Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Nguyên hàm - Tích Phân - Luyện thi ĐH (Có đáp án chi tiết)
Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân §1. Nguyên Hàm 8.1. Tìm các họ nguyên hàm sau a) x 7 + 4x 3 − √ x dx. b) 3 √ x + 1 − 1 √ x dx. c) 3x 2 + 1 (2x − 3) dx. d) √ x √ x − 2x (x + 1) dx. e) 3 sin x + 2 x dx. f) 3 cos x − 3 x−1 dx. Lời giải. a) x 7 + 4x 3 − √ x dx = x 7 + 4x 3 − x 1 2 dx = x 8 8 + x 4 − 2x 3 2 3 + C. b) 3 √ x + 1 − 1 √ x dx = x 1 3 + 1 − x − 1 2 dx = 3x 4 3 4 + x − 2x 1 2 + C. c) 3x 2 + 1 (2x − 3) dx = 6x 3 − 9x 2 + 2x − 3 dx = 3x 4 2 − 3x 3 + x 2 − 3x + C. d) √ x √ x − 2x (x + 1) dx = x 2 + x − 2x 5 2 − 2x 3 2 dx = x 3 3 + x 2 2 − 4x 7 2 7 − 4x 5 2 5 + C. e) 3 sin x + 2 x dx = −3 cos x + 2 ln |x|+ C. f) 3 cos x − 3 x−1 dx = 3 cos x − 3 x 3 dx = 3 sin x − 3 x 3 ln 3 + C. 8.2. Tìm các họ nguyên hàm sau a) x + √ x + 1 3 √ x dx b) x 3 + 5x 2 − 3x + √ x x √ x dx. c) 4 x + 1 2 x dx. d) 2 x − 1 e x dx. e) tan 2 xdx. f) 1 sin 2 xcos 2 x dx. Lời giải. a) x + √ x + 1 3 √ x dx = x 2 3 + x 1 6 + x − 1 3 dx = 3x 5 3 5 + 6x 7 6 7 + 3x 2 3 2 + C. b) x 3 + 5x 2 − 3x + √ x x √ x dx = x 3 2 + 5x 1 2 − 3x − 1 2 + 1 x dx = 2x 5 2 5 + 10x 3 2 3 − 6x 1 2 + ln |x| + C. c) 4 x + 1 2 x dx = 2 x + 1 2 x dx = 2 x ln 2 + 1 2 x ln 1 2 + C = 2 x ln 2 − 1 2 x ln 2 + C. d) 2 x − 1 e x dx = 2 e x − 1 e x dx = 2 e x ln 2 e − 1 e x ln 1 e + C = 2 x e x (ln 2 − 1) + 1 e x + C. e) tan 2 xdx = 1 cos 2 x − 1 dx = tan x −x + C. f) 1 sin 2 xcos 2 x dx = sin 2 x + cos 2 x sin 2 xcos 2 x dx = 1 cos 2 x + 1 sin 2 x dx = tan x −cot x + C. 8.3. Tìm một nguyên hàm F (x) của các hàm số sau a) f(x) = 2 − x 2 , biết F (2) = 7 3 . b) f(x) = x − 1 x 2 + 2, biết F (1) = 2. c) f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1, biết F (0) = 1. d) f(x) = 3 √ x + x 3 + 1, biết F (1) = 2. 1 e) f(x) = ax + b x 2 , biết F (−1) = 2, F (1) = 4 và F (2) = 5. Lời giải. a) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 2 − x 2 nên có dạng F (x) = 2 − x 2 dx = 2x − x 3 3 + C. Lại có F (2) = 7 3 ⇔ 4 − 8 3 + C = 7 3 ⇔ C = 1. Vậy F (x) = 2x − x 3 3 + 1. b) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f (x) = x− 1 x 2 +2 nên có dạng F (x) = x − 1 x 2 + 2 dx = x 2 2 + 1 x +2x+C. Lại có F (1) = 2 ⇔ 1 2 + 1 + 2 + C = 2 ⇔ C = − 3 2 . Vậy F (x) = x 2 2 + 1 x + 2x − 3 2 . c) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = (x + 1)(x − 1) + 1 = x 2 nên có dạng F (x) = x 2 dx = x 3 3 + C. Lại có F (0) = 1 ⇔ C = 1. Vậy F (x) = x 3 3 + 1. d) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = 3 √ x + x 3 + 1 nên có dạng F (x) = f(x)dx = 3x 4 3 4 + x 4 4 + x + C. Lại có F (1) = 2 ⇔ 3 4 + 1 4 + 1 + C = 2 ⇔ C = 0. Vậy F (x) = 3x 4 3 4 + x 4 4 + x. e) Ta có F (x) là một nguyên hàm của f(x) = ax + b x 2 nên có dạng F (x) = ax + b x 2 dx = ax 2 2 − b x + C. Lại có F (−1) = 2 F (1) = 4 F (2) = 5 ⇔ 1 2 a + b + C = 2 1 2 a − b + C = 4 2a − 1 2 b + C = 5 ⇔ a = 1 b = −1 C = 5 2 . Vậy F (x) = x 2 2 + 1 x + 5 2 . 