Đang tải... (xem toàn văn)
CHUYÊN ĐỀ 3. CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT - TIỆM CẬN
ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 27 CHUYÊNĐỀ3.GIÁTRỊLỚNNHẤTVÀGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦAHÀMSỐ I.KIẾNTHỨCCƠBẢN Địnhnghĩa:Chohàmsố y f(x), x D=Î a) Số M đglgiátrịlớnnhấtcủahàmsố yf(x)= trêntập D nếu f(x) M£ , xD"Î vàtồntại 0 xDÎ saocho 0 f(x ) M= . Kíhiệu: D Mmaxf(x)= b) Số m đglgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố yf(x)= trêntập D nếu f(x) m³ , xD"Î vàtồntại 0 xDÎ saocho 0 f(x ) m= . Kíhiệu: D Mminf(x)= II.PHÂNDẠNGBÀITẬP Dạng1:Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsốbằngphươngphápđạohàm. Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 2 x y 4x = + Hướngdẫn: +Tậpxácđịnh D = +Tacó () 2 2 2 4x y' y' 0 x 2 4x - === + +Tacóbảngbiếnthiên: x -¥ 2- 2 +¥ y' - 0 + 0 - y 0 1 4 1 4 - 0 +Dựavàobảngbiếnthiêntacó: 1 max f(x) 4 = khi x2= ; 1 min f(x) 4 =- khi x2=- ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 28 Bitp2.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms ()()()() y x 1x 2x 3x 4=- - - - Hngdn: +Tpxỏcnh D = +Tacú ()()()() ()() 22 y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 4 x 5x 6=- - - -= -+ -+ +t 2 2 59 9 tx 5x4 x 24 4 ổử ữ ỗ ữ =-+=- -- ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ .Hmscúdng 2 f(t) t 2t=+ vi 9 t 4 - Tacú f'(t) 2t 2 f'(t) 0 t 1=+ ==- .Bngbinthiờn: t -Ơ 9 4 - 1- +Ơ f'(t) - 0 + f(t) 9 16 +Ơ 1- +Davobngbinthiờntacú: min f(x) 1=- khi x1=- vhmskhụngcúcci. Bitp3.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms yx 12x=+ - Hngdn: +Tpxỏcnh 1 D; 2 ổự ỗ ỳ =-Ơ ỗ ỗ ỳ ỗ ố ỷ +Tacú () 12x f'(x) 1 f'(x) 0 x 0 12x 12x 12x 1 - =- = = = - + +Davobngbinthiờntacú 1 ; 2 max f(x) f(0 ) 1 ổự ỗ ỳ ỗ -Ơ ỗ ỳ ỗ ố ỷ == Bitp4.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms 3 2 x1 yx3x 3 + =+- trờnon 0; 2 ộự ờỳ ởỷ . Hngdn: +Tpxỏcnh D = +Tacú 2 x1 y' x 2x 3 y' 0 x20;2 ộ = ờ =+-= ờ ộự =- ẽ ờ ờỳ ởỷ ở ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 29 +Tacú 0;2 0;2 1 f(0) 3 5 min f(x) f(1) 5 2 f(1) 2 max f(x) f(2) 1 f(2) 1 ộự ờỳ ởỷ ộự ờỳ ởỷ ỡ ù ù = ù ù ỡ ù ù ù ù ==- ù ù ùù =- ớớ ùù == ùù ùù = ùù ợ ù ù ù ù ợ Bitp5.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms ysin2xx=- trờnon ; 22 pp ộự ờỳ - ờỳ ởỷ . Hngdn: +Tacú 1 2 xk 1 6 y' 2cos2x 1 y' 0 cos2x 2 xk 6 p p p p ộ ờ =- + ờ =-== ờ ờ =+ ờ ở +Xột 1 xk 6 p p=- + vỡ 12 x; k k 22 2 6 2 3 3 pp p p p p ộự ờỳ ẻ- - Ê- + Ê - Ê Ê ờỳ ởỷ . Do 1 kk0x 6 p ẻ= =- .Tngttacú 2 x 6 p = +Tacú ; 22 ; 22 y 22 3 min y y y 22 626 3 max y y y 22 626 y 22 pp pp pp pp pp pp pp pp ộự ờỳ - ờỳ ởỷ ộự ờỳ - ờỳ ởỷ ỡ ổử ù ữ ù ỗ ữ -= ùỗ ữ ỗ ù ữ ỗ ốứ ù ù ỡ ổử ù ù ữ ổử ù ỗ ù ữ ==- ùỗ ữ ỗ ù ữ ữ ỗ ù -=- + ỗ ù ữ ỗ ữ ốứ ù ỗ ù ữ ỗ ù ốứ ù ù ớớ ổử ùù ổử ữ ỗ ùù ữ ỗ ữ =- = ỗ ữ ùù =+ ỗ ữ ữ ỗ ùù ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ù ốứ ù ợ ù ổử ù ữ ỗ ù ữ =- ỗ ù ữ ỗ ù ữ ỗ ốứ ù ợ ù ù ù Bitp6.