ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) I. PHẦN GIẢI TÍCH Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình: 2 2 1 1 2 3 16 0x x x x     + + + − =  ÷  ÷     b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: ( ) 2 2 1 4 3 0x m x m− − − − = là nhỏ nhất. Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 2 2 3 2x 3x 11 1 3x 2x 5 x y x − + + = − + − − Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì , , ,a b c d . Chứng minh rằng số a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + không phải là một số nguyên. II. PHẦN HÌNH HỌC Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD. a. Chứng minh rằng: 1 IG AB DM 3 = + uur uuur uuuur . b. Lấy J thỏa 2CJ 2AB JM= + uur uuur uuur . Chứng minh rằng IJ song song với AB. c. Giả sử AB a, BC 2a= = và · 0 ABC 60= . Tính độ dài của u AB 2AC= + r uuur uuur . d. Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: 2EA 3EB 5EC 2 ED EG− + = + uuur uuur uuur uuur uuur . Hết (Học sinh làm PHẦN GIẢI TÍCH, PHẦN HÌNH HỌC trên giấy riêng.) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2012-2013 Câu 1: a) 2 2 1 1 2 3 16 0x x x x     + + + − =  ÷  ÷     (1) ĐK: 0x ≠ Đặt 1 t x x = + 2 2 2 1 2x t x ⇒ + = − (1) 2 2 3 20 0t t⇔ + − = 4 5 2 t t  = −  ⇔  =   • 4 2 3t x= − ⇒ = − ± • 5 2 t = 2 1 2 x x  =  ⇒  =   b) ( ) 2 2 1 4 3 0x m x m− − − − = (2) • (2) có nghiệm 0⇔ ∆ ≥ 2 4 12 13 0m m⇔ + + ≥ ( ) 2 2 3 4 0,m m⇔ + + ≥ ∀ • Theo viet: 1 2 1 2 2 1 4 3 x x m x x m  + = −   = − −   • ( ) 2 2 2 2 1 2 4 4 7 2 1 6 6A x x m m m = + = + + = + + ≥ • 1 minA 6 2 m= ⇔ = − . Câu 4: Câu 2: 2 2 3 2x 3x 11 1 3x 2x 5 x y x − + + = − + − − y có nghĩa 2 2 2 3 2x 0 3x 11 0 1 0 1 3x 2x 5 0 x x  − ≥  + ≥  ⇔  − ≥   − + − − ≠  2 2 3 2 11 3 1 1 0 3x 2x 5 0 x x x x  ≤    ≥ −  ⇔  ≤    − >    − − ≠    1 1x ⇔ − < < . a. ( ) 1 IG AG AI AB AC AC AD AM 3 = − = + − − − uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuuur ( ) 1 1 AB 2DM DM AB DM 3 3 = + + = + uuur uuuur uuuur uuur uuuur b. 2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB= + ⇔ − = − + uur uuur uuur uur uuur uuuur uur uuur 5 3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM 3 ⇔ = + + = ⇒ = uur uuur uuur uuuur uuuur uur uuuur Mà M là trung điểmcủa AD nên MJ 2 JD = . Gọi K là trung điểm của CD, ta có MI 2 IK = . Vậy ta có: MJ MI IJ // CD // AB JD IK = ⇒ . c. Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có: 0 a BH AB.cos60 2 = = , 0 a 3 AH AB.sin60 2 = = . Từ đó ta có 2 2 3a CH BC BH AC AH CH a 3 2 = − = ⇒ = + = Câu 3: Vì , , ,a b c d Z + ∈ nên F H G J I R D M B C A a b c d A a b c a b d b c d a c d = + + + + + + + + + + + a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d > + + + + + + + + + + + + + + + 1= Mà , , 0 1 x y z x y  >   <   x x z y y z + ⇒ < + . Thật vậy, 1 x y < x y ⇒ < xz yz ⇒ < xy xz xy yz ⇒ + < + ( ) ( ) x y z y x z⇒ + < + x x z y y z + ⇒ < + Nên a a d a b c a b c d + < + + + + + b b c a b d a b c d + < + + + + + c a c b c d a b c d + < + + + + + d d b a c d a b c d + < + + + + + Suy ra 2A < Do đó 1 2A< < A ⇒ không phải là một số nguyên. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN Năm học : 2012-2013 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1) 3 tg x tgx 1 4 π   − = −  ÷   (1,5đ) 2) 3 3 cos x sin x 2cos2x sin x cos x − = + (1,5d) Bài 2 : Chứng minh rằng : ( ) 4 4 4 a b c abc a b c + + ≥ + + (2đ) Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 6x + 2y – 6 = 0 . Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C) ( 2 điểm ) Bài 4 : Giải Hệ phương trình : 2 2 2 6x 4xy x y 1 x y 1  − + − =   + =   (3đ) Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2012-2013 Bài 1 : 1) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 tgx 1 tgx 1 tg x tgx 1 tgx 1 tgx 1 1 0 4 tgx 1 tgx 1 tgx 1 tgx 1 tgx 0 tg x 4tg x 5tgx 0   −   π −     − = − ⇔ = − ⇔ − − =  ÷  ÷ +     −     = =   ⇔ ⇔   = − + =   2) ĐK: sin x 0 k2 x k2 cos x 0 2 ≥  π ⇔ π ≤ ≤ + π  ≥  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PT cosx sin x 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x 0 cos x sin x 0 1 sin x cos x 2 cos x sin x sinx cos x   ⇔ − + − + + =   − =   ⇔ + = + +   Mà ( ) ( ) sin x cosx 1; sin x cos x 1 2 cos x sin x sinx cos x 2 1 3 1 sin x cos x 1 sin 2x 2 2 + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + = + ≤ Vậy PT có nghiệm duy nhất x k2 4 π = + π Bài 2 : Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2a b b c 2b c a c 2a c 2 a b c a b b c a b a c b c a c 2 ab c a bc abc 2abc a b c  + ≥  + ≥   + ≥  ⇒ + + ≥ + + + + + ≥ + + = + + ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2012-2013 Môn: Toán Thời gian: 120 phút A. Phần giải tích Bài 1. (2 điểm) Chứng minh x 5 + (1 – x) 5 ≥ . (∀x ∈ R) Bài 2. (2 điểm) Định m để (Cm): y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có 3 điểm cực trị của đồ thị A, B, C và ∆ABC cân và có 1 góc bằng 120 0 . Bài 3. (2 điểm) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R): ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 7 1 2 3 x y x y x y x x y  + + − + =  +    + =  +  B. Phần hình học Bài 5. (1 điểm) Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC). Gọi E, F là hai chân đường cao của hai ∆SAB, ∆SAC, vẽ từ A. Chứng minh = Bài 6. (1 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối mỗi đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện. Chứng minh các hình chóp đỉnh G với các mặt đáy của tứ diện có thể tích bằng nhau. Bài 7. (2 điểm) Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện tích toàn phần S. Tìm cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn nhất. Hết (Lưu ý các em làm 2 phần giải tích và phần hình học ra giấy riêng) . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN Năm học : 2012 -2013 Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) I EG− + = + uuur uuur uuur uuur uuur . Hết (Học sinh làm PHẦN GIẢI TÍCH, PHẦN HÌNH HỌC trên giấy riêng.) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2012 -2013 Câu 1: a) 2 2 1 1 2 3 16 0x x x x  . ra 2A < Do đó 1 2A< < A ⇒ không phải là một số nguyên. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN Năm học : 2012 -2013 Thời gian làm bài : 120 phút Bài 1 : Giải các phương trình sau