ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60.46.30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2010 Lời nói đầu Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu cho nhiều bài toán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu như a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một nghĩa nào đó) vào dữ liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Tuy nhiên, nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh. Chính vì những lý do này, vào đầu thập kỷ 50 của thế kỷ trước, nhiều nghiên cứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh. Các nhà toán học A.N. Tikhonov, M.M. Lavrentiev, V.K. Ivanov, là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Vào năm 1963, Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động, có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế và trở thành hướng phát triển mạnh của toán học tính toán. Trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu việc giải phương trình toán tử A(x) = f i Lời nói đầu với A là một toán tử phi tuyến từ không gian Hilbert thực H vào chính nó, còn f là dữ liệu đã cho thuộc H. Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với dữ liệu nào bài toán cũng giải được và thường là khi nghiệm của bài toán tồn tại, thì lời giải này không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Do tính không ổn định này, nên việc giải số bài toán gặp khó khăn. Vì trong thực tế, ngoài sai số của các dữ liệu, tính toán trên máy tính còn mắc sai số qui tròn. Do đó, việc tìm ra những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnh khi dữ liệu mắc sai số là rất quan trọng. Phương pháp Newton hiệu chỉnh là một trong các phương pháp như vậy. Đây là lý do chúng tôi chọn "Phương pháp Newton hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh" làm đề tài nghiên cứu trong luận văn này. Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số kiến thức về bài toán đặt không chỉnh, toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại và phương trình toán tử. Chương 2 bên cạnh việc trình bày một số kết quả liên quan đến toán tử khả vi và phương pháp Newton - Kantorovich, chúng tôi tập trung nghiên cứu phương pháp Newton hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Các kết quả trong chương này tham khảo từ tài liệu của Y. Alber - I. Ryazantseva [3] Chương 3 trình bày lại kết quả của P.K.Anh và C.V.Chung [8] về phương pháp Newton hiệu chỉnh song song giải bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối của chương, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho kết quả lý thuyết. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, người đã đưa ra đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu ii Lời nói đầu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn trong thời gian học tập tại trường, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có thế hoàn thành khóa học. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Toán học tính toán 08-10, đã động viên và cổ vũ rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Học viên Trần Mạnh Hân iii iv Bảng ký hiệu Bảng ký hiệu R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực mở rộng P Ω x hình chiếu của x lên Ω Gr(A) đồ thị của toán tử A  ·  tích vô hướng trong không gian Hilbert  ·  X chuẩn trên X domf miền hữu hiệu của f ∂F (x) dưới vi phân của F tại x X ∗ không gian liên hợp của không gian X F : X → 2 X ∗ ánh xạ đa trị trên X L(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y D(A) miền xác định của A R(A) miền ảnh của A B[x 0 , r] hình cầu đóng tâm x 0 bán kính r B(x 0 , r) hình cầu mở tâm x 0 bán kính r A  (x) đạo hàm Frechet của toán tử A tại x A  w (x) đạo hàm Gâteaux của toán tử A tại x S tập nghiệm của phương trình A(x) = f x † nghiệm với chuẩn nhỏ nhất x δ α nghiệm hiệu chỉnh theo tham số α (trong trường hợp dữ liệu có nhiễu) x α n xấp xỉ hiệu chỉnh thứ n theo tham số α v Mục lục 1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 1 1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 12 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 16 2.1 Toán tử khả vi và phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . 21 2.2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp Newton hiệu chỉnh . . . . . . 30 2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vi MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 40 Chỉ dẫn 42 vii Chương 1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev Trong chương này chúng tôi giới thiệu về lý thuyết toán tử đơn điệu và phương trình với toán tử đơn điệu, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Nội dung Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3]. 