8.4. Gọi F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1 x thỏa F (1) = −1. Tìm x để 2F (x) = 1 F (x) + 1 − 1. Lời giải. Ta có F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 1 x nên có dạng F (x) = 1 x dx = ln |x|+ C. Lại có F (1) = −1 ⇒ C = −1. Do đó F (x) = ln |x|−1. Khi đó 2F (x) = 1 F (x) + 1 − 1 ⇔ 2(ln |x|−1) = 1 ln |x| − 1 (∗). Với điều kiện x = ±1 ta có (∗) ⇔ 2ln 2 |x| − ln |x| − 1 = 0 ⇔ ln |x| = 1 ln |x| = − 1 2 ⇔ x = ±e x = ± 1 √ e (thỏa mãn). Vậy x = ±e và x = ± 1 √ e . §2. Một Số Phương Pháp Tìm Nguyên Hàm 8.5. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I = (3x + 3) 9 dx. b) I = 7 2 − 9x dx. c) I = e 3x+1 + cos 5x dx. d) I = 4x − 1 2x + 1 dx. e) I = sin 2 xdx. f) I = sin 5x sin xdx. Lời giải. a) I = 1 3 (3x + 3) 9 d(3x + 3) = 1 3 (3x + 3) 10 10 + C = 1 30 (3x + 3) 10 + C. b) I = − 1 9 7 2 − 9x d(2 − 9x) = − 7 9 ln |2 − 9x| + C. c) I = e 3x+1 dx + cos 5xdx = 1 3 e 3x+1 d(3x + 1) + 1 5 cos 5xd (5x) = 1 3 e 3x+1 + 1 5 sin x + C. d) I = 2 − 3 2x + 1 dx = 2dx − 1 2 3 2x + 1 d(2x + 1) = 2x − 3 2 ln |2x + 1| + C. e) I = 1 − cos 2x 2 dx = 1 2 − 1 2 cos 2x dx = 1 2 dx − 1 4 cos 2xd (2x) = 1 2 x − 1 4 sin 2x + C. f) I = 1 2 (cos 4x − cos 6x) dx = 1 8 cos 4xd (4x) − 1 12 cos 6xd (6x) = 1 8 sin 4x − 1 12 sin 6x + C. 2 Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân 8.6. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I = x(x 2 + 1) 2012 dx. b) I = tan xdx. c) I = e x e x + 1 dx. d) I = √ 1 + ln x x dx. e) I = cos 5 xdx. f) I = x √ x 2 + 1 dx. Lời giải. a) I = 1 2 (x 2 + 1) 2012 d(x 2 + 1) = 1 2 (x 2 + 1) 2013 2013 + C = (x 2 + 1) 2013 4026 + C. b) I = sin x cos x dx = − 1 cos x d (cos x) = −ln |cos x| + C. c) I = 1 e x + 1 d (e x + 1) = ln |e x + 1| + C. d) I = (1 + ln x) 1 2 d (1 + ln x) = (1 + ln x) 3 2 3 2 + C = 2 (1 + ln x) √ 1 + ln x 3 + C. e) I = cos 4 x cos xdx = 1 − sin 2 x 2 d (sin x) = sin x − 2sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + C. f) C1: I = 1 2 x 2 + 1 − 1 2 d x 2 + 1 = 1 2 x 2 + 1 1 2 1 2 + C = x 2 + 1 + C. C2: I = d x 2 + 1 = x 2 + 1 + C. 8.7. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I = x (x − 1) 2012 dx. b) I = x 3 x 2 + 1 dx. c) I = x 5 x 3 + 1dx. d) I = e 2x √ e x + 1 dx. e) I = 2 ln x − 1 x ln x dx. f) I = sin 3 x √ 1 + cos xdx. Lời giải. a) Đặt u = x −1 ⇒ du = dx. Ta có I = (u + 1)u 2012 du = u 2013 + u 2012 du = u 2014 2014 + u 2013 2013 + C = (x − 1) 2014 2014 + (x − 1) 2013 2013 + C b) Đặt u = x 2 + 1 ⇒ du = 2xdx. Ta có I = x 2 x x 2 + 1 dx = 1 2 u − 1 u du = 1 2 1 − 1 u du = 1 2 (u − ln |u|) + C = 1 2 x 2 + 1 − 1 2 ln x 2 + 1 + C c) Đặt u = √ x 3 + 1 ⇔ u 2 = x 3 + 1 ⇒ 2udu = 3x 2 dx. Ta có I = x 3 x 2 x 3 + 1dx = u 2 − 1 u 2u 3 du = 2 3 u 4 − u 2 du = 2 3 u 5 5 + u 3 3 + C = 2 √ x 3 + 1 5 15 + 2 √ x 3 + 