THI TH I HC MễN TON 2014 3 A.PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (8,0 im) Cõu I (2,5 im) Cho hm s : 3 3 2y x mx= + ( ) 1 , m là tham số thực. 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s ( ) 1 khi 1m = 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) 1 có tip tuyn to vi ng thng : 7 0d x y+ + = gúc ,bit 1 cos 26 = . Cõu II (2,5 im) 1) Gii phng trỡnh : 4 3 4cos2 8sin 1 sin 2 cos2 sin 2 x x x x x = + 2) Gii h phng trỡnh: ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x + = + + = + ( , )x y R . Cõu III (1,0 im) Tớnh gii hn : 3 2 2 2 6 4 lim 4 x x x L x + = Cõu IV. (1,0 im) Cho hỡnh lp phng 1 1 1 1 .ABCD A B C D có di cnh bng 3 v im M thuc cnh 1 , 2CC CM = .Mt phng ( ) i qua ,A M v song somg vi BD chia khi lp phng thnh hai khi a din. Tớnh th tớch hai khi a din ú. Cõu V. (1,0 im) Cho cỏc s thc , ,x y z tho món 2 2 2 3x y z+ + = . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2 2 3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + + B. PHN RIấNG (2,0 im). Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn 1 hoc 2) 1.Theo chng trỡnh Chun Cõu VIa. ( 1,0 im) Trong mt phng vi h to Oxy cho hai điểm ( ) ( ) 2;1 , 1; 3A B và hai đờng thẳng 1 2 : 3 0; : 5 16 0.d x y d x y+ + = = Tìm toạ độ các điểm ,C D lần lợt thuộc 1 2 ,d d sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Cõu VIIa. ( 1,0 im) Tớnh tng : 2 1 2 2 2 3 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2012S C C C C= + + + +L 2. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu VIb. ( 1,0 im) Trong mt phng h to Oxy cho e lớp ( ) 2 2 : 1 9 4 x y E + = và các điểm ( ) 3;0A ; ( ) 1;0I .Tìm toạ độ các điểm ,B C thuộc ( ) E sao cho I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cõu VII B:(1,0 im): Tớnh tng: 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2013 C C C C T = + + + +L HT Ghi chỳ: - Thớ sinh khụng c s dng bt c ti liu gỡ! - Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm! 1 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 76 Câu 1: 1. (1,5điểm) Khi 1m = hàm số (1) có dạng 3 3 2y x x = − + a) Tập xác định D = ¡ b) Sự biến thiên +) Chiều biến thiên: 2 ' 3 3y x= − , ' 0 1y x= ⇔ = ± . Khi đó xét dấu của 'y : + + - 0 0 1 -1 + ∞ - ∞ y x hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1;−∞ − + ∞ và nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1− . +) Cực trị: hàm số đạt cực đại tại 1, 4 CD x y= − = . Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 0 CT x y = = +) Giới hạn: 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x y x y x x x x x →−∞ →−∞ →+∞ →+∞     = − + = −∞ = − + = +∞  ÷  ÷     +) Bảng biến thiên: : x −∞ -1 1 +∞ y' + 0 − 0 + y 4 +∞ −∞ 0 c) Đồ thị: 3 0 3 2 0 1, 2y x x x x= ⇔ − + = ⇔ = = − , suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại Ox tại các điểm ( ) ( ) 1;0 , 2;0 − . '' 0 6 0 0y x x= ⇔ = ⇔ = ⇒ đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 0;2 làm điểm uốn. Câu 1: 2. (1,0 điểm) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có VTPT ( ) 1 ; 1n k= − r Đường thẳng : 7 0d x y+ + = tiếp tuyến có VTPT ( ) 2 1;1n = r 1-1 4 x 0 y 2 3 3 2y x x = − + Ta có ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 