Bài 3. Đường tròn 21 BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN I. PHƯƠNG TRÌNH: 1. Dạng chính tắc: ( ) ( ) ( ) 22 2 : C x a y b R − + − = ⇒ Tâm I( a , b ) ; bán kính R . 2. Dạng khai triển: ( ) 2 2 : 2 2 0 C x y ax by c + − − + = ⇒ Tâm I( a , b ) ; bán kính 2 2 R a b c = + − với 2 2 0 a b c + − > II. TIẾP TUYẾN: 1. ( ) ( ) ( ) 22 2 : C x a y b R − + − = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( ) 0 0 0 , M x y C ∈ : ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x a x x y b y y − − + − − = 2. ( ) 2 2 : 2 2 0 C x y ax by c + − − + = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( ) 0 0 0 , M x y C ∈ : ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x x y y a x x b y y c + − + − + + = 3. ( ) : 0 D Ax By C + + = tiếp xúc (I, R ) ⇔ ( ) ( ) , d I D R = III. PHƯƠNG TÍCH: ( ) 2 2 : 2 2 0 C x y ax by c + − − + = ; Điểm M( m , n ) ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 0 : 2 2 0 : 0 : M M m n am bn c M C M C >    = + − − + <   = ∈  n»m ngoµi n»m trong P IV. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 : , 2 2 0 : , 2 2 0 C f x y x y a x b y c C g x y x y a x b y c  = + − − + =    = + − − + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 , , 2 2 0 M M f x y g x y a a x b b y c c C C = ⇔ = ⇔ − + − + − = P P V. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN A. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC 1. VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, − 1); B(3, 5) 2. VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C( − 1, 2) 3. VPT đường tròn đi qua A(2, 3); B( − 1, 1) và tâm ∈ 3 11 0 x y − − = 4. VPT đường tròn tâm I(1, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0 D x y − − = 5. VPT đường tròn đi qua A(1, 2) và tiếp xúc ( ) : 3 4 2 0 D x y − + = tại ( − 2, − 1) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 22 6. VPT đường tròn đi qua A(6, 3); B(3, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0 D x y + − = 7. VPT đường tròn tâm ∈ ( ) : 5 0 x y ∆ + − = ; 10 R = và tiếp xúc ( ) :3 3 0 D x y + − = 8. VPT đường tròn tâm I(3, 1) và cắt ( ) : 2 4 0 x y ∆ − + = một đoạn có độ dài = 4 9. Viết phương trình đường tròn tâm ∈ ( ) : 4 3 2 0 x y ∆ + − = và tiếp xúc với ( ) 1 : 4 0 D x y + + = và ( ) 2 : 7 4 0 D x y − + = 10. Viết phương trình đường tròn đi qua O(0, 0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 2 1 0; : 2 2 0 D x y D x y + − = − + = 11. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4, 2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 3 2 0; : 3 18 0 D x y D x y − − = − + = 12. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1, − 2) và các giao điểm của ( ) : 7 10 0 D x y − + = với ( ) 2 2 : 2 4 20 0 C x y x y + − + − = B. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) ( ) 2 2 : 2 4 0 : 1 0 C x y x y D x y  + − − =    + − =  2. ( ) ( ) 2 2 : 6 4 9 0 : 2 0 C x y x y D x y  + + + + =    − + =  3. ( ) ( ) 2 2 : 8 2 1 0 : 2 1 0 C x y x y D x y  + − − + =    − + =  C. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐƯỜNG TRÒN ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ( ) : , ( ) : , C I R C I R      1 2 d I I = ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( ),( ) : : : : R R d R R C C d R R d R R d R R d R R  − < < +   = +   = −   > +   < −   c¾t nhau tiÕp xóc ngoµi tiÕp xóc trong ngoµi nhau trong nhau 1. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 6 4 0 ( ) : 10 14 70 0 C x y x y C x y x y  + − − + =    + − − + =  2. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 6 15 0 ( ) : 6 2 3 0 C x y x y C x y x y  + − − − =    + − − − =  3. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 6 10 24 0 ( ) : 6 4 12 0 C x y x y C x y x y  + + − + =    + − − − =  4. 2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 4 5 0 ( ) : 5 4 0 C x y x y C x y x y  + + − − =    + − − + =  Bài 3. Đường tròn 23 D. QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN 1. ( ) 2 2 : 4 2 2 3 0 m C x y mx my m + + − + + = 2. ( ) 2 2 2 : 2 e 4e 1 e 0 m m m m C x y x y − − + − + − + = 3. ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 cos 2 2 sin 1 0 C x y x y α α α + − − − + = 4. ( ) ( ) ( ) 2 2 : 2 1 cos 2 1 sin sin 2 0 C x y x y α α α α + − + + − + − = E. ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH 1. ( ) ( ) : 1 cos 1 sin 4 0 D x y α α α − + − − = 2. : cos sin 2 cos 1 0 D x y α α α α + + + = 3. : sin cos 3sin 2 cos 6 0 D x y α α α α α − + + − = 4. : cos sin 2 cos sin 9 0 D x y α α α α α + − − − = 5. 2 : cos 2 sin 2 cos 3 0 D x y α α α α − + − = F. TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2 : 4 4 5 0 C x y x y + − − − = với O x . 2. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2 : 7 0 C x y x y + − − = với 3 4 3 0 x y + − = 3. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2 : 2 8 1 0 C x y x y + − + + = // với 5 12 6 0 x y + − = 4. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2 : 6 2 5 0 C x y x y + − + + = // với 2 4 0 x y + + = 5. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2 : 6 2 5 0 C x y x y + − − + = ⊥ với 2 1 0 x y − − = 6. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2 : 6 2 0 C x y x y + − + = ⊥ với 3 6 0 x y − + = 7. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2 : 2 8 19 0 C x y x y + + − − = (45 ° ) với 2 1 0 x y − + = 8. VPT tiếp tuyến a. Đi qua A(1, − 1) đến: ( ) 2 2 : 4 6 4 0 C x y x y + − + + = b. Đi qua A( − 3, 3) đến: ( ) 2 2 : 7 0 C x y x y + − − = c . Đi qua A(1, 3) đến: ( ) 2 2 : 6 2 6 0 C x y x y + − + + = d. đi qua A(3, 4) đến: ( ) 2 2 : 4 2 0 C x y x y + − − = e. Đi qua A(5, 7) đến: ( ) 2 2 : 4 4 5 0 C x y x y + − − − = g. đi qua A(4, 7) đến: ( ) 2 2 : 2 4 0 C x y x y + + − = f. Đi qua A( − 3, − 1) đến: ( ) 2 2 : 4 3 0 C x y x y + − − = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 24 9. Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 2 1 2 2 8 13 0 m C x y m x m y m m + + − − − + − + = a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn. b. VPT tiếp tuyến đi qua A(1, 5) đến đường tròn (C 4 ) 10. VPT tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: 2 2 1 2 2 2 ( ) : 4 8 11 0 ( ) : 2 2 2 0 C x y x y C x y x y  + − − + =    + − − − =  2 2 1 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 ( ) : 6 2 9 0 C x y x y C x y x y  + − + − =    + − − + =  2 2 1 2 2 2 ( ) : 10 24 56 0 ( ) : 2 4 20 0 C x y x y C x y x y  + − + − =    + − − − =  2 2 1 2 2 2 ( ) : 6 5 0 ( ) : 12 6 44 0 C x y x C x y x y  + − + =    + − − + =  11. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 0; : 2 1 4 5 0 m C x y C x y m x my + − = + − + + − = a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn ( ) m C b. CMR: Có 2 đường tròn của họ ( ) m C tiếp xúc với (C). Viết PTTT chung khi đó. G. ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐƯỜNG TRÒN TRÒN CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 1. Cho 2 2 8 6 16 a b a b + = + + . Tìm Max, Min 4 3 S a b = + 2. Cho ( ) 2 2 1 2 a b a b + + = + và ( ) 2 2 36 12 c d c d + + = + . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 5 2 7 ` 5 2 7 a c b d − ≤ − + − ≤ + 3. Cho 2 2 1 a b + = và 6 c d + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 18 6 2 c d ac bd+ − − ≥ − 4. Tìm m để hệ sau có đúng 2 nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 x y m x y  + = +    + =  5. Tìm m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt 2 2 0 0 x my m x y x + − =    + − =   Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 x x y y − + − ≤ 6. Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 2 1 x y x y m  + =    + <  7. Tìm m để hệ có nhiều nghiệm nhất 2 2 1 1 1 x y x y m  − + + =    + =  Bài 3. Đường tròn 25 VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường thẳng ( ∆ ): 2 4 0 x y − + = một dây cung có độ dài bằng 4. Giải Giả sử (C) chắn trên ∆ một dây cung có độ dài bằng 4. Từ I kẻ IH ⊥ AB tại H thì H là trung điểm của AB. Khi đó: 1 2 2 HA AB = = và ( ) , 5 IH d I= ∆ = Gọi R là bán kính của (C) ta có: 2 2 5 4 3 R IH HA = + = + = Phương trình của (C) là: ( ) ( ) 22 3 1 9 x y − + − = Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(–1, 1) và có tâm nằm trên đường thẳng : 3 11 0 x y ∆ − − = . Giải Cách 1: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Ta có: Điểm ( ) ( ) 3 11; I I t t ∈ ∆ ⇒ + . Điểm ( ) 2 2 , A B C IA IB R IA IB ∈ ⇒ = = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 7 5 65 3 9 3 3 12 1 ; , 2 2 2 2 t t t t t I R⇔ + + − = + + − ⇔ = − ⇒ − = Phương trình của (C) là: ( ) ( ) 2 2 7 5 65 2 2 2 x y− + + = ⇔ 2 2 7 5 14 0 x y x y + − + − = Cách 2: Giả sử (C) : 2 2 2 2 0 x y ax by c + − − + = . Tâm của (C) là I( a ; b ) ∈ ( ∆ ) suy ra: 3 11 0 a b − − = (1). Ta có: ( ) ( ) ( ) 4 6 13 2 , 2 2 2 3 a b c A B C a b c − − + = −  ∈ ⇒  − + = −   Từ (1), (2), (3) ta có: 7 5 , , 14 2 2 a b c = = − = − . Vậy (C): 2 2 7 5 14 0 x y x y + − + − = Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có bán kính 10 R = . Giải Gọi ( ) ; I a b là tâm của (C). Từ giả thiết, ta có: 10 IA IB R= = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 2 3 0 10 5 10 b a IA IB a b a b a a IA a b   = +  = + − = − + −    ⇒ ⇔ ⇔    − − = =   + − =     I A B ( ∆ ) H Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 26 1 3 2 6 a a b b = − =   ⇔ ∨   = =   . Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 : 1 2 10; : 3 6 10 C x y C x y + + − = − + − = Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I ∈ ( ) : 5 0 x y ∆ + − = ; bán kính 10 R = và tiếp xúc với đường thẳng ( ) :3 3 0 d x y + − = Giải Tâm ( ) ( ) ;5 I I t t ∈ ∆ ⇒ − . Đường tròn (C) tiếp xúc với ( ) ( ) ( ) , d d I d R ⇔ = ( ) ( ) 4 4;1 2 2 10 1 5 6 6;11 10 t I t t t I  = ⇒ + ⇔ = ⇔ + = ⇔  = − ⇒ −  Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 : 4 1 10 ; : 6 11 10 C x y C x y − + − = + + − = Bài 5. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I ∈ ( ) :2 0 x y ∆ + = và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 7 10 0 d x y − + = tại điểm A(4; 2). Giải Cách 1: Ta có tâm ( ) ( ) ; 2 I I t t ∈ ∆ ⇒ − 2 5 20 IA t⇒ = + . Đường tròn (C) tiếp xúc với (d) tại A ( ) ( ) 2 3 2 , 5 20 2 t d I d IA t + ⇔ = ⇔ = + ( ) ( ) 2 2 3 2 2 5 20 t t⇔ + = + ( ) 2 12 36 0 6 6; 12 , 10 2 t t t I R⇔ − + = ⇔ = ⇒ − = Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( ) 22 6 12 200 x y− + + = Cách 2: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Gọi (d ′ ) là đường thẳng vuông góc với (d) tại A ( ) :7 0 d x y c ′ ⇒ + + = ( ) ( ) 30 :7 30 0 A d c d x y ′ ′ ∈ ⇒ = − ⇒ + − = Do (C) tiếp xúc với (d) tại A nên ( ) I d ′ ∈ Mặt khác ( ) I ∈ ∆ nên tọa độ I thỏa mãn hệ ( ) 7 30 0 6; 12 10 2 2 0 x y I IA x y + − =  ⇒ − ⇒ =  + =  Vậy phương trình của (C) là: ( ) ( ) 22 6 12 200 x y− + + = . I A ( ∆ ) (d) Bài 3. Đường tròn 27 Bài 6. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ( ) :3 4 31 0 x y ∆ − − = tại điểm A(1; –7). Giải Đường thẳng (d) ⊥ ( ∆ ) tại A(1; –7) có phương trình tham số (d): 1 3 7 4 x t y t = +   = − −  Do (C) tiếp xúc với ( ∆ ) tại A nên có tâm ( ) ( ) 1 3 , 7 4 I d I t t ∈ ⇒ + − − Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2, 3 25 , 5 1 5 1 4, 11 t I t d I R t t I  = − ⇒ = − − ∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔  = ⇒ −  Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 : 2 3 25 ; : 4 11 25 C x y C x y + + + = − + + = Bài 7. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 2 5 0 x y ∆ + − = tại điểm B(3; 1). Giải Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C); đường thẳng (d) ⊥ ( ∆ ) tại B(3;1) ( ) :2( 3) ( 1) 0 d x y ⇒ − − − = ⇔ ( ) : 2 5 0 d x y − − = Do (C) tiếp xúc với ( ∆ ) tại B nên tâm ( ) ( ) I I ; 2 5 d t t ∈ ⇒ − Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 6 9 2 3 6 2 4 IA IB IA IB t t t t t = ⇔ = ⇔ − + − = − + − ⇔ = ( ) I 4;3 ; 5 R IA⇒ = = . Phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( ) 22 4 3 5 x y − + − = . Bài 8. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I ∈ ( ) :4 3 2 0 x y ∆ + − = ; tiếp xúc với hai đường thẳng ( ) 1 : 4 0 d x y + + = và ( ) 2 :7 4 0 d x y − + = . Giải Phương trình tham số của ( ∆ ) là: 1 3 2 4 x t y t = − −   = +  Ta có: ( ) ( ) 1 3 ; 2 4 I I t t ∈ ∆ ⇒ − − + . Gọi R là bán kính của (C) (C) tiếp xúc với ( ) 1 d và ( ) 2 d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 , , d I d d I d R ⇔ = = ( ) ( ) 1 4;6 , 3 2 5 5 1 5 5 1 2 2 1 2;2 , 2 2 t I R t t t t t I R  = ⇒ − = + + ⇔ = ⇔ + = + ⇔   = − ⇒ =  Vậy ( ) ( ) ( ) 22 : 4 6 18 C x y + + − = hoặc ( ) ( ) ( ) 22 : 2 2 8 C x y − + + = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 28 Bài 9. Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(2; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B(6; 4) bằng 5. Giải Gọi I( a ; b ) và R lần lượt là tâm và bán kính của (C) Do (C) tiếp xúc với trục O x tại A nên ta có: ( ) 2 2; I A x x I b = = ⇒ và R b = Mặt khác: ( ) ( ) 2 2 2 5 25 6 2 4 25 IB IB b = ⇔ = ⇔ − + − = ( ) 2 4 9 b ⇔ − = ( ) ( ) 7 2;7 , 7 1 2;1 , 1 b I R b I R  = ⇒ = ⇔  = ⇒ =   . Vậy có hai đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 1 2 : 2 7 49; : 2 1 1 C x y C x y − + − = − + − = Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ( ) : 7 10 0 d x y − + = và đường tròn ( ) 2 2 : 2 4 20 0 C x y x y ′ + − + − = . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –2) và các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C'). Giải Đường tròn (C) qua giao điểm của (d) và (C') nên phương trình có dạng: ( ) 2 2 2 4 20 7 10 0 x y x y m x y + − + − + − + = ( ) ( ) 2 2 1 : 3 10 0 A C m C x y x y ∈ ⇒ = ⇒ + − − − = Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 : 12 4 36 0 C x y x y + − − + = . Viết phương trình đường tròn ( ) 1 C tiếp xúc với hai tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C). Giải Đường tròn (C) có tâm I(6; 2), bán kính R = 2. Gọi ( ) 1 ; I a b , 1 R lần lượt là tâm và bán kính của ( ) 1 C . ( ) 1 C tiếp xúc với hai trục Ox, Oy nên ta có: ( ) ( ) 1 1 1 , , d I Oy d I Ox R = = 1 1 1 , , a b R a a b R a b R a  = = ⇔ = = ⇔  = − =   ( ) 1 C tiếp xúc với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 6 2 2 1 C II R R II R R a b R⇔ = + ⇔ = + ⇔ − + − = + Trường hợp 1: 1 , a b R a = = Bài 3. Đường tròn 29 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 2 2 16 4 36 0 a a a a a a ⇔ − + − = + ⇔ − − + = 2 2 0 0 20 36 0 12 36 0 a a a a a a > <     ⇔ ∨   − + = − + =     : vô nghiệm ( ) ( ) 1 1 2 2 18 18;18 , 18 2 2; 2 , 2 a I R a I R  = ⇒ = ⇔  = ⇒ =   Trường hợp 2: 1 , a b R a = − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 6 2 2 8 4 36 0 a a a a a a ⇔ − + + = + ⇔ − − + = 2 2 0 0 12 36 0 4 36 0 a a a a a a > <     ⇔ ∨   − + = − + =     : vô nghiệm ( ) 1 1 6 6; 6 , 6 a I R ⇔ = ⇒ − = . Vậy có ba đường tròn cần tìm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 18 18 324; 2 2 4; 6 6 36 x y x y x y − + − = − + − = − + + = Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 7), B(4; –3), C(–4; 1). Hãy viết phương trình đường tròn (C) nội tiếp tam giác ABC. Giải Gọi I(a; b), R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Gọi M(x; y) là chân đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC. Ta có: 5 5 5 3 3 5 MB AB MB MC MC AC = = ⇒ = −   . Suy ra M chia đoạn BC theo tỉ số 5 3 k = − nên ta có tọa độ điểm M là: ( ) 1 1 1 : 1; 2 1 1 2 B C B C x kx x k M M y ky y k −  = = −   − ⇒ − −  −  = = −  −  I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên 2 2 IA BA IA IM IM BM = = ⇒ = −   Suy ra điểm I chia đoạn AM theo tỉ số 2 k = − ( ) 1 1 : 1;2 2 1 A M A M x kx x k I I y ky y k −  = = −   − ⇒ ⇒ −  −  = =  −  Phương trình cạnh (AB) là: ( ) ( ) 2 5 0 , 5 x y R d I AB+ − = ⇒ = = Phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( ) 22 1 2 5 x y + + − = . Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 30 Bài 13. Lập phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường tròn (C): ( ) ( ) 22 1 3 25 x y − + + = theo một dây cung có độ dài bằng 8. Giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5. Phương trình đường thẳng qua O là: ( ) 2 2 0 0 ax by a b + = + > Giả sử ( ) ∆ cắt (C) theo dây cung AB có độ dài bằng 8. Kẻ IH ⊥ ( ) ∆ tại H thì H là trung điểm của đoạn AB 4 2 AB HA ⇒ = = Tam giác IHA vuông tại H, ta có: 2 2 25 16 3 IH IA HA = − = − = . Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 , 3 3 9 4 3 0 a b d I IH a b a b a ab a b − ∆ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + = + 0 : 1 4 : 3, 4 3 A chon B B A chon A B = =   ⇔ = − = = −   . Suy ra: ( ) ( ) 1 2 : 0; : 3 4 0 y x y ∆ = ∆ − = . Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: 2 2 2 4 20 0 x y x y + + − − = và điểm A(3; 0). Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN sao cho a. MN có độ dài lớn nhất. b. MN có độ dài nhỏ nhất. Giải a. Đường tròn (C) có tâm I(–1,2), bán kính R = 5 Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của (C). Do đó ( ) ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, I. Phương trình của ( ) ∆ là: 3 2 3 0 1 3 2 y x x y − = ⇔ + − = − − b. Ta có: ( ) 4; 2 2 5 IA IA= − ⇒ =  Kẻ IH ⊥ MN tại H. Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất. Ta có: max 2 5 2 5 IH IA IH≤ = ⇒ = khi ( ) H A IA ≡ ⇒ ∆ ⊥ tại A ( ) ∆ qua A và nhận IA  làm vectơ pháp tuyến có phương trình: ( ) ( ) 4 3 2 0 0 2 6 0 x y x y − − − = ⇔ − − = I M N ( ∆ ) H A [...]...Bài 3 Bài 15 Trong m t ph ng t a ư ng tròn Oxy cho ư ng tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 4 = 0 Vi t PT ư ng th ng ( ∆ ) // ( d ) : 3x + 4 y − 7 = 0 và chia ư ng tròn (C) thành hai cung mà t s dài b ng 2 m Gi i ư ng tròn (C) có tâm I (1; −2 ) và bán kính R = 1 I ( ∆ ) // ( d ) ⇒ ( ∆ ) : 3 x + 4 y + c = 0 ( c ≠ −7 ) Gi s (d) ( ∆ ) chia hai ư ng tròn (C) A B H thành hai cung AmB và AnB... ∆ 2 ) : 3 x + 4 y + 5 = 0 2 2 Bài 16 Trong m t ph ng t a Oxy cho ư ng tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 4 = 0 có tâm I và i m M(–1; –3) Vi t phương trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (C) t i hai i m phân bi t A và b sao cho tam giác IAB có di n tích l n nh t Gi i ư ng tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3 I Phương trình ư ng th ng (d) qua M có d ng: a ( x + 1) + b ( y + 3) =... tìm là: ( d 1 ) : x + y + 4 = 0; ( d 2 ) :7 x + y + 10 = 0 31 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương VII TI P TUY N CHUNG C A HAI 2 2 Cho ( C1 ) : ( x − a1 ) + ( y − b1 ) = R12 Ư NG TRÒN 2 2 2 và ( C 2 ) : ( x − a 2 ) + ( y − b2 ) = R2 Vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng tròn (C1) và (C2) 1 PHƯƠNG PHÁP T NG QUÁT: (C1) có tâm I1 ( a1 ; b1 ) bán kính R1 và (C 2) có tâm I 2 ( a 2 ; b2 )... xác Ta có: nh t a i m J, K: KI1 R1 JI1 R R = = ⇒ KI1 = − 1 KI 2 ; JI1 = 1 JI 2 ⇒ T a KI 2 R2 JI 2 R2 R2 2 i m J, K Phương trình ti p tuy n chung c a (C1) và (C2) là phương trình ti p tuy n i qua J, K c a (C1), (C2) Sau khi tìm ư c t a theo phương pháp sau: Cách 1: c a J và K, ta vi t phương trình ti p tuy