1 3 9 + C d) Đặt u = √ e x + 1 ⇔ u 2 = e x + 1 ⇒ 2udu = e x dx. Ta có I = e x .e x √ e x + 1 dx = u 2 − 1 u 2udu = 2 u 2 − 1 du = 2 u 3 3 − u + C = 2 √ e x + 1 3 3 − 2 √ e x + 1 + C e) Đặt u = ln x ⇒ du = 1 x dx. Ta có I = 2u − 1 u du = 2 − 1 u du = 2u − ln |u| + C = 2 ln x − ln |ln x| + C 3 f) Đặt u = √ 1 + cos x ⇔ u 2 = 1 + cos x ⇒ 2udu = −sin xdx. Ta có I = sin 2 x sin x √ 1 + cos xdx = 1 − cos 2 x √ 1 + cos x sin xdx = − 1 − u 2 − 1 2 u.2udu = − −u 4 + 2u 2 2u 2 du = 2 u 6 − 2u 4 du = 2 u 7 7 − 2u 5 5 + C = 2 √ 1 + cos x 7 7 − 4 √ 1 + cos x 5 5 + C 8.8. Tìm các họ nguyên hàm sau a) I = (x − 1) e x dx. b) I = x cos xdx. c) I = x 2 ln xdx. d) I = ln (2x + 1) dx. e) I = x 2 e 2x−1 dx. f) I = e x sin xdx. Lời giải. a) Đặt u = x −1 dv = e x dx ⇒ du = dx v = e x . Ta có I = (x − 1)e x − e x dx = (x −1)e x − e x + C = (x − 2)e x + C b) Đặt u = x dv = cos xdx ⇒ du = dx v = sin x . Ta có I = x sin x − sin xdx = x sin x + cos x + C c) Đặt u = ln x dv = x 2 dx ⇒ du = 1 x dx v = x 3 3 . Ta có I = x 3 3 ln x − x 3 3 1 x dx = x 3 3 ln x − 1 3 x 2 dx = x 3 3 ln x − x 3 9 + C d) Đặt u = ln(2x + 1) dv = dx ⇒ du = 2 2x+1 dx v = x . Ta có I = x ln(2x + 1) − 2x 2x + 1 dx = 1 − 1 2x + 1 dx = x − 1 2 ln |2x + 1| + C e) Đặt u = x 2 dv = e 2x−1 dx ⇒ du = 2xdx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I = 1 2 x 2 e 2x−1 − xe 2x−1 dx = 1 2 x 2 e 2x−1 − I 1 Đặt u = x dv = e 2x−1 dx ⇒ du = dx v = 1 2 e 2x−1 . Ta có I 1 = 1 2 xe 2x−1 − 1 2 e 2x−1 dx = 1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1 + C Vậy I = 1 2 x 2 e 2x−1 − 1 2 xe 2x−1 − 1 4 e 2x−1 + C = 1 4 2x 2 − 2x + 1 e 2x−1 + C. f) Đặt u = e x dv = sin xdx ⇒ du = e x dx v = −cos x . Ta có I = −e x cos x + e x cos xdx = −e x cos x + I 1 Lại đặt u = e x dv = cos xdx ⇒ du = e x dx v = sin x . Ta có I 1 = e x sin x − e x sin xdx = e x sin x − I Vậy I = −e x cos x + e x sin x − I ⇔ I = 1 2 e x (sin x − cos x) + C. 4 Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân §3. Tích Phân 8.9. Tính các tích phân sau a) I = 1 0 5x 4 dx. b) I = e 1 dx x . c) I = π 6 0 cos 3xdx. d) I = ln 2 0 e −x dx. e) I = 1 1 2 (2x − 1) 2012 dx. f) I = 1 −1 √ 5 − 4xdx. Lời giải. a) I = x 5 1 0 = 1. b) I = ln |x|| e 1 = ln e − ln 1 = 1. c) I = 1 3 sin 3x π 6 0 = 1 3 sin π 2 − 1 3 sin 0 = 1 3 . d) I = −e −x ln 2 0 = − e − ln 2 − e 0 = 1 2 . e) I = 1 2 (2x − 1) 2013 2013 1 1 2 = 1 4026 . f) I = 1 −1 (5 − 4x) 1 2 dx = − 1 4 (5 − 4x) 3 2 3 2 1 −1 = 13 3 . 8.10. Tính các tích phân sau a) I = 1 0 e 2−5x dx. b) I = π 6 0 sin 2x + π 6 dx. c) I = π 6 0 1 cos 2 2x dx. d) I = 1 0 (−2x + 1) 7 dx. e) I = 2 1 3 √ 3x + 2dx. f) I = 0 −1 4 (3 − 5x) 3 dx. Lời giải. a) I = − 1 5 1 0 e 2−5x d (2 − 5x) = − 1 5 e 2−5x 1 0 = e 2 − e −3 5 . b) I = 1 2 π 6 0 sin 2x + π 6 d 2x + π 6 = − 1 2 cos 2x + π 6 π 6 0 = √ 3 4 . c) I = 1 2 π 6 0 1 cos 2 2x d (2x) = 1 2 tan 2x π 6 0 = √ 3 2 . d) I = − 1 2 1 0 (−2x + 1) 7 d (−2x + 1) = − (−2x + 1) 8 16 1 0 = 0. e) I = 2 1 (3x + 2) 1 3 dx = 3(3x + 2) 4 3 4 2 1 = 12 − 3 3 √ 625 4 . f) I = 4 0 −1 (3 − 5x) −3 dx = −2(3 − 5x) −2 0 −1 = 11 288 . 