Đang tải... (xem toàn văn)
3.1 Tín hiệu và vectơ 3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao 3.4 Chuỗi Fourier lượng giác 3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ 3.6 Tính toán giá trị Dn 3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU DÙNG CHUỖI FOURIER Nội dung 3.1 Tín hiệu và vectơ 3.2 So sánh tín hiệu: Tương quan 3.3 Biểu diễn tín hiệu dùng tập tín hiệu trực giao 3.4 Chuỗi Fourier lượng giác 3.5 Chuỗi Fourier dạng mủ 3.6 Tính toán giá trị D n 3.7 Đáp ứng của hệ LT-TT-BB với tín hiệu tuần hoàn 3.8 Phụ chương 3.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương quan trọng, tạo kiến thức cơ bản để biểu diễn tín hiệu và so sánh tín hiệu. Trong chương 2, ta đã viết ngõ vào bất kỳ f(t) thành tổng của các thành phần xung. Đáp ứng (trạng thái zêrô) của hệ TT-BB khi có ngõ vào f(t) là tổng các thành phần đáp ứng hệ thống dưới dạng tính tích phân chập (convolution). Có nhiều phương thức nhằm biểu diễn ngõ vào f(t) theo các dạng tín hiệu khác. Do đó, vấn đề biểu diễn tín hiệu dùng tập các tín hiệu là rất quan trọng khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống. Chương này đề cập đến phương thức biểu diễn tín hiệu thành tổng của nhiều thành phần. Bài toán này tương tự như vấn đề biểu diễn vectơ theo các thành phần. Tín hiệu và vectơ Có sự tương đồng hoàn hảo giữa tín hiệu và vectơ. Tuy nhiên tín hiệu không chỉ giống vectơ, mà tín hiệu là vectơ! Một vectơ có thể được biểu diễn thành tổng các thành phần theo nhiều phương thức khác nhau, tùy theo cách chọn hệ trục. Một tín hiệu cũng có thể được biểu diễn thành tổng các thành phẩn theo nhiều cách khác nhau. Ta hảy bắt đầu với một số ý niệm vectơ cơ bản rồi áp dụng vào các tín hiệu. 3.1-1 Thành phần của vectơ Vectơ được đặc trưng bởi biên độ và chiều. Ta viết các vectơ ở dạng chử in đậm. Thí dụ, x là một vectơ nào đó có biên độ hay chiều dài là x . Trong hình 3.1, với hai vectơ f và x, định nghĩa phép dot (tích trong hay tích vô hướng) là: f.x q cosxf= (3.1) với q là góc giữa hai vectơ. Từ đó, biểu diễn độ dài của vectơ x là x theo: 2 x = x.x (3.2) Gọi thành phần của f dọc theo x là cx vẽ trong hình 3.1. Thành phần f dọc theo x là ánh xạ của f theo x , và có được bằng cách vẽ đường thẳng góc từ đỉnh của f xuống x, vẽ trong hình 3.1. Như thế thì ý nghĩa toán học của một thành phần vectơ theo một vectơ khác là gì? Xem trong hình 3.1, vectơ f có thể viết theo vectơ x là ecxf + = (3.3) Tuy nhiên, đây không phải là phương pháp duy nhất biểu diễn f theo x. Hình 3.2 vẽ hai trong vô số các phương pháp khác. Từ hình 3.2a và 3.2b, ta có 2211 excexcf +=+= (3.4) Trong từng phương pháp thì f được biểu diễn theo x cộng vơói một vectơ gọi là vectơ sai số. Nếu ta xấp xỉ f bằng cx cxf @ (3.5) Sai số trong phép xấp xỉ này là vectơ cxfe - = . Tương tự, sai số trong phép xấp xỉ trong hình 3.2a và 3.2b là 1 e và 2 e . Như thế phép xấp xỉ nào trong hình 3.1 cho ta vectơ sai số bé nhất. Định nghĩa thành phần của vectơ f theo vectơ x là cx với c được chọn sao cho vectơ sai số cxfe - = là bé nhất. Gọi độ dài của thành phần của f theo x là q cosf nhưng cũng đồng thời là xc như vẽ trong hình 3.1, đo đó q cosfxc = Nhân hai vế cho x xfxfxc .cos 2 == q , do đó xf xxx xf c . 1 . . 