www.hoasen.edu.vn  1 Linear Algebra Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH www.hoasen.edu.vn  2 Linear Algebra Nội dung 1.1 Khái niệm ma trận 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 Các phép toán trên ma trận 1.2 Các phép toán trên ma trận 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính www.hoasen.edu.vn  3 Linear Algebra  Ta xét hệ phương trình: 2 3 8 2 3 8 5 7 1 5 7 1 x x y y x y + =        = ⇔        + =        Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ? 1.4 Ma trận nghịch đảo www.hoasen.edu.vn  4 Linear Algebra )0(. 1 1 ≠=== − abab aa b x 1 .AX B X A B − = ⇔ = 1− A Xét phương trình: a x = b. Ta có: Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào? 1.4 Ma trận nghịch đảo () www.hoasen.edu.vn  5 Linear Algebra bax bax baaxa bxa 1 1 11 1 − − −− =⇔ =⇔ =⇔ = 1 1 1 1 A X B A A X A B I X A B X A B − − − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ? 1 IAA = − Ta để ý: Phải chăng 1.4 Ma trận nghịch đảo () www.hoasen.edu.vn  6 Linear Algebra 1.4 Ma trận nghịch đảo () A là ma trận vuông cấp n, nghịch đảo ( A là ma trận vuông cấp n, nghịch đảo ( inverse inverse ) của ) của ma trận A là ma trận cấp vuông cấp n, kí hiệu A ma trận A là ma trận cấp vuông cấp n, kí hiệu A - - 1 1 , nếu thỏa mãn , nếu thỏa mãn A.A A.A -1 -1 = I = A = I = A -1 -1 A A với I = I với I = I n n là ma trận đơn vị cấp n. là ma trận đơn vị cấp n. A có nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch A có nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch ( ( invertible invertible ) ) Định nghĩa: www.hoasen.edu.vn  7 Linear Algebra 1.4 Ma trận nghịch đảo () 1. 1. Nếu ma trận A có nghịch đảo là A Nếu ma trận A có nghịch đảo là A -1 -1 thì A thì A -1 -1 là là duy nhất duy nhất 2. 2. Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả Nếu A, B là ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB) nghịch và (AB) -1 -1 = B = B -1 -1 A A -1 -1 . . Định lý: Chứng minh:… www.hoasen.edu.vn  8 Linear Algebra Nhận xét: • Tính khả nghịch chỉ có với ma trận vuông. Tính khả nghịch chỉ có với ma trận vuông. Tuy nhiên, không phải ma trận vuông nào Tuy nhiên, không phải ma trận vuông nào cũng khả nghịch cũng khả nghịch 1.4 Ma trận nghịch đảo () www.hoasen.edu.vn  9 Linear Algebra 1.4 Ma trận nghịch đảo () 1. Chứng minh các ma trận sau không có nghịch 1. Chứng minh các ma trận sau không có nghịch đảo: đảo: 2. Chứng minh 0 0 0 0 A   =     0 0 1 2 A   =     1 5 2 1 3 3 1 2 5 A − −     = =     −     Ví dụ: www.hoasen.edu.vn  10 Linear Algebra 1.4 Ma trận nghịch đảo () 3. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (dùng các 3. Tìm nghịch đảo của các ma trận sau (dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận A|I): phép biến đổi sơ cấp trên dòng cho ma trận A|I): 2 1 0 4 1 3 3 1 2 A     = − − −       2 1 0 4 1 3 3 3 1 2 A       = − − −         Ví dụ: [...]... −4 2 −7   2 Ma trận hệ số 0  x1  B=  x   −2  X =  2 Ma trận ẩn số   Ma trận hệ  x3  9 số tự do    Linear Algebra  x4  14 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ: Hệ phương trình trên còn được viết dưới dạng: AX = B được gọi là dạng ma trận của hệ đã cho  Linear Algebra 15 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ:... Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Xét hệ phương trình tổng quát sau:  Linear Algebra 18 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ta có ma trận bổ sung tương ứng  a11 a a  21 A =    am1  Linear Algebra a12 a22 a1n a2 n am 2 amn b1   b2    bm  19 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung... 3     Phương trình có dạng: AX=B −1 Ta có: X = A B  Linear Algebra 31 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt)  Linear Algebra 32 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 3  1 −1  2 −3 X  + 2 2 0  = 0 5  2 4      Linear Algebra 33 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) ... Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ phương trình sau:  x + 2y − z = 6 1 2 −1  x   6    3 −1 2   y  =  −1 3 x − y + 2 z = −1 ↔      4 3 5   z   5  4 x + 3 y + 5 z = 5        1 −1 ⇒X =2 AX = B ⇔ X = A B    −1   Linear Algebra 30 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa...www.hoasen.edu.vn 1.4 Ma trận nghịch đảo (tt) Làm các bài tập từ 25 đến 35 trang 54; 41 đến 44 trang 55 và 45, 47, 48 trang 56  Linear Algebra 11 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính Định nghĩa: Một hệ m phương trình tuyến tính (linear equation) của n ẩn số x1, x2 , …, xn (m, n là số tự nhiên khác 0) có dạng: được gọi là hệ phương trình tuyến tính (system of linear equations)... Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) 2) 3) 4)  AX = B XA = B AXB = C AX + kB = C Linear Algebra 27 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ta có: 1) AX=B ⇔ A AX=A B -1 -1 ⇔ IX=A -1 B −1 2) ⇔X=A B −1 −1 XA = B ⇔ XAA = BA ⇔ XI = BA ⇔ X = BA  Linear Algebra −1 −1 −1 ≠A B 28 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ta... ⇔ 3x − y + 4 z = 0 5 x + 9 y + 2 z = 5   Linear Algebra 16 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) • Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình: –Nhân một số ( λ ≠ 0 ) vào 2 vế của 1 phương trình của hệ –Đổi chỗ hai phương trình của hệ –Nhân một số ( λ ≠ 0 ) vào một phương trình rồi cộng vào PT khác của hệ − x− z = z  x − y + z =1  x y + y + 1 = 1    ⇔ + x+4 +2 2... Linear Algebra 12 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) aij, bj: thuộc tập số thực (phức) aij: hệ số bj: hệ số tự do Ma trận bổ sung  Linear Algebra  a11 a  21    am1 a12 i = 1, m; j = 1, n a1n a22 a2 n am 2 amn b1   b2    bm  13 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ví dụ: Cho hệ phương trình 2 x1 − 3x2 + 5 x3 − x4 = 2  2 −3 5 −1... Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT a '11 x1 + a '12 x2 + + a '1r xr + + a '1n xn = b '1  a '22 x2 + + a '2 r xr + + a '2 n xn = b '2     a 'r r xr + + a 'r n xn = b 'r  0 x1 + 0 x2 + + 0 xr + + 0 xn = k   Linear Algebra 21 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Khi đó ta có: 1 Nếu k ≠ 0 thì phương trình thứ (r... phương trình tuyến tính (tt)  Linear Algebra 34 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn: 1 3 −2   2 −2  0 4 2  X =  0 4      5 0 −3  −8 6       Linear Algebra 35 www.hoasen.edu.vn 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính (tt) Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn: 2 4 2 7   4 8  3 5  X 1 3  =  −2 0         Linear . trên ma trận 1. 3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1. 3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1. 4 Ma trận nghịch đảo 1. 4 Ma trận nghịch đảo 1. 5 Giải hệ các phương trình tuyến tính 1. 5 Giải hệ. Algebra 1. 4 Ma trận nghịch đảo () 1. 1. Nếu ma trận A có nghịch đảo là A Nếu ma trận A có nghịch đảo là A -1 -1 thì A thì A -1 -1 là là duy nhất duy nhất 2. 2. Nếu A, B là ma trận khả nghịch. www.hoasen.edu.vn  1 Linear Algebra Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH www.hoasen.edu.vn  2 Linear Algebra Nội dung 1. 1 Khái niệm ma trận 1. 1 Khái niệm ma trận 1. 2 Các phép toán trên ma trận 1. 2