8.11. Tính các tích phân sau a) I = 2 1 6x 2 − 4x + 1 dx. b) I = ln 2 0 (e x + 2x) dx. c) (CĐ-2010) I = 1 0 2x − 1 x + 1 dx. d) I = π 8 0 cos 2 2xdx. e) I = π 4 0 2cos 2 x + 1 1 − sin 2 x dx. f) I = 3 2 1 √ x + 1 − √ x − 1 dx. Lời giải. a) I = 2x 3 − 2x 2 + x 2 1 = 9. b) I = e x + x 2 ln 2 0 = 1 + ln 2 2. c) I = 1 0 2 − 3 x + 1 dx = (2x − 3 ln |x + 1|)| 1 0 = 2 − 3 ln 2. 5 d) I = 1 2 π 8 0 (1 + cos 4x) dx = 1 2 x + 1 4 sin 4x π 8 0 = π + 2 16 . e) I = π 4 0 2cos 2 x + 1 cos 2 x dx = π 4 0 2 + 1 cos 2 x dx = (2x + tan x)| π 4 0 = π + 2 2 . f) I = 3 2 √ x + 1 + √ x − 1 dx = 3 2 (x + 1) 1 2 + (x − 1) 1 2 dx = 2 3 (x + 1) 3 2 + (x − 1) 3 2 3 2 = 7 − 3 √ 3 + 2 √ 2 3 . Tổng quát 8.1. I = 1 √ ax + b ± √ ax + c dx. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 8.12. Tính các tích phân sau a) I = 4 1 2x + √ x dx. b) I = 4 2 x + 1 x 2 dx. c) I = π 2 0 1 + sin x 2 cos x 2 dx. d) I = π 2 0 cos 3x cos xdx. e) I = 1 0 x 2 − 3x + 3 x − 2 dx. f) I = 1 0 x(x − 1) 2009 dx. Lời giải. a) I = 4 1 2x + x 1 2 dx = x 2 + 2x 3 2 3 4 1 = 59 3 . b) I = 4 2 x 2 + 2 + 1 x 2 dx = x 3 3 + 2x − 1 x 4 2 = 275 12 . c) I = π 2 0 cos x 2 + 1 2 sin x dx = 2 sin x 2 − 1 2 cos x π 2 0 = 1 2 + √ 2. d) I = 1 2 π 2 0 (cos 2x + cos 4x) dx = 1 4 sin 2x + 1 8 sin 4x π 2 0 = 0. e) I = 1 0 x − 1 + 1 x − 2 dx = x 2 2 − x + ln |x − 2| 1 0 = e − 1 2 − ln 2. f) I = 1 0 (x − 1 + 1) (x − 1) 2009 dx = 1 0 (x − 1) 2010 + (x − 1) 2009 dx = (x − 1) 2011 2011 + (x − 1) 2010 2010 1 0 = − 1 4042110 . 8.13. Tính các tích phân sau a) I = 2 −2 |x − 1|dx. b) I = 4 0 |3 − x|dx. c) (D-03) I = 2 0 x 2 − x dx. d) I = 2 0 x 2 − 3x + 2 dx. e) I = 2 −2 |2x − |x + 1||dx. f) I = 3 −2 (|x + 1| + |x − 2|) dx. g) I = 3 0 x 2 − 4x + 4 − 1 dx. h) I = 2π 0 √ 1 − cos 2xdx. i) (BĐT-103) I = 2π 0 √ 1 + sin xdx. Lời giải. a) I = 1 −2 |x − 1|dx + 2 1 |x − 1|dx = 1 −2 (1 − x) dx + 2 1 (x − 1) dx = x − 1 2 x 2 1 −2 + 1 2 x 2 − x 2 1 = 9 2 + 1 2 = 5. 6 Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân b) I = 3 0 |3 − x|dx + 4 3 |3 − x|dx = 3 0 (3 − x) dx + 4 3 (−3 + x) dx = 3x − x 2 2 3 0 + −3x + x 2 2 4 3 = 9 2 + 1 2 = 5. c) I = 1 0 x 2 − x dx + 2 1 x 2 − x dx = 1 0 x − x 2 dx + 2 1 x 2 − x dx = 1 2 x − 1 3 x 3 1 0 + 1 3 x 3 − 1 2 x 2 1 = 1 6 + 5 6 = 1. d) I = 1 0 x 2 − 3x + 2 dx + 2 1 x 2 − 3x + 2 dx = 1 0 x 2 − 3x + 2 dx + 2 1 −x 2 + 3x − 2 dx = x 3 3 − 3x 2 2 + 2x 1 0 + − x 3 3 + 3x 2 2 − 2x 2 1 = 5 6 + 1 6 = 1. e) I = −1 −2 |2x + x + 1|dx + 2 −1 |2x − x − 1|dx = −1 −2 |3x + 1|dx + 1 −1 |x − 1|dx + 2 1 |x − 1|dx = −1 −2 (−3x − 1) dx + 1 −1 (1 − x) dx + 2 1 (x − 1) dx = − 3x 2 2 − x −1 −2 + x − 1 2 x 2 1 −1 + 1 2 x 2 − x 2 1 = 7 2 + 2 + 1 2 = 6. f) I = 3 −2 |x + 1|dx + 3 −2 |x − 