2 == (3.6) Hình 3.1 cho thấy có vẽ như là khi f và x thẳng góc, hay trực giao, thì f có thành phần theo x là zêrô, do đó 0 = c . Từ phương trình (3.6), ta định nghĩa f và x là trực giao nhau nếu tích trong (tích vô hướng hay tích chấm) của hai vectơ là zêrô, nếu 0. = xf (3.7) 3.1-2 Thành phần của tín hiệu Ý niệm về thành phần của vectơ là tính trực giao có thể được mở rộng cho tín hiệu. Xét bài toán xấp xỉ một tín hiệu thực )(tf theo một tín hiệu thực )(tx trong khoảng ],[ 21 tt là 21 )()( ttttcxtf ££@ (3.8) Sai số )(te trong phép xấp xỉ này là: î í ì ££- = kháctrigiácác ttttcxtf te ___0 )()( )( 21 (3.9) Chọn một số tiêu chí cho phép “xấp xỉ tốt nhất”. Ta biết là năng lượng tín hiệu là một khả năng đo lường kích thước của tín hiệu. Để xấp xỉ tốt nhất, ta cần tối thiểu sai số tín hiệu, tức là, tối thiểu kích thước của nó, nhằm tối thiểu hóa năng lượng E e trong khoảng ],[ 21 tt , cho bởi: òò -== 2 1 2 1 22 )]()([)( t t t t e dttcxtfdtteE Chú ý là vế bên phải là tích phân xác định với t là biến giả. Do đó, E e là hàm theo biến c (không phải t) và E e tối thiểu theo lựa chọn của c. Để tối thiểu E e , điều kiện cần là: 0= dt dE e (3.10) Hay 0)]()([ 2 2 1 = ú û ù ê ë é - ò dttcxtf dc d t t Khai triển thừa số bậc hai, ta có: 0)()()(2)( 2 1 2 1 2 1 222 = ú û ù ê ë é + ú û ù ê ë é - ú û ù ê ë é òòò dttxc dc d dttxtfc dc d dttf dc d t t t t t t Từ đó 0)(2)()(2 2 1 2 1 2 =+ òò dttxcdttxtf t t t t Và dttxtf E dttx dttxtf c t t x t t t t )()( 1 )( )()( 2 1 2 1 2 1 2 ò ò ò == (3.11) Ta thấy có sự tương đồng đáng kể giữa hoạt động của vectơ và tín hiệu, từ các phương trình (3.6) và (3.11). Rõ ràng từ hai biểu thức song song này, thì phần diện tích của tích hai tín hiệu tương đương với tích trong (tích vô hướng) của hai vectơ. Trong thực tế, phần diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích hai vectơ. Thực ra, diện tích của tích f(t) và x(t) được gọi là tích trong của f(t) và x(t), được viết là ( ) xf , . Năng lượng của tín hiệu là tích trong của tín hiệu với chính nó, và tương đương với bình phương độ dài (chính là tích trong của vectơ với chính nó). Tóm lại, nếu tín hiệu )(tf được xấp xỉ bằng một tín hiệu )(tx khác thì )()( tcxtf @ Thì giá trị tối ưu của c làm tối thiểu năng lượng của tín hiệu sai số trong xấp xỉ này cho bởi phương trình (3.11). Từ ý niệm vectơ, chúng ta nói là tín hiệu )(tf chứa thành phần )(tcx , với c cho bởi phương trình (3.11). Chú ý là trong thuật ngữ của vectơ thì )(tcx là ánh xạ của )(tf lên )(tx . Tiếp tục, ta nói là nếu thành phần của tín hiệu )(tf của dạng )(tx là zêrô (tức là 0 = c ) thì tín hiệu )(tf và )(tx trực giao nhau trong khoảng ],[ 21 tt . Do đó, ta định nghĩa tín hiệu thực )(tf và )(tx trực giao nhau trong khoảng ],[ 21 tt nếu ò = 2 1 0)()( t t dttxtf (3.12) ¢ Thí dụ 3.1 Từ tín hiệu f(t) vẽ trong hình 3.3, tìm thành phần sint có trong f(t). Nói cách khác, ta xấp xỉ f(t) theo sint. p 20sin)( ££@ ttctf để năng lượng tín hiệu sai số là tối thiểu. Trường hợp này ttx sin)( = và ò == p p 2 0 2 )(sin tE x Từ phương trình (3.11) ta có ppp ppp 4 sinsin 1 sin)( 1 00 2 0 = ú û ù ê ë é -+== òòò tdttdttdttfc (3.13) Do đó: ttf sin 4 )( p @ (3.14) Biểu diễn phép xấp xỉ tốt nhất của )(tf dùng hàm tsin , và tối thiểu hóa được sai số. Thành phần sin của )(tf là phần tô bóng trong hình 3.3. Từ tính tương đồng với vectơm ta nói hàm vuông )(tf mô tả trong hình 3.3 có thành phần sóng tsin và biên độ là 4/p.