Đang tải... (xem toàn văn)
Để giúp các em học sinh lớp 11 nắm được các phần kiến thức trọng tâm, các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao. Tác giả đã tổng hợp chỉnh sửa để cho ra cuốn sách TRỌN BỘ BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 (ĐẠI SỐ + HÌNH HỌC) Đây là tài liệu hữu ích cho hs cũng như gv.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 I. HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: OP OQ AT BT cos sin tan ' cot α α α α = = = = Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1 α α α ∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ • tan α xác định khi k k Z , 2 π α π ≠ + ∈ • cot α xác định khi k k Z , α π ≠ ∈ 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV sin α + + – – cos α + – – + tan α + – + – cot α + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin 2 α + cos 2 α = 1; tan α .cot α = 1 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin α α α α + = + = 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau cos( ) cos α α − = sin( ) sin π α α − = sin cos 2 π α α − = sin( ) sin α α − = − cos( ) cos π α α − = − cos sin 2 π α α − = tan( ) tan α α − = − tan( ) tan π α α − = − tan cot 2 π α α − = cot( ) cot α α − = − cot( ) cot π α α − = − cot tan 2 π α α − = CHƯƠNG 0 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang p A M Q B T' α αα α T Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng: Cung hơn kém π Cung hơn kém 2 π sin( ) sin π α α + = − sin cos 2 π α α + = cos( ) cos π α α + = − cos sin 2 π α α + = − tan( ) tan π α α + = tan cot 2 π α α + = − cot( ) cot π α α + = cot tan 2 π α α + = − 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 − –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a + = + sin( ) sin .cos sin .cos a b a b b a − = − cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b + = − cos( ) cos .cos sin .sin a b a b a b − = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π α π α α α α α + − + = − = − + Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/240. Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 III. CƠNG THỨC NHÂN 1. Cơng thức nhân đơi: sin 2 2sin .cos α α α = 2 2 2 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − 2 2 2 tan cot 1 tan 2 ; cot 2 2 cot 1 tan α α α α α α − = = − 2. Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan 2 α : Đặt: t k tan ( 2 ) 2 α α π π = ≠ + thì: t t 2 2 sin 1 α = + ; t t 2 2 1 cos 1 α − = + ; t t 2 2 tan 1 α = − IV. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Cơng thức biến đổi tổng thành tích: 2. Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = − + + cos cos 2 cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2 cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π α α α α + = + = − sin cos 2 sin 2 cos 4 4 π π α α α α − = − =− + Cơng thức hạ bậc Cơng thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos 2 tan 1 cos2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin 3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos 3tan tan tan3 1 3tan α α α α α α α α α α = − = − − = − Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 3/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ sin y x = : Tập xác định D = R; tập giá trị 1, 1 T = − ; hàm lẻ, chu kỳ 0 2 T = π . * y = sin(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = sin(f(x)) xác định ( ) f x ⇔ xác định. cos y x = : Tập xác định D = R; Tập giá trị 1, 1 T = − ; hàm chẵn, chu kỳ 0 2 T = π . * y = cos(ax + b) có chu kỳ 0 2 T a = π * y = cos(f(x)) xác định ( ) f x ⇔ xác định. tan y x = : Tập xác định \ , 2 D R k k Z = + ∈ π