2|dx = −1 −2 |x + 1|dx + 3 −1 |x + 1|dx + 2 −2 |x − 2|dx + 3 2 |x − 2|dx = −1 −2 (−x − 1) dx + 3 −1 (x + 1) dx + 2 −2 (−x + 2) dx + 3 2 (x − 2) dx = − x 2 2 − x −1 −2 + x 2 2 + x 3 −1 + − x 2 2 + 2x 2 −2 + x 2 2 − 2x 3 2 = 1 2 + 8 + 8 + 1 2 = 17. g) I = 3 0 ||x − 2| − 1|dx = 2 0 ||x − 2| − 1|dx + 3 2 ||x − 2| − 1|dx = 2 0 |−x + 1|dx + 3 2 |x − 3|dx = 1 0 |−x + 1|dx + 2 1 |−x + 1|dx + 3 2 |x − 3|dx = 1 0 (−x + 1) dx + 2 1 (x − 1) dx + 3 2 (−x + 3) dx = − x 2 2 + x 1 0 + x 2 2 − x 2 1 + − x 2 2 + 3x 3 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 2 . h) I = √ 2 2π 0 |sin x|dx = √ 2 π 0 |sin x|dx + √ 2 2π π |sin x|dx = √ 2 π 0 sin xdx + √ 2 2π π −sin xdx = − √ 2 cos x π 0 + √ 2 cos x 2π π = √ 2 + √ 2 + √ 2 + √ 2 = 4 √ 2. i) I = 2π 0 sin x 2 + cos x 2 dx = √ 2 2π 0 sin x 2 + π 4 dx = √ 2 3π 2 0 sin x 2 + π 4 dx + √ 2 2π 3π 2 sin x 2 + π 4 dx = √ 2 3π 2 0 sin x 2 + π 4 dx + √ 2 2π 3π 2 −sin x 2 + π 4 dx = −2 √ 2 cos x 2 + π 4 3π 2 0 + 2 √ 2 cos x 2 + π 4 2π 3π 2 = 4 √ 2. 7 §4. Một Số Phương Pháp Tính Tích Phân 8.14. Tính các tích phân sau a) I = 5 3 1 (x − 2) (x + 1) dx. b) I = 1 0 5x − 13 x 2 − 5x + 6 dx. c) I = 3 2 x 4 x 2 − 1 dx. d) (DB-07) I = 1 0 x (x − 1) x 2 − 4 dx. e) I = 1 0 3x − 1 x 2 + 6x + 9 dx. f) (B-2012) I = 1 0 x 3 x 4 + 3x 2 + 2 dx. Lời giải. a) C1: (Phương pháp đồng nhất hệ số) Ta có 1 (x − 2) (x + 1) = A x − 2 + B x + 1 = A (x + 1) + B (x − 2) (x − 2) (x + 1) = (A + B) x + A −2B (x − 2) (x + 1) . Đồng nhất hệ số được A + B = 0 A − 2B = 1 ⇔ A = 1 3 B = − 1 3 . Khi đó I = 1 3 5 3 1 x − 2 dx − 1 3 5 3 1 x + 1 dx = 1 3 (ln |x − 2| − ln |x + 1|) 5 3 = 1 3 ln 2 C2: (Phương pháp trị số riêng) Ta có 1 (x − 2) (x + 1) = A x − 2 + B x + 1 = A (x + 1) + B (x − 2) (x − 2) (x + 1) ⇒ 1 = A (x + 1) + B (x −2). Cho x = 2 được A = 1 3 ; cho x = −1 được B = − 1 3 . Khi đó I = 1 3 5 3 1 x − 2 dx − 1 3 5 3 1 x + 1 dx = 1 3 (ln |x − 2| − ln |x + 1|) 5 3 = 1 3 ln 2 C3: (Kỹ thuật thêm bớt hay còn gọi là kỹ thuật nhảy tầng lầu) I = 1 3 5 3 (x + 1) − (x − 2) (x − 2) (x + 1) dx = 1 3 5 3 1 x − 2 − 1 x + 1 dx = 1 3 (ln |x − 2| − ln |x + 1|) 5 3 = 1 3 ln 2 b) Ta có 5x − 13 x 2 − 5x + 6 = 5x − 13 (x − 3)(x − 2) = A x − 3 + B x − 2 = (A + B) x −2A −3B (x − 3)(x − 2) . Đồng nhất hệ số được A + B = 5 −2A − 3B = −13 ⇔ A = 2 B = 3 . Khi đó I = 2 1 0 1 x − 3 dx + 3 1 0 1 x − 2 dx = 2 ln |x − 3|| 1 0 + 3 ln |x − 2|| 1 0 = −ln 18 c) Ta có I = 3 2 x 2 + 1 + 1 x 2 − 1 dx = x 3 3 + x 3 2 + 3 2 1 x 2 − 1 dx = 22 3 + 3 2 1 x 2 − 1 dx. Lại có 1 x 2 − 1 = 1 (x − 1)(x + 1) = A x − 1 + B x + 1 = (A + B) x + A −B (x − 1)(x + 1) . Đồng nhất hệ số được A + B = 0 A − B = 1 ⇔ A = 1 2 B = − 1 2 . Khi đó I = 22 3 + 1 2 3 2 1 x − 1 dx − 1 2 3 2 1 x + 1 dx = 22 3 + 1 2 (ln |x − 1| − ln |x + 1|) 3 2 = 22 3 + 1 2 ln 3 2 d) Ta có I = 1 0 x 2 − x x 2 − 4 dx = 1 0 1 + −x + 4 x 2 − 4 dx = x| 1 0 + 1 0 −x + 4 x 2 − 4 dx = 1 + 1 0 −x + 4 x 2 − 4 dx. 8 Chuyên đề 8. Nguyên Hàm - Tích Phân Lại có −x + 4 x 2 − 4 = −x + 4 (x − 2)(x + 2) = A x − 2 + B x + 2 = (A + B)x + 2A −2B x 2 − 4 . Đồng nhất hệ số được A + B = −1 2A − 2B = 4 ⇔ A = 1 2 B = − 3 2 . Khi đó I = 1 + 1 2 1 0 1 x − 2 dx − 3 2 1 0 1 x + 2 dx = 1 + 1 2 ln |x − 2| 1 0 − 3 2 ln |x + 2| 1 0 = 1 + ln 2 − 3 2 ln 3 e) Ta có 3x − 1 x 2 + 6x + 9 = 3x − 1 (x + 3) 2 = A x + 3 + B (x + 3) 2 = A(x + 3) + B (x + 3) 2 = Ax + 3A + B (x + 3) 2 . Đồng nhất hệ số được A = 3 3A + B = −1 ⇔ A = 3 B = −10 . Khi đó I = 3 1 0 1 x + 3 dx − 10 1 0 1 (x + 3) 2 dx = 3 ln |x + 3|| 1 0 + 10 x + 3 1 0 = 3 ln 4 3 − 5 6 f) Ta có I = 1 2 1 0 x 2 (x 2 + 1) (x 2 + 2) dx 2 . Lại có: x 2 (x 2 + 1) (x 2 + 2) = A x 2 + 1 + B x 2 + 2 = (A + B)x 2 + 2A + B (x 2 + 1) (x 2 + 2) . Đồng nhất hệ số được A + B = 1 2A + B = 0 ⇔ A = −1 B = 2 . Khi đó I = − 1 2 1 0 1 x 2 + 1 dx 2 + 1 0 1 x 2 + 2 dx 2 = − 1 2 ln x 2 + 1 1 0 + ln x 2 + 2 1 0 = ln 3 − 3 2 ln 2 8.15. Tính các tích phân sau a) I = 0 −1 3x 2 + 3x + 3 x 3 − 3x + 2 dx. b) I = 2 1 x 2 − 3x + 2 x (x 2 + 2x + 1) dx. c) I = 1 0 4x − 2 (x + 2)(x 2 + 1) dx. d) I = √ 3 1 1 x + x 3 dx. e) I = 2 1 1 − x 4 x + x 5 dx. f) I = 1 0 1 (x 2 + 3x + 2) 2 dx. Lời giải. a) Ta có 3x 2 + 3x + 3 x 3 − 3x + 2 = 3x 2 + 3x + 3 (x − 1) 2 (x + 2) = A x − 1 + B (x − 1) 2 + C x + 2 = A (x − 1) (x + 2) + B(x + 2) + C(x −1) 2 (x − 1) 2 (x + 2) = (A + C)x 2 + (A + B −2C)x −2A + 2B + C (x − 1) 2 (x + 2) Đồng nhất hệ số được A + C = 3 A + B −2C = 3 −2A + 2B + C = 3 ⇔ A = 2 B = 3 C = 1 . Khi đó I = 0 −1 2 x − 1 dx + 0 −1 3 (x − 1) 2 dx + 0 −1 1 x + 2 dx = 2 ln |x − 1|| 0 −1 − 3 x − 1 0 −1 + ln |x + 2|| 0 −1 = 3 2 − ln 2 b) Ta có x 2 − 3x + 2 x (x 2 + 2x + 1) = x 2 − 3x + 2 x(x + 1) 2 = A x + B x + 1 + C (x + 1) 2 = A(x + 1) 2 + Bx(x + 1) + Cx x(x + 1) 2 = (A + B)x 2 + (2A + B + C)x + A x(x + 1) 2 . Đồng nhất hệ số được A + B = 1 2A + B + C = −3 A = 2 ⇔ A = 2 B = −1 C = −6 . Khi đó I = 2 2 1 1 x dx − 2 1 1 x + 1 dx − 6 2 1 1 (x + 1) 2 dx = 2 ln |x| − ln |x + 1| + 6 x + 1 2 1 = ln 8 3 − 1 9 c) Ta có 4x − 2 (x + 2)(x 2 + 1) = A x + 2 + B x 2 + 1 + 2Cx x 2 + 1 = A x 2 + 1 + B(x + 2) + 2Cx(x + 2) (x + 2)(x 2 + 1) = (A + 2C) x 2 + (B + 4C) x + A + 2B (x + 2)(x 2 + 1) . Đồng nhất hệ số được A + 2C = 0 B + 4C = 4 A + 2B = −2 ⇔ A = −2 B = 0 C = 1 . Khi đó I = −2 1 0 1 x + 2 dx + 1 0 2x x 2 + 1 dx = −2 ln |x + 2| + ln x 2 + 1 1 0 = ln 8 9 d) I = √ 3 1 1 x + x 3 dx = √ 3 1 1 x (1 + x 2 ) dx = √ 3 1 x 2 + 1 − x 2 x (1 + x 2 ) dx = √ 3 1 1 x − x 1 + x 2 dx = ln |x| − 1 2 ln 1 + x 2 √ 3 1 = 1 2 ln 3 2 . e) I = 2 1 1 − x 4 x (1 + x 4 ) dx = 2 1 1 + x 4 − 2x 4 x (1 + x 4 ) dx = 2 1 1 x dx − 2 2 1 x 3 1 + x 4 dx = ln |x| − 1 2 ln 1 + x 4 2 1 = 1 2 ln 8 17 . f) I = 1 0 1 (x 2 + 3x + 2) 2 dx = 1 0 (x + 2) − (x + 1) (x + 1)(x + 2) 2 dx = 1 0 1 x + 1 − 1 x + 2 2 dx = 1 0 1 (x + 2) 2 + 1 (x + 1) 2 − 2 (x + 1)(x + 2) dx = − 1 x + 1 1 0 − 1 x + 2 1 0 − 2 1 0 (x + 2) − (x + 1) (x + 1)(x + 2) dx = 2 3 − 2 1 0 1 x + 1 dx − 1 0 1 x + 2 dx = 2 3 − 2 (ln |x + 1| − ln |x + 2|)| 1 0 = 2 3 + 2 ln 3 4 . 8.16. Tính các tích phân sau a) I = 1 0 1 1 + x 2 dx. b) I = 1 0 1 3 + x 2 dx. c) I = 1 0 x 3 x 8 + 1 dx. d) I = 1 0 1 − x 2 dx. e) I = √ 2 2 0 x 2 √ 1 − x 2 dx. f) I = 2 2 √ 3 1 x √ x 2 − 1 dx. Lời giải. a) Đặt x = tan t, t ∈ − π 2 ; π 2 ⇒ dx = 1 cos 2 t dt = (1 + tan 2 t)dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π 4 . Ta có I = π 4 0 1 1 + tan 2 t (1 + tan 2 t)dt = π 4 0 dt = t| π 4 0 = π 4 b) Đặt x = √ 3 tan t, t ∈ − π 2 ; π 2 ⇒ dx = √ 3 cos 2 t dt = √ 3(1 + tan 2 t)dt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π 6 . Ta có I = π 6 0 1 3 + 3tan 2 t √ 3 1 + tan 2 t dt = 1 √ 3 π 6 0 dt = 1 √ 3 t| π 6 0 = π 6 √ 3 c) Đặt x 4 = tan t, t ∈ − π 2 ; π 2 ⇒ 4x 3 dx = 1 cos 2 t dt = (1 + tan 2 t)dt. 10 [...]... du = 2 ln |u||1+2 2 = 2 ln u 1+2 2 14 1 (x + 1)(x + 8) dx dx Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân 1 Tổng quát 8.8 I = (ax + b)(ax + c) dx |ax + b| + Đặt u = |ax + c| 8.20 Tính các tích phân sau 3 a) (D-09) I = ln 5 0 ln 5 2x e √ x dx e −1 d) (DB-03) I = e e) I = ln 2 (10 − c) (A-2010) I = ex ) 1 + ln x dx x √ ex −1 ln x f) (B-2010) I = dx 1 e 1 dx 2 x ln x − 3 ln x + 2 h) I = 1 x2 + ex + 2x2 ex dx 1... Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân 1 du = x+1 dx Ta có 1 v = −x u = ln(x + 1) ⇒ 1 dv = x2 dx Đặt 3 3 2 ln(x + 1) I= − 3 x + 1 3 1 2 1 dx = − ln 4 + ln 2 + x(x + 1) 3 3 1 1 1 − x x+1 2 2 + ln 3 − ln 2 3 3 dx = 1 8.22 Tính các tích phân sau π 4 e x dx 1 + cos 2x a) I = b) (D-2010) I = 3 ln 3 3 + ln x 1 (1 + x) 2 dx √ 3 x + 1 dx −1 π 3 x xe √ x dx e +1 e) I = x e2x + ln xdx c) I = 1 0 d) (B-09) I = 0... 27y 2 = 8(x − 1)3 4 x √ −2 2 Nhận xét Ở bài tập trên việc rút ẩn y theo ẩn x là khó khăn do đó đưa diện tích cần tính về tích phân theo biến y là phù hợp 26 Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân √ √ c) C1: Ta có y = x3 ⇔ x = 3 y, x + y = 2 ⇔ x = 2 − y Vì 3 y = 2 − y ⇔ 3 y = (2 − y) ⇔ y = 1 nên diện tích hình phẳng cần tìm là 1 1 √ | 3 y − (2 − y)| dy = S= 0 2 2y − = 3 3 y − 2 4 1 y4 3 (đvdt) 4 = 0 y =... §5 Tích Phân Của Hàm Số Lượng Giác 8.24 Tính các tích phân sau π 4 π 4 sin2 xdx a) I = b) I = 0 π 2 tan xdx 0 1 dx cos4 x 1 dx sin x e) I = 0 h) I = sin2 x dx cos4 x 0 Lời giải π 4 1 a) I = 2 (1 − cos 2x) dx = 0 1 1 x − sin 2x 2 4 1 dx cos3 x f) I = 0 π 4 π 3 sin2 x tan xdx π 4 π 3 0 g) I = 0 π 2 π 4 d) I = cos5 xdx c) I = π 4 = 0 π 1 − 8 4 20 π 3 i) I = π 6 1 dx cos xsin2 x Chuyên đề 8 Nguyên Hàm -. .. 