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms 3 yx3x2=-+trờnon 3; 0 ộự - ờỳ ởỷ . Hngdn:Xộthms 3 g(x) x 3x 2=-+ trờnon 3; 0 ộự - ờỳ ởỷ .Tacú g(x) 0 x 2==- 2 g'(x) 3x 3 g'(x) 0 x 1=- == +Tacúbngbinthiờnca g(x) : x -Ơ 3- 2- 1- 1 +Ơ g'(x) + + 0 - 0 g(x) 4 0 ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 30 16- 2 +Từđótacóbảngbiếnthiêncủahàmsố 3 yg(x)x3x2==-+ x -¥ 3- 2- 1- 1 +¥ g'(x) - + 0 - 0 g(x) 16 4 0 2 +Dựavàobảngbiếnthiêntacó: max f(x) 16= khi x3=- ; min f(x) 0= khi x2=- Bàitậpápdụng Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 32 yx 3x 2=+ + trênđoạn 1; 1 éù - êú ëû . Bàitập2(TN_2012).Tìm m đểgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố 2 xm m y x1 -+ = + trênđoạn 0;1 éù êú ëû bằng 2- . Bàitập3(TN03‐04).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 3 4 y 2 sin x sin x 3 =- trênđoạn 0; p éù êú ëû . Bàitập4(TN08‐2).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 2x 1 y x3 - = - trênđoạn 0; 2 éù êú ëû . Bàitập5.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau: a) 4 2 y 2x = + b) () 2 x3x3 y,x2; x2 -+ =Î+¥ - c) () 1 yx1 ,x 0; x =++ Î +¥ d) () 1 yx1 ,x 2; x =+- Î +¥ Bàitập6.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau: a) 32 yx 3x 1,x 2;3 éù =- + Î- êú ëû b) x1 y,x2;3 x1 + éù =Î êú ëû - c) 2 y1 9x,x 3;3 éù =+ - Î- êú ëû d) 2 y3 x 2x5=+ - + e) 3 y 2sin x sin 2x, x 0; 2 p éù êú =+ Î êú ëû g) y5cosxcos5x,x ; 44 pp éù êú =- Î- êú ëû Bàitập7.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau: a) 2 2 x2x3 y x2x3 ++ = -+ b) 2 2 2x x 1 y 2x x 1 -+ = ++ c) 2 2 x8x7 y x1 -+ = + Bàitập8.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau: ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 31 a) sin x cos x y sin x cos x 2 + = -+ b) 2sinx cosx y sin x 2 - = - c) sin x cos x y cos x 2 + = - Bàitập9(TN_201 2) .Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 2 yx3xlnx=+- trênđoạn 1;2 éù êú ëû CHUYÊNĐỀ4.ĐƯỜNGTIỆMCẬNCỦAĐỒTHỊHÀMSỐ I.KIẾNTHỨCCƠBẢN 1.Đườngtiệmcậnđứngvàtiệmcậnngang Địnhnghĩa1.Đườngthẳng 0 yy= đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố yf(x)= nếu: 0 x lim f(x) y +¥ = hoặc 0 x lim f(x) y -¥ = Địnhnghĩa2.Đườngthẳng 0 xx= đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố yf(x)= nếuítnhấtmột trongcácđiềukiệnsauđượcthỏamãn: 00 00 xx xx xx xx lim f(x) ; lim f(x) lim f(x) ; lim f(x) -+ -+ =+¥ =+¥ =+¥ =+¥ Vídụ1.Tìmtiệmcậnngangvàtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố 2x 1 y x2 - = + Hướngdẫn: +Tậpxácđịnh {} D\2=- ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 32 +Tacó x lim y 2 +¥ = và x lim y 2 -¥ = nên y2= làtiệmcậnngangcủađồthịhàmsố +Tacó x2 lim y - - =+¥ và x2 lim y + - =-¥ nên x2=- làtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố Vídụ2.Tìmtiệmcậnngangvàtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố 2 x1 y x + = Hướngdẫn: +Tậpxácđịnh {} D\0= +Tacó 2 xx 1 x1 x lim y lim 1 x +¥ +¥ + ==và 2 xx 1 x1 x lim y lim 1 x -¥ -¥ -+ ==-nênđồthịhàmsốcó2 tiệmcậnnganglà y1= +Tacó 2 x0 x0 x1 lim y lim x ++ + ==+¥và 2 x0 x0 x1 lim y lim x + ==-¥nênđồthịhàmsốcótiệm cậnđứnglà x0= . 