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ Y, (1.1) trong đó A là một toán tử từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó. Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của điều kiện biên lên nghiệm của phương trình elliptic hoặc parabolic. Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện 1 [...]... dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, còn sử dụng thông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm ) giúp ta xây dựng thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán không chỉnh Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, (1.2) ở đây A là một toán tử từ không gian Hilbert H vào chính nó, f ∈ H Nghiệm của bài toán (1.2) có thể tồn tại không. .. 1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev ∞ với K (x, s) = 2 e−n T sin (nx) sin (ns) Để tìm u0 (x) ta phải giải phương trình n=1 tích phân Fredholm loại I là bài toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.1.4 Xét toán tử tuyến tính compact B trong không gian Hilbert H và A = B ∗ B Khi đó toán tử A compact, không âm, không có nghịch đảo liên tục Nghĩa là phương trình A(x) = f đặt không chỉnh 1.2 Toán. .. liệu có nhiễu, y − y δ ≤ δ Phương trình (1.9) có nghiệm x† và A có đạo hàm Frechet A (·) bị chặn đều địa phương trong hình cầu Br (x† ) bán kính r tâm x† ∈ H Nói chung, nghiệm của bài toán không chỉnh (1.9) không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Do đó chúng ta cần sử dụng những phương pháp hiệu chỉnh Phương pháp hiệu chỉnh thường sử dụng là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp này tìm một nghiệm... phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử A(x) = f, (2.1) trong không gian Hilbert thực H với A : H → H là toán tử đơn điệu và f ∈ H Phương trình (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Ký hiệu S là tập nghiệm của phương trình (2.1) S được giả thiết là khác rỗng, khi đó S là một tập lồi đóng trong H (xem Định lý 1.2.27) 2.1 Toán tử khả vi và phương pháp Newton Kantorovich 2.1.1 Toán tử khả... Hilbert đều là ngược đơn điệu mạnh, và hiệu của toán tử đồng nhất và toán tử không giãn là toán tử ngược đơn điệu mạnh 2) Mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh là đơn điệu nhưng chưa chắc đã đơn điệu mạnh 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev Xét bài toán đặt không chỉnh phi tuyến A(x) = y, (1.9) trong đó A : D(A) → H là toán tử phi tuyến đơn điệu với miền D(A) ⊂ H và H là không gian Hilbert thực Giả sử rằng... và tham số hiệu chỉnh α > 0 Nếu xδ là điểm α trong của D(A) thì nghiệm hiệu chỉnh xδ thỏa mãn phương trình chuẩn tắc α 14 Chương 1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev (phương trình Euler) A (x)∗ [A(x) − y δ ] + α(x − x) = 0 của phiếm hàm Mα (x) Ở đây, A (x)∗ là liên hợp của đạo hàm Frechet A (x) Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu, ta có thể sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev... Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian... 1.2.24 Đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại A : X → X ∗ là nửa đóng 11 Chương 1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại Trong mục này, chúng ta xét X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X Định nghĩa 1.2.25 Cho toán tử A : X → X ∗ , f ∈ X ∗ Phương trình A(x) = f được gọi là phương trình toán tử loại I Phương trình x... tích phân trên R 20 Chương 2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh Định lý 2.1.13 (Công thức Newton- Leibnitz) Cho X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Giả sử A : [x0 , x0 + h] ⊂ X → Y có đạo hàm mạnh A (x) liên tục trên [x0 , x0 + h] Khi đó x0 +h A (x) dx = A(x0 + h) − A(x0 ) (2.9) x0 2.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich Phương pháp Newton ra đời năm 1669 Kantorovich mở rộng cho không gian Banach năm 1939... của bài toán (2.13) 24 Chương 2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh Ví dụ 2.1.17 Xét phương trình vi phân x (t) = f (x(t), t), Đặt F (x) := x(0) = 0 (2.14) dx − f (x(t), t) Khi đó dt F (x)h(t) := h (t) + fx (x(t), t)h(t) Ta có công thức lặp cho xn+1 theo phương pháp Newton- Kantorovich t 1 {x (s) − f (xn (x), s)}ds, ϕn (s) n xn+1 = xn − ϕn (t) 0 trong đó t ϕn (t) := exp fx (xn (s), s)ds 0 Áp dụng giải phương . chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Nội dung Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3]. 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán. liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý vì nghiệm không. Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU