Đang tải... (xem toàn văn)
ôn tập học sinh giỏi môn toán,
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: 123 an = a.a a ; n am.an = am+n ; (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( )n = am : an = am –n ( a ≠ 0, m ≥ n) a b an (b ≠ 0) bn Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an c c c b) Tính tổng : A = a a + a a + + a a với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k 2 n −1 n HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an ⇒ aS = a + a2 +… + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – ⇒ ( a – 1) S = an+1 – Nếu a = ⇒ S = n a n +1 − Nếu a khác , suy S = a −1 c c 1 = ( − ) với b – a = k b) Áp dụng a.b k a b c 1 c 1 c 1 Ta có : A = k ( a − a ) + k ( a − a ) + + k ( a − a ) 2 n −1 n c 1 c 1 1 1 = k ( a − a + a − a + + a − a ) 2 n −1 n = k (a − a ) n Bài : a) Tính tổng : + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Trang Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = ( b) B = HD : A = Bài 4: 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.492 ( 125.7 ) + 59.143 −9 ;B= 28 1, Tính: 1 + − 2003 2004 2005 P= 5 + − 2003 2004 2005 − 2 + − 2002 2003 2004 3 + − 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3 0,375 − 0,3 + + 1,5 + − 0,75 11 12 : 1890 + 115 A= + Bài 5: a) TÝnh 2,5 + − 1,25 − 0,625 + 0,5 − − 2005 11 12 1 1 1 b) Cho B = + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B < 5 13 − − 10 230 + 46 27 6 25 Bài 6: a) Tính : 10 2 1 + : 12 − 14 7 10 1 1 + + + + b) TÝnh P = 2011 2010 2009 2012 + + + + 2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 +1+ + + + − 2011 2011 2012 2012 1 1 = 2012 + + + − 2011 = 2012( + + + + ) 2011 2012 1 1 1 (1 + + + + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6) c) 2 9 A= − + − + + 99 − 100 ⇒ MS = + Bài 7: a) Tính giá trị biểu thức: Trang 11 2 1 31 − 15 − 19 14 31 −1 A= 1 1 93 50 + 12 − 1 1 > b) Chøng tá r»ng: B = − − − − − 2 3 2004 2004 Bi 8: a) Tính giá trị biÓu thøc: 81,624 : − 4,505 + 125 A= 2 11 13 : 0,88 + 3,53 − (2,75) : 25 25 b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Chuyên đề 2: Bài toán tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : a c = ⇔ a.d = b.c b d a c e a c e a±b±e -Nếu b = d = f b = d = f = b ± d ± f với gt tỉ số dều có nghĩa a c e - Có b = d = f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk - Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b a c HD: Từ = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b Bài 2: Cho a,b,c ∈ R a,b,c ≠ thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a + 2012b) = c (b + 2012c ) Bài 1: Cho HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Trang a (a + 2012b) Suy : = c (b + 2012c ) Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu a c 5a + 3b 5c + 3d = = th× b d 5a − 3b 5c − 3d a c = = k ⇒ a = kb, c = kd b d 5a + 3b b(5k + 3) 5k + 5c + 3d d (5k + 3) 5k + = = = = Suy : 5a − 3b b(5k − 3) 5k − 5c − 3d d (5k − 3) 5k − 5a + 3b 5c + 3d = Vậy 5a − 3b 5c − 3d HD : Đặt a + b ab với a,b,c, d ≠ Chứng minh : = c + d cd a c a d = = b d b c a +b a + b ab 2ab a + 2ab + b ( a + b) =( ) (1) = = HD : Ta có 2 = = 2 (c + d ) c+d c +d cd 2cd c + 2cd + d Bài 4: BiÕt a −b a + b ab 2ab a − 2ab + b ( a − b) = =( ) (2) = = = 2 2 (c − d ) c−d c +d cd 2cd c − 2cd + d a +b a −b c + d = c − d a+b a −b ) =( ) ⇒ Từ (1) (2) suy : ( c+d c−d a +b = b−a c + d d − c Xét TH đến đpcm a c = Chøng minh r»ng: b d 2 ab a − b vµ a + b = a2 + b = cd c − d c +d c+d a c HD : Xuất phát từ = biến đổi theo b d ab a − b a c a + b a +b = = = = =( ) hướng làm xuất 2 cd c − d b d c +d c+d Bài : Cho tØ lÖ thøc Bài : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a TÝnh M = + + + c+d d +a a+b b+c 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = HD : Từ a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d Suy : −1 = −1 = −1 = −1 a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d ⇒ = = = a b c d Nếu a + b + c + d = ⇒ a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) Trang ⇒ M = a+b b+c c+d d +a = -4 + + + c+d d +a a+b b+c Nếu a + b + c + d ≠ ⇒ a = b = c = d ⇒ M = a+b b+c c+d d +a + + + =4 c+d d +a a+b b+c Bài : a) Chøng minh r»ng: x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c = = Th× x + y + z 2x + y − z 4x − y + z NÕu b) Cho: a b c = = b c d Chøng minh: a + b + c = a d b+c+d a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c x y z = = ⇒ = = HD : a) Từ x y z a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a + 2b + c 2(2a + b − c) 4a − 4b + c a = = = ⇒ (1) x 2y z x + 2y + z 2( a + 2b + c) (2a + b − c) 4a − 4b + c b = = = (2) 2x y z 2x + y + z 4( a + 2b + c) 4(2a + b − c ) 4a − 4b + c c = = = (3) 4x 4y z 4x − y + z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy : x + y + z = x + y − z = x − y + z x y z t Bài 8: Cho y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z chøng minh r»ng biÓu thøc sau có giá trị nguyên x+ y y+ z z+t t + x + + + z+t t + x x+ y y+ z x y z t y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z HD Từ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z ⇒ x = y = z = t y + z +t z+t + x t+x+ y x+ y+z +1 = +1 = +1 = +1 ⇒ x y z t x+ y+ z +t z +t + x+ y t + x+ y + z x+ y + z +t = = = ⇒ x y z t P= Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t ≠ x = y = z = t ⇒ P = y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z x y z Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y z x Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính Trang T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: x 2010 + y 2010 + z 2010 + t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 = + + + a + b2 + c2 + d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 = ; = ; = b 22 d 13 f 17 a b c = = c) Cho số a, b, c thỏa mãn : 2009 2010 2011 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a TÝnh M = + + + c+d d +a a+b b+c Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y = = Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y + 7y − − 5y 2y + 5y − − 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x − 5x −x 5x − 12 5x − 12 2y 2y => với y = thay vào không thỏa mãn = −x x − 12 Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta đợc: 1+ 3y y = = y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 12 −2 15 −1 VËy x = 2, y = thoả mÃn đề 15 Bi : Cho a b c = = a + b + c ≠ 0; a = 2012 b c a Tính b, c a b c a+b+c = ⇒ a = b = c = 2012 HD : từ = = = b c a a+b+c Bài : Tìm số x,y,z biết : Trang y + x +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y + x + x + z + x + y − 2( x + y + z ) = = = =2= (vì x+y+z ≠ 0) x y z (x + y + z) x+ y+z Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x + y + y + y 2(1 + y ) − (1 + y ) + y + + y − (1 + y) = = = = HD : Từ 18 24 6x 2.18 − 24 18 + 24 − x 1 Suy : = ⇒ x = 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: z + y + = x + z + = x + y − = x + y + z (x, y, z ≠ ) x y z x+ y+z HD : Từ z + y + = x + z + = x + y − = x + y + z = 2( x + y + z ) = 1 1 Từ x + y + z = ⇒ x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 2 2 Bài : Tìm x, biết rằng: ban đầu để tìm x 3x y 3z = = vµ x + y − z = 64 216 2x +1 y − 2x + y − = = Bài : Tìm x , y biết : 7x Bài : T×m x, y, z biÕt Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế A, A ≥ - Tính chất giá trị tuyệt đối : A ≥ với A ; A = − A, A < - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A + B ≥ A + B dấu ‘=’ xẩy AB ≥ 0; A − B ≥ A − B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A ≥ m A ≤ m A ≥m⇔ (m > 0) ; A ≤ m ⇔ (hay − m ≤ A ≤ m) với m > A ≤ −m A ≥ −m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n ≥ với A ; - A2n ≤ với A Am = An ⇔ m = n; An = Bn ⇒ A = B (nếu n lẻ ) A = ± B ( n chẵn) 0< A < B ⇔ An < Bn ; Trang Bài tập vận dụng Dạng 1: Các tốn Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b) x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 ⇒ x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 ⇒ x 2011.2012 2.2013 = 2012.2013 ⇒ x = 