¢ r Bài tập E3.1 Chứng tõ là khoảng ( p p £ £ - t ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu ttf = )( theo hàm tsin là tsin2 . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số ttte sin2)( - = là trực giao với tín hiệu tsin trong khoảng p p £ £ - t . Vẽ đồ thị t và tsin2 trong khoảng p p £ £ - t . s 3.1-3 Tính trực giao trong tính hiệu phức Ta chỉ mới giới hạn trong trường hợp hàm thực của t. Nhằm tổng quát kết quả cho hàm phức của t, xét lần nửa bài toán xấp xỉ hàm )(tf bằng hàm )(tx trong khoảng thời gian ( 21 ttt ££ ): )()( tcxtf @ (3.15) Trong đó )(tf và )(tx là hàm phức theo t. Nhắc lại là năng lượng x E của tín hiệu phức )(tx trong khoảng [ 21 ,tt ] là ò = 2 1 2 )( t t x dttxE Trường hợp này, thường hệ số c và sai số là số phức )()()( tcxtfte - = (3.16) Để xấp xỉ “tốt nhất”, ta cần chọn c để năng lượng E c của tín hiệu sai số e(t) là tối thiểu ò -= 2 1 2 )()( t t e dttcxtfE (3.17) Nhắc lại ***)*)(( 222 uvvuvuvuvuvu ++=++=+ (3.18) Tiếp tục, sắp xếp phương trình (3.17) 22 0 2 2 1 22 1 )(*)( 1 )(*)( 1 )( òòò -+-= t t x x t x t t e dttxtf E Ecdttxtf E dttfE Do hai thừa số đầu tiên của vế phải không phụ thuộc vào c, rõ ràng là e E được tối thiểu hóa bằng cách chọn c sao cho thừa số thứ ba của vế phải là zêrô, tức là ò = 2 1 )(*)( 1 t t x dttxtf E c (3.19) Từ kết quả trên, ta cần định nghĩa lại tính trực giao trong trường hợp số phức như sau: Hai hàm phức )( 1 tx và )( 2 tx trực giao trong khoảng ( 21 ttt ££ ) nếu 0)()( 2 1 * 21 = ò t t dttxtx hay 0)()( 2 1 2 * 1 = ò t t dttxtx (3.20) Đây là định nghĩa tổng quát về tính trực giao, làm phương trình trở thành phương trình (3.12) khi hàm là thực. r Bài tập E3.2 Chứng tõ là khoảng ( p 20 £ £ t ), xấp xỉ “tốt nhất” của tín hiệu vuông )(tf trong hình 3.3 theo tính hiệu jt e là jt e j p 2 . Kiểm nghiệm lại là tín hiệu sai số jt e jt tfte 2 )()( -= là trực giao với tín hiệu jt e . s Năng lượng của tổng tính hiệu trực giao Ta biết là bình phương độ dài của tổng hai vectơ trực giao là bằng tổng của độ dài hai vectơ. Do đó, nếu x và y trực giao, thì z = x + y, thì 222 yxz += Tương tự, cho trường hợp tín hiệu. Năng lượng của tổng hai tín hiệu trực giao thì bằng tổng năng lượng của hai tín hiệu. Do đó, nếu tín hiệu )(tx và )(ty trực giao trong khoảng ],[ 21 tt , và nếu )()()( tytxtz + = , thì yxz EEE += (3.21) Ta chứng minh kết quả cho tín hiệu phức mà tín hiệu thực là một trường hợp đặc biệt. Từ phương trình (3.18): ò ò òòò +++=+ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )()(*)(*)()()()()( 222 t t t t t t t t t t dttytxdttytxdttydttxdttytx ò ò += 2 1 2 1 22 )()( t t t t dttydttx (3.22) Do tính trực giao, hai tích phân của các tích )(*)( tytx và )()(* tytx là zêrô. Kết quả này có thể được mở rộng với tổng của một số tín hiệu trực giao tương hỗ. 3.2 So sánh tín hiệu: tính tương quan Phần 3.1 đã chuẩn bị cơ sở để so sánh tín hiệu. Một lần nữa, ta có dùng lại ý niệm của phép so sánh vectơ. Hai vectơ f và x là tương đồng khi f có thành phần lớn theo x. Nói cách khác, nếu c trong phương trình (3.6) lớn, thì hai vectơ f và x là tương đồng. Ta có thể xem c là phép đo định lượng tính tương đồng giữa f và x. Tuy nhiên, đo lường này có nhược điểm. Mức tương đồng giữa f và x cần độc lập với độ dài của f và x. Thí dụ, khi