n chung ư ng th ng i qua J là (∆): A ( x − x J ) + B ( y − y J ) = 0 ti p xúc v i (C 1) ⇔ d (... Bài 3 ư ng tròn Xét C = − 9 A : T h th c (1) ta suy ra: 4 − 3 A = A 2 + B 2 ⇔ 9 A 2 = A 2 + B 2 ⇔ 7 A 2 + B 2 = 0 ⇔ A = B = 0 ⇒ vô lý 4 16 16 V y (C1) và (C2) có 2 ư ng ti p tuy n chung là: ( d1 ) : 2 x − 5 y − 9 = 0 và ( d 2 ) : 2 x + 5 y − 9 = 0 2 PHƯƠNG PHÁP TI P I M: Gi s ti p tuy n chung ti p xúc v i (C1) t i M ( x0 , y 0 ) ∈ ( C1 ) , khi ó ( x0 − a1 ) 2 + ( y0 − b1 ) 2 = R12 (1) và phương trình... M ( x0 , y 0 ) ⇒ Phương trình ti p tuy n Ví d : Cho ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4 và ( C 2 ) : x 2 + y 2 − 2 x − 2 y + 1 = 0 Vi t phương trình ti p tuy n chung c a (C1) và (C 2) Gi i: (C1) có tâm I1 ≡ O ( 0; 0 ) bán kính R1 = 2; ( C 2 ) : ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 1 có tâm I 2 (1;1) bán kính R2 = 1 2 2 Gi s ti p tuy n chung ti p xúc v i (C1) t i M ( x0 , y 0 ) , khi ó x0 + y 0 = 4 (1) và phương trình ti p... = 2  y 0 = 2 − x0    x0 = 2; y 0 = 0 2 2 K t h p v i x0 + y 0 = 4 ⇒  ⇒ 2 ti p tuy n chung là: x = 2 và y = 2  x0 = 0; y 0 = 2  33 Chương IV Hình gi i tích – Tr n Phương 3 PHƯƠNG PHÁP XÉT CÁC TRƯ NG H P V TRÍ TƯƠNG IC A2 Ư NG TRÒN: TH1: I1 I 2 > R1 + R2 ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 ti p tuy n chung N u R1 = R2 thì 2 ti p tuy n chung ngoài // I1 I 2 , 2 ti p tuy n chung trong c t nhau t i... chung song song v i I1 I 2 N u R1 ≠ R2 thì 2 ti p tuy n chung c t nhau t i J I1 34 I2 I1 I2 J Bài 3 ư ng tròn TH4: I1 I 2 = R1 − R2 ⇒ (C1) và (C2) ti p xúc trong ⇒ có 1 ti p tuy n chung N u R1 ≠ R2 thì (C1) và (C2) có 1 ti p tuy n chung t i ti p i m K c a 2 ư ng tròn I1 K I2 N u R1 = R2 thì 2 ư ng tròn trung nhau ⇒ vô s ti p tuy n chung TH5: I1 I 2 < R1 − R2 ⇒ (C1) và (C2) n m trong nhau ⇒ không có ti... + C Aa 2 + Bb2 + C  ⇒  ⇔ = R1 ; = R1 A2 + B 2 A2 + B 2  d ( I 2 , ∆ ) = R2  T ó suy ra h 2 phương trình ba n A, B, C Gi i 2 n theo 1 n r i rút g n (ví d : gi i A, C theo B) suy ra phương trình ti p tuy n chung c a (C1) và (C2) Ví d : Cho ( C1 ) : x 2 + y 2 = 9 và ( C 2 ) : x 2 + y 2 − 6 x + 8 = 0 Vi t phương trình ti p tuy n chung c a (C1) và (C 2) Gi i: ( C1 ) : x 2 + y 2 = 9 có tâm I1 ≡ O ( 0;... ) 2 + ( y0 − b1 ) 2 = R12 (1) và phương trình ti ( x0 − a1 )( x − x0 ) + ( y0 − b1 )( y − y0 ) = 0 (2) p tuy n (∆) có d ng: i m J ∈ (∆) ⇔ ( x0 − a1 )( x J − x0 ) + ( y 0 − b1 )( y J − y 0 ) = 0 (3) T (1) và (3) suy ra M ( x0 , y 0 ) , thay vào (2) ⇒ Phương trình ti p tuy n (∆) Ví d 1: Cho ( C1 ) : x 2 + y 2 + 4 x + 3 = 0 và ( C 2 ) : x 2 + y 2 − 8 x + 12 = 0 Vi t phương trình ti p tuy n chung c a . ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC 1. VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, − 1); B(3, 5) 2. VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C( − 1, 2) 3. VPT đường. =    + =  Bài 3. Đường tròn 25 VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường thẳng ( ∆ ): 2. − = . Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –2) và các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C'). Giải Đường tròn (C) qua giao điểm của (d) và (C') nên phương trình