2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ ⇒ x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 ( x − 2012) + 2011 ( x − 2012) + 2010 ( x − 2012) + 2009 ( x − 2012) + 2008 + + = 2011 2010 2009 2008 x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 + + − = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ ( x − 2012)( + + − ) = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ x = −2 : ( + + − ) + 2012 2011 2010 2009 2008 ⇒ Bài Tìm x nguyên biết 1 1 49 a) 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2 x − 1)(2 x + 1) = 99 b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = 91006 − Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối • Dạng : x + a = x + b x + a ± x + b = x + c Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ không, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) x − 2011 = x − 2012 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 HD : a) x − 2011 = x − 2012 (1) VT = x − 2011 ≥ 0, ∀x nên VP = x – 2012 ≥ ⇒ x ≥ 2012 (*) Trang x − 2011 = x − 2012 2011 = 2012(vôly ) ⇒ Từ (1) ⇒ x − 2011 = 2012 − x x = (2011 + 2012) : Kết hợp (*) ⇒ x = 4023:2 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 (1) Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒ x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x ≥ 2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt x − + x + = b) T×m x biÕt: x + x − = x + c) T×m x biÕt: x + − x = Bi : a)Tìm giá trị x để: x + + x + = 3x b) Tìm x biết: x − − x = − x Bài : tìm x biết : a) x − ≤ b) x − 2011 ≥ 2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : x − + x − + x − + x − = b) Tìm x biết : x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = HD : a) ta có x − + x − + x − + x − ≥ x − + − x + x − + − x = (1) Mà x − + x − + x − + x − = suy ( 1) xẩy dấu “=” 1 ≤ x ≤ ⇒ ≤ x ≤ x nguyên nên x ∈ {3;4;5} 3 ≤ x ≤ Hay b) ta có x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 ≥ x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 ≥ (*) Mà x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = nên (*) xẩy dấu “=” x − 2012 = ⇒ x = 2012 2010 ≤ x ≤ 2014 Suy ra: Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : x − + x − + + x − 100 = 2500 Bài : Tìm x biết x + + x + + + x + 100 = 605 x Bài : Tìm x, y thoả mÃn: x + x − + y − + x − = Bài : Tìm x, y biết : x − 2006 y + x − 2012 ≤ HD : ta có x − 2006 y ≥ với x,y x − 2012 ≥ với x Suy : x − 2006 y + x − 2012 ≥ với x,y mà x − 2006 y + x − 2012 ≤ x − y = ⇒ x − 2006 y + x − 2012 = ⇒ ⇒ x = 2012, y = x − 2012 = Bi : Tìm số nguyên x thoả mÃn 2004 = x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 Trang Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 ⇒ 5x ( 1+ 52) = 650 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 ⇒ 3x -1(1 + 5) = 162 ⇒ 3x – = 27 ⇒ x = Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22 x y = x ⇒ x −1 = y − x HD : a) = 12 x +1 ⇒ x – = y-x = ⇒ x = y = Nhận thấy : ( 2, 3) = b) 10x : 5y = 20y ⇒ 10x = 102y ⇒ x = 2y x+1 y x ⇒ Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n ⇒ 2m + n – 2m – 2n = ⇒ 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 2n − = ⇒ (2m -1)(2n – 1) = ⇒ m ⇒ m = n =1 2 − = m n ⇒ 2n ( 2m – n - 1) = 28 b) – = 256 Dễ thấy m ≠ n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n = ⇒ n = , m = + Nếu m – n ≥ 2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết : ( x − ) HD : ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 ( x +1) x +11 x +1 − ( x − 7) x +11 =0 =0 1 − ( x − ) 10 = 1 − ( x − ) 10 = x−7 x+1=0 ÷ ⇔ 1−( x−7)10 =0 ⇔ x−7=0⇒ x =7 x =8 10 ( x−7) =1⇒ x =6 2012 Bài : Tìm x, y biết : x − 2011y + ( y − 1) = HD : ta có x − 2011y ≥ với x,y (y – 1)2012 ≥ với y 2012 2012 Suy : x − 2011y + ( y − 1) ≥ với x,y Mà x − 2011y + ( y − 1) = x − 2011y = ⇒ ⇒ x = 2011, y = y −1 = Các tập tương tự : Trang 10 Bài : Chứng tỏ rằng: 2004 A = 75 (4 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100 Bài : Cho m, n ∈ N* p số nguyên tố thoả mãn: m+n p = p (1) m −1 Chứng minh : p2 = n + ( HD : + Nếu m + n chia hết cho p ⇒ p Mm − 1) p số nguyên tố m, n ∈ N* ⇒ m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) ⇒ (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n ∈ N* ⇒ m – = p2 m + n =1 ⇔ m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + Bài 4: a) Sè A = 101998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? b) Chøng minh r»ng: A = 3638 + 4133 chia hÕt cho HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : A = 101998 − = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k ∈ N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q ∈ N*) Suy : A = 3638 + 4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) M Bài : a) Chøng minh r»ng: 3n + − 2n + + 3n + 2n chia hết cho 30 với n nguyên dơng b) Chứng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c ∈ Z) Bài : a) Chøng minh r»ng: 3a + 2b 17 ⇔ 10a + b 17 (a, b ∈ Z ) b) Cho ®a thøc f ( x) = ax + bx + c (a, b, c nguyªn) CMR nÕu f(x) chia hÕt cho víi mäi giá trị x a, b, c chia hÕt cho 17 17 17 17 HD a) ta có 17a – 34 b M 3a + 2b M ⇒ 17a − 34b + 3a + 2b M ⇔ 2(10a − 16b)M ⇔ 10a − 16bM (2, 7) = ⇔ 10a + 17b − 16bM ⇔ 10a + bM 17 17 17 3 b) Ta có f(0) = c f(0) M ⇒ c M f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết 3 cho ⇒ 2bM ⇒ bM ( 2, 3) = 3 f(1) M ⇒ a + b + c M b c chia hết cho ⇒ a M Vậy a, b, c chia hết cho 102006 + 53 Bài : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2n + số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n hợp số HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho v 2n + số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số Trang 16 Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chøng tá r»ng: M = HD : Ta có M = a b c + + không số nguyªn a+b b+c c+a a b c a b c a +b+c + + > + + = =1 a +b b+c c+a a +b+c c+a +b a+b+c a +b+c ⇒ M >1 Mặt khác M = 3−( a b c (a + b) − b (b + c) − c (c + a ) − a + + = + + a+b b+c c+a a +b b+c c+a b c a + + ) = – N Do N >1 nên M < a+b b+c c+a Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : a + b ≥ ab (1) , a + b + c ≥ 3 abc (2) với a, b, c ≥ HD : a + b ≥ ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a b a a) (a + b)( + ) ≥ (1) a b c b) (a + b + c)( + + ) ≥ (2) b HD : a) Cách : Từ (a + b)( + ) ≥ ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) suy (1) 1 1 ⇒ (a + b)( + ) ≥ ab =4 Cách 2: Ta có a + b ≥ ab a + b ≥ a b ab ab Dấu “ =” xẩy a = b Trang 17 a b c b) Ta có : (a + b + c)( + + ) = + Lại có b+c a+c a+b a b b c a c + + = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c b a c b c a a b b c a c + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ b a c b c a a b c Suy (a + b + c)( + + ) ≥ + + + = Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bi : a) Cho z, y, z sè d¬ng Chøng minh r»ng: x y z + + ≤ 2x + y + z y + z + x 2z + x + y b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab + bc + ca ≤ HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab + bc + ca ≤ Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 ⇒ a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 ⇒ - a + b – c + d = 50 P( 0) = ⇒ d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3) ≤ BiÕt r»ng 13a + b + 2c = HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c ⇒ f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 ≤ Bài Cho ®a thøc f ( x) = ax + bx + c víi a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên ⇒ c , a + b + c 4a + 2b + c nguên ⇒ a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên ⇒ 2a , 2b nguyên Bài Chøng minh r»ng: f(x) = ax + bx + cx + d cã giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x ⇒ d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên ⇒ a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên ⇒ 2b nguyên ⇒ 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc: A(x) = (3 − x + x ) 2004 (3 + x + x ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Trang 18 Bài : Cho x = 2011 TÝnh giá trị biểu thức: 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − HD : Đặt A = x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − x 2010 ( x − 2011) − x 2009 ( x − 2011) − x 2008 ( x − 2011) + − x( x − 2011) + x − ⇒ x = 2012 A = 2011 x 2011 Chuyên đề Các toán thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y y y y n y = k.x ⇔ x = x = x = = x = k ( k hệ số tỉ lệ ) n - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a ⇔ x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = = xn yn = a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng tốn - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh Bi : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bi : Trên quÃng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quÃng đờng ngời tới lúc gặp ? Bi : Ba đội cơng nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ Trang 19 người suất công nhân Hỏi đội có công nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc tơ ? PHẦN HÌNH HỌC I Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Trang 20 Bài : Cho tam gi¸c ABC cã  < 90 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Chứng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) · · ⇒ Cần CM : DAC = BAE · · · Có : BAE = 900 + BAC = DAC * Gọi I giao điểm AB CD µ µ Để CM : DC ⊥ BE cần CM I + B1 = 900 µ µ µ ¶ Có I1 = I ( Hai góc đối đỉnh) I1 + D1 = 900 µ ¶ ⇒ Cần CM B1 = D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải · · · · · a) Ta có BAE = 90 + BAC = DAC ⇒ DAC = BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) ⇒ DC = BE b) Gọi I giao im ca AB v CD à ả ¶ Ta có I1 = I ( Hai góc đối đỉnh) , I1 + D1 = 900 ( ∆ ADI vng A) B1 = D1 ( µ µ ∆ABE = ∆ ADC) ⇒ I + B1 = 900 ⇒ DC ⊥ BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC ⊥ BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vng cân , Từ B kẻ BK ⊥ CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Bài 1: Cho tam gi¸c ABC cã  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B k BK ⊥ CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC ⊥ BE mà BK ⊥ CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA ⊥ BC từ ta có tốn 1.2 Bi 1.2: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc b»ng AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA ⊥ BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA ⊥ BC ⇒ ta cần CM ∆AHC vuông H ⇒ Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác vuông ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ ⊥ AM Q ⇒ Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇑ Trang 21 ¶ · ACB , BAC = · CM: ND = AC , N1 = · ADN ⇑ CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) ⇑ Có AD = AB (gt) · Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC = · ADN + Để CM ND = AE ⇑ CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) · + Để CM BAC = · ADN ⇑ · · · EAD + · ADN = 1800 EAD + BAC = 1800 ⇑ CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ ⊥ AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) : · · AM = MN ; MD = ME (gt) EMA = DMN ( hai góc đối đỉnh) ¶ · ⇒ DN = AE ( = AC) AE // DN N1 = MAE ( cặp góc so le ) · · · · ⇒ EAD + · ADN = 1800 ( cặp góc phía) mà EAD + BAC = 1800 ⇒ BAC = · ADN · Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN BAC = · ADN ( chứng minh ¶ ACB ) ⇒ ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ⇒ N1 = · ¶ · ACB Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , BAC = · ADN N1 = · ⇒ ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇒ ∆AHC vuông H hay MA ⊥ BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA ⊥ BC , ngược lại AH ⊥ BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: Kẻ DQ ⊥ AM Q, ER ⊥ AM R · · · Ta có : + DAQ = HBH ( Cùng phụ BAH ) AD = AB (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ DQ = AH (1) · · +· ACH = EAR ( phụ CAH ) AC = AE (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ER = AH ( 1) Từ (1) (2) ⇒ ER = DQ Trang 22 ¶ ¶ Lại có M = M ( hai góc đối đỉnh ) ⇒ ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) ⇒ MD = ME hay M trung điểm