tăng đôi độ dài của f, mức tương đồng giữa f và x là không thay đổi. Tuy nhiên, từ phương trình (3.6), ta thấy là khi tăng đôi f, thì cũng tăng đôi giá trị c (trong khi tăng đôi x làm giảm nửa giá trị c). Đo lường của ta rõ ràng là sai. Tính tương đồng giữa hai vectơ được cho từ góc q giữa hai vectơ. Góc q càng bé thì tính tương đồng càng cao, và ngược lại. Do đó, có thể dùng cosq để đo mức tương đồng. Cosq càng lớn, thì tính tương đồng giữa hai vectơ càng cao. Vật, đo lường hợp lý sẽ là c n = cosq, được cho bởi xf xf c n . cos == q (3.23) Có thể kiểm nghiệm lại về tính độc lập của đo lường này với độ dài của f và x . Tương đồng này đo lường c n được gọi là hệ số tương quan. Quan sát thấy: 11 ££- n c (3.24) Do đó, biên độ của c n không bao giờ lớn hơn đơn vị. Hai vectơ thẳng hàng có tính tương đồng lớn nhất (c n = 1). Hai vectơ thẳng hàng đối chiều có tính không tương đồng cao nhất (c n = - 1). Hai vectơ trực giao có tính tương đồng là zêrô. Dùng phương pháp tương tự để định nghĩa chỉ số tương đồng (hệ số tương tương quan) của tín hiệu. Xét các tín hiệu trong khoảng từ - ¥ đến ¥. Muốn c trong phương trình (3.11) độc lập với năng lượng (kích thước) của f(t) và x(t), ta cần chuẩn hóa c bằng cách hai tín hiệu về năng lượng đơn vị. Do đó, chỉ số tương đồng thích hợp c n cho phương trình (3.23) là ò ¥ ¥- = dttxtf EE c xf n )()( 1 (3.25) Nhận thấy khi nhân f(t) hay x(t) với hằng số bất kỳ không ảnh hường đến chỉ số này, nên chỉ số độc lập với kích thước (năng lượng) của f(t) và x(t). Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta chứng minh được là biên độ của c n không bao giờ lớn hơn 1. 11 ££- n c (3.26) The Best Friends, Worst Enemies, and Complete Strangers Ta có thể chứng tõ là nếu )()( tKxtf = thì c n = 1 khi K là hằng số dương bất kỳ, và c n = - 1 khi K là hằng số âm bất kỳ. Đồng thời c n = 0 nếu f(t) và x(t) trực giao. Đo đó, tương đồng lớn nhất [khi )()( tKxtf = ] được cho bởi c n = 1, không tương đồng lớn nhất [khi )()( tKxtf - = ] được cho bởi c n = - 1. Khi hai tín hiệu trực giao, tương đồng là zêrô. Một cách định lượng, ta có thể xem tín hiệu trực giao là tín hiệu không tương quan. Chú ý, địng lượng thì tính không tương đồng khác với tính không tương quan. Thí dụ, ta có bạn tốt (c n = 1), kẻ thù xấu nhất (c n = -1), và kẻ lạ hoàn toàn, không cần quan tâm là ta có tồn tại hay không (c n = 0). Kẻ thù không phải là người lạ, nhưng trong một số trường hợp người ta có thể nghĩ giống chúng ta, nhưng ngược lại?!!. Mở rộng ý niệm khi so sánh tín hiệu phức, định nghĩa c n lúc này là. ò ¥ ¥- = dttxtf EE c xf n )(*)( 1 (3.27) ¢ Thí dụ 3.2 Tìm hệ số tương quan C giữa xung x(t) và xung f i (t), i = 1, 2, 3, 4, 5 và 6 vẽ trong hình 3.4. Ta tính c n dùng phương trình (3.25) cho từng trường hợp. Đầu tiên ta tính năng lượng của mọi tín hiệu. òò === 5 0 5 0 2 5)( dtdttxE x (3.28) Dùng phương pháp này, ta tìm được E f1 = 5, E f2 = 1,25, và E f3 = 5. Để tìm E f4 và E f5 , ta tìm năng lượng E của e -at u(t) trong khoảng thời gian từ t = 0 đến T: ( ) ( ) òò -=== T aTat T at e a dtedteE 0 22 0 2 1 2 1 Trường hợp f 4 (t), a = 1/5 và T = 5. Do đó E f4 =2,1617. Trường hợp f 5 (t), a = 1 và T = ¥. Do đó E f5 =0,5. Năng lượng E f6 cho bởi 5,22sin 5 0 2 6 == ò tdtE f p Dùng phương trình (3.25), hệ số tương quan của sáu trường