Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỔ HỢP - XÁC SUẤT
1 CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT (Dành cho 11K2 ôn tập trong hè) Phần I: Một số bài toán tổ hợp Phương pháp: Ta áp dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân và các công thức sau ! 1 2 3 3.2.1 n P n n n n n ! ! k n n A nk ! !! k n n C k n k . Dạng 1: Chọ n một nhóm phần tử từ tập hợp Ví dụ 1: Một hộ p đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 thẻ để tổng số ghi trên 6 thẻ đó là một số lẻ. Giải Ta kí hiệu: thẻ ghi số lẻ là thẻ lẻ; thẻ ghi số chẵn là thẻ chẵn. Tổng số ghi trên 6 thẻ lấy ra là một số lẻ thì số thẻ lẻ lấy ra phải là một số lẻ . Ta có các trường hợp (TH) sau: TH1: 1 thẻ lẻ, 5 thẻ chẵn suy ra có 15 65 6CC cách. TH2: 3 thẻ lẻ, 3 thẻ chẵn suy ra có 33 65 200CC cách. TH3: 5 thẻ lẻ, 1 thẻ chẵn suy ra có 51 65 30CC cách. Vậy có: 6 200 30 236 cách. Ví dụ 2: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá và 8 trung bình. Hỏi có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. Giải 2 Ta có bảng phân chia các trường hợp sau : Trường hợp HS giỏi (3) HS khá (5) HS trung bình 8 Số cách chọn 1 1 2 5 1 2 5 3 5 8 1680C C C 2 1 3 4 1 3 4 3 5 8 2100C C C 3 2 2 4 224 3 5 8 2100CCC 4 2 3 3 2 3 3 3 5 8 1680C C C Kết quả 7560 Vậy có : 7560 cách . Bài tập 1. Một đội thanh niên xung kích có 12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh của lớp B, 3 học sinh của lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Đáp số : 270 cách. 2. Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung bình, 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải đủ 3 loại câu ( khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Đáp số: 56875 . 3. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ . Đáp số : 207900 cách. Dạng 2: Sắp xếp thứ tự các phần tử từ các tập hợp Ví dụ : Một nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em học sinh này thành một hàng ngang sao cho: a) Giữa hai học sinh nữ bất kì đều không có một em nam nào. b) Hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có hai em nữ nào ngồi cạnh nhau. Giải a) Ta xem 3 em nữ là một vị trí trong hàng . Như vậy 7 em nam và khối 3 em nữ tạo thành 8 vị trí trên hàng: 3 Xếp chỗ cho 7 em nam và khối 3 em nữ có : 8! cách. Xếp chỗ trong nội bộ khối 3 em nữ có : 3! cách. Vậy có : 8!.3! 241920 cách. b) Xếp chỗ cho 7 em nam có 7! cách. Xếp chỗ cho 3 em nữ theo yêu cầu , giữa hai nữ bất kì phải có một em nam. 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 G i G là vị trí giữa học sinh nam i B và 1i B , 1,6i . Khi đó vị trí của của 3 em nữ là chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử , do đó có 3 6 A cách xếp vị trí cho 3 em nữ. Vậy có: 3 6 7!. 604800A cách xếp chỗ thõa mãn đề bài. Bài tập 1. Cho tập hợp 1;2;3;4;5A . Từ tập hợp A lập được bao nhiêu số a) Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số số 1 xuất hiện 2 lần, còn các số khác xuất hiện đúng một lần. Đáp số: 360 số. b) Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện hai lần, số 2 xuất hiện 3 lần còn các số khác xuất hiện không quá một lần. Đáp số: 1260 số. 2. Cho tập hợp 2;5A . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số cps 10 chữ số sao cho không có hai chữ số 2 nào đứng cạnh nhau. Đáp số : 144 số. 3. Cho tập hợp các chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5 . Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có hai chữ số 1 và ba chữ số còn lại khác nhau và khác 1 ? Hướng dẫn: TH1: Trong số tạo thành có chữ số 0 : Số số là 22 44 4. . 288CA . TH2: Trong số tạo thành không có chữ số 0 : Số số là 23 54 . 240CA . Đáp số: 528 số. 4. Có bao nhiêu cách chia 6 người ra thành 3 nhóm, mỗi nhóm 2 người, trong mỗi trường hợp sau: a. Phân biệt thứ tự các nhóm là: nhóm 1 , nhóm 2 , nhóm 3 . b. Không phân biệt thứ tự của các nhóm ? Đáp số: a. 222 6 4 2 . . 90CCC b. 222 6 4 2 15 3! CCC 5. Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của các số tự nhiên đó. Đáp số:96 số và có tổng là 2599980. Phần II: Một số bài toán về nhị thức Newton Bài tập: Giải các phương trình, bất phương trình sau 4 Phần này ta xét các dạng toán trọng tâm như: tính tổng, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,hệ phương trình và tìm hệ số của đa thức trong khai triển Newton. Dạng 1: Giải phương trình, bất phương trình, hệp phương trình tổ hợp. Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn số Bươc 2: Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp tổ hơp để biến đổi, rút gọn giải phương trình,bất phương trình ,hệ phương trình. Bước 3: kết hợp nghiệm vừa tìm được với điều kiện ban đầu để tìm nghiệm của bài toán. Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 2 3 2 16 10 2 x x x A A C x 1 Giải Điều kiện: 3,x x N 1 2! 1 ! 6 ! 1 . 10 1 2 1 1 2 10 2 2 2 ! 2 ! 3! 3 ! 2 x xx x x x x x x x x x x 4x . Do 3,x x Z nên 3; 4.xx Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 5 90 2 5 80 yy xx yy xx AC AC Giải Điều * ,,x y N x y Hệ phương trình ! 20 ! 20 ! 20 1 20 ! ! 2 10 10 !2 !! y x y x x x xy A xx xy x y C y y x y 5, 4 5 22 x x x yy . Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 5; 2xy . 5 1. 3 1 3 2 1 1 6 2 3 3 159 xx x x x A C C x P . Đáp số : 12x . 2. 22 72 6 2 x x x x P A A P . Đáp số: 3; 4xx . 3. 3 1 4 13 1 14 n n n C AP . Đáp số: 6,nn . Dạng 2: Tính tổng Phương pháp: Ta sử dụng một số công thức sau k n k nn CC 11 1 k k k n n n C C C 0 1 2 2 nn n n n n C C C C 0 2 4 2 1 3 5 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n C C C C C C C C . Ngoài ra ta còn kết hợp giữa khai triển Newton, đạo hàm và tích phân để tính tổng. Ví dụ 1: Tính tổng sau 1 3 5 2 1 4 4 4 4 n n n n n S C C C C Giải Ta có k n k nn CC 4 1 4 3 4 5 2 1 4 4 4 4 n n n n n n n n S C C C C 1 3 5 4 1 4 4 4 4 2 n n n n n S C C C C Xét khai triển 4 0 1 2 2 3 3 4 1 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 (1 ) n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x Chọn 1x , ta có : 0 1 2 3 4 1 4 4 4 4 4 4 4 0 nn n n n n n n C C C C C C 1 Chọn 1x , ta có : 0 1 2 3 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 2 n n n n n n n n n C C C C C C 2 Trừ vế theo vế của 2 cho 1 ta được: 1 3 5 4 1 4 1 4 4 4 4 2 nn n n n n C C C C 4 1 4 2 2 2 2 nn SS . Vậy 42 2 n S . Ví dụ 2: Tính tổng sau 0 1 2 2013 2013 2013 2013 2013 2 3 2014S C C C C 6 Giải Xét khai triển 2013 0 1 2 2 2013 2013 2013 2013 2013 2013 1 x C C x C x C x 1 Chọn 1x , ta có : 0 1 2 2013 2013 1 2013 2013 2013 2013 2S C C C C Đạo hàm hai vế của 1 ta có : 2012 1 2 2013 2012 2013 2013 2013 2013 1 2 2013x C C x C x Chọn 1x , ta có : 1 2 2013 2012 2 2013 2013 2013 2 2013 2013.2S C C C Ta có : 0 1 2 2012 2013 2 2013 2013 2013 2013 2013 3 S S C C C C C S 2012 2013 2012 23 2013.2 2 2015.2S S S . Vậy 2012 2015.2S . Ví dụ 3: Tính tổng sau 2 2 3 3 1 1 0 1 2 2 3 1 nn n n n n n b a b a b a S b a C C C C n Với * nN , ba . Giải Ta có: 0 1 2 2 0 1 2 2 1 1 bb nn n n n n n n n n n n n n aa x C C x C x C x x dx C C x C x C x dx 11 2 2 3 3 1 1 0 1 2 11 2 3 1 1 nn nn n n n n n ba b a b a b a b a C C C C nn . Vậy 11 11 1 nn ba S n . Bài tập: Tính các tổng sau 1. 