Đang tải... (xem toàn văn)
11 bài giảng hay về hàm số ôn thi đại học , hệ thống lý thuyết và bài tập chi tiết giúp học sinh nắm chắc kiến thức hàm số
BÀI GIẢNG SỐ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b Tính chất 1: Hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b ii) Nghịch biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b Tính chất 2: Hàm số ( ) y f x trên khoảng ( ; ) a b được gọi là: i) Đồng biến nếu '( ) 0 ( ; ) f x x a b , và ( ) 0 f x tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b ii) Nghịch biến nếu f '(x) ≤0 ∀x ∈(a; b) và f (x) =0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để áp dụng. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( )y f x Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến. Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 5 y x x Lời giải Tập xác định: . D R Ta có 3 5 10 ' x y x . Khi đó phương trình ' 0 2. y x Bảng xét dấu X 0 2 y’ + || - 0 + Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và (2; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2). Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 2 3 3sin cos 2 x y x x trên khoảng 0 ( , ). Lời giải: Tập xác định: . D R Ta có ' 3cos sin 1 y x x , khi đó phương trình ' 0 sin 3cos 1 sin( ) sin 3 6 2 2 7 2 6 y x x x x k x k Trên khoảng 0 ( , ). y’ = 0 có một nghiệm . 2 x Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) 2 và nghịch biến trên khoảng (0; ) 2 . Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước. Phương pháp 1: Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng ( ) f x m Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 2 2 3 1 x x m y x đồng biến với mọi x > 3. Lời giải: Tập xác định: 1 \ D R Khi đó, ta có 2 2 2 4 3 1 ' x x m y x . Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì 2 ' 2 2 2 2 4 3 0 3 2 4 3 0, 3. 1 2 4 3 3. x x m y x x x m x x x x m x Xét hàm số 2 2 4 3 ( ) f x x x trên miền x > 3, ta có 4 4 0 3 '( ) . f x x x Vậy f(x) là hàm số đồng biến với 3 x suy ra 3 9 ( ) ( ) f x f , vậy để 2 2 4 3 3 x x m x thì 3 9 ( ) . m f Phương pháp 2: Dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet Ví dụ 4: Tim m để hàm số 3 2 3 (4) y x x mx m là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải: Tập xác định: . D R 1 2 Ta có y' =3x 2 +6x +m . Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì phương trình: 3x 2 +6x +m =0 (4’) phải có hai nghiệm x , x sao cho 2 1 1 (*) x x Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là 0 9 3 0 3 ' . m m Khi đó 2 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 (*) ( )x x x x x x . Áp dụng định lý viet, ta có: 4 9 1 6 3 . m m So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 5: Cho hàm số 3 2 2 ax (2 7 7) 2( 1)(2 3) y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) . Lời giải Ta có y' =3x 2 −2ax −(2a 2 −7a +7). Điều kiện để hàm số đồng biến trên 2 ) ∞ + ; là 2 2 3 2 2 7 7 0 2 ' ( ) (*) ;y x ax a a x Ta có 2 ' 7 21 21 0 a a a Gọi 1 2 2 1 , ( ) x x x x là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là 1 2 ( ; ] [ ; ) x x . Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng [ 2 ; + ∞ ) thì 1 2 [2; ) ( ; ] [ ; ) x x nghĩa là 1 2 2 x x . Điều kiện là: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 4 3 ( ) 2 2 0 2( ) 4 0 2 7 7 4 4 0 3 3 a x x x x theo viet x x x x x x a a a 2 6 6 5 1 5 2 1 2 3 5 0 2 a a a a a a Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức Phương pháp Sử dụng các kiến thức sau: Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( ) f a f x f b Ví dụ 6: Chứng minh rằng 3 tan , (0; ) 3 2 x x x x Lời giải: Xét hàm số 3 ( ) tan , 3 x f x x x ta có 2 2 2 2 1 '( ) 1 tan cos f x x x x x Dễ thấy tan (0; ) 2 x x x nên '( ) 0 (0; ) 2 f x x Vậy hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng (0; ) 2 suy ra 3 ( ) (0) 0 tan (0; ) 3 3 x f x f x x x Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 cos 2 , . 2 x x x e x x R Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 cos 2 0, . 2 x x x e x x R Xét hàm số 2 ( ) cos 2 ( ). 2 x x f x x e x x R Ta có ' ( ) sin 1 x f x x e x và '' ( ) cos 1 1 cos 0, x x f x x e x e x R Vậy ' ( ) 0 f x có nghiệm duy nhất 0. x Bảng biến thiên x 0 '( ) f x - 0 + ( ) f x Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: ( ) 0 f x với x R . (đpcm). C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2 1 m y x x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. ĐS: 0. m Bài 2: Xác định m để hàm số 3 2 ( 1) ( 3) 3 x y m x m x đồng biến trên khoảng (0; 3). ĐS: 12 . 