hợp được tìm là: (1) ò = 5 0 1 )5)(5( 1 dt (2) ò = 5 0 1)5,0( )5)(25,1( 1 dt (3) ò -=- 5 0 1)1( )5)(5( 1 dt (4) ò = - 5 0 5/ 961.0 )5)(1617,2( 1 dte t (5) ò = - 5 0 628,0 )5)(5,0( 1 dte t (6) ò = 5 0 02sin )5)(5,2( 1 tdt p ¢ Nhận xét về kết quả: Do f 1 (t) = x(t), hai tín hiệu có khả năng tương đồng tối đa và c n = 1. Tuy nhiên, tín hiệu f 2 (t) còn cho thấy khả năng tương đồng tối đa với c n = 1. Lý do từ định nghĩa c n dùng đo lường tính tương đồng của dạng sóng; và độc lập với biên độ (cường độ) của các tín hiệu so sánh. Tín hiệu f 2 (t) giống hệt x(t) về hình dạng; chỉ có biên độ (cường độ) là khác nhau. Do đó, c n = 1. Mặt khác, tín hiệu f 3 (t) cho thấy khả năng không tương đồng tối đa với x(t) do bằng với - x(t). Trường hợp f 4 (t), c n = 0,961, cho thấy có độ tương đồng cao với x(t). Điều này hợp lý do f 4 (t) rất giống với x(t) trong thời gian tồn tại của x(t) (từ 0 £ t £ 5). Qua kiểm tra, ta chú ý là là độ biến thiên hay thay đổi trong x(t) và f 4 (t) có tốc độ giống nhau. Đây không phải là trường hợp của f 5 (t), khi ta nhận thấy là tốc độ thay đổi của f 5 (t) thường cao hơn của x(t). Hai tín hiệu vẫn còn tương đồng nhau, đều còn giữa giá trị dương, và chưa có dao động. Hai tín hiệu đều có giá trị zêrô hay cường độ rất bé khi t > 5. Như thế, f 5 (t) tương đồng với x(t), nhưng không tương đồng như f 4 (t). Điều này giải thích tại sao f 5 (t) có c n = 0,628. Tín hiệu f 6 (t) thì trực giao với x(t), nên có c n = 0. Điều này cho thấy sự không tương đồng trong trường hợp này không mạnh như như trường hợp f 3 (t) có c n = – 1. Kết luận này có vẽ kỳ cục do f 3 (t) có vẽ như tương đồng với x(t) nhiều hơn so với f 6 (t). Tính không tương đồng giữa x(t) và f 6 (t) có bản chất từ sự không ưa nhau (worst enemy); đó là chúng rất tương đồng nhau, nhưng theo hướng ngược lại. Nói khác đi, tính không tương đồng giữa x(t) và f 6 (t) bắt nguồn từ việc chúng có không giống nhau. Do đó tính không tương đồng giữa x(t) và f 3 (t) có mức độ thấp hơn. r Bài tập E3.3 Chứng tõ là c n của tín hiệu f 2 (t) và f 3 (t) trong hình 3.4 là – 1; của f 2 (t) và f 4 (t) là 0,961, và của f 3 (t) và f 6 (t) là zêrô. s 3.2-1 Ứng dụng để phát hiện tín hiệu Tính tương quan giữa hai tín hiệu là ý niệm cực kỳ quan trọng nhằm đo lường mức tương đồng giữa hai tín hiệu. Ý niệm này được dùng rộng rải để xử lý tín hiệu radar, sonar, thông tin số, quân sự và nhiều ứng dụng khác. Ta giải thích ý niệm này dùng thí dụ trong radar khi tín hiệu xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu. Sự hiện diện hay không hiện diện của xung phản xạ xác nhận sự hiện diện hay không hiện diện của mục tiêu. Vấn đề cốt lõi ở đây là để phát hiện được xung phản xạ bị suy giảm rất nhiều (dạng sóng đã biết) bị nhiễu che lấp. Trong trường hợp này, yếu tố tương quan giữa xung nhận được và xung phát đi là trợ giúp quan trọng. Tình huống tương tự tồn tại trong thông tin số khi ta cần phát hiện sự hiện diện của một trong hai dạng sóng đã biết với sự hiện diện của nhiễu. Ta bắt đầu giải thích phương thức phát hiện tín hiệu dùng kỹ thuật tương quan. Xét trường hợp thông tin nhị phân (hai bit), trong đó hai dạng sóng đã được biết được nhận theo trình tự ngẫu nhiên.Trong mỗi thời điểm, ta nhận một xung và nhiệm vụ của ta là xác định xem đã nhận xung nào trong hai dạng xung