Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 4: LỜI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH. Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ta thường thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn ẩn số (nêu đơn vị của ẩn và đặt điều kiện nếu cần). Bước 2: Tính các đại lượng trong bài toán theo giả thiết và ẩn số, từ đó lập phương trình hoặc hệ phương trình. Bước 3: Giải hệ phương trình hoặc hệ phương trình vừa lập được Bước 4: Đối chiếu với điều kiện và trả lời. I. CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Quãng đường = Vận tốc x thời gian + Vận tốc tỷ lệ nghịch với thời gian và tỉ lệ thuận với quãng đường đi được. + Nếu hai xe đi ngược chiều nhau khi gặp nhau lần đầu: Thời gian hai xe đi ngược là như nhau. Tổng quãng đường hai xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của hai xe. + Nếu hai phương tiện chuyển động cùng chiều từ hai địa điểm khác nhau là A và B, xe từ A chuyển động nhanh hơn xe từ B thì khi xe từ A đuổi kịp xe từ B ta luôn có hiệu quãng đưoqừng đi được của xe từ A với quãng đường đi được của xe từ B bằng quãng đường AB. + Đối với (ca nô, tầu xuồng) chuyển động trên dòng nước ta cần chú ý: Khi đi xuôi dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng + Vận tốc dòng nước Khi đi ngược dòng: Vận tốc ca nô = Vận tốc riêng Vận tốc dòng nước Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Ví dụ 1 Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 kmh so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B. Lời giải Đổi 30 phút giờ. Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là (kmh, ). Thời gian xe đi từ A đến B là (giờ).
GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x x4 B với x 0, x x4 x 2 x 2 1) Tính giá trị biểu thức A x Cho hai biểu thức A 2) Chứng minh B x x2 3) Tìm số nguyên dương x lớn thỏa mãn A B Bài II (2,0 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phuơng trình: Một tơ xe máy khởi hành từ địa điểm A đến địa điểm B Do vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 20 km/h nên ô tô đến B sớm xe máy 30 phút Biết quãng đường AB dài 60 km , tính vận tốc xe (Giả định vận tốc xe không đổi tồn qng đường AB) 2) Quả bóng đá thường sử dụng trận thi đấu dành cho trẻ em từ tuổi đến tuổi có dạng hình cầu với bán kính 9,5 cm Tính diện tích bề mặt bóng (lấy 3,14) Bài III (2,5 điểm) 12 2 x y 1) Giải hệ phương trình 3 x 2 y2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 đường thẳng d : y x m a) Chứng minh d cắt P hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 3 Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Gọi E điểm tia CA cho điểm A nằm hai điểm C E Gọi M H chân đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC BE 1) Chứng minh tứ giác AMBH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh BC.BM BH BE HM tia phân giác góc AHB 3) Lấy điểm N cho M trung điểm đoạn thẳng AN Gọi K giao điểm hai đường thẳng EN AB Chứng minh ba điểm H , K , M ba điểm thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Với số thực không âm x y thỏa mãn x y , tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y -HẾT NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài I (2,0 điểm) x x4 B với x 0, x x4 x 2 x 2 1) Tính giá trị biểu thức A x Cho hai biểu thức A x x2 2) Chứng minh B 3) Tìm số nguyên dương x lớn thỏa mãn A B Lời giải 1) Tính giá trị cùa biểu thức A x Thay x (tmđk) vào biểu thức A ta có: A 9 92 Vậy x A 2) Chứng minh B x4 với x 0, x x4 x 2 Ta có: B x4 x 2 x x 2 x2 x x 2 x 2 x x2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 Vậy B x với x 0, x x 2 3) Tìm số nguyên dương x lớn