12 π − 1 4 Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân π 4 π 4 x cos x π dx = + x sin x + cos x 4 π 4 = x|0 + 0 x cos x dx x sin x + cos x 0 Đặt u = x sin x + cos x ⇒ du = (x cos x) dx Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1; x = 4+π π ⇒ u = √ Ta có 4 4 2 4+π √ 4 2 4+π √ 1 4+π π 4 du = ln |u||1 2 = + ln √ u 4 4 2 π I= + 4 1 8.26 Tính các tích phân sau π 6 π 4 1 a) I = cos2 x 0 1 cos2 x + 2 tan x dx b) (A-08) I = 1 dx 3sin x... diện tích hình phẳng cần tìm là x−1 3 0 S= 1 −3 −3x − 1 dx = x−1 0 −3x − 1 dx = x−1 −1 3 0 −3 − 4 x−1 1 y= −3x−1 x−1 dx −1 3 0 = (−3x − 4 ln |x − 1|)|− 1 = ln 3 4 − 1 (đvdt) 3 −1 3 O 24 x Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân y x=0 nên diện tích hình phẳng cần tìm là x = −3 c) Vì −x3 − 3x2 = 0 ⇔ −3 3 3 2 −x − 3x dx = S= x + 3x 2 x dx −3 −3 0 4 = O 0 0 x + x3 4 = −3 27 (đvdt) 4 y = −x3 − 3x2 x=0 nên diện tích. .. có i) Đặt u = 2 I= 2 u2 − 1 2u 2 u du = 3 3 9 u4 − u2 du = 1 2 u5 u3 − 5 3 2 9 = 1 1 116 135 8.21 Tính các tích phân sau 1 (x − 2) e2x dx a) (D-06) I = e−2x + x ex dx c) (D-2012) I = b) (C -0 9) I = 0 0 3 2 ln x dx x3 d) (D-08) I = π 4 1 0 3 ln x2 − x dx e) (D-04) I = 1 + ln(x + 1) dx x2 f) (A-2012) I = 2 1 x (1 + sin 2x) dx 1 Lời giải a) Đặt u=x−2 ⇒ dv = e2x dx du = dx Ta có 1 v = 2 e2x dx 1 e2x dx... sin x|) 2 3 π 3 π 6 2 2 = 2 − √ + ln 1 + √ 3 3 8.25 Tính các tích phân sau π 4 π 2 1 − 2sin2 x dx 1 + sin 2x a) (B-03) I = π 2 sin 2x cos x dx 1 + cos x b) (B-05) I = 0 0 π 2 esin x + cos x cos xdx c) (D-05) I = 0 π 2 sin 2x d) (A-06) I = dx.e) I = 2 cos2 x + 4sin x 0 π 4 cos x √ dx 7 + cos 2x x sin x + (x + 1) cos x dx x sin x + cos x f) (A-11) I = 0 0 Lời giải π 4 π 4 cos 2x 1 dx = 1 + sin 2x 2 a)... d (sin x) 0 √ 1 2π = 3+ − (ln |1 + sin x| − ln |1 − sin x|) 3 2 π 3 0 √ √ 2π = 3+ − ln 2 + 3 3 8.23 Tính các tích phân sau π 2 ln 2 2 x a) I = x e dx b) (DB-07) I = 0 1 0 eπ π ex cos xdx e2x sin2 xdx e) (BĐT-37) I = f) I = 0 0 π2 1 2 x3 ex dx g) (DB-03) I = h) (DB-04) I = 0 x3 ln2 xdx c) (D-07) I = x cos xdx π 2 d) I = e 2 √ cos (ln x) dx 1 e5 √ x sin xdx ln x ln (ln x) dx x i) I = e2 0 Lời giải a)... 1 2 √ √ 2 2− 5 = 2 Chuyên đề 8 Nguyên Hàm - Tích Phân f) Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận: x = −π ⇒ t = π; x = π ⇒ t = −π Ta có π I= π sin2 t dt = 1 3t + 1 −π −π π 3t sin2 t dt = 1 + 3t −π 3x sin2 x dx 1 + 3x π 1 1 x − sin 2x 2 4 sin2 xdx = dx = π −π −π π sin2 x 3x sin2 x + x 1+3 1 + 3x Suy ra 2I = π sin2 (−t) dt = 3−t + 1 =π⇔I= −π −π π 2 a f (x) dx (trong đó f (x) là hàm chẵn) bx + 1 Tổng quát 8.6 I . u 2012 du = 1 2 u 2015 2015 − 2u 2014 2014 + u 2013 2013 2 1 = 2025079.2 2012 − 1 4084 588365 f) Ta có I = 2 1 2x − 1 x + 1 10 . 1 (x + 1) 2 dx. Đặt u = 2x − 1 x + 1 ⇒ du = 3 (x. ln e 2 + e + 1 − 2. b) I = ln 2 0 1 1 + 1 e x dx = ln 2 0 e x 1 + e x dx = ln 2 0 1 1 + e x de x = ln |1 + e x || ln 2 0 = ln 3 2 . c) I = 1 0 x 2 (1 + 2e x ) + e x 1 + 2e x dx = 1 0 x 2 + e x 1. e 2x dx. b) (CĐ-09) I = 1 0 e −2x + x e x dx. c) (D-2012) I = π 4 0 x (1 + sin 2x) dx. d) (D -08) I = 2 1 ln x x 3 dx. e) (D-04) I = 3 2 ln x 2 − x dx. f) (A-2012) I = 3 1 1 + ln(x