π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = tan(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = tan(f(x)) xác định ( ) f x ⇔ ( ) 2 k k Z ≠ + ∈ π π cot y x = : Tập xác định { } \ , D R k k Z = ∈ π ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ 0 T = π . * y = cot(ax + b) có chu kỳ 0 T a = π * y = cot(f(x)) xác định ( ) ( ) f x k k Z ⇔ ≠ ∈ π . * y = f 1 (x) có chu kỳ T 1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T 2 Thì hàm số 1 2 ( ) ( ) y f x f x = ± có chu kỳ T 0 là bội chung nhỏ nhất của T 1 và T 2 . CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/240. Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: a) 2 sin 1 x y x = − b) sin y x = c) 2 sin y x = − d) 2 1 cos y x = − e) 1 sin 1 y x = + f) tan 6 y x = − π g) cot 3 y x = + π h) sin cos( ) x y x = − π i) y = 1 tan 1 x − Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2sin 1 4 x + + π b) 2 cos 1 3 y x = + − c) sin y x = d) 2 4sin 4sin 3 y x x = − + e) 2 cos 2sin 2 y x x = + + f) 4 2 sin 2 cos 1 y x x = − + g) y = sinx + cosx h) y = 3 sin 2 cos2 x x − i) y = sin 3 cos 3 x x + + Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin 4 x f) y = sinx.cosx g) y = sin tan sin cot x x x x − + h) y = 3 3 cos 1 sin x x + i) y = tan x Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số: a) sin 2 y x = b) cos 3 x y = c) 2 sin y x = d) sin 2 cos 2 x y x = + e) tan cot 3 y x x = + f) 3 2 cos sin 5 7 x x y = − g) 2sin . cos3 y x x = h) 2 cos 4 y x = i) y = tan( − 3x + 1) HD: a) π b) 6 π c) π d) 4 π e) π f) 70 π g) π h) 4 π i) 3 π Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D. – Tìm chu kỳ T 0 của hàm số. – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần). – Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn: 0 0, x T ∈ hoặc 0 0 , 2 2 T T x ∈ − . – Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ. – Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v k T i 0 . . = về bên trái và phải song song với trục hồnh Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox). Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hồnh a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hồnh a đơn vị nếu a < 0. b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hồnh. c) Đồ thị f x nếu f x y f x f x nếu f x ( ), ( ) 0 ( ) ( ), ( ) 0 ≥ = = − < được suy từ đồ thị y = f(x) bằng cách giữ ngun phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π – Tịnh tiến theo véctơ 2 . v k i = π ta được đồ thị y = sinx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số đồng biến trên khoảng 0, 2 π và nghịch biến trên , . 2 π π Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. – Tập xác định: D = R. – Tập giá trị: 1, 1 . − – Chu kỳ: T = 2. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 : π – Tịnh tiến theo véctơ 2 . v k i = π ta được đồ thị y = cosx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng. 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = sinx –1 y x 1 3 2 π − −π 2 π − 0 2 π 3 2 π π 2π 5 2 π y = cosx –1 y x x 0 2 π π 3 2 π 2 π y 1 0 –1 0 0 x 0 2 π π 3 2 π 2 π y 0 –1 0 1 1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6/240. Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 – Hàm số nghịch biến trên khoảng 0, 2 π và nghịch biến trên khoảng 3 , . 