đã biết. Để phát hiện dễ dàng hơn, ta cần làm cho hai xung này không tương đồng càng nhiều càng tốt. Do đó, ta nên chọn xung âm so với xung kia. Lựa chọn này cho ta tính không tương đồng lớn nhất (c n = – 1). Sơ đồ này đôi khi còn được gọi là sơ đồ đối cực (antipodal). Ta cũng có thể chọn xung trực giao để có c n = 0. Trong thực tế thường dùng cả hai lựa chọn này, cho dù sơ đồ đối cực cho phép phân biệt hai xung tốt nhất. Xét tiếp sơ đồ đối cực trong đó hai xung là p(t) và – p(t). Hệ số tương quan c n của các xung này là –1. Giả sử không có nhiễu và truyền dẫn là hoàn hảo. Máy thu có bộ tương quan để tính tương quan giữa p(t) và xung thu được. Nếu tương quan là 1, ta khẳng định thu được p(t), và nếu tương quan là –1, ta khẳng định thu được – p(t). Nhờ có khả năng không tương đồng lớn nhất giữa hai xung, nên việc tách xung dễ dàng. Tuy nhiên trong thực tế, quá trình truyền thường không hoàn hảo, có nhiễu len vào tín hiệu thu. Đồng thời, khi truyền, tín hiệu còn bị méo dạng và có thể bị trùng lắp nhau, làm thay đổi hình dạng tín hiệu thu được nên hệ số tương quan không còn là ±1, có biên độ bé, làm giảm khả năng phân biệt xung. Ta dùng bộ tách xung theo ngưỡng, nhằm quyết định là nếu hệ số tương quan là dương (c n > 0), thì xung thu được là p(t), và nếu tương quan là âm (c n < 0), thì xung là – p(t). Thí dụ, giả sử ta truyền p(t). Trong trường hợp lý tưởng, tương quan giữa xung này tại máy thu là 1, là khả năng tối đa. Do ảnh hưởng của nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác, tương quan sẽ nhỏ hơn 1. Trong một số trường hợp tới hạn, yếu tố nhiễu và trùng lắp với các xung khác làm xung này rất khác với xung p(t) và tương quan có giá trị âm. Trong trường hợp này thì bộ tách xung theo ngưỡng lại khẳng định xung nhận được là – p(t), làm quá trình tách xung bị sai. Tương tự, khi truyền – p(t), thì yếu tố nhiễu trong kênh truyền, yếu tố méo dạng xung và trùng lắp xung có thể làm tương quan là dương, làm quá trình tách xung bị sai. Nhiệm vụ của ta là đảm bảo xung truyền có năng lượng đủ lớn nhằm giữa cho các tổn thất do nhiễu nằm trong một giới hạn và sai số nằm trong biên cho phép. Trong trường hợp lý tưởng, biên này do tương quan c n cung cấp nhằm phân biệt được hai xung là 2 (từ 1 đến –1 và ngược lại). Yếu tố nhiễu và tính không hoàn hảo khi truyền làm giảm biên này. Điều này, giải thích tại sao yếu tố quan trọng nhất vẫn là bắt đầu với biên càng lớn càng tốt. Do đó, sơ đồ đối cực có tính năng tốt nhất nhằm để chống nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khi truyền. Tuy nhiên, như đã nói ở trên, do còn có các lý do khác, nên nhiều sơ đồ, thí dụ sơ đồ trực giao với c n = 0 cũng được dùng dù có biên nhỏ hơn (từ 0 đến 1 và ngược lại) nhằm phân biệt các xung. Một số dạng tán xạ xung đã được thảo luận trong phần 2.7-5 và 2.7-6. Trong chương 4, ta sẽ thảo luận về méo dạng xung khi truyền. Tính toán xác suất sai số khi có nhiễu và các yếu tố không hoàn hảo khác nằm ngoài phạm vi tài liệu này, độc giả có thể tham khảo thêm tài liệu. 3.2-2 Hàm tương quan Xét ứng dụng tương quan để phát hiện tín hiệu trong radar, trong đó xung được phát đi nhằm phát hiện các mục tiêu khả nghi. Khi mục tiêu xuất hiện, xung được nó phản xạ lại, khi không có mục tiêu thì không có tín hiệu phản xạ, mà chỉ có nhiễu. Bằng