Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Lý thuyết trường điện từ: Các phương trình Laplace & Poisson
N g u y ễn Côn g Phươn g gy g g Lý thuyếttrường điệntừ Lý thuyết trường điện từ Các phương trình Poisson & Laplace Nội dun g 1. Giới thiệu 2. Giải tích véctơ 3. Luật Coulomb & cường độ điện trường 4. Dịch chuyển điện, luật Gauss & đive 5. Năng lượng & điện thế 6. Dòng điện & vật dẫn 7. Điện môi & điện dun g g 8. Các phương trình Poisson & Laplace 9. Từ trường dừng 10. L ự c từ & đi ệ n cảm ự ệ 11. Trường biến thiên & hệ phương trình Maxwell 12. Sóng phẳng 13. Phảnxạ &tánxạ sóng phẳng Các phương trình Poisson & Laplace 2 13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng 14. Dẫn sóng & bức xạ Các phươn g trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson Phương trình Poisson •Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Định lý nghiệm duy nhất •Giải phương trình Laplace • Giảiphương trình Poisson • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới • Phươ ng p há p lưới Các phương trình Poisson & Laplace 3 Phươn g trình Poisson (1) Luật Gauss: v .D 0 DE () ( ) v V .D . E . V E Gradient th ế : v V . V . (Phương trình Poisson) VVV x yz VVV V x yz aaa A A A y x z A A A x yz .A 222 V V V VVV Các phương trình Poisson & Laplace 4 222 . y x z V V V VVV V x xyyzz xyz Phươn g trình Poisson (2) v V . V . 222 222 . VVV V 222 2 222 v VVV V xyz Đặt 2 . 222 x yz xyz (Hệ Descartes) 22 22 2 11 v VVV z (Hệ trụ) 2 2 22 222 11 1 sin sin sin v VVV r rr r r r Các phương trình Poisson & Laplace 5 sin sin rr r r r (Hệ cầu) Các phươn g trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson Phương trình Poisson • Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Định lý nghiệm duy nhất •Giải phương trình Laplace • Giảiphương trình Poisson • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới • Phươ ng p há p lưới Các phương trình Poisson & Laplace 6 Phươn g trình Laplace 222 2 v VVV V Phương trình Poisson: 0 v 222 V xyz 222 Phương trình Poisson: (Phương trình Laplace, hệ Descartes) 222 2 222 0 VVV V xyz 22 22 2 11 0 VVV z (Hệ trụ) 2 2 22 222 11 1 sin 0 sin sin VVV r rr r r r Các phương trình Poisson & Laplace 7 sin sin rr r r r (Hệ cầu) Các phươn g trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson Phương trình Poisson •Phương trình Laplace • Định lý nghiệm duy nhất • Định lý nghiệm duy nhất •Giải phương trình Laplace • Giảiphương trình Poisson • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới • Phươ ng p há p lưới Các phương trình Poisson & Laplace 8 ấ Định l ý n g hiệm du y nh ấ t (1) 222 2 0 VVV V 222 0 V xyz Giả sử phương trình Laplace có 2 nghiệm V 1 & V 2 , : 2 0 V 1 0 V 2 2 0V 2 12 ()0VV Giả sử phương trình Laplace có điềukiệnbờ V b VVV Giả sử phương trình Laplace có điều kiện bờ V b 12bbb VVV () ( ) ( ).D .D D.VV V 12 VVV 12 12 12 12 [( ) ( )] ( )[ ( )] VV VV VV VV 12 VVV 12 ()D VV Các phương trình Poisson & Laplace 9 12 12 12 12 12 12 [( ) ( )] ( )[ ( )] ()() . VV VV VV VV VV VV ấ Định l ý n g hiệm du y nh ấ t (2) 12 12 12 12 12 12 [()()]()[()]()() VV VV VV VV VV VV 12 12 12 12 [( ) ( )] ( )[ ( )] ()() VV VV VVdv VV VVdv VV VVdv 12 12 ()() V VV VVdv . SV ddv DS D Định lý đive: 12 12 12 12 [( ) ( )] [( ) ( )] bb bb VS VV VVdv V V V V d S 12 bbb VVV 12 bbb 12 12 [( ) ( )] 0 V VV VVdv . Các phương trình Poisson & Laplace 10 12 12 12 12 0( )[( )] ( )( ) VV VV VVdv VV VVdv [...]... V2 → const = Vb1 – Vb2 = 0 Các phương trình Poisson & Laplace 11 Các phương trình Laplace & Poisson • • • • • • • Phương trình Poisson Phương trình Laplace Định lý nghiệm duy nhất Giải phương trình Laplace Giải phương trình Poisson Nghiệm tích của phương trình Laplace Phương há Phươ pháp lưới Các phương trình Poisson & Laplace 12 Ví dụ 1 Giải phương trình Laplace (1) Giả sử V = V(x) d 2V 2 0 V... V0 ln cotg 2 20 Các phương trình Poisson & Laplace Các phương trình Laplace & Poisson • • • • • • • Phương trình Poisson Phương trình Laplace Định lý nghiệm duy nhất Giải phương trình Laplace Giải phương trình Poisson Nghiệm tích của phương trình Laplace Phương há Phươ pháp lưới Các phương trình Poisson & Laplace 21 v v 0 Giải phương trình Poisson (1)1 x x v 2 v 0 sech th a a 2 e x ... Laplace 24 Các phương trình Laplace & Poisson • • • • • • • Phương trình Poisson Phương trình Laplace Định lý nghiệm duy nhất Giải phương trình Laplace Giải phương trình Poisson Nghiệm tích của phương trình Laplace Phương há Phươ pháp lưới Các phương trình Poisson & Laplace 25 Nghiệm tích của phương trình Laplace (1) • Các ví dụ trước giả thiết rằng V chỉ biến thiên theo/phụ thuộc vào một tọa độ • Phương. .. C1 E0 x 0 E0 ε1 ρ ε2 θ x C2 0 Ở gốc tọa độ điện trường vẫn hữu hạn Các phương trình Poisson & Laplace 33 Ví dụ Nghiệm tích của phương trình Laplace (9) Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật y Ngoµi: V1 C cos C ... p , p V ( ) V ( ); V ( ) V ( ) ( ) A1 cos , Các phương trình Poisson & Laplace 1 30 Ví dụ Nghiệm tích của phương trình Laplace (6) Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật 1 d 2 1 2 ( ) A1 cos... R d d Bk k §Æt R( ) Bk k 1 R( ) B1 B1 1 Các phương trình Poisson & Laplace 31 Ví dụ Nghiệm tích của phương trình Laplace (7) Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật 1 d 2 2 ( ) A1 cos d... ) V A1 B1 cos A1 B1 1 cos C cos C 1 cos Các phương trình Poisson & Laplace 32 Ví dụ Nghiệm tích của phương trình Laplace (8) Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật y Ngoµi: V1 C cos C cos 1 ... 1) 2 2 R R 1 2 1 n(n 1) 2 tg Các phương trình Poisson & Laplace 29 Ví dụ Nghiệm tích của phương trình Laplace (5) Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật d dR 2 R d d V ... ε1 ρ ε2 θ V1 E0 cos C1 1 cos V2 C2 cos Các phương trình Poisson & Laplace x 34 Nghiệm tích của phương trình Laplace (10) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật y V1 E0 cos C cos 1 1... E0 1 2 ρ ε2 θ x a a 1 ( E0 C1 a 2 ) cos 2C2 a cos Các phương trình Poisson & Laplace 35 Nghiệm tích của phương trình Laplace (11) Ví dụ Khảo sát điện thế & điện trường ở lân cận một vật hình trụ tròn dài vô hạn nằm trong một điện trường đều E0 Điện môi của môi trường & của vật lần lượt là ε1 & ε2 Điện trường vuông góc với trục của vật V1 E0 cos C1 1 cos V2 . trình Poisson & Laplace 2 13. Phản xạ & tán xạ sóng phẳng 14. Dẫn sóng & bức xạ Các phươn g trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson Phương trình Poisson •Phương. Laplace • Giảiphương trình Poisson • Giải phương trình Poisson • Nghiệm tích của phương trình Laplace Phươ há lưới • Phươ ng p há p lưới Các phương trình Poisson & Laplace 3 Phươn g trình Poisson (1) Luật. Các phương trình Poisson & Laplace 5 sin sin rr r r r (Hệ cầu) Các phươn g trình Laplace & Poisson • Phương trình Poisson Phương trình Poisson • Phương