TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG ThS. Trần Mạnh Hân Bài 1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có: . . . 0AB CD AC DB AD BC+ + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur (Hệ thức Ơ-le) Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đường cao đồng quy Bài 2. Trong tam giác ABC, trung tuyến AM, chứng minh rằng: a) 2 2 1 . 4 AB AC AM B C= - uuur uuur b) 2 2 2 2 2( ) 4 AB AC BC AM + - = Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng: a) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 GA GB GC a b c+ + = + + (Hệ thức Lepnit) b) 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 4 a b c m m m a b c+ + = + + Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 4AB BC CD DA AC BD IJ+ + + = + + . Bài 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 1 . ( ) 2 AB AC AB AC BC= + - uuur uuur b) 2 2 2 2 . .cosBC AB AC AB AC A= + - Bài 6. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + + Nhận xét: Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) thì: 2 2 2 2 2 3( )R OG GA GB GC- = + + Bài 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. a) Chứng minh rằng 2 2 2 aIA bIB cIC abc+ + = b) Nếu M là 1 điểm bất kì ta có 2 2 2 aMA bMB cMC abc+ + ³ Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa mãn 0,MA MB MCa b g+ + = uuur uuur uuur r ( 0)a b g+ + ¹ . Chứng minh với M bất kì ta có (công thức Gia-cô-bi) a) 2 2 2 2 2 2 2 ( )MA MB MC IA IB IC MIa b g a b g a b g+ + = + + + + + b) 2 2 2 2 2 2 c a b IA IB IC ab bg ga a b g a b g + + + + = + + c) 1a b g+ + = , ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( )MI MA MB MC c a ba b g ab bg ga= + + - + + Bài 9: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O; R). Tìm trên đường tròn điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác là lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng OE CD^ . Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E, F là các điểm xác định bởi 1 ; 3 B E BC= uuur uuur 1 2 CF CD= - uuur uuur , đường thẳng AE cắt BF tại I. Chứng minh rằng · 0 90AIC = . Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). B’ là điểm đối xứng của B qua O. (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q. Trên BA, BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP. Chứng minh rằng B’I ^ KL. Bài 13: Cho hai điểm A, B cố định, vec tơ 0a ¹ r r không đổi và số thực k. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) .MA MB k= uuur uuur b) .AM a k= uuuur r Bài 14: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: ( )( 2 3 ) 0MB MC MA MB MC+ + + = uuur uuur uuur uuur uuur Bài 15: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) 2 2 2 0MB MC MA+ - = (1) b) 2 2 2 2 0MB MC MA+ - = (2) Bài 16: Cho 2 điểm A, B phân biệt và số dương 1k ¹ . Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA k MB = . Bài 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có: 2 2 2 2 2 2 . . .MA MB MC MAGA MB GB MC GC GA GB GC+ + ³ + + ³ + + Bài 18: Cho tam giác ABC. Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng 2 2 2 4AH R a= - Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC. M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM ^ BD. Bài 20. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R). Đặt , ,AB c BC a CA b= = = . Chứng minh rằng 3 3a b c R+ + £ . Bài 21. Cho tam giác ABC, I là điểm xác định bởi 2 0IA IB IC+ - = uur uur uur r a) Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2MA MB MC MI IA IB IC+ - = + + - với M là điểm tùy ý. Suy ra vị trí của M để biểu thức 2 2 2 2MA MB MC+ - nhỏ nhất. b) Tính 2 2 2 2IA IB IC+ - trong trường hợp tam giác đều cạnh a. Bài 22. Cho tam giác ABC, điểm M tùy ý a) Chứng minh rằng vec tơ 2 3m MA MB MC= + - ur uuur uuur uuur độc lập với M. b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 2 .MA MB MC MO m+ - = uuur ur . c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2 2 2 2 3MA MB MC+ = . . TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG ThS. Trần Mạnh Hân Bài 1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có: . . . 0AB. tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng 2 2 2 4AH R a= - Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H là trung điểm của. uuur , đường thẳng AE cắt BF tại I. Chứng minh rằng · 0 90AIC = . Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). B’ là điểm đối xứng của B qua O. (I) tiếp xúc với các