DE + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA ⊥ DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bi 1.4: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc b»ng AC Gọi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vng góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) · · ⇒ A’B = AC ( = AE) HAC = HA ' B · ⇒ AC // A’B ⇒ BAC + · ABA ' = 1800 ( cặp góc phía) · · · Mà DAE + BAC = 1800 ⇒ DAE = · ' ABA Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) · DAE = · ABA ' ⇒ ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) · · · ⇒ · ADE + BAA ' = 900 ⇒ · ADE + MDA = 900 ADE = BAA ' mà · Suy HA vng góc với DE Bài : Cho tam gi¸c cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đờng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC * Phõn tớch tìm lời giải a) Để cm DM = EN ⇑ Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) ⇑ µ µ Có BD = CE (gt) , D = E = 900 ( MD, NE ⊥ BC) Trang 23 · · BCA = CBA ( ∆ABC cân A) b) Để Cm Đờng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN ⇒ Cần cm IM = IN ⇑ Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ⇒ Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định ⇑ Cần cm OC ⊥ AC ⇑ · · Cần cm OAC = OCN = 900 ⇑ · · · · Cần cm : OBA = OCA OBM = OCM ⇑ Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại toán sau: Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chøng minh r»ng: a) I trung im ca MN b) Đờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi lời giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD ⊥ BC ( D ∈ BC) NE ⊥ BC ( E ∈ BC) Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI ⊥ BC b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI A ACK = 900 Để cm AI ⊥ BC ⇐ Cần cm µ1 + · A ACK = 900 Để cm µ1 + · Trang 24 ⇒ ⇑ · Có · AEK + EAK = 900 · A AEK · cần cm µ1 = · ACK = CAK ⇑ Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC ⇒ cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC) ⇑ So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI ≥ AK Lời giải : A AEK a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K ⇒ cần cm µ1 = · · · · A ACK = 900 ⇒ AI ⊥ BC ACK = CAK mà · AEK + EAK = 900 ⇒ µ1 + · b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI ≥ AK ⇒ DE ≥ BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vuông cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: a) EF + AH = AE · µ b) 2BME = · ACB − B c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà ∆ AHE = ∆ AHF (g-c-g) nên HF = EF + AH = AE µ µ Tõ ∆AEH = ∆AFH Suy E1 = F XÐt ∆CMF cã · ACB lµ gãc ngoµi suy µ ∆BME cã E lµ gãc ngoµi suy A EF; AF = AE Suy ra: · · µ µ µ vËy CMF + BME = ( · ACB − F ) + ( E1 − B ) · µ hay 2BME = à ACB B (đpcm) à CMF = · ACB − F · µ µ BME = E1 − B B E M H C D µ µ Từ ∆AHE = ∆AHF Suy AE = AF E1 = F = Từ C vẽ CD // AB ( D ∈ EF ) => ∆BME = ∆CMD ( g − c − g ) ⇒ BE F CD (1) µ · · µ Lại có: E1 = CDF (cặp góc đồng vị) Do CDF = F ⇒ ∆CDF cân ⇒ = CD ( 2) CF Từ (1) (2) suy BE = CF Trang 25 Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn *Phân tích tìm lời giải a) Để cm BE = CD ⇑ Cần cm ∆ ABE = ∆ ADC (c.g.c) D b) E Để cm M, A, N thẳng hàng ⇑ · · Cần cm BAN = BAM = 1800 ⇑ · · · · Có BAN + NAD = 1800 ⇒ Cần cm MAB = NAD · · Để cm MAB = NAD M k K ⇑ Cần cm ∆ ABM = ∆ ADN (c.g.c) c) Gọi giao điểm BC Ax ⇒ Để cm BH + CK ≤ BC ⇑ BH ≤ BI ; CK ≤ CI Cần cm N A I B C H Vì BI + IC = BC x d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN vu«ng gãc víi AH (M, N thc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM a) *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH ⇑ Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH ⇒ cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN ⇒ cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM ⇑ Trang 26 · · AEF = EFN ( cặp góc so le trong) Gọi I giao điểm AN EF · ⇒ để cm · AEF = EFN ⇑ Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vng A , ®êng cao AH, trung tun AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vÏ ®êng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chøng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE ⇒ để Cm Để cm : AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB ∆AFE = ∆ CAB ⇑ · · · AF = AC (2); AFC = BAC = 900 (1); EAF = · ACB (3) Cần cm · · + Để cm (1) : AFC = BAC = 900 ⇑ · Cm CI // AE có FI // AC BAC = 900 ⇒ Để Cm CI // AE ⇑ Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC ⇑ Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : · · EAF = · ACB ( phụ HAC ) *Khai thác toán : Từ ta thấy AH ≤ AM ⇒ HE ≤ AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vng cân Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đ ờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF Trang 27 c) AE = AB + AC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF ⇑ ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A ( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) b) Để cm BE = CF ⇒ cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC ⇒ ∆MBI = ∆CMF( c g c) ⇒ Để cm µ · · BE = CF ⇐ ∆ BEI cân B ⇐ E = BEI ⇐ Có BIE = · ABF ( cặp µ · góc đồng vị ) mà E = AFE ∆AEF cân A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF ⇒ AE = AB + AC hay AE = AB + AC Bài Cho tam gi¸c ABC cã gãc A khác 90 0, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ trung trùc cđa HE Gọi I, K lần l ợt giao điểm cđa DE víi AB vµ AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) TÝnh sè ®o góc AIC AKB ? *Phõn tich tỡm hng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân A ⇐ cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI ⊥ IB , BK ⊥ KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do · AHC = 900 nên HC tia phân giác ngồi đỉnh H Các tia phân giác góc đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB ⊥ IC , Chứng minh tượng tự ta có BK ⊥ KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Trang 28 Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng góc B khác 135 o Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vng góc với AB đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) · · ⇒ BQ = CH (1) MBQ = MCH · · ⇒ BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ, MCH cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) ⇒ PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm µ Bài 11 Cho tam giác ABC cân A có A = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam A giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC b) AM = BC 20 HD a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µ = 200 (gt) A 0 ABC = (180 − 20 ) : = 800 nên · M D Trang 29 B C · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy · ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên · ABM = 100 Xét tam giác ABM BAD có: · · AB cạnh chung ; BAM = · ABD = 200 ; · ABM = DAB = 100 Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH · b) DBK = 450 c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I Ta có : ·ABI = 900 , Cm ∆HBK = IBK ( cnh huyn cnh gúc vuụng) ả µ ¶ · ⇒ B3 = B4 mà B1 = B2 ⇒ DBK = 450 c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm · * Từ ta thấy DBK = 450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK · = ta cm DBK = 450 Ta cú bi toỏn sau : Bi 12.1 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi ∆APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 HD : Trang 30 ... (a + b )( + ) ≥ (1 ) a b c b) (a + b + c )( + + ) ≥ (2 ) b HD : a) Cách : Từ (a + b )( + ) ≥ ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ (a − b) ≥ (* ) Do (* ) suy (1 ) 1 1 ⇒ (a + b )( + ) ≥ ab =4 Cách 2: Ta có a + b ≥ ab a +... ( x − ) HD : ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 ( x + 1) x +11 x +1 − ( x − 7) x +11 =0 =0 1 − ( x − ) 10 = 1 − ( x − ) 10 = x? ?7 x+1=0 ÷ ⇔ 1? ?( x? ? 7) 10... + 17b − 16bM ⇔ 10a + bM 17 17 17 3 b) Ta có f( 0) = c f( 0) M ⇒ c M f( 1) - f(- 1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f( 1) f(- 1) chia hết 3 cho ⇒ 2bM ⇒ bM ( 2, 3) = 3 f( 1) M ⇒ a + b + c M b c chia