2 π π Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx. – Tập xác định: D = R \ , 2 k k Z + ∈ π π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 2 lim x y →± = ∞ π : 2 x⇒ = ± π là tiệm cận đứng. – Chu kỳ: T = . – Bảng biến thiên trên , 2 2 − π π : – Tịnh tiến theo véctơ . v k i = π ta được đồ thị y = tanx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số ln đồng biến trên tập xác định D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. – Tập xác định: D = R { } \ , k k Z ∈ π – Tập giá trị: R. – Giới hạn: 0 lim , lim x x x y y → → = + ∞ = −∞ tiệm cận đứng: x = 0, x = . – Chu kỳ: T = . – Bảng biến thiên trên đoạn 0, π : – Tịnh tiến theo véctơ . v k i = π ta được đồ thị y = cotx. Nhận xét: – Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. – Hàm số ln giảm trên tập xác định D. x 2 π − 0 2 π y 0 – ∞ + ∞ x 0 2 π π y 0 + ∞ – ∞ x y 3 2 π ππ π − −− − π ππ π 2 π ππ π − −− − O 2 π ππ π π ππ π 3 2 π ππ π 2 π ππ π 5 2 π ππ π y = tanx x y 2 − π − π− π − π 3 2 π ππ π − −− − O 2 π ππ π − −− − 2 π ππ π π ππ π 3 2 π ππ π y = cotx −π −π−π −π 2 π ππ π Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. – Vẽ đồ thị y = sinx. – Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin , nếu sin x 0 sin -sin x, nếu sin x < 0. x y x ≥ = = Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. – Vẽ đồ thị y = cosx. – Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị 1 cos y x = + bằng cách tịnh tiến đồ thị cos y x = lên trục hồnh 1 đơn vị. – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : y x –2 3 2 π ππ π − −− − 3 2 π ππ π 2 π ππ π 2 π ππ π π ππ π O −π −π−π −π 2 π ππ π − −− − y = –sinx 1 –1 π ππ π 2 π ππ π − −− − 3 2 π ππ π 2 π ππ π 2 π ππ π π ππ π O y = /sinx/ y 1 x x 0 2 π π 3 2 π 2 π y = cosx 1 0 –1 0 1 y = 1 + cosx 2 1 0 1 2 2 π ππ π − −− − O y = 1 + cosx y x −π −π−π −π 2 π ππ π π ππ π 3 2 π ππ π y = cosx 2 1 – 1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/240. Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. – y = sin2x có chu kỳ T = π – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x. – y = cos2x có chu kỳ T = π – Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 π : O y x 2 π ππ π 4 π ππ π 1 2 π ππ π 4 π ππ π y = cos2x – 1 3 4 π ππ π 2 π ππ π − −− − O y x π ππ π 4 π ππ π − −− − 4 π ππ π 1 3 2 π ππ π 2 π ππ π 5 4 π ππ π y = sin2x – 1 x 2 − π 4 − π 0 2 π 2 π 2x −π 2 π − 0 2 π π y = sin2x 0 –1 0 1 0 x 2 π − 4 π − 0 4 π 2 π 2x −π 2 π − 0 2 π π y = cos2x –1 0 1 0 –1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Ví dụ 10: Vẽ đồ thị sin 4 y x = + π có chu kỳ T = 2 π . Ví dụ 11: Vẽ đồ thị cos 4 y x = − π có chu kỳ T = 2 π . x – π 3 4 − π 2 π − 4 π − 0 4 π 2 π 3 4 π π x 4 π + 3 4 π − 2 π − 4 π − 0 4 π 2 π 3 2 π 0 5 4 π y sin x 4 π = + 2 2 − –1 2 2 − 0 2 2 1 2 2 0 2 2 − x – π 3 4 π − 2 π − 4 π − 0 4 π 2 π 3 4 π π x 4 π − 5 4 π − −π 3 4 π − 2 π − 4 π − 0 4 π 2 π 3 4 π y cos x 4 π = − 2 2 − –1 2 2 − 0 2 2 1 2 2 0 2 2 − 3 2 π ππ π O y x −π −π−π −π 3 4 π ππ π − −− − 2 π ππ π − −− − 4 π ππ π − −− − 4 π ππ π 2 π ππ π 3 4 π ππ π π ππ π 5 4 π ππ π 7 4 π ππ π y = sin x 4 π ππ π + ++ + 1 2 / 2 2 / 2 − −− − –1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/240. [...]... = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 a) 3 × 5 × 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số Bài 19: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả: a) Số chẵn b) Bắt đầu bằng số 24 c) Bắt đầu bằng số 345 d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1? ĐS: a) 312 b) 24 c) 6 d) 120 ; 480 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang... c) 6 d) 118 Bài 7: Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hốn vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j ∈ {1,2,3, 4,5,6,7} , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6! ⇒ Tổng tất cả các số là: (6! 1+ +6 !7) + (6! 1+ +6 !7).10 + + (6! 1+ +6 !7).106 = 6! ( 1+2 + +7 ).