đề có 01 trang, gốm 05 câu) Câu I: (4,0 điểm) | Cho bigu thức; P=|Š xX +x-2 t3x‡2_X x’Ji a) Rut gon P | x+l +c 1 1 1 af prt }ro[ 242) +c[ 442) =-2 bic ca a va b a C Giải phương trình: xi) x-] Tìm cặp sơ (x; +3-—=28, x-] y) thỏa mãn ` điêu kién: 2x+y+—+—=6 y x va Xy pty X4t =4 xy y x Câu 3: (4.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên (x; y) phương trình: (xy +x+ ly +xy=x -3x , Cho a, la cac sé tu nhién lon hon ø sô tự nhiên thoa man 1 — =—~+-> pa b Chứng minh p hợp sô Câu 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thăng 48 = 2a Gọi O trung điểm ⁄1Z Dựng tia 4x, 8y phía ⁄1B cho 4x, 8y vng góc với 1ð Trên tia ⁄4x lấy điểm C, tia 8y lay diém D cho COD = 90° a Chứng minh 4C.BD =a” CD= AC + BD b Kẻ ĨM vng góc với CÐ Ä⁄, gọi N giao điểm AD 8C Chứng minh rang MN // AC Cho hình thang 18CD đường ` z * I I I =1] Chứng minh ath tol Câu 2: (4,0 điểm) } b Tim x dé mg k , ˆ , ~ Cho ba sô thực a, 5, e khác không thỏa mãn +b x-l thang cat cac doan AD, có đáy lớn CD Gọi Ó giao điểm AC va BD Một OD, Chứng minh CD=24B OC, BC 1an luot tai M, N, P, QO cho MN=NP=P0Q Câu 5: (2,0 điểm) Cho số thực đương x, y, z thoả mãn: y biêu thức A = x21) Z s23) x x+ y„z+xz =3xyz Tìm giá trị nhỏ Qe 41) Thí sinh khơng sứ dụng tài liệu (Giảm thi khơng giải thích thêm PHONG GIAO DUC VA DAO TAO TRIEU SON DE KHAO SAT ĐỌI DỰ TUYẾN HSG TỈNH LỚP Năm học 2022 - 2023 Mơn thi: Tốn Ngày L7 tháng năm 2023 (Hướng dân chấm có 05 trang, gơm 05 câu) Hướng dẫn chấm Cầu Nội dung Diem 2,5d * ĐKXĐ: = x#-2,xz+l xX +3x+2 — X +Xx-2 Ta có: xÍ+x — TT (a : Xx-] (x+1)(x+2) 0.25 + x+l x(x +1) x-l | x-1 _(x-1)(x+1) xa + (x-l)(x+l) x+1 0.25 (x-IXx+]) 2x (x—I)W\x+l) 0.5 _ l_(Œ@-lW(x+l) x-1 _ 2x #+I 2x 0.25 Vậy với x#-—2,x # +l + Ta co LƠ, ¬ _(x+Ù 8(x+1) (4,0d) 0.25 x x+1 16x 1 = _ 8+) 8(x+1) 8x41) 16x—(x+1) -8(x+1 x-+D) 8(x+1) +Nếu: x-3=0x=3—= ~3)? ues, x+l (1) (1) luén dung voi x 4#-2,x 421 0.5 0.25 +Nếu: x-3#0xz3=.(x-3) >0Vx _3\“ C73) x+l1 cy sete xed 0.25 +] Vay vol x5=1 Suy ra: Potty a Vay be aa =1 khia, 5, c khac khong thoa man: a C (g+z)*ð[s+z]*e|s+z]=~2 b €C c oa a 0.25 , a`+bÌ+c` =] b 2d + Diéu kién: Vx #1 0,25 + Ta co: x) x) x x x°+| —— | =| x+—— ] -3x.——| x—l x—l x+—— x—l |= x—l x —3 x—l x? x—l Khi phương trình cho trở thành x? x—l ; oS x —3 x-] ° x—l +3 x -l=3< x x—l —l=27< x? x—l -1| =3 KL: x=2 (4.0đ) | =0©x=2 0,5 0,25 2 0,5 0,5 =4©x -4x+4=0©(x-2) x-] ° 2d + Ta có: 2 |2xÝy+„'x+x+2y=6xy + Joal x y tyTẾ Ze [ (I) ) (2) "¬_.- Í a{ 42) ‹ x yt y | 2x+y+ +6 xy oy x =6 0.5 + Giải hệ ta có: 0.5 b=2 a=l 0.5 b=4 x+—=2 + Với x -1 of" ytt=2 " CF 0,5 x+—=l * + Với | (VN) y+—=4 KL Cap s6 (x; y) =(1;1) 2d + Biến đổi (xvtxtl) +xy=x —3x © (xytxtl) tayt+xtl=x-2x41 0,25 =(w+x+!)