thỏa mãn A B Ta có: A B x x 2 x x 2 x 0 x 2 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI Vì x 3 2 x 2 x 2 x 6 x 2 0 x (với x 0, x ) nên Suy ra: Bài II ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT x 6 0 x 6 0 x 2 x x 36 (với x 0, x ) Mà x nguyên dương lớn nhất, nên x 35 Vậy x 35 A B Bình luận: Bài gồm ý quen thuộc với nhiều học sinh - Bài 1.3 ý phân loại, trước hết học sinh cần thu gọn biểu thức A-B - Đây dạng giải bất phương toán yêu cầu tìm giá trị cụ thể giá trị nguyên nhỏ thỏa mãn - Sau giải bất phương trình học sinh cần ý tìm x nguyên nhỏ nhất, câu hỏi khó khăn với phần học sinh, chưa hiểu kĩ đề bài, nhầm lẫn với dạng tìm – max (2,0 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phuơng trình: Một tơ xe máy khởi hành từ địa điểm A đến địa điểm B Do vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 20 km/h nên ô tô đến B sớm xe máy 30 phút Biết quãng đường AB dài 60 km , tính vận tốc xe (Giả định vận tốc xe khơng đổi tồn quãng đường AB ) 2) Quả bóng đá thường sử dụng trận thi đấu dành cho trẻ em từ tuổi đến tuổi có dạng hình cầu với bán kính 9,5 cm Tính diện tích bề mặt bóng (lấy 3,14) Lời giải 1) Giải toán cách lập phương trình Gọi vận tốc xe máy x ( x 0; km /h) Vận tốc ô tô x 20 km /h 60 (giờ) x 60 Thời gian ô tô hết quãng đường AB là: (giờ) x 20 Do ô tô đến B sớm xe máy 30 phút nên ta có phương trình: Thời gian xe máy hết quãng đường AB là: x 60 loaïi 60 60 x x 20 (thỏa mãn điều kieän) x 40 Vậy vận tốc xe máy là: 40 km /h Vậy tốc ô tô là: 40 20 60 km /h Bình luận: Bài tốn giải cách lập phương trình hệ phương trình quen thuộc, đa số học sinh lập giải phương trình bậc hai - Học sinh thiếu điều kiện ẩn, thiếu đợn vị đo - Chỉ kết luận vận tốc ôtô xe máy mà tốn u cầu tìm vận tốc ơtơ xe máy NHĨM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 2) Bài toán thực tế Diện tích bề mặt bóng là: S 4 R 4.3,14.9,52 1133, 54 cm Vậy diện tích bề mặt bóng xấp xỉ 1133,54 cm2 Bài III Bình luận: Học sinh cần nhớ cơng thức tính diện tích xung quanh hình cầu thay số xác - Học sinh mắc lỗi nhớ nhầm cơng thức, làm trịn tính tốn sai, qn đơn vị đo Dùng sai dấu xấp xỉ dấu (2,5 điểm) 12 x 5 y2 1) Giải hệ phương trình 3 x y2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 đường thẳng d : y x m a) Chứng minh d cắt P hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 3 Lời giải 12 2 x y 1) Giải hệ phương trình 3 x y2 Điều kiện y 2 Đặt a y2 Hệ phương trình trở thành: x 2 x 12a 2 x 12a 11x 11 x x 3x 4a 9 x 12a 3x 4a 3.1 4a 4a a 1 Với a y y (thỏa mãn điều kiện) y2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 1; Bình luận: - Chú ý cần đạt điều kiện mẫu khác - Học sinh giải trực tiếp mà không cần đặt ẩn phụ - Lỗi học sinh hay mặc phải quên điều kiện để hệ phương trình xác định, xác định sai điều kiện 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P : y x đường thằng d : y x m2 a) Chứng minh d cắt P hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 3 NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm P d x x m x x m 1 Ta có ' b '2 ac 1 m m2 Do m2 m2 ' m Khi phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m Suy đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt b) Theo câu a) đường thẳng d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 x1 x2 Vì (1) có hai nghiệm với giá trị m , theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 m Theo đề ta có x1 1 x2 1 3 x1 x2 x1 x2 3 m2 3 m2 m Vậy m d cắt P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 1 x2 1 3 Bình luận: Với ý a: học sinh tính a.c m kế luận m sai m Bài học sinh cần tính đenta cụ thể Với ý b: yêu cầu toán, ta