Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f [a, b] g(x) (a, b) f [a; b] x ∈ (a; b) f(a) = f(b) c ∈ (a; b) f  (c) = 0 f [a; b] f [a; b] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 1 , x 2 ∈ (a; b) f(x 1 ) = min [a;b] f(x) = m, f (x 2 ) = max [a;b] f(x) = M. a) m = M. f(x) = const [a; b] f  (x) = 0 x ∈ (a; b) c b) m < M f(a) = f(b) x 1 , x 2 [a; b] x 1 ∈ (a; b) 0 (a; b) c f  (c) f(x) = 2 − 3 √ x 2 , x ∈ [−1; 1] f(x) f(x) (−1; 1) f(−1) = f(1) f  (x) = − 2 3 3 √ x x 0 = 0 ∈ (−1; 1) [a; b] f(x) f(x) (a; b) f(x) =    1, x = 0, x, 0 < x ≤ 1. x = 0 x 0 ∈ (0, 1) f  (x 0 ) = 0. y = f(x), ∀x ∈ [a; b] M(c; f(c)), c ∈ (a; b) Ox f(x) (a; b) f(x) = 0 n (a; b) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f  (x) = 0 n − 1 (a; b). f (k) (x) = 0 n − k (a; b) k = 1, 2, . . . , n f(x) = 0 n (a; b) x 1 < x 2 < ··· < x n n − 1 [x 1 ; x 2 ], [x 2 ; x 3 ], . . . , [x n−1 ; x n ] f  (x) = 0 n − 1 n − 1 (x 1 ; x 2 ), (x 2 ; x 3 ), . . . , (x n−1 ; x n ) n − 1 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n−1 f  (ξ 1 ) = f  (ξ 2 ) = ··· = f  (ξ n−1 ) = 0. n −2 (ξ 1 ; ξ 2 ), . . . , (ξ n−2 ; ξ n−1 ) f  (x) = 0 n − 2 (a; b). k f (k) (x) = 0 n − k (a; b). f(x) [a; b] (a; b) f  (x) = 0 n −1 (a; b) f(x) = 0 n f(x) = 0 n (a; b) n + 1 1.1 f  (x) = 0 n (a; b) f(x) = 0 n (a; b) f(x) f(x) n (n ≥ 1) [a; b]. f(x) n + 1 (a; b). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(a) = f  (a) = ··· = f (n) (a) = 0, f(b) = 0. b 1 , b 2 , . . . , b n+1 (a; b) f (k) (b k ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1. f(a) = f(b) = 0, b 1 ∈ (a; b) f  (b 1 ) = 0, f  (a) = 0, b 2 ∈ (a; b 1 ) ⊂ (a; b) f  (b 2 ) = 0. f  (a) = 0 f  (b 3 ) = 0 b 3 ∈ (a; b 2 ) ⊂ (a; b). n b n ∈ (a; b n−1 ) ⊂ (a; b) f (n) (b n ) = 0, f (n) (a) = 0, b n+1 ∈ (a; b n ) ⊂ (a; b) f (n+1) (b n+1 ) = 0. b 1 , b 2 , . . . , b n+1 (a; b) f (k) (b k ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1. f [a; b] (a; b). c ∈ (a; b) f(b) − f(a) = f  (c)(b − a). F (x) = f(x) − λx, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Chữỡng 3 Mởt số ựng dửng nh lỵ Rolle trong Ôi số 3.1 Chựng minh sỹ tỗn tÔi v biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh  chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa phữỡng trẳnh, ta cõ th sỷ dửng cĂc nh lỵ sau l dÔng phĂt biu khĂc cừa ng lỵ Rolle (xem [4]-[9]) nh lỵ 3.1 Cho hm số y = f (x) liản tửc trản oÔn [a; b] v F (x) l mởt nguyản hm cừa f (x) trong oÔn õ Náu tỗn tÔi cĂc số thỹc x1 , x2 [a; b]... minh Suy trỹc tiáp tứ nh lỵ 2.3 Vã sau ta ch xt cĂc hm lỗi (lóm) khÊ vi, tực l cĂc hm số khÊ vi bêc hai cõ Ôo hm cĐp 2 khổng ời dĐu trong I(a; b) Hằ quÊ 2.1 Náu hm số y = f (x) lỗi hoc lóm trản I(a; b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = 0 cõ khổng quĂ hai nghiằm thuởc I(a; b) Chựng minh Thêt vêy, giÊ sỷ hm số y = f (x) lỗi hoc lóm trản I(a; b), tực f (x) > 0 hoc f (x) < 0 trản I(a; b) Khi õ hm số f (x) luổn... nghắa 2.2 i) Hm số f (x) ữủc gồi l hm lỗi trản têp I(a; b) R náu vợi mồi x1, x2 I(a; b) v vợi mồi cp số dữỡng , cõ tờng + = 1, ta ãu cõ f (x1 + x2 ) f (x1 ) + f (x2 ) (2.1) Náu dĐu ng thực trong (2.1) xÊy ra khi v ch khi x1 = x2 thẳ ta nõi f (x) l hm lỗi thỹc sỹ (cht) trản I(a; b) ii) Hm số f (x) ữủc gồi l hm lóm trản