7 m Bài 3: Cho hàm số 4 mx y x m a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định. ĐS: 2 2. m b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) . ĐS: 2, 2 m m c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1). ĐS: 2 1. m Bài 4: Cho hàm số 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x . Tìm m để hàm số: a. Liên tục trên R. ĐS: . m R b. Tăng trên khoảng (2; ). ĐS: 5 . 12 m Bài 5: Cho hàm số 3 2 3 3 1 (1), y x x mx m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 0; . ĐS: 1. m 0 Bài 6: Cho hàm số 3 2 1 1 1 3 2 . 3 3 y mx m x m x Tìm m để hàm số đồng biến với 2. x ĐS: 2 . 3 m Bài 7: Cho hàm số 3 2 3 2 1 12 5 2. y x m x m x Tìm m để hàm số đồng biến trên ; 1 2; . ĐS: 5 1 . 12 m Bài 8: Cho hàm số 2 6 2 . 2 mx x y x Tìm m để hàm số nghịch biến trên [1; ). ĐS: 14 0. 5 m Bài 9: Cho hàm số mx m y x m . a) Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định. ĐS: 1 0. m b) Tìm m để hàm số đồng biến với 3. x ĐS: 1 0. m Bài 10. Cho hàm số 2 ( ) . y m x x m Tìm m để hàm số đồng biến trên 1;2 . ĐS: 3. m Bài 11: Chứng minh rằng với mọi 2 0 x ta có xxx tan 3 1 sin 3 2 . Hướng dẫn: Xét sự biến thiên của hàm số xxxxf tan 3 1 sin 3 2 )( với 2 ;0 x . BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số y f x xác định trên . D o x x gọi là điểm cực đại của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực đại của hàm số. o x x gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu , , , o a b x a b D và , o f x f x \, , o o o x a b x f x gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. 2. Quy tắc tìm cực trị của hàm số Quy tắc 1 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm x mà tại đó ' 0 o f x hoặc tại đó mà f x liên tục nhưng không có đạo hàm. + Lập bảng biến thiên. + Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu. Quy tắc 2 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm các giá trị , 1,2 i x i để ' 0. f x + Tính '' f x và " i f x . + Dựa vào dấu của " f x suy ra cực trị. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực tiểu. Nếu " 0 i i f x x x là điểm cực đại. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Cách 1: Dùng bảng biến thiên Cách 2: Dùng y’’ Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số sin 2 os2 . f x x c x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: ' 2cos2 2sin 2 f x x x " 4sin 2 4cos2 f x x x ' 0 2cos2 2sin 2 0 , ( ) 8 2 k f x x x x k Z Vậy hàm số đạt cực đại tại 2 , 2 8 C D x k y , hàm số đạt cực tiểu tại 2 , 2. 8 CT x k y Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm 0 x Phương pháp: Dùng bảng biến thiên hoặc dùng điều kiện của y’’ Ví dụ 2: Tìm giá trị của để hàm số 3 2 2 3 1 2 f x x mx m x đạt cực đại tại 2. x Lời giải Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: 2 2 y' 3x 3mx m 1 2 2 2 2 3 6 3 3 ' 0 3 3 1 0 3 6 3 3 m m x y x mx m m m x Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đạt cực đại tại 2 3 6 3 2 2 11 3 m m x m Vậy với 11 m thì hàm số đạt cực đại tại 2. x Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có điêm cực trị thỏa mãn điều kiện của đẳng thức cho trước. Phương pháp: Dùng định lý viet Ví dụ 3: Tìm m để hàm số 3 2 3 4 1 y x m x m x m đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 . x x Lời giải Tập xác định .D 2 2 ' 3 2 3 4 1 ' 0 3 2 3 4 1 0 y x m x m y x m x m Để hàm số đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x thì 1 có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 x x . 1 2 1 2 1 2 2 2 0 2 4 0 x x x x x x Áp dụng định lý Viet ta có: 4 3 4 1 1 4 0 8 1 0 3 3 8 m m m m x 2 3 6 3 3 m m 2 3 6 3 3 m m f’(x) 0 0 f x CD CT Vậy 1 8 m thì hàm số đã cho đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 2 x x . Ví dụ 4: Cho hàm số 3 1 . 3 y x x m Tìm m để hàm số có hai cực trị trái dấu. Lời giải Điểm cực trị của hàm số là nghiệm của phương trình: 2 1 ' 0 1 0 1 x y x x Giá trị cực trị của hàm số tương ứng là 1 2 2 (1) 3 2 ( 1) 3 y y m y y m Yêu cầu bài toán tương đương với: 1 2 2 2 2 2 0 ( )( ) 0 . 3 3 3 3 y y m m m Nhận xét: Các em học sinh cần phân biệt 3 khái niệm là: Điểm cực trị của hàm số là , CD CT x x Cực trị của hàm số là , CD CT y y Điểm cực trị của đồ thị hàm số là , , , CD CD CT CT x y x y Dạng 4: Bài toán cực trị liên quan đến góc, khoảng cách và tam giác Ví dụ 5: Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx . Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. Lời giải Ta có: 3 2 ' 4 4 4 y x mx x x m 2 0 ' 0 x y x m Hàm số có ba cực trị ' y đổi dấu ba lần trên ' 0 D y có ba nghiệm phân biệt 0 m 0. m Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là 2 2 0;1 , ;1 , ;1 A B m m C m m Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại . A Gọi D là trung điểm của cạnh BC thì Xét ADC vuông tại D , ta có sin AD C AC [...]... cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O có cực trị 2 lần khoảng ĐS: m 3 2 2 ; m 3 2 2 Bài 15: Cho hàm số y x 4 2( m 2) x 2 m 2 5m 5 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực ĐS: m 3 trị tạo thành tam giác vuông cân 1 2 9 Bài 16: Cho hàm số y x3 3 x 2 m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực... Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; Hàm số không có cực trị Bảng biến thi n: x y' 1 1 y 1 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1; tiệm cận ngang y 1 Giao của hai tiệm cận I 1;1 là tâm đối xứng Đồ thị b Đồ thị hàm số y thị của hàm số y x 1 x 1 được vẽ từ đồ thị hàm số y theo quy tắc giữ nguyên phần đồ x 1 x 1 x 1 ứng với x 0 , phần đồ thị của hàm số. .. cực đại tại x1 , đạt cực tiểu tại x 2 và x2 x1 16 9 3 ĐS: m 7 Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số y x3 mx 2 3x 5 có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9 x 14 y 1 0 ĐS: m 4 Bài 21: Cho hàm số y x 4 2(1 m2 ) x 2 m 1 Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất ĐS: m = 0 BÀI GIẢNG SỐ... NHẤT CỦA HÀM SỐ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1 Định nghĩa Cho hàm số y f (x) xét trên tập - Số gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên nếu - Số gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên nếu 2 Phương pháp tìm min và max Phương pháp 1: Bảng biến thi n Bước 1: Tìm miền xác đinh và tính y’ Bước 2: Lập bảng biến thi n Bước 3: Kết luận giá trị min và max dựa vào bảng biến thi n Phương pháp 2: Phương pháp hàm liên... vuông góc với nhau ĐS: m 9 65 8 1 3 m 2 1 x x Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng 3 2 3 1 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M song song với đường thẳng 5 x y 0 Bài 3: Cho hàm số y ĐS: m 4 1 3 x 2 x 2 3 x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 3 8 uốn và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất ĐS: y x 3 Bài 4: Cho hàm số. .. x 1 Bài 9: Cho hàm số y x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến x 1 và hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác cân ĐS: y x hoặc y x 4 Bài 10: Cho hàm số y x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến 2x 3 đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O Bài 11: Cho hàm số y ĐS:... 2 ; 3 k 2 2 6 6 Bài 3: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số y x3 ax 2 bx c đạt cực tiểu tại điểm x 1, f 1 3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 ĐS: a 3; b 9; c 2 Bài 4: Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số y x3 ax 2 bx c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x 2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;0 Bài 5: Tìm m để hàm y ĐS: a 3; b 0; c ... Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ x 1 1 thị tại M cắt Ox,Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 Bài 12: Cho đồ thị hàm số y 1 ĐS: M 1 ; 2 , M 2 1;1 2 x 1 Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được x 1 đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số ĐS: A 0;1 , A 0; 1. Bài 13: Cho hàm số y Bài 14: Cho hàm số y x2 x 1 Viết phương... thị hàm số biết tiếp x2 ĐS: y x 2 2 5 tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên x2 x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp x 1 4 1 3 3 3 5 tuyến vuông góc với đường thẳng y x ĐS: y x hoặc y x 3 3 4 4 4 4 Bài 15: Cho hàm số y m Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm A sao cho 2 x tiếp tuyến với đồ thị tại A cắt trục Oy tại B mà tam giác OAB vuông cân... m 1 Bài 16: Cho hàm số y x 1 2x2 x 1 Tìm những điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được hai tiếp x 1 tuyến tới đồ thì hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Bài 17: Cho hàm số y ĐS: A1 0; 3 15 , A2 0; 3 15 x2 Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy để từ đó ta có x 1 thể kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Bài 18: . 2 ;0 x . BÀI GIẢNG SỐ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số y f x xác định trên . D o x x gọi là điểm cực đại của hàm số nếu. nhưng không có đạo hàm. + Lập bảng biến thi n. + Từ bảng biến thi n suy ra các điểm cực đại, cực tiểu. Quy tắc 2 + Tìm tập xác định của hàm số. + Tính đạo hàm ' f x . Tìm các giá. Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để áp dụng. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ( )y f x Phương