|(y+x+1)+1]=(x-Ú ©(w+x+l)(w+x+2)=(x-UŸ + Néu x-1=0= x=1 thay vao (1) tim duge y=-2; y=-3 (1) | 9.5 + Nếu x+Iz0= x#—1: Khi VT(1) tích hai số nguyên liên tiếp, VP(1) 0.25 bình phương sơ ngun khác Nên phương trình vơ nghiệm 0,5 KL : Các số x, y nguyên thoả mãn điều kiện toán là: (x;y) e {(.-2):(1.-3)) 0,5 2ä + Giả sử p số nguyên tó 00) Từ: g2 p?+b)S | (1) 0.5 (2) 0.5 +Từa>p,b>p=-T+-L a’b? tp? => p(a’+b*):p? => a’+b?ip + Từ (1) (2) > a:p b:p a : b p P ¬ .- op 44 2°” >2 + Từ (3), (4) = mâu thuẫn, chứng tỏ p hợp số 0.25 X © I D M C, N a AACO A BOD có: ZCAO =ZOBD (= 90°) ZAOC =ZBDO (cing phu ZBOD) Do dé: AACO ~ ABOD (g.g) AC _ AO => — =— A B O BO D với > AC.BD = AO.BO =a 0,25 0,25 0.5 ? SE * Kéo dài CO cắt tia đôi By E (6,04) A AOC= ABOE (g.c.g) => CO = EO; AC = BE (các cạnh tương ứng) => tam giác DCE cân D (vì có đường cao DO đơng thời trung tuyến) = DC= DE + Ma DE = BE+ BD = AC + BD hay CD = AC + BD b Ta có: AODM ~ AODB (g.g) = MO=BO = MO= AO = AACO = AMCO (cạnh huyền - cạnh góc vng) => MC=CA + Chứng minh tương tự ta có: MD = BD + Xét hai tam giác CAN BDN Có AC//BD (cùng vng góc với AB ) => 4ð _ 4C (Hệ Định lí Ta-let) ND BD ND MD ` hay “È -C*ˆ MC=CA:MD =BD}) =>MN//AC (Dinh lí Ta-let đảo) 0,25 025 ° 025 ° 0.25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 + Gọi O giao điểm AC va BD + Qua M kẻ đường thăng song song với AC cắt DC E + Qua Q kẻ đường thắng song song với BD cắt DC F + ME cắt BD J, QF cắt CA K - Ta co: AU _ DJ _ JE _ MU _ O4 AO DO OC JE OC KQ | CK _ AF KF SOK OK _ OB OB CO OD KF OD ÓA _ OB _ MU _ OK ——=——=— OC OD JE KF + Mặt khác; ^2ˆ =2 NP NO 0.5 ~¡.“K_ POPO PN =>N, P lan luot la trung điểm OJ OK => NP/⁄⁄JK 0.5 + Nêu E không trùng với F Nôi QE căt JK tai I, ta co: KO_ JM _ 1O Tin => KI //EF > MQ//DC Q/ DC (không (không với gi)gt với => E trùng với F =I=K=NP=S1 + Ta có: >/=K ~, =II=^MQ | ] ] x y Z 0.5 JE JM OA cp- AB 0.5 Dat —=a,—=b, —=c; taco: a,b,c lacac s6 duong va a+b+c=3 b C Khi đó: 4=—“—+ + I+D ` 1+c” 1+a Ta có: —^ > =a- 1+5 0,25 ab ; >a 42 ig OS ~ (2);(2); - >c-— 1+5 bc 2b >b-— ` (2,0d) C ˆ ; >a-22 1+5 < 3) (3) ac (1) , 0,5 Cong vé tuong ung cua (1), (2) va (3), ta được: = a 1+b° s+ b l+c" Cc l+a ab+bc+ca z>a++c—=———— 0,25 ° Ta lại có: (47 +? +c?)>3(ab+be+ca)—=3> ab+be+ca 0,25 Ti dé 423-26 4>2 2 0.5 Dâu “=” xảy ra, khi: a=b=c=1x=y=z=l Vậy, A=Š Chủ 1.ý: Thi | x=y=z=l 0,25 - , sinh co thé lam bai bang cach khac, néu ding vân điêm tơi ẩa Nêu thí sinh chứng hình mà khơng vẽ hình khơng chám điêm hình