6 7 8 9 10 11 11 11 11 11 11 11 S C C C C C C HD: 0 1 3 9 10 11 11 10 11 11 11 11 11 11 2 2 2S C C C C C C S . 2. 0 1 2 2 3 1 1 n n n n n n S C C C n C HD: 1 n P x x x , đạo hàm ' 1 0SP . Giải 7 3. 0 1 2 1 1 1 2 3 1 n n n n n S C C C C n HD: 1 1 0 21 1 1 n n S x dx n Dạng 3 : Chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng :Tính chất của các hệ số trong khai triển Newton hoặc dùng khai triển Newton kết hợp với đạo hàm tích phân để chứng minh. Ví dụ 1: Chứng minh rằng 0 2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 n n n n n n n C C C C 1 Giải Xét khai triển : 2 0 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 n nn n n n n n x C C x C x C x C x Chọn 3x , ta có : 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 3 n n n n n n n C C C C 2 Chọn 3x , ta có : 2 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n C C C C 3 Cộng vế theo vế của 2 và 3 ta có: 2 2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 3 3 n n n n n n n C C C C 0 2 2 4 4 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 n n n n n n n C C C C điều phải chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng 1 1 2 2 3 3 1 3 2 3 3 3 .4 n n n n n n n n n C C C nC n 2 Giải Xét khai triển : 0 1 1 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x Đạo hàm hai vế : 1 1 1 2 2 3 3 2 1 3 3 2 3 3 3 n n n n n n n n n n n x C C x C x nC x Chọn 1 1 2 2 3 3 1 1 3 2 3 3 3 .4 n n n n n n n n n x C C C nC n điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng 0 1 2 3 1 1 2 4 6 8 2 2 2 1 n n n n n n n C C C C C nn 3 8 Xét khai triển : 2 0 1 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n nn n n n n x C C x C x C x 2 0 3 1 5 2 2 1 1 1 n nn n n n n x x xC x C x C x C 1 22 1 2 4 6 2 0 1 2 0 0 1 1 2 4 6 2 2 n n n n n n n n x x x x I x x dx C C C C n 0 1 2 3 1 1 2 4 6 8 2 2 2 1 n n n n n n n C C C C C nn điều phải chứng minh. Bài tập: Chứng minh các đẳng thức sau 1. 2 2 2 2 0 1 2 2 nn n n n n n C C C C C HD: Ta có 0 1 1 0 1 1 1 nn n n n n n n n n n n n x x C x C x C C C x C x hệ số của n x ; Tìm hệ số n x trong khai triển 2 1 n x suy ra điều phải chứng minh. 2. 1 2 3 3 33 k k k k k n n n n n C C C C C với ,kn và 3 kn . 3. 0 2 2 4 4 2012 2012 2012 2013 2013 2013 2013 2013 3 3 3 2 2 1C C C C HD: Khai triển 2013 2013 1 ; 1xx , cộng vế theo vế và chọn 3x . 4. 1 1 1 2 3 3 1 2 2 3.2 .3 n n n n n n n n n C C C nC n HD: Khai triển 1 n x , đạo hàm , chọn 1 2 x . Dạng 4 : Tính hệ số của đa thức 4.1: Tính hệ số của số hạng m x trong khai triển nhị thức Newton của n P x f x Phương pháp: Bước 1: Viết 0 n gk k k P x a x Bước 2: Số hạng chứa m x tương ứng với g k m k . Bước 3: Kết luận Nếu ,k N k n , thì hệ số phải tìm là k a . Nếu kn hoặc kn thì trong khia triển không có số hạng m x , hệ số phải tìm bằng 0. 