www.hoasen.edu.vn    1 Linear Algebra ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – TOAN153DV01 Số tín chỉ: 3 Số tiết: 42 Gv: Lê Thị Ngọc Huyên Khoa KHCN – ĐH Hoa Sen www.hoasen.edu.vn    2 Linear Algebra Chương 1: Ma trận và hệ các phương trình tuyến tính Chương 2: Định thức Chương 3: Không gian vectơ Chương 4: Không gian vec tơ Euclide Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Chương 6: Giá trị riêng và vectơ riêng Nội dung môn học www.hoasen.edu.vn    3 Linear Algebra Chương 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH www.hoasen.edu.vn    4 Linear Algebra Nội dung 1.1 Khái niệm ma trận 1.2 Các phép toán trên ma trận 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.5 Giải hệ các phương trình tuyến tính www.hoasen.edu.vn    5 Linear Algebra Ma trận (matrix) là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a               Ký hiệu: A = [a ij ] mn 1.1 Khái niệm ma trận www.hoasen.edu.vn    6 Linear Algebra 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 j n j n i i ij in m m mj mn a a a a a a a a a a a a a a a a                     Hàng thứ nhất Hàng thứ i Cột thứ 2 Cột thứ j a ij : Phần tử nằm ở hàng i cột j aij mn: gọi là cấp của ma trận a 11 a 22 a 33 … gọi là đường chéo chính 1.1 Khái niệm ma trận (tt) www.hoasen.edu.vn    7 Linear Algebra Ví dụ: 1 0 2 3 1.5 5 A   =   −   2 8 6 2 9 0 0 7 2 B −     =     − −   23 33 đường chéo chính 21 a 1.1 Khái niệm ma trận (tt) www.hoasen.edu.vn    8 Linear Algebra Các ma trận đặc biệt: 1. Ma trận không: ij 0, , .a i j= ∀ 0 0 0 0 0 0 O   =     Ví dụ: (tất cả các phần tử đều = 0) 1.1 Khái niệm ma trận (tt) www.hoasen.edu.vn    9 Linear Algebra Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận vuông: m = n. 0 7 8 1 3 ; 4 2 0 2 7 5 0 2       −     −       Ví dụ: Ma trận vuông cấp 2 Ma trận vuông cấp 3 (số hàng = số cột) 1.1 Khái niệm ma trận (tt) www.hoasen.edu.vn    10 Linear Algebra Các ma trận đặc biệt: 3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có: ij 0, .a i j= ∀ ≠ (các phần tử ngoài đường chéo chính = 0) Ví dụ: 2 0 0 0 4 0 0 0 9           11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a             1.1 Khái niệm ma trận (tt) [...]... niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 7 Ma trận cột: là ma trận có n=1 Ma trận cột có dạng:  a11  a   21  := [ a ] i m      am1     Linear Algebra 15 www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 8 Ma trận hàng: là ma trận có m=1 Ma trận hàng có dạng: [ a11 a12 a1n ]    Linear Algebra 16 www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 9 Ma trận. .. www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) 3 Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận Amp ; B pn , Khi đó ma trận Amp B pn = [cij ]mn gọi là tích của hai ma trận A, B Trong đó: cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + + aip bpj , ∀i = 1, m; j = 1, n ai1 ai 2 b1 j b2 j aip bpj Hàng thứ i của ma trận A Cột thứ j của ma trận B Như vậy cij = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng  với cột thứ j của ma trận B rồi cộng... www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 11 Đa thức của ma trận: Cho đa thức Pn ( x) = a0 x n + a1 x n −1 + + an và ma trân vuông A = [ aij ]n Pn ( A) = a0 An + a1 An −1 + + an I n Khi đó: (trong đó I n là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A)    Linear Algebra 19 www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Ví dụ: Cho P2 ( x) = x 2 − 3x + 5 1 2  và ma trận A =   0 −3 Khi...www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 4 Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có: aii = 1, ∀i = 1, 2, , n Ký hiệu: I, In Ví dụ: 1 1 0 0  0 1 0  I2 =  , I 3 = 0 1 0  , I n =     0 1   0 0 1     0    Linear Algebra 0 1 0 0 0    1 11 www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 5 Ma trận tam giác: là ma trận vuông có aij = 0, ∀i... www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma trận cùng cấp, khi đó: i) A + B = B + A ii ) A + O = A iii ) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C Ví dụ:    1 4  3 2  Linear Algebra 2  3  + 2 7  5  1  + 4 0  5  4  = 6 0  2  4  = 6 7  7 7  7 7  23 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) 2 Phép nhân một số với một ma trận: λ... 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Cột 1 Ví dụ: Hàng 1 = 2 4 1 16 2 3   1 4 2  =  −1 0 4   2 −3 0   16 3  10   3 5 1   23 23   33    Linear Algebra 33 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Ví dụ: 1 2 3   3 −1 0 −4 2   2 0     5 1 −1  6 −3       Linear Algebra 34 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) • Chú ý: Phép nhân 2 ma. .. www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) 2 Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 3 2 1 0 =3.2+2.0+1.(-1)=5 5 13 =13 -1 3 2 1  3 +2 +1  1 2     0 −1 4   3 0  =  3       −2 3 0  33 .4 −1 32    4      32  số cột của A= số hàng = B của Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí c12    Linear Algebra 31 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:... Ma trận bằng nhau: A =  aij    mn = bij    mn = B ⇔ aij = bij , ∀i, j 10 Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j (chuyển hàng thành cột)    Linear Algebra 17 www.hoasen.edu.vn 1.1 Khái niệm ma trận (tt) Dạng của ma trận chuyển vị:  a11 a 21 A=    am1  a12 a22 am 2 a1n   a11 a a2 n  ...    (các phần tử của ma trận đều được nhân cho λ ) 2.(-2)=-4 -4 Ví dụ: 2.3=6 6  3 −2 0   -2 0 2.0=0 7 4 5  =   2 2 14   8 10  0 −2 1  0 -4 2      Linear Algebra 24 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Ví dụ: ?  2 −3 6 4 0  =  3 12    5 −1 15       Linear Algebra -9   0   -3  25 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Các tính... toán trên ma trận (tt) • Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán  Ví dụ: 1 4   3 −1 19 −1 AB =    4 0  =  23 −5 5 2       3 −1 1 4   −2 10  BA =   5 2  =  4 16  4 0         Linear Algebra 35 www.hoasen.edu.vn 1.2 Các phép toán trên ma trận (tt) Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp phù hợp để tồn tại ma trận tích i ) A( BC ) = ( AB )C ii ) A( B + C ) . 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH www.hoasen.edu.vn    4 Linear Algebra Nội dung 1. 1 Khái niệm ma trận 1. 2 Các phép toán trên ma trận 1. 3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1. 4 Ma trận.  www.hoasen.edu.vn    16 Linear Algebra Các ma trận đặc biệt: 8. Ma trận hàng: là ma trận có m =1. [ ] 11 12 1 n a a a Ma trận hàng có dạng: 1. 1 Khái niệm ma trận (tt) www.hoasen.edu.vn    17 Linear Algebra 1. 1. (tt) www.hoasen.edu.vn    11 Linear Algebra 1. 1 Khái niệm ma trận (tt) Các ma trận đặc biệt: 4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có: 1, 1, 2, , . ii a i n= ∀ = Ký hiệu: I, I n Ví dụ: 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 , 0 1 0