têp I(a; b) R náu vợi mồi x1, x2 I(a; b) v vợi mồi cp số dữỡng , cõ tờng... thực (1.1) ữủc gồi l cổng thực số gia hỳu hÔn Lagrange Nhên xt 1.2 1) Ta  thu ữủc nh lỵ Lagrange nhữ l mởt hằ quÊ cừa nh lỵ Rolle Thá những chẵnh nh lỵ Rolle (vã dÔng cừa biu thực) lÔi l mởt trữớng hủp riảng cừa nh lỵ Lagrange (ựng vợi giÊ thiát f (a) = f (b)) 2) ị nghắa hẳnh hồc: Náu hm f (x) thoÊ mÂn Ưy ừ cĂc iãu kiằn cừa nh lỵ Lagrange thẳ trản ỗ th cừa hm số y = f (x) phÊi tỗn tÔi ẵt... biát ữủc khi no thẳ mởt hm số khÊ vi cho trữợc trản khoÊng (a; b) l mởt hm ỡn iằu trản khoÊng õ Sau Ơy chúng ta s dũng nh lỵ Lagrange  chựng minh nh lỵ vã iãu kiằn ừ cừa tẵnh ỡn iằu cừa hm số Ơy l mởt nh lỵ rĐt quan trồng trong chữỡng trẳnh giÊi tẵch lợp 12- THPT nh lỵ 2.1 Cho hm số y = f (x) cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) i) Náu f (x) > 0 vợi mồi x (a; b) thẳ hm số y = f (x) ỗng bián trản... dÔng nh lỵ tữỡng ữỡng sau Ơy nh lỵ 3.2 GiÊ sỷ hm số y = f (x) liản tửc trản oÔn [a; b] Náu tỗn tÔi cĂc số thỹc x1, x2 [a; b] m xx f (x) = 0 cõ nghiằm trong oÔn [x1 ; x2 ] 2 1 f (x)dx = 0 thẳ phữỡng trẳnh K thuêt cỡ bÊn cừa dÔng toĂn ny l chồn hm số thoÊ mÂn iãu kiằn cừa cĂc nh lỵ dỹa trản giÊ thiát cừa bi toĂn Chúng tổi lỹa chồn giợi thiằu mởt số bi toĂn trong cĂc ký thi quốc gia v quốc tá  minh... CĂch 1 Xt hm số f (x) = m a 2 xm+2 + m b 1 xm+1 + m xm + + Ró rng hm số f (x) liản tửc v cõ Ôo hm trản R Ta cõ f (x) = axm+1 + bxm + cxm1 v f (0) = 0 f (1) = a b c + + = 0 m+2 m+1 m Theo nh lỵ Rolle, x0 (0; 1) sao cho f (x0 ) = 0, tực l axm+1 + bxm + cxm1 = 0 0 0 0 xm1 (ax2 + bx0 + c) = 0 0 0 ax2 + bx0 + c = 0 0 Vêy phữỡng trẳnh ax2 + bx + c = 0 cõ nghiằm thuởc khoÊng (0; 1) Xt hm số f (x) = ax2... 1 2 3 f (x) = S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Dạ thĐy f (0) = f (1) = f (2) = 0 Theo nh lỵ Rolle, x1 (0; 1) v x2 (1; 2) sao cho f (x1 ) = f (x2 ) Do f (x) cụng l hm liản tửc trản R nản tiáp tửc Ăp dửng nh lỵ Rolle cho hm số f (x) trản [x1 ; x2 ] : (x1 ; x2 ) (0; 2) sao cho f () = 0 iãu õ cõ nghắa l nghiằm cừa phữỡng trẳnh 105 4 230 3 x x + 3x2 +... quốc - 1994) Cho hm số f (x) liản tửc v cõ Ôo hm trản khoÊng (0; +) v khổng phÊi l hm hơng Cho hai số thỹc a, b thoÊ mÂn iãu kiằn 0 < a < b Chựng minh rơng phữỡng trẳnh af (b) bf (a) x.f (x) f (x) = ba cõ ẵt nhĐt 1 nghiằm trong khoÊng (a; b) GiÊi f (x) 1 v h(x) = x x Do f (x) liản tửc v cõ Ôo hm trản (0; +) nản cĂc hm số g(x) v h(x) khÊ vi trản khoÊng (a; b) v ta cõ Xt hai hm số g(x) = g (x) =... hm số Tẵnh chĐt ỗng bián, nghch bián v tẵnh lỗi, lóm cừa hm số l nhỳng vĐn ã cỡ bÊn trong chữỡng trẳnh toĂn THPT nh lỵ Lagrange õng mởt vai trỏ quan trồng trong viằc chựng minh cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt cỡ bÊn trong chữỡng trẳnh Ngoi ra, trong chữỡng ny, chúng tổi cụng ã cêp án khĂi niằm ở gƯn ãu v sưp thự tỹ cĂc tam giĂc, m dỹa vo cĂc tẵnh chĐt cừa nõ ta cõ ữủc cĂch giÊi rĐt thú v ối vợi mởt số . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm. http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm. http://www.lrc-tnu.edu.vn f [a, b] g(x) (a, b) f [a; b] x ∈ (a; b) f(a) = f(b) c ∈ (a; b) f  (c) = 0 f [a; b] f [a; b] Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x 1 , x 2 ∈ (a; b) f(x 1 )