1 cos cos , 26 2 1 n n k n n n n k × − α = = ⇔ = + r r r r r r 2 3 2 12 26 12 0 2 3 k k k k⇔ − + = ⇔ = ∨ = YCBT thoả mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: , 2 2 , 2 2 3 3 2 1 2 1 3 3 0 2 2 2 2 2 2 9 2 9 2 3 3 0 3 3 9 9 m m y x m x m m y x m x + +     = − = = ≥     ⇔ ⇔ ⇔     + +     = − = = ≥         1 2 2 9 m m  ≥ −    ≥ −   1 2 m⇔ ≥ − Vậy để đồ thị có tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 7 0d x y+ + = góc α ,có 1 cos 26 α = . thì 1 2 m ≥ − Câu 2: 1.(1,25 điểm). Giải phương trình : 4 3 4cos2 8sin 1 sin 2 cos2 sin 2 x x x x x − − = + . §/k ( ) sin 2 cos2 0 8 2 sin 2 0 2 x l x x l x x l π π π  ≠ − +  + ≠   ⇔ ∈   ≠   ≠   Z ta cã: 2 4 1 cos2 8sin 8 3 4cos2 cos 4 2 x x x x −   = = = − +  ÷   L Ph¬ng tr×nh ( ) 3 4cos2 3 4cos 2 cos 4 1 sin 2 cos 2 sin 2 x x x x x x − − − + ⇔ = + ( ) cos4 1 sin 2 cos2 0,sin 2 0 sin 2 cos2 sin 2 x do x x x x x x − ⇔ = + ≠ ≠ + ( ) ( ) 1 cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos 2 0 sin 2 x x x x x x ⇔ − − = ⇔ + = ( ) ( ) cos2 0 sin 2 cos 2 0 2 2 4 2 x x x loai x k x k k π π π π ⇔ = ∨ + = ⇔ = + ⇔ = + ∈¢ VËy ph¬ng tr×nh cã mét hä nghiÖm ( ) 4 2 x k k π π = + ∈Z Câu 2.(1,25điểm) :Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1 x y y x y x  + = +   + = +   ( , )x y ∈R . Viết lại hệ phương trình: ( ) 3 3 2 2 4 4 0(*) 5 4(**) x y x y y x  + − − =   − =   Thay ( ) ** vào ( ) * ta được: ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 5 4 0 21 5 4 0x y x y x y x x y xy+ − − − = ⇔ − − = ( ) 2 2 1 4 21 5 4 0 0 3 7 x x xy y x x y x y⇔ − − = ⇔ = ∨ = − ∨ = • 0x = thế vào ( ) ** ta được 2 4 2y y= ⇔ = ± • 1 3 x y= − thế vào ( ) ** ta được 2 2 2 3 1 5 4 9 3 1 9 y x y y y y x = ⇒ = −  − = ⇔ = ⇔  = − ⇒ =  • 4 7 x y= − thế vào ( ) ** ta được 2 2 2 80 31 4 4 49 49 y y y− = ⇔ − = Vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0; 2 , 1; 3 , 1;3x y = ± − − Câu 3(1,0 điểm) : Tính giới hạn : 3 2 2 2 6 4 lim 4 x x x L x → − − + = − 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 4 6 2 4 2 lim lim lim 4 4 4 x x x x x x x L x x x → → → − − + − + − − + − = = − − − − 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 23 3 6 2 4 2 lim lim 4 6 2 4 4 2 4 4 x x x x x x x x x + = + + + + + ữ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 1 1 lim lim 2 6 2 4 2 4 4 x x x x x x = + + + + + + 1 1 7 16 12 48 = = Vy gii hn ó cho bng 7 48 Cõu 4(1,0 im) : Cho hỡnh lp phng 1 1 1 1 .ABCD A B C D có di cnh bng 3 Dng thit din ca mt phng i qua ,A M v song song vi BD . Gi 1 1 1 1 1 , ,O AC BD O A C B D I AM OO= = = . Trong mt phng ( ) 1 1 BDD B qua I k ng thng song song vi BD ct 1 1 ,BB DD ln lt ti ,K N .Khi ú AKMN l thit din cn dng. t 1 1 1 1 1 . . 2 . 1A BCMK A DCMN ABCD A B C D V V V V V V= + = . Ta cú: 1 1 1 2 2 OI AO DN BK OI CM CM AC = = = = = = Hỡnh chúp .A BCMK cú chiu cao l 3AB = ,ỏy l hỡnh thang BCMK .Suy ra: ( ) 3 . . 1 1 3 9 . . 3 3 2 6 2 A BCMK BCMK BC BK CM V AB S AB + = = = = . Tng t . 