9 Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 28 3 15 n x x x , biết rằng 12 79 n n n n n n C C C . Giải Điều kiện : 2,n n N Ta có : 1 2 2 12 1 79 1 79 156 0 12 13 2 n n n n n n n nn C C C n n n n n Suy ra : 12 28 4 28 48 112 12 3 15 3 15 15 5 12 0 n k k k x x x x x C x Số hạng không chứa x là 0 x 48 112 07 15 5 k k . Số hạng không chứa x là số hạng thứ 8, có hệ số là 7 12 792C . Ví dụ 2: Tìm hệ số của 4 x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 10 2 1 2 3P x x x Giải Ta có : 10 10 10 10 10 2 2 2 10 10 10 0 0 0 1 2 3 1 2 3 2 3 k k ki k k i k k k k k i P x x x C x x C C x x 10 10 2 10 10 00 23 k k i i k k i k ki C C x , theo bài ra ta có hệ : 24 , , 10, 10 ki i k N k i k 0 4 k i ; 1 2 k i ; 2 0 k i . Vậy hệ số của 4 x trong khai triển trên là : 0 4 0 4 1 2 1 2 2 0 2 0 10 10 10 9 10 8 3 2 3 2 3 2 8085C C C C C C . Ví dụ 3 10 Cho đa thức 2 3 20 1 2 1 3 1 20 1P x x x x x . Tìm hệ số của số hạng x 15 trong khai triển thành đa thức của Px . Giải Viết lại : Px 2 14 1 2 1 14 1x x x + 15 16 20 15 16 20 0 0 0 15 16 20 k k k k k k k k k C x C x C x Suy ra hệ số của số hạng chứa x 15 là : 15 15 15 15 15 15 15 15 16 17 18 19 20 15 16 17 18 19 20 400995a C C C C C C . Bài tập: 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 7 5 1 2x x . Đáp số: 6528. 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton 5 3 1 n x x biết rằng: 1 43 7( 3) nn nn C C n . Đáp số: 4 12 495C . 3. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức: P= 5 10 2 1 2 1 3x x x x .Đáp số: 3320 . 4. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức 8 2 11P x x x . Đáp số : 238 5. Cho biết 0 1 1 2 2 3 3 3 3 3 3 1 2048. n n n n n n n n n n n C C C C C Tìm hệ số của 10 x trong khai triển nhị thức 2. n x Đáp số: 11 11 11, 2 22.nC 6. Cho biết 1 2 20 2 1 2 1 2 1 2 1. n n n n C C C Tìm hệ số của 26 x trong khai triển nhị thức Newton của 7 4 1 . n x x Đáp số: 4 10 10, 210.nC 4.1: Tính hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của ax m b Phương pháp: [...]... P B 242 42 19 5 An và Bình cùng học xa nhà Xác suất để An về nhà vào ngày Chủ nhật là 0, 2 , của Bình là 0, 25 Tính xác suất để a) Cả hai cùng về thăm nhà Đáp số: 0, 05 ; b) Cả hai không về thăm nhà Đáp số: 0, 6 c) Có đúng một người về thăm nhà Đáp số: 0,35 d) Có ít nhất một người về thăm nhà Đáp số : 0, 4 Dạng 3 : Lập bảng phân bố xác suất, tính kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên... 7; x 4 Phần III: Một số dạng toán về sác xuất Dạng 1 : Sử dụng định nghĩa xác suất cổ điển Phương pháp: Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu n() Bước 2: Tính số phần tử của biến cố n A Bước 3: Xác suất của biến cố A là P A n A n Ví dụ 1 : Một chiếc hộp có 6 quả cầu trắng, 7 quả cầu xanh, 8 quả cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu trong hộp Tính xác suất để 4 quả lấy được có đủ... tự xác suất để hai quả cầu rút ra đều màu xanh là 625 15 9 135 6 7 42 , xác suất để hai quả cầu rút ra đều màu đỏ là 25 25 625 25 25 625 Vậy xác suất để hai quả cầu lấy ra cùng màu là : 30 135 42 207 625 625 625 625 Bài tập 1 Có hai túi đựng các quả cầu Túi thứ nhất chứa 7 quả đỏ và 5 quả xanh Túi thứ hai chứa 6 quả đỏ và 9 quả xanh Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một quả cầu a) Tính xác suất. .. nhận các giá trị khác nhau trong tập 4 hợp 0,1, 2, 8,9 nên n() A10 5040 Gọi B là biến cố: “4 thẻ xếp thành một số tự nhiên chẵn’’, gọi một số tự nhiên đó có