cần nhân phá ngoặc biến đổi biểu thức đối xứng Bài tốn vi-et đưa đối xứng tổng tích nghiệm Bài IV Lỗi học sinh mắc phải là: m2 m , bị thiếu giá trị m Lỗi này, thí sinh bị trừ điểm (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân định A Gọi E điểm tia CA cho điểm A nằm hai điểm C E Gọi M H chân đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC BE 1) Chứng minh tứ giác AMBH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh BC.BM BH BE HM tia phân giác góc AHB 3) Lấy điểm N cho M trung điểm đoạn thẳng AN Gọi K giao điểm hai đường thẳng EN AB Chứng minh ba điểm H , K , M ba điểm thẳng hàng Lời giải B N M K H E C A 1) Chứng minh tứ giác AMBH tứ giác nội tiếp AMB 90 Ta có: AM BC (giả thiết) AHB 90 AH BE (giả thiết) NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT AMB AHB 90 AMB AHB 180o Xét tứ giác AMBH có: Mà hai góc vị trí đối Do tứ giác AMBH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh BC.BM BH BE HM tia phân giác góc AHB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC vng A có đường cao AM , ta có: AB BC.BM (1) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABE vng A có đường cao AH , ta có: AB BH BE (2) Từ (1) (2) suy BC.BM BH BE 45o Xét tam giác ABC vng cân A có BMA 45o AM vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác nên MAB Vì AMBH tứ giác nội tiếp (cmt) nên ta có: AHM ABM 45o ( góc nội tiếp chắn AM ) (3) ) (4) MAB 45o ( góc nội tiếp chắn BM MHB 45o Từ (3) (4) suy AHM MHB HM tia phân giác góc AHB (đpcm) 3) Lấy điểm N cho M trung điểm đoạn thẳng AN Gọi K giao điểm hai đường thẳng EN AB Chứng minh ba điểm H , K , M ba điểm thẳng hàng Gọi K ' giao điểm HM AB HA K A HM tia phân giác góc AHB nên ta có: HB K B Tứ giác ABNC có M trung điểm AN BC Mà AB AC; AB AC (giả thiết) 5 Do đó: ABNC hình vng AB BN KBN 90 ; EKA NKB (hai góc đối đỉnh) Xét AKE BKN có: EAK KA AE AE (vì AB BN ) KB BN AB 90 chung; AHB EAB Xét HAB AEB có: B HA AE Do HAB ∽AEB (g – g) HB AB HA KA Từ , suy HB KB Do đó: AKE ∽BKN (g – g) Từ 5 8 ta có: 6 7 8 K A KA K A K B KA KB K B KB K A K B K A K B AB 1 KA KB KA KB AB Do K K Vậy ba điểm H , K , M thẳng hàng NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Bình luận: Bài tốn khơng cho trước đường trịn nên nhiều học sinh bỡ ngỡ vẽ hình - Ý 4a) Chứng minh tứ giác nội tiếp quen thuộc học sinh chứng minh tổng góc đối diện 180 độ - Câu b sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông để chứng minh Học sinh cần ý điều kiện đặc biệt đầu bài, tam giác ABC vuông cân A - Câu 4c dựa vào câu 4b gợi ý, học sinh quay sang xét tam giác đồng dạng bị lạc đường, khơng tìm hướng làm Chú ý điểm N đặc biệt nên ABNC hình vng, điều học sinh dễ nhận thường vướng mắc vào việc chứng minh góc AHK 45 độ, làm không Căn vào ý b, để nhận phải chứng minh HK phân giác góc AHB thơng qua tỉ số rút từ tính chất đường phân giác Bài V (0,5 điểm) Với số thực không âm x y thỏa mãn x y , tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y Lời giải Cách 1: Ta có P x y x xy y ( x y ) xy y P Min P , Dấu xảy x 2; y Cách 2: x y ( x y)2 xy x y P x y ( x y) y ( x y) Min P , Dấu xảy x 2; y Bình luận: - Đây phân loại năm học sinh biến đổi áp dụng bất đẳng thức -Học sinh bình phương P sau dựa vào điều kiện x y x; y để tìm GTNN P Cách Dựa vào dự kiện x y suy x y từ tìm GTNN P -HẾT - NHĨM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI NHĨM GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT https://www.facebook.com/groups/650500558651229/ GIÁO VIÊN TỐN HÀ NỘI NHĨM GIÁO VIÊN TOÁN HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT https://www.facebook.com/groups/650500558651229/