cách phát hiện sự tồn tại hay không tồn tại của xung phản xạ ta khẳng định được sự tồn tại hay không tồn tại của mục tiêu. Bằng cách đo thời gian trễ giữa xung truyền và xung nhận được (phản xạ) ta xác định được cự ly của mục tiêu. Gọi xung truyền và xung phản xạ lần lượt là g(t) và f(t), như vẽ trong hình 3.5. Nếu ta đã dùng trực tiếp phương trình (3.25) để đo hệ số tương quan c n , ta có: ò ¥ ¥- == 0)()( 1 dttgtf EE c gf n (3.29) Tương quan là zêrô do các xung này tách biệt theo thời gian. Tích phân (3.29) có giá trị zêrô ngay khi các xung giống hệt nhau nhưng có dời theo thời gian. Để giải quyết vấn đề này, ta so sánh xung nhận được f(t) với xung bị trễ theo thời gian g(t) với nhiều giá trị trễ. Nếu với một số tham số trễ làm tương quan mạnh hơn, ta không chỉ phát hiện được xung mà cỏn phát hiện được thời gian dời của f(t) theo g(t). Do đó, thay vì dùng tích phân bên vế phải, ta dùng một tích phân y fg (t) được gọi là hàm tương quan chéo của hai tín hiệu thực f(t) và g(t), được định nghĩa theo: ò ¥ ¥- -= ttty dtgft fg )()()( (3.30) Với t là biến phụ, và xung g( t – t) là xung g( t ) dời đi t giây theo xung f( t ). Do đó, y fg (t) chỉ thị tính tương đồng (tương quan) giứa xung f và xung g dời đi t giây. Do đó, y fg (t) đo lường tính tương đồng của xung kể cả khi chúng tách biệt nhau. Trong trường hợp tín hiệu trong hình 3.5, y fg (t) cho thấy tương quan đáng kể chung quanh t = T. Quan sát này cho phép ta không chỉ phát hiện sự hiện hữu của mục tiêu mà còn tính được cự ly của mục tiêu. Tích chập và tương quan Ta xem xét quan hệ khắn khít giữa tích chập và tương quan của f(t) và g(t) (từ phương trình 3.30). Chú ý là xung g( t – t) là xung g( t ) dời đi t giây. Do đó, y fg (t) là vùng diện tích do tích giữa xung f và xung g dời t theo thời gian (không có đảo). Tương tự, ta thấy trong phép tính tích chập cũng theo các bước tương tự, trừ việc xung g được [...]... ca chui Fourier lng giỏc Ta ó chng minh phng thc biu din mt tớn hiu bt k f(t) thnh chui Fourier lng giỏc trong cỏc khong T0 giõy Trong thớ d 3.3, ta ch biu din e t/2 trong mt khong t 0 n p/2 Chui Fourier tớnh t phng trỡnh (3.56) ch bng e t/2 trong khong ny thụi Bờn ngoi khong ny chui khụng nht thit phi bng e t/2 Cng cn xem bờn ngoi khong ny thỡ chui Fourier ra sao Ta s chng minh l chui Fourier lng... th c biu din thnh chui Fourier dng hm m trong khong thi gian T0 giõy ( ) f (t ) = Ơ ồD e n = -Ơ jnw0t (3.70) n Vi (xem phng trỡnh 3.45) 1 (3.71) Dn = ũ f (t )e - jnw0t dt T0 T0 Chui Fourier dng m v c bn l mt dng khỏc ca chui Fourier lng giỏc Cỏc tớn hiu sin vi tn s w cú th c vit thnh tng ca hai hm m ejwt v e- jwt Nh th chui Fourier dng m cú dng e jnw0t vi n thay i t - Ơ n Ơ Chui Fourier dng m trong phng... cos 2w0t + cos 3w0t + L)] T0 w0 = 2p T0 (3.81)  r Bi tp E3.9 Ph Fourier m ca mt s tớn hiu tun hon f(t) c v trong hỡnh 3.17 Xỏc nh v v ph Fourier lng giỏc ca f(t) qua xem xột hỡnh 3.17 Vit chui Fourier lng giỏc dng gn ca f(t) ỏp s f (t ) = 4 + 6 cos(3t - p ) + 2 cos(6t - p ) + 4 cos(9t - p ) s 6 4 2 r Bi tp E3.10 Tỡm chui Fourier v v ph Fourier Dn theo w ca tớn hiu sin c nn ton k v trong hỡnh 3.18 2... chui Fourier tng ng j(t) ch cn bng nhau trong khong T0 ny thụi Ngoi khong ny, chui Fourier lp li mt cỏch tun hon vi chu k T0 Nu khi f(t) t thõn ó l hm tun