( 1+1 0+ +1 06) Bài 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được... Cn −3 = Cn+3 (3 ≤ k ≤ n) k k k k k k h) Cn + 4Cn −1 + 6Cn −2 + 4Cn −3 + Cn −4 = Cn+ 4 (4 ≤ k ≤ n) ĐS: Sử dụng tính chất: k k k Cn −1 + Cn = Cn+1 Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau: 0 p 1 p 0 a) Cr Cq + Cr Cq −1 + + Crp Cq = Crp+ q 0 n n b) (Cn )2 + (C1 )2 + + (Cn )2 = C2 n n 0 2 4 2p 1 3 2p c) C2 p + C2 p + C2 p + + C2 p = C2 p + C2 p + + C2 p −1 = c2 p−1 1 2 3 p p d) 1 − Cn + Cn − Cn + + (−1) p... Đại số 11 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau: k p− p k a) Cn Cn−kk = Cn C p (k ≤ p ≤ n) n k −1 k b) Cn = Cn −1 (1 ≤ k ≤ n) k k k k k +1 c) Cn +1 + 2Cn + Cn −1 = Cn +2 m k k m d) Cn Cm = Cn Cn−−k (0 ≤ k ≤ m ≤ n) k k k k k k +2 k +3 k k −2 e) 2Cn + 5Cn +1 + 4Cn +2 + Cn +3 = Cn+2 + Cn +3 f) k (k − 1)Cn = n(n − 1)Cn −2 ( 2 < k < n) k k k k k g) Cn + 3Cn −1 + 3Cn −2 + Cn... 1 C = Cn + 2 ĐS: 5 6 6 1 + C10 + C10 − C11 + 2 A3 C= P2 8 9 10 C15 + 2C15 + C15 10 C17 5 6 7 C15 + 2C15 + C15 7 C17 ĐS: A = – 165 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: A= 4 3 4 1 + C7 + C7 − C8 2 Cn 1 Cn A= + + k (3n)! (n!)3 B=4 B= k Cn k Cn −1 + + n Pn+2 k An Pn−k 10 C17 ; n Cn n Cn −1 B = (n+1)(n+2) + 1 Tài liệu lưu hành nội bộ + 8 9 10 C15 + 2C15 + C15 C= n(n + 1) 2 Trang 33/240 Tài liệu giảng dạy... 1)Pn−1 + (n − 2)Pn −2 + + 2 P2 + P + 1 1 d) 1 + 1 1 1 1 + + + + < 3 1! 2! 3! n! e) n! ≥ 2 n−1 Bài 3: Giải các bất phương trình sau: 1 5 (n + 1)! n.(n − 1)! a) − ≤5 n − 2 n + 1 (n − 3)!4! 12(n − 3).(n − 4)!2! c) n3 + 5! (m + 1)! m(m + 1) (m − 1)!3! b) 4 ≤ n !+ (n + 1)! < 50 n! ≤ 10 (n − 2)! a) ⇔ (n − 1)n ≤5 6 Tài liệu lưu hành nội bộ ⇒ n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3 Trang 26/240 Đại số. .. cos2x + cos3x) Bài 4 Giải các phương trình sau: 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Bài 5 Giải các phương trình sau: 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx Bài 6 Giải các phương trình sau: 1) sin3x +. .. phần tử của tập A k Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: An = n k Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: A= 2 A5 P2 + 5 A10 1 2 3 4 B = P A2 + P2 A3 + P3 A4 + P4 A5 − P P2 P3 P4 1 1 7P5 12 A49 + A11 49 C= 10 A49 − 10 9 A17 + A17 39A10 49 E= 11 38A10 + A49 49 P P P P 2 D = 5 + 4 + 3 + 2 A5 A 4 A3 A2 A1 5 5 5 5 8 A17 + 12!(5!− 4!) 13!4! F= 21( P3 − P2 ) P P P P 20 5 + 4 + 3 + 2 A 4... 2750; Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 n −1 a) + + + = , vớ i n ∈ N , n ≥ 2 2 2 2 n A A A b) c) n 2 3 n+2 n+ n An+ k + An + 1 = k 2 An+ k k k k k −1 An = An−1 + k An−1 với n, k ∈ N, k ≥ 2 Bài 3: Giải các phương trình sau: 3 a) An = 20 n d) g) k) Pn+2 3 2 b) An + 5 An = 2(n + 15) = 210 n −4 An −1 P3 9 8 A10 + Ax = 9 Ax x y +1 Ax +1 Px − y ĐS: Px −1 = 72 a) n = 6 e) n = 4 i) x = 5 Tài liệu lưu hành nội bộ. .. sin8x + cos8x = 3) cos4x + 2sin6x = cos2x 1 8 4) sin4x + cos4x – cos2x + 1 4 sin 2 2x –1=0 Bài 3 Giải các phương trình sau: 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 3) sin3x + cos3x = cos2x 4) sin2x = 1 + 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 2 cosx + cos2x 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x . sin x − 1 0 1 2 1 0 1 2 1 Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/ 240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Ví. tang p A M Q B T' α αα α T Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/240. Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 5. Bảng giá trị lượng giác. hành nội bộ Trang 2/240. Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 III. CƠNG THỨC NHÂN 1. Cơng thức nhân đơi: sin 2 2sin .cos α α α = 2 2 2 2 cos2