dạng abcd , ta có các trường hợp (TH) sau: 3 TH1: d 0 có A9 cách chọn TH2: d 2; 4;6;8 , có 8 cách chọn a , hai chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 2 của 8 phần tử còn lại ( khác a) có 4.8.A82 cách chọn 3 Ta có n B A9 4.8... chiếm 15%, 30% và 55% diện ích máy bay Tính xác suất để máy bay này rơi nếu: a) Máy bay bị trúng hai viên đạn Đáp số : 0,3675 b) Máy bay bị trúng ba viên đạn Đáp số : 0,72775 4 Có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ, xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên Tính xác xuất để hai học sinh nũ đứng cạnh nhau Người ta chọn một cách ngẫu nhiên 4 học sinh Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có ít nhất hai... lấy đồng thời 4 quả cầu cho ta một tổ hợp chập 4 của 21 phần tử 4 Do đó số phần tử của không gian mẫu là n C21 5985 Gọi A là biến cố: “4 quả cầu lấy ra có đủ 3 màu’’, ta có các trường hợp (TH) sau: 2 1 1 TH1: Có 2 quả cầu trắng, 1 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ Số cách chọn là C6 C7C8 840 1 2 1 TH2: Có 1 quả cầu trắng, 2 quả cầu xanh, 1 quả cầu đỏ Số cách chọn là C6C7 C8 1008 1 1 TH3:... đựng các quả cầu Túi thứ nhất chứa 3 quả trắng, 7 quả đỏ và 15 quả xanh Túi thứ hai chứa 10 quả trắng, 6 quả đỏ và 9 quả xanh Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên một quả cầu Tính xác suất để hai quả được chọn có cùng mầu Giải Gọi A1 là biến cố : “Quả cầu lấy từ túi 1 màu trắng” P A1 3 25 Gọi A2 là biến cố : “Quả cầu lấy từ túi 2 màu trắng” P A2 18 10 Vì A1 , A2 là hai biến cố độc lập nên xác suất. .. 11 30 3 Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ, xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên Tính xác xuất để hai học sinh nũ đứng cạnh nhau 17 HD: Gọi A là biến cố: “Không có hai hoạc sinh nữ nào đứng cạnh nhau’’, khi đó 3 n 8!; n A 5! A6 P A 5 9 P A 14 14 Dạng 2 : Sử dụng quy tắc cộng và nhân xác suất Phương pháp: Quy tắc cộng: Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P... trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái Gọi X là số bé gái trong nhóm Lập bảng phân bố xác suất của X Giải X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 ta có: P X 0 3 3 C6 C1C 2 15 C 2C1 9 C4 5 1 ; P X 1 4 3 6 ; P X 2 4 3 6 ; P X 3 3 3 C10 30 C10 30 C10 30 C10 30 Vậy bảng phân bố xác suất của X là: X P 0 5 30 1 15 30 2 9 30 3 1 30 Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 tấm thẻ, trong... túi lấy ngẫu nhiên một quả cầu a) Tính xác suất để hai quả được chọn có cùng mầu đỏ Đáp số b) Tính xác suất để hai quả được chọn khác mầu Đáp số 7 20 29 60 2 ( TSĐH khối B, 2012) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh 443 được gọi có cả nam và nữ Đáp số : 506 3 Một máy bay có ba bộ phận A, B, C . có thể lập được bao nhi u số tự nhi n có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của các số tự nhi n đó. Đáp số:96 số và có tổng là 2599980. Phần II: Một số bài to n về nhị thức Newton Bài tập: Giải các. : Chứng minh đẳng thức Phương pháp: Sử dụng :Tính chất của các hệ số trong khai triển Newton hoặc dùng khai triển Newton kết hợp với đạo hàm tích phân để chứng minh. Ví dụ 1: Chứng minh rằng. này ta xét các dạng to n trọng tâm như: tính tổng, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,hệ phương trình và tìm hệ số của đa thức trong khai triển Newton. Dạng 1: Giải phương