hon vi chu k T0, thỡ chui Fourier biu din f(t) trong khong T0 cng biu din f(t) vi mi t (khụng ch trong khong T0) Mt iu thỳ v na, l theo hỡnh 1.7 thỡ tớn hiu tun hon f(t) cú th c sinh ra t vic lp li cú chu k cỏc thi on cú rng l T0 Do ú, chui Fourier. .. chu k T0 thy c quan h cht ch vi chui Fourier lng giỏc, ta tỡm li chui Fourier dng m t chui Fourier lng giỏc Tớn hiu sin trong chui lng giỏc cú th c vit thnh tng hai hm m dựng cụng thc Euler: C ổC ử ổC ử Cn cos(nw0t + q n ) = n e j ( nw0t +q n ) + e - j ( nw0t +qn ) = ỗ n e jqn ữe jnw0t + ỗ n e - jqn ữe - jnw0t 2 2 2 ố ứ ố ứ jnw0t - jnw0t = Dn e + D-n e (3.72) Chui Fourier lng giỏc dng gn ca tớn hiu tun... nhau T hp duy nht ny c gi l ph Fourier ca f(t) Tng hp Fourier cho hm khụng liờn tc: Hin tng Gibbs Hỡnh 3.11 v hm vuụng f(t) v cỏc xp x dựng chui Fourier lng giỏc rỳt gn ch gm cỏc hi bc n u tiờn vi n = 1 3 5, v 19 th ca chui xp x rỳt gn cng ging f(t) khi n cng tng, v ta mong mun chui s hi t v ỳng f(t) khi n ƯƠ iu ny l do (xem phn 3.3), nng lng ca sai bit gia f(t) v chui Fourier trong mt chu l (nng lng... ti ca chui Fourier: iu kin Dirichlet Hai iu kin c bn cho tn ti ca chui Fourier l: 1 chui tn ti thỡ cỏc h s a0, an, v bn trong phng trỡnh (3.51) phi hu hn T cỏc phng trỡnh (3.51a), (3.51b), v (3.51c) thỡ cỏc h s ny tn ti nu f(t) l tớch phõn tuyt i trong mt chu k, tc l: (3.59) ũ f (t ) dt < Ơ T0 iu kin ny gi l iu kin Dirichlet yu Nu hm f(t) tha iu kin Dirichlet yu, thỡ iu kin tn ti ca chui Fourier c... chui Fourier hi t, ngoi iu kin (3.59), cn cú thờm iu kin sau 2 Hm f(t) ch cú hu hn cỏc im cc i v cc tiu trong mt chu k, v ch cú mt s hu hn cỏc im giỏn on trong mt chu k Hai iu kin ny c gi l iu kin Dirichlet mnh Cn chỳ ý l cỏc tớn hiu tun hon t cỏc phũng thớ nghim tha iu kin Dirichlet, nờn u cú chui Fourier hi t Vy, cỏc tớn hiu tun hon trong thc t u tha iu kin chui hi t  Thớ d 3.4 Tm chui Fourier. .. 3.4-1 nh hng ca tớnh i xng Chui Fourier ca tớn hiu tun hon trong hỡnh 3.7a (thớ d 3.3) gm cỏc tha s sin v cosin, nhng chui ca tớn hiu f(t) trong hỡnh 3.8a (thớ d 3.4) ch cha cỏc tha s cosin, v chui ca tớn hiu f(t) trong hỡnh 3.9a (thớ d 3.5) ch cha cỏc tha s sin õy khụng phi l iu gỡ bt thng Ta cú th chng minh l chui Fourier ca hm chn f(t) ch gm cỏc tha s cosin v chui Fourier ca hm l f(t) ch gm cỏc tha... (chu k c bn) Gi chui Fourier bờn v phi ca phng trỡnh (3.54) l j(t), thỡ Ơ j (t ) = C0 + ồ Cn cos(nw0t + q n ) vi mi t n =1 V Ơ j (t + T0 ) = C0 + ồ Cn cos[nw0 (t + T0 ) + q n ] n=1 Ơ = C0 + ồ Cn cos[nw0 (t + 2np ) + q n ] n=1 Ơ = C0 + ồ C n cos(nw0t + q n ) = j (t ) vi mi t (3.57) n=1 Kt qu ny chng từ l chui Fourier lng giỏc l hm tun hon vi chu k T0 (chu k c bn) Thớ d, j(t) l chui Fourier bờn v phi ca . q n 0 -7 5,96 - 82,87 -8 5,24 -8 6,42 -8 7,14 -8 7,61 -8 7,95 ¢ Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác Ta đã chứng minh phương thức biểu diễn một tín hiệu bất kỳ f(t) thành chuổi Fourier. å ¥ = - - + += 1 1 2 )4tan2(cos 161 2 504,0504,0)( n nnt n tf p £ £ t0 (3.56a) = 0,504 + 0,244cos(2t - 75,96 0 ) + 0,125cos(4t - 82,87 0 ) + 0,084cos(6t - 85,24 0 ) + 0,063cos(6t - 86, 42 0 ). với g(t) đảo theo thời gian), tức là: )(*)()( tgtft fg -= y (3.31) Phần chứng minh như sau: Đặt g( – t) = w(t) òò ¥ - ¥ - =-= -= =- )()()()()()(*)()(*)( tdtgfdtwftwtftgtf fg ytttttt Nhắc