9 2 A DCMN V = . Vy 3 1 2 9 9 9 3 9 18 2 2 V V= + = = = (vtt) Cõu 5(1,0 im): Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: 2 2 3 7 5 5 7 3F x y y z z x= + + + + + p dng bt ng thc Bu-nhi-a-cp-xki ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 6 12 18 2 2 18 2 2 3F x y z x y z x x + + + + = + Xột hm s ( ) ( ) 2 2 2 2 3f x x x= + trờn min xỏc nh 3 3x ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 4 2 3; 3 2 3 x f x x x x = ( ) ' 0f x = trờn ( ) 3; 3 0 1 x x = = ( ) ( ) ( ) 3 3, 0 2 6, 1 5f f f = = = ( ) 2 3; 3 max 5 18.5 90 3 10f x F F = = du bng khi 1x y z= = = . Vy max 3 10 1F x y z= = = = Cõu 6 a(1,0 im): Tim toạ độ các điểm ,C D lần lợt thuộc 1 2 ,d d sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Do tứ giỏc ABCD là hình bình hành nên ta có ( ) ( ) 3 3;4 * 4 D C D C x x CD BA y y = = = = uuur uuur Mặt khác : ( ) 1 2 3 0 ** 5 16 0 C C D D x yC d D d x y + + = = Từ (*) và (**) ta giải đợc 3 6 ; 6 2 C D C D x x y y = = = = ta có ( ) ( ) 3;4 , 4; 3BA BC= = uuur uuur cho nên hai véc tơ ,BA BC uuur uuur không cùng phơng ,tức là 4 điểm , , ,A B C D không thẳng hàng ,hay tứ giác ABCD là hình bình hành. .Đáp số ( ) ( ) 3; 6 , 6; 2C D Cõu 7a(1,0 im) : Tớnh tng : 2 1 2 2 2 3 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2012S C C C C= + + + +L ( ) ( ) 2 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1, 2, ,2012 k k k k k C k k C k k C kC k = + = + = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2012 2010 2011 2012! 2012! 1 2012(2011 ) 1,2 ,2012 ! 2012 ! ! 2012 ! k k k k C k k k C C k k k k k = + = + = T ú ( ) ( ) 0 1 2010 0 1 2011 2010 2010 2010 2011 2011 2011 2012 2011S C C C C C C = + + + + + + + L L 4 = ( ) ( ) ( ) 2010 2011 2010 2011 2010 2012 2011 1 1 1 1 2012 2011.2 2 2012.2013.2   + + + = + =   Đáp số : 2010 2012.2013.2S = Câu 6b(1,0 điểm): T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm ,B C thuéc ( ) E sao cho I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC . Ta cã 2IA = ⇒ §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã pt: ( ) 2 2 1 4x y+ + = To¹ ®é c¸c ®iÓm ,B C cÇn t×m lµ nghiÖm cña hÖ pt: ( ) 2 2 2 2 1 4 1 9 4 x y x y  + + =   + =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 4 3 3 5 18 9 0 5 x y x y x x x x  + + =  + + =   ⇔   = − ∨ = − + + =     • 3 0x y B A C A= − ⇒ = ⇒ ≡ ∨ ≡ (lo¹i) • 3 4 6 3 4 6 3 4 6 ; , ; 5 5 5 5 5 5 x y B C     = − ⇒ = ± ⇒ − ± −  ÷  ÷  ÷  ÷     m Câu 7b(1,0 điểm) Tính tổng : 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 3 2013 C C C C T = + + + +L ( ) ( ) ( ) 1 2012 2013 2012! ! 2012 ! 1 2013! 1 1 1 2013 2013 1 ! 2013 1 ! k k k k C C k k k k + − = = × = × + +   + − +   0,1,2,3, ,2012k∀ = ( ) ( ) 2013 2013 1 2 2013 0 2013 2013 2013 2013 1 1 2 1 1 1 2013 2013 2013 T C C C C −   ⇒ = + + + = + − =   L Đáp số 2013 2 1 2013 T − = 5 . 0,1,2 ,3, ,2012k∀ = ( ) ( ) 20 13 20 13 1 2 20 13 0 20 13 20 13 20 13 20 13 1 1 2 1 1 1 20 13 20 13 20 13 T C C C C −   ⇒ = + + + = + − =   L Đáp số 20 13 2 1 20 13 T − = 5 . ) ( ) 2 2 2 2 3f x x x= + trờn min xỏc nh 3 3x ( ) ( ) ( ) ( ) ' 2 4 2 3; 3 2 3 x f x x x x = ( ) ' 0f x = trờn ( ) 3; 3 0 1 x x = = ( ) ( ) ( ) 3 3, 0 2 6, 1 5f. 2 3 20 13 C C C C T = + + + +L ( ) ( ) ( ) 1 2012 20 13 2012! ! 2012 ! 1 20 13! 1 1 1 20 13 20 13 1 ! 20 13 1 ! k k k k C C k k k k + − = = × = × + +   + − +   0,1,2 ,3, ,2012k∀ = ( ) ( ) 20 13 20 13 1