http://onluyentoan.vn SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Nguyễn Minh Nhiên 12 1 Bài toán chung Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét bài toán về sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  (C 1 ) : y = f (x) (C 2 ) : y = g(x) Có thể thấy số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) cũng chính là số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x). (1) Khi đó, bài toán quy về việc biện luận số nghiệm của phương trình (1). Thông thường, • Nếu (1) quy về bậc hai thì việc giải quyết bài toán quy về việc tính toán với các nghiệm kết hợp với việc sử dụng định lý Viette. • Nếu (1) là phương trình trùng phương thì ta có thể quy về xét phương trình bậc hai. • Nếu (1) là phương trình bậc ba hoặc bậc cao, ta có thể hướng đến: ◦ Nếu cô lập được m đưa (1) thành F (x) = h(m) thì bài toán quy về khảo sát hàm số y = F (x). ◦ Nếu phương trình có nghiệm x = x 0 thì ta có thể đưa (1) về dạng (x − x 0 )h(x, m) = 0 và tiếp tục biện luận với phương trình h(x, m) = 0. Ví dụ 1 (Đề thi Đại học khối A năm 2003). Cho hàm số y = mx 2 +x+m x−1 có đồ thị (C). Tìm m để (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: mx 2 + x + m x − 1 = 0 ⇔  x = 1 mx 2 + x + m = 0 (1) 1 Trường THPT Quế Võ Số 1, Bắc Ninh. 2 Bài viết được trình bày lại bằng chương trình soạn thảo LaTeX bởi can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng tải trên các trang web khác. 1 http://onluyentoan.vn 2 Nguyễn Minh Nhiên Đặt f(x) = mx 2 + x + m. Ta có (C) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt khác 1. Điều này tương đương với      m = 0 ∆ = 1 − 4m 2 > 0 f(1) = 1 + 2m = 0 ⇔    m = 0 − 1 2 < m < 1 2 Vậy tập hợp các số m thỏa mãn điều kiện bài toán là m ∈  − 1 2 , 1 2  \ {0}. Nhận xét. Với hàm phân thức khi làm ta thương đưa về dạng phương trình bậc hai, vì thế cần nhớ là: • Xét các trường hợp của hệ số a khi nó chứa tham số. • Kiểm tra điều kiện f(x 0 ) = 0 với x 0 là nghiệm của mẫu. Ví dụ 2 (Đề thi Đại học khối B năm 2009). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −x + m cắt đồ thị hàm số y = x 2 −1 x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là: −x + m = x 2 − 1 x . Phương trình này tương đương với phương trình (1) dưới đây (chú ý rằng x = 0 không phải là nghiệm của (1)): 2x 2 − mx − 1 = 0. (1) Vì ac < 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0. Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x 1 , −x 1 + m) và B(x 2 , −x 2 + m). Ta có AB = 4 ⇔  (x 2 − x 1 ) 2 + (−x 2 + m + x 1 − m) 2 = 4 ⇔ 2(x 2 − x 1 ) 2 = 16 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 − 4x 1 x 2 = 8. Áp dụng định lý Viette, ta có x 1 + x 2 = m 2 , x 1 x 2 = − 1 2 . Do đó: AB = 4 ⇔ m 2 4 + 2 = 8 ⇔ m = ±2 √ 6. Vậy m = ±2 √ 6 là giá trị cần tìm. Nhận xét. Vì liên quan đến giao điểm nên thường thì bài toán gắn thêm các tính chất hình học: độ dài khoảng cách, diện tích, tính chất các hình đặc biệt, . . . Vì thế, cần linh hoạt vận dụng các tính chất đó. Ví dụ 3. Cho hàm số (C) : y = 2x+1 x−1 và điểm A(−2, 5). Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho tam giác ABC đều. Hướng dẫn giải. (a) Cách 1. Nhận xét rằng điểm A nằm trên đường thẳng ∆ : y = 3 − x là phân giác góc tạo bởi hai tiệm cận của (C), ∆ là trục đối xứng của (C) nên đường thẳng http://onluyentoan.vn Sự tương giao của hai đồ thị 3 d cần tìm là đường thẳng vuông góc với ∆ có phương trình dạng y = x + m. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): 2x + 1 x − 1 = x + m ⇔  x = 1 f(x) = x 2 + (m − 3)x − m − 1 = 0 (1) Vì ac < 0 và f (1) = 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 1. Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt B(x 1 , −x 1 + m), C(x 2 , −x 2 + m). Gọi I là trung điểm của BC thì I là giao điểm của d và ∆, suy ra tọa độ của I là I  3−m 2 , m+3 2  . Ta có BC =  2(x 2 − x 1 ) 2 =  2(x 1 + x 2 ) 2 − 8x 1 x 2 =  2(m − 3) 2 + 8(m + 1) = √ 2m 2 − 4m + 26 và IA =   m − 7 2  2 +  m − 7 2  2 =  m 2 − 14m + 49 2 . Như đã biết, ABC là tam giác đều khi và chỉ khi √ 3 2 BC = IA. Do đó, yêu cầu của bài toán tương đương với √ 3 2 √ 2m 2 − 4m + 26 =  m 2 − 14m + 49 2 ⇔ 3(m 2 − 2m + 13) = m 2 − 14m + 49 ⇔ 2m 2 + 8m − 10 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = −5. Từ đó, ta được hai đường thẳng thỏa mãn là y = x + 1 và y = x − 5.  (b) Cách 2. Cũng với lập luận như trên thì ∆ chính là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên AB tạo với ∆ một góc 30 ◦ . Gọi hệ số góc của đường thẳng AB là m thì phương trình AB có dạng y = m(x + 2) + 5. Vì góc giữa AB và ∆ bằng 30 ◦ nên     m + 1 1 − m     = tan 30 ◦ = 1 √ 3 ⇔ |m − 1| = √ 3|m + 1|. Từ đây ta tìm được m = −2 − √ 3 hoặc m = −2 + √ 3. • Với m = √ 3 − 2, ta có phương trình ∆: y =  −2 + √ 3  (x + 2) + 5 ⇔ y =  −2 + √ 3  x + 1 + 2 √ 3. Tọa độ B là nghiệm hệ:      y =  −2 + √ 3  x + 1 + 2 √ 3 y = 2x + 1 x − 1 ⇔      y =  −2 + √ 3  x + 1 + 2 √ 3  −2 + √ 3  x + 1 + 2 √ 3 = 2x + 1 x − 1 ⇔        x = √ 3 + 1 y = 2 + √ 3  x = 2 √ 3 + 4 y = −1 + 2 √ 3 ⇔   B  √ 3 + 1, 2 + √ 3  B  2 √ 3 + 4, −1 + 2 √ 3  ⇒  d : y = x + 1 d : y = x − 5 • Với m = − √ 3 − 2, ta cũng có kết quả tương tự. http://onluyentoan.vn 4 Nguyễn Minh Nhiên Ví dụ 4 (Đề thi Đại học Bách hhoa năm 1999). Cho hàm số y = x 3 + ax + 2, trong đó a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của a sao cho đồ thị hàm số cắt Ox tại một và chỉ một điểm. Hướng dẫn giải. (a) Cách 1. Ta có y  = 3x 2 + a. • Nếu a  0 thì ta có y   0, ∀x ∈ R. Do đó, hàm số đồng biến trên R và như thế đồ thị của nó chỉ cắt Ox tại đúng một điểm. • Xét a < 0, ta có y  = 0 ⇔     x 1 =  −a 3 ⇒ y 1 = 2a 3  −a 3 + 2 x 2 = −  −a 3 ⇒ y 2 = −2a 3  −a 3 + 2 Để đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm thì ta phải có y 1 y 2 > 0 ⇔  2a 3  −a 3 + 2  −2a 3  −a 3 + 2  > 0 ⇔ 4 + 4a 3 27 > 0 ⇔ a > −3. Hợp kết quả hai trường hợp, ta được a > −3 là tập hợp các giá trị thỏa mãn yêu cầu.  (b) Cách 2. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x 3 + ax + 2 = 0. Vì x = 0 không là nghiệm nên ta chỉ cần xét x = 0, lúc đó phương trình có thể được viết lại dưới dạng a = −x 2 − 2 x . (1) Xét hàm số y = −x 2 − 2 x với x ∈ R\{0}. Ta có y  = −2x + 2 x 2 , y  = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = −3, lim x→0 + y = −∞, lim x→0 − y = +∞, lim x→±∞ y = −∞. Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ y  + + 0 − y −∞ +∞ −∞ −3 −∞ Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a > −3. Nhận xét. Với các hàm bậc ba f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a = 0), ∆  = b 2 − 3ac, ta có • Nếu ∆   0 thì phương trình f (x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất. • Nếu ∆  > 0 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x 1 , x 2 . Khi đó: ◦ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi f(x 1 )f(x 2 ) > 0. ◦ Phương trình f(x) = 0 có nghiệm có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi f(x 1 )f(x 2 ) < 0. • Trong trường hợp f(x) = 0 có nghiệm x = x 0 , ta đưa phương trình về dạng (x − x 0 )g(x) = 0. http://onluyentoan.vn Sự tương giao của hai đồ thị 5 Ví dụ 5 (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Cho hàm số y = x 3 − 2x 2 + (1 − m)x + m, (1) trong đó m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn điều kiện x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 < 4. Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là: x 3 − 2x 2 + (1 − m)x + m = 0. (2) Biến đổi tương đương phương trình này: (2) ⇔ x 3 − 2x 2 + x − mx + m = 0 ⇔ x(x 2 − 2x + 1) − m(x − 1) = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − m) = 0 ⇔  x = 1 x 2 − x − m = 0 (3) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của (3) thì ta phải có 1 2 + x 1 2 + x 2 2 < 4 ⇔ (x 1 + x 2 ) 2 − 2x 1 x 2 < 3 ⇔ m < 1. (4) Yêu cầu bài toán tương đương với (3) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 = 1 thỏa mãn điều kiện (4). Điều này xảy ra khi và chỉ khi      ∆ = 1 + 4m > 0 1 2 − 1 − m = 0 m < 1 ⇔    − 1 4 < m < 1 m = 0 Vậy m ∈  − 1 4 , 1  \ {0} là tập hợp các giá trị cần tìm. Ví dụ 6 (Đề thi ĐH khối D năm 2009). Cho hàm số y = x 4 − (3m + 2)x 2 + 3m có đồ thị là (C m ), m là tham số. Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (C m ) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Hướng dẫn giải. Phương trình hoành độ giao điểm của (C m )và đường thẳng y = −1 là: x 4 − (3m + 2)x 2 + 3m = −1 ⇔ (x 2 − 1)(x 2 − 3m − 1) = 0. Đường thẳng y = −1 cắt (C m ) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi  0 < 3m + 1 < 4 3m + 1 = 1 ⇔    − 1 3 < m < 1 m = 0 Vậy m ∈  − 1 3 , 1  \ {0} là tập hợp các giá trị cần tìm. Ví dụ 7. Cho hàm số y = x 4 −2(m + 1)x 2 + 2m + 1 có đồ thị (C m ). Xác định m để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Hướng dẫn giải. (a) Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và Ox là x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (x 2 − 1)(x 2 − 2m − 1) = 0 ⇔  x = ±1 x 2 = 2m + 1 Để (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì ta phải có  2m + 1 = 1 2m + 1 > 0 ⇔    m = 0 m > − 1 2 http://onluyentoan.vn 6 Nguyễn Minh Nhiên Khi đó các nghiệm là ±1, ± √ 2m + 1. Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi        − 1 + √ 2m + 1 = −2 √ 2m + 1 − √ 2m + 1 + 1 = 2 √ 2m + 1  − √ 2m + 1 + 1 = −2 − 1 + √ 2m + 1 = 2 ⇔  3 √ 2m + 1 = 1 3 = √ 2m + 1 ⇔   m = − 4 9 (thỏa) m = 4 (thỏa) Vậy có hai giá trị thỏa mãn yêu câu đề bài là m = 4 và m = − 4 9 .  (b) Cách 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C m )và trục hoành là: x 4 − 2(m + 1)x 2 + 2m + 1 = 0. (1) Đặt t = x 2  0 thì ta có t 2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0. (2) Chú ý rằng (C m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi có 4 nghiệm phân biệt. Điều này đồng nghĩa với việc (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt, hay là      ∆  = (m + 1) 2 − 2m − 1 > 0 S = 2 (m + 1) > 0 P = 2m + 1 > 0 ⇔    m = 0 m > − 1 2 Khi đó, gọi các nghiệm của (2) là t 1 , t 2 (0 < t 1 < t 2 ), ta suy ra 4 nghiệm của (1) là − √ t 2 , − √ t 1 , √ t 1 , √ t 2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ta có  − √ t 2 + √ t 1 = −2 √ t 1 − √ t 1 + √ t 2 = 2 √ t 1 ⇔ √ t 2 = 3 √ t 1 ⇔ t 2 = 9t 1 . (3) Áp dụng định lý Viette, ta có t 1 + t 2 = 2m + 2 (4) và t 1 t 2 = 2m + 1. (5) Từ (3) và (4) suy ra t 1 = m+1 5 , t 2 = 9m+9 5 . Thay vào (5), ta được 9(m + 1) 2 = 25(2m + 1) ⇔ 9m 2 − 32m − 16 = 0 ⇔   m = − 4 9 (thỏa) m = 4 (thỏa) Như vậy, ta tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài là m = 4 và m = − 4 9 . Nhận xét. • Phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình at 2 + bt + c = 0 có hai nghiệm dương t 1 , t 2 thỏa mãn t 2 = 9t 1 . • Phương trình ax 3 + bx 2 + cx = d = 0 (a = 0) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì x = − b 3a là một nghiệm phương trình đó. http://onluyentoan.vn Sự tương giao của hai đồ thị 7 2 Bài tập tự luyện Hy vọng qua các ví dụ trên, bạn đọc sẽ nắm được dạng toán tương giao giữa hai đồ thị hàm số. Cuối cùng mời các bạn cùng giải quyết một số bài tập sau: Bài tập 1 (Đề thi Đại học khối D năm 2008). Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 có đồ thị (C). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1, 2) với hệ số góc k > −3 đều cắt đồ thị hàm số (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B, đồng thời I là trung điểm của AB. Bài tập 2. Cho hàm số y = x 2 +mx−1 x−1 . Xác định m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA ⊥ OB. Bài tập 3. Cho hàm số (C m ) : y = x 3 + mx 2 − x −m. Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt và hoành độ các giao điểm lập thành một cấp số cộng. Bài tập 4. Cho hàm số (C) : y = x 2 −2x+2 x−1 . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C). Hãy viết phương trình hai đường thẳng đi qua I sao cho chúng có hệ số góc nguyên và cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Bài tập 5 (Đề thi Học viện Ngân hàng năm 1999). Xác định a để mọi đường thẳng có phương trình y = m (với −4 < m < 0) cắt đồ thị hàm số y = −x 3 + ax 2 − 4 tại ba điểm phân biệt. Bài tập 6 (Đề thi Đại học Kiến trúc Hà Nội năm 1994). Cho hàm số (C m ) : y = x 4 + 2mx 2 + m. Tìm m để đường thẳng y = −3 cắt (C m ) tại 4 điểm phân biệt, trong đó một điểm có hoành độ lớn hơn 2, ba điểm còn lại có hoành độ nhỏ hơn 1. Bài tập 7. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x + m. Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số cắt Ox tại: (a) Ba điểm phân biệt? (b) Một điểm duy nhất? Bài tập 8 (Đề thi Đại học khối D năm 2009). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị hàm số y = x 2 +x−1 x tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. Bài tập 9. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = x 2 − 1, y = 2x−m x cắt nhau tại ba điểm phân biệt. Khi đó, tìm tâm và bán kính đường tròn đi qua ba giao điểm đó. Bài tập 10. Cho hàm số (C) : y = mx 3 −nx 2 −9mx + 9n. Tìm m, , n để trong các giao điểm của (C) với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 9 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến trục hoành bằng 2 đơn vị. . http://onluyentoan.vn SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ Nguyễn Minh Nhiên 12 1 Bài toán chung Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), xét bài toán về sự tương giao của đồ thị hai hàm số:  (C 1 ) : y =. trình đó. http://onluyentoan.vn Sự tương giao của hai đồ thị 7 2 Bài tập tự luyện Hy vọng qua các ví dụ trên, bạn đọc sẽ nắm được dạng toán tương giao giữa hai đồ thị hàm số. Cuối cùng mời các. xứng của (C) nên đường thẳng http://onluyentoan.vn Sự tương giao của hai đồ thị 3 d cần tìm là đường thẳng vuông góc với ∆ có phương trình dạng y = x + m. Phương trình hoành độ giao điểm của d