2.Đườngtiệmcậnxiên Địnhnghĩa3.Đườngthẳng yaxb(a0)=+ ¹ đgltiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố yf(x)= nếu: () x lim f(x) ax b 0 +¥ éù -+= êú ëû hoặc () x lim f(x) ax b 0 -¥ éù -+= êú ëû Chúý:Đểxácđịnhcáchệsố a, b trongphươngtrìnhtiệmcậnxiêntacóthểápdụngcáccông thứcsau: xx xx f(x) a lim ; b lim f(x) ax x f(x) a lim ; b lim f(x ) ax x +¥ +¥ -¥ -¥ é éù ê ==- êú ëû ê ê ê éù ==- ê êú ëû ë Nếu a0= tacótiệmcậnngang. Vídụ3.Tìmtiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố 3 2 x y x1 = - Hướngdẫn: +Tacó () 3 2 xx f(x) x a lim lim 1 x xx 1 +¥ +¥ == = - ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 33 3 22 xx x xx b lim f(x) x lim x lim 0 x1 x1 +Ơ +Ơ +Ơ ổử ữ ỗ ộự ữ =-= -= = ỗ ữ ờỳ ỗ ởỷ ữ ỗ ốứ +Tacngcú xx f(x) a lim 1; b lim f(x) x 0 x -Ơ -Ơ ộự ===-= ờỳ ởỷ Doúthhmscú1timcnxiờnl yx= Ghinh: th ax b y cx d + = + cútimcnng d x c =- ,timcnngang a y c = th 2 ax bc c r ymxn px q px q ++ ==++ ++ cútimcnng q x p =- vcútimcnxiờn ymxn=+ th 2 ymxn ax bxc=++ ++ (a 0 )> cúcỏcngtimcnl: b ymxn ax 2a =+- + Khụngthtnticựngmtlỳcctimcnngangvtimcnxiờn. Bitp1.Tỡmcỏcngtimcncamithhmssau: a) 2x 3 y x1 - = + b) 2 x2x3 y x2 -+ = + Hngdn: a) Tacú xx 2x 3 lim y lim 2 x1 Ơ Ơ - == + nờnthcútimcnngang y2= Tacú x1 x1 2x 3 lim y lim x1 - - - ==+Ơ + v x1 x1 2x 3 lim y lim x1 ++ - - - ==-Ơ + nờnthcútimcn ngl x1=- b) 2 x2x3 11 yx4 x2 x2 -+ ==-+ ++ +Tacú () xx 11 lim y x 4 lim 0 x2 Ơ Ơ ộự -+ = = ờỳ ởỷ + nờnthcútimcnxiờnl yx4=+ +Tacú x2 lim y + - =-Ơv x2 lim y - - =+Ơnờnthcútimcnngl x2=- Bitp2.Tỡmcỏcngtimcncamithhmssau: a) 2 yx7 9x 1=-+ + b) 2 1 y xx1 = ++ ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 34 Hướngdẫn: a) Tậpxácđịnh D = đồthịkhôngcótiệmcậnđứng Tacó: + 2 xx f(x) x 7 9x 1 lim lim 4 xx +¥ +¥ -+ + ==và x lim f(x) 4x 7 +¥ éù -=- êú ëû nên y4x7=- làmột tiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố. + 2 xx f(x) x 7 9x 1 lim lim 2 xx -¥ -¥ -+ + ==-và x lim f(x) 2x 7 -¥ éù +=- êú ëû nên 27yx=- + là mộttiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố. Vậyđồthịcó2tiệmcậnxiên b) 2 2 1 1 1 yxx xx ==-+ ++ :đồthịkhôngcótiệmcậnđứng Tươngtựtrêntacó:đồthịcótiệmcậnngang 0y = vàtiệmcậnxiên 2yx=- Nhậnxét:Xétđồthịhàmsố 2 ymxn ax bxc=++ ++ (0)a > : Nếu ma= thìđồthịcómộttiệmcậnngangvàmộttiệmcậnxiên Nếu ma¹ thìđồthịcó2tiệmcậnxiên Nếu 0a < thìđồthịkhôngcótiệmcận Bàitập3(ĐHYHàNội2001).Chohàmsố 2 1 1 xmx y x +- = - cóđồthị () m C .Tìm m saocho đườngtiệmcậnxiêncủađồthị () m C cắtcáctrụctọađộtạihaiđiểm ,AB saocho 18 OAB S D = . Hướngdẫn: +Tacó 2 1 1 11 xmx m yxm xx +- ==+++ Đểcótiệmcậnxiênthì 0m ¹ .Khiđóphương trình tiệm cận xiên là :d 1yxm=+ + . Để tiệm cận xiên cắt 2 trụctọađộthì 10 1mm+¹ ¹- +Tacó () () 1; 0 0; 1 dOx Am dOy B m ì ï Ç= ï ï í ï Ç= + ï ï î () 2 11 .1 22 OAB SOAOBm D = =+ Theogiảthiết () 2 5 1 18 1 18 7 2 OAB m Sm m D é = ê = += ê =- ê ë Bàitập1.Tìmcácđườngtiệmcậncủađồthịmỗihàmsốsau: a) 2 32 x y x - = + b) 1 2 3 yx x =+- - c) 2 34 21 xx y x -+ = + d) 2 2 1 x y x + = - ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 35 e) 3 1 x y x = + f) 2 21 3 x yx x - =+- g) 3 2 2 2 x y xx + = - h) 3 2 1 1 xx y x ++ = - i) 2 2 1 523 xx y xx ++ = + k) 2 1yx=- l) 2 21yx x=+ - m) 2 1yx x=+ + Bàitập2.Cho M làmộtđiểmthayđổitrênđồthị 4 (): 2 3 1 Cy x x =++ - .Chứngminhtích cáckhoảngcáchtừ M đếncácđườngtiệmcậncủa ()C làmộtsốkhôngđổi. Bàitập3.Tìm m saochotamgiáctạobởihaitrụctọađộvàtiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố 2 22 1 xmx y x +- = - códiệntíchbằng 4 . Bàitập4.Chohàmsố () 22 2 mx mm2xm3 y x1 +++++ = + .Tìm m đểkhoảngcáchtừ O đến tiệmcậnxiênnhỏnhất Bàitập5.Chohàmsố () 22 xm2xm4m3 y mx 1 ++ +- + = + .Tìm m đểkhoảngcáchtừ O đến tiệmcậnxiênnhỏnhất Bàitập6.Chohàmsố () 22 mx 3m 2 x 2 y x3m + = + cóđồthị m (C ) a) Tìm m đểgócgiữahaitiệmcậnbằng 0 45 b) Tìm m đểđồthị m (C ) cótiệmcậnxiêncắt2trụctọađộtại A, B saocho OAB S4 D = Bàitập7.Chohàmsố ()() 2 m1x m1x2m3 y x2m -++-+ = - cóđồthị m (C ) c) Tìm m đểgócgiữahaitiệmcậnbằng 0 45 d) Tìm m đểđồthị m (C ) cótiệmcậnxiêncắt2trụctọađộtại A, B saocho OAB S4 D = Bàitập8.Chohàmsố 2 xx1 y x1 ++ = - cóđồthị (C) a) Tíchkhoảngcáchtừmộtđiểmbấtkìtrên () C đếnhaitiệmcậnkhôngđổi b) Khôngcótiếptuyếnnàođiquagiaođiểmcủahaitiệmcận Bàitập9.Tìm a để 2 xxa y xa -++ = + cótiệmcậnxiênđiqua () A2;0 Bàitập10.Chohàmsố 2 xmx1 y x1 ++ = - .Tìm m đểđồthịhàmsốcótiệmcậnxiêntạovớihai trụctọađộmộttamgiáccódiệntíchbằng 8 Bàitập11.Lấybấtkìđiểm 2 x3x1 M(C):y x2 +- Î= - .CMR:Tíchcáckhoảngcáchtừ M đến2 tiệmcậncủa (C) luônkhôngđổi . = ỗ ữ ùù =+ ỗ ữ ữ ỗ ùù ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ ù ốứ ù ợ ù ổử ù ữ ỗ ù ữ =- ỗ ù ữ ỗ ù ữ ỗ ốứ ù ợ ù ù ù Bitp6.Tỡmgiỏtrlnnht,nhnhtcahms 3 yx3x2=-+trờnon 3; 0 ộự - ờỳ ởỷ . Hngdn:Xộthms 3 g(x) x 3x 2=-+ trờnon 3; 0 ộự - ờỳ ởỷ .Tacú g(x) 0 x 2==- 2 g'(x) 3x 3 g'(x) 0 x 1=- == +Tacúbngbinthiờnca g(x) : x -Ơ 3- . -¥ é éù ê ==- êú ëû ê ê ê éù ==- ê êú ëû ë Nếu a0= tacótiệmcậnngang. Vídụ 3. Tìmtiệmcậnxiêncủađồthịhàmsố 3 2 x y x1 = - Hướngdẫn: +Tacó () 3 2 xx f(x) x a lim lim 1 x xx 1 +¥ +¥ == = - ChuyờnGiiTớchlp12 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 33 3 22 xx. LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh 35 e) 3 1 x y x = + f) 2 21 3 x yx x - =+- g) 3 2 2 2 x y xx + = - h) 3 2 1 1 xx y x ++ = - i) 2 2 1 5 23 xx y xx ++ = + k) 2 1yx=-