Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 1: Những khái niệm về Logic, tập hợp và suy luận toán học;Chương 2: Các phương pháp đếm và Nguyên lý Dirichlet;Chương 3: Đồ thị và ứng dụng;Chương 4: Đại số Boole và Mạch tổ hợp;Chương 5: Automat, văn phạm ngôn ngữ hình thức.
Ph¹m ThÕ Long – Chñ biªn NguyÔn §øc HiÕu, NguyÔn ThiÖn LuËn NguyÔn Xu©n Viªn, NguyÔn V¨n XuÊt To ¸n rêi r¹c Hµ Néi – 2003 Lời nói đầu Toán rời rạc là một trong những kiến thức cơ sở đ-ợc giảng dạy ở tất cả các khoa Công nghệ Thông tin hiện nay. Tuy nhiên, tuỳ theo yêu cầu kiến thức và cấu trúc của ch-ơng trình đào tạo mà kết cấu môn học mỗi nơi ít nhiều có thể khác biệt. Nhằm đáp ứng những yêu cầu đa dạng về kiến thức, trong cuốn sách này các tác giả đã cố gằng giới thiệu một cách cô đọng hầu hết những nội dung cơ bản của Toán học rời rạc, bao gồm các kiến thức cơ sở về logic, tập hợp và đại số quan hệ (Ch-ơng I); một số bài toán trong lý thuyết tổ hợp (Ch-ơng II); đồ thị và các bài toán trên đồ thị (Ch-ơng III); đại số Boole và ứng dụng trong phân tích mạch điện tử (Ch-ơng IV); ngôn ngữ hình thức và ôtômat (Ch-ơng V). Trong cách trình bày cuốn sách, các tác giả quan tâm nhiều hơn đến kỹ thuật giải quyết vấn đề, không quá câu nệ vào những đòi hỏi chặt chẽ về mặt toán học theo kiểu định lý-chứng minh, không ít khái niệm và kết quả chủ yếu đ-ợc trình bày thông qua các ví dụ và bài tập. Ngoài khả năng t- duy lôgic nhất định, giáo trình không đòi hỏi từ phía bạn đọc một sự chuẩn bị đặc biệt nào về toán học nói chung, vì vậy có thể bố trí giảng dạy theo cuốn sách này ngay từ học kỳ 1 năm thứ nhất các tr-ờng đại học và cao đẳng. Nếu đã có một số hiểu biết cơ bản về lôgic và tập hợp (trong phạm vi các mục 1-3 của ch-ơng I), bạn đọc có thể tìm hiểu bất kỳ ch-ơng sau nào mà không cần tuân thủ trình tự các ch-ơng nêu trong cuốn sách. Trong số các tài liệu tham khảo đ-ợc nêu ở cuối sách, các tác giả muốn bạn đọc đặc biệt l-u ý tài liệu Toán rời rạc ứng dụng trong Tin học của Kenneth H. Rosen. Sự phong phú và đa dạng của các ví dụ và bài tập trong cuốn sách đó sẽ hết sức hữu ích cho bạn đọc . Những ai quan tâm đến việc ch-ơng trình hoá một số thuật toán nêu trong cuốn sách này có thể tham khảo thêm tài liệu Toán rời rạc của Nguyễn Đức Nghĩa và Nguyễn Tô Thành. Phân công công việc giữa các tác giả nh- sau: Chủ biên và hiệu đính toàn bộ nội dung bản thảo: Phạm Thế Long. Ch-ơng 1: Nguyễn Xuân Viên. Ch-ơng 2: Nguyễn Thiện Luận, Phạm Thế Long. Ch-ơng 3: Nguyễn Đức Hiếu, Phạm Thế Long. Ch-ơng 4: Phạm Thế Long. Ch-ơng 5: Nguyễn Văn Xuất. Các tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành PGS.TSKH Nguyễn Xuân Huy (Viện Công nghệ Thông Tin), PGS.TS Đặng Huy Ruận (ĐHQG Hà Nội) đã đọc kỹ bản thảo và cho nhiều ý kiến đóng góp xác đáng. Chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót trong cuốn sách này. Các tác giả rất mong nhận đ-ợc sự chỉ bảo và đóng góp của tất cả bạn đọc để có thể hoàn chỉnh nội dung cho những lần xuất bản sau. Các tác giả Mục lục Ch-ơng 1 Những khái niệm cơ bản về logic, tập hợp và suy luận toán học 5 1. Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các phép toán trên mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1 Tập hợp, tập con và tích Decac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3. L-ợng tử và vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Phủ định của vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4. Quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1 Khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Ma trận quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Quan hệ t-ơng đ-ơng, lớp t-ơng đ-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.4 Quan hệ n - ngôi. Cơ sở dữ liệu quan hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.1 Các ph-ơng pháp chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.3 Đệ quy và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ch-ơng 2 Các ph-ơng pháp đếm và nguyên lý Dirichlet 39 1. Các nguyên lý đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.1. Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.2 Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Một số bài toán đếm cơ bản: Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Chỉnh hợp không lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5. Tổ hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6. Hoán vị của tập hợp có các phần tử giống nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.7. Phân bổ các đồ vật vào trong hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.8. So sánh các cấu hình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3. Sinh các cấu hình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Sinh các hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2. Sinh các tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2. Nguyên lý Dirichlet tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3. Một vài ứng dụng thú vị của nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5. Hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1. Khái niệm và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2. Giải các hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.3. Quan hệ chia để trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6. Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2. Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Ch-ơng 3 đồ thị và ứng dụng 85 1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.1. Khái niệm và thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 1.2. Đ-ờng đi. Chu trình. Đồ thị liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 1.3. Một số dạng đồ thị đơn đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2. Biểu diễn đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.1. Ma trận kề, ma trận trọng số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.2. Ma trận liên thuộc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3. Sự đẳng cấu của các đồ thị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3. Các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1. Tìm kiếm theo chiều sâu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2. Tìm kiếm theo chiều rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4. Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1 Đ-ờng đi Euler và chu trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.2. Đ-ờng đi và chu trình Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5. Bài toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1. Đồ thị có trọng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2. Thuật toán tìm đ-ờng đi ngắn nhất Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6. Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.2. Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3. Định lý Kuratowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7. Tô màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2. Một số ứng dụng của bài toán tô màu đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8. Cây và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8.2. Các ph-ơng pháp duyệt cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.3. Cây và bài toán sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.4. Cây khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.5. Cây khung nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9. Mạng. Luồng trên mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.1. Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.2 Thuật toán tìm luồng cực đại trong mạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Ch-ơng 4 Đại số Boole và mạch tổ hợp 163 1. Khái niệm về mạch tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 1.2 Biểu thức Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2. Các tính chất của mạch tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2.1 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2.2 Mạch tổ hợp t-ơng đ-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3. Hàm Boole và vấn đề tổ hợp mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.1. Đại số Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.2. Hàm Boole và vấn đề tổng hợp mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4. Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.1 Bộ cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.2 Cực tiểu hoá các mạch. Ph-ơng pháp Quine-McCluskey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Ch-ơng 5 Automat, văn phạm và ngôn ngữ hình thức 185 1. Mạch tuần tự và máy hữu hạn trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 1.1. Mạch tuần tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 1.2. Máy hữu hạn trạng thái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2. Automat hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.1. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.2. Biểu diễn automat hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2.3. Ngôn ngữ đoán nhận bởi automat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2.4. Automat không tất định (nondeterministic automat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 2.5. Quan hệ giữa automat tất định và không tất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 3. Văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.1. Các khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.2. Văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.3. Phân loại văn phạm và ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 3.4. Một số tính chất của ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.5. Tính đệ qui ngôn ngữ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4. Automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.1. Quan hệ giữa automat hữu hạn và ngôn ngữ chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.2. Một số tính chất của ngôn ngữ loại 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.3. Một số tính chất của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.4. Các dạng chuẩn của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.5. Lực l-ợng của văn phạm phi ngữ cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 5. Máy Turing (Turing machine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.2. Khái niệm và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.3. Hàm Turing thực hiện đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 5.4. Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Ch-ơng I. Những khái niệm cơ bản về logic, tập hợp và suy luận toán học Trong ch-ơng này chúng ta nghiên cứu một số vấn đề mang tính chất cơ sở không chỉ của toán học rời rạc nói riêng, mà của cả toán học nói chung. Đó là những khái niệm cơ bản về logic (khái niệm mệnh đề, các phép toán trên các mệnh đề), tập hợp (khái niệm về tập hợp và các phép toán trên tập hợp) và suy luận toán học (các lập luận toán học cơ sở và các phép chứng minh th-ờng dùng trong toán học). Khái niệm quan hệ nh- là một tập con của tập tích Decac cũng sẽ đ-ợc đề cập đến trong ch-ơng. 1. Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic 1.1 Mệnh đề Logic toán là môn học nghiên cứu các quy luật giữa nguyên nhân và hệ quả, giữa giả thiết và kết luận, từ đó rút ra đ-ợc những quy tắc quan trọng nhất để nhận đ-ợc những nguyên lý đúng đắn đ-ợc áp dụng cho hầu hết các ngành khoa học tự nhiên cũng nh- xã hội. Một trong những khái niệm quan trọng nhất của logic toán đó là logic mệnh đề, logic toán đ-ợc đặt nền móng trên đại số mệnh đề. Khi ta nói Huế là một thành phố của Việt Nam thì chúng ta đã đ-a một khẳng định mà mọi ng-ời đều thấy đúng. Nh-ng khi ta nói 2 1 thì ng-ời ta lại thấy ngay ta đã nói sai. Định nghĩa 1.1.1. Mệnh đề là một khẳng định mà ta có thể biết đ-ợc nó đúng hoặc sai. Không có mệnh đề vừa đúng vừa sai. Các mệnh đề đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latinh in A, B, C Khi mệnh đề đúng thì ta nói mệnh đề nhận giá trị đúng và viết : A T hay A T , nếu mệnh đề B sai thì ta nói B nhận giá trị sai và viết : B F hay B F . Ví dụ 1.1.1. Tất cả các khẳng định sau đều là các mệnh đề 1. Hà Nội là Thủ đô của Việt Nam 2. 2>3 3. 1+3=4 Các mệnh đề 1, 3 là các mệnh đề đúng còn mệnh đề 2 là mệnh đề sai. 1.2 Các phép toán trên mệnh đề Từ các mệnh đề ban đầu A, B, C ng-ời ta có thể xây dựng các mệnh đề mới với sự giúp đỡ của các phép toán logic tuyển, hội và phủ định sau đây. Định nghĩa 1.2.1. Giả sử A, B là các mệnh đề. Hội của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là A B và đọc là A và B. Mệnh đề A B đúng khi cả A và B đều đúng, và sai trong tất cả các tr-ờng hợp còn lại. Có thể biểu diễn hội của A và B d-ới dạng bảng giá trị chân lý sau A B A B T T T T F F F T F F F F Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A, B là các mệnh đề. Tuyển của A, B là một mệnh đề đ-ợc ký hiệu là A B và đọc là A hoặc B. Mệnh đề A B sai chỉ khi cả A và B đều sai, và đúng trong các tr-ờng hợp còn lại. Ta có bảng giá trị chân lý của mệnh đề B A sau A B A B T T T T F T F T T F F F Ví dụ 1.2.1. Nếu ký hiệu A, B, C t-ơng ứng là các mệnh đề 1, 2, 3 trong ví dụ 1.1.1 A B là mệnh đề sai vì B sai A B là mệnh đề đúng vì A đúng , C A C A đều là các mệnh đề đúng. Định nghĩa 1.2.3. Giả sử A là một mệnh đề, phủ định của A, ký hiệu A , là một mệnh đề nhận giá trị đúng khi A sai và nhận giá trị sai khi A đúng. 1.3 Mệnh đề có điều kiện và sự t-ơng đ-ơng logic Định nghĩa 1.3.1. Giả sử A, B là các mệnh đề. Mệnh đề có điều kiện (còn gọi là phép suy diễn hay phép kéo theo) A B là một mệnh đề sai chỉ khi A đúng và B sai, và là mệnh đề đúng trong mọi tr-ờng hợp còn lại. Trong mệnh đề A B ng-ời ta gọi A là giả thuyết (hay A là nguyên nhân) B là kết luận (hay B là kết quả). Nh- vậy, theo định nghĩa, phép suy diễn A B chỉ bị coi là sai nếu từ giả thuyết đúng suy ra kết luận sai. Ta có bảng giá trị chân lý A B A B T T T T F F F T T F F T Mệnh đề có điều kiện A B còn đ-ợc đọc là nếu A thì B hay B chỉ nếu A. Kết luận B biểu thị điều kiện cần của A, còn giả thiết A biểu thị điều kiện đủ của B. Ví dụ 1.3.1. Ký hiệu A là mệnh đề Hôm nay là thứ t- B là mệnh đề Tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 o C là mệnh đề 1 1 3 Khi đó, theo định nghĩa, A B là mệnh đề đúng: Nếu hôm nay là thứ t-, thì tam giác vuông là tam giác có một góc bằng 90 o là mệnh đề đúng cho dù hôm nay có là thứ t- hay không. Còn mệnh đề A C : Hôm nay là thứ t- thì 1 1 3 là mệnh đề nhận giá trị đúng chỉ khi hôm nay không phải là thứ t Định nghĩa 1.3.2. Giả sử A, B là các mệnh đề. Khi đó mệnh đề A t-ơng đ-ơng với B, ký hiệu là A B , là một mệnh đề nhận giá trị đúng khi và chỉ khi A và B có giá trị chân lý giống nhau. Ta có bảng giá trị chân lý sau của mệnh đề A B . A B A B T T T T F F F T F F F T Ng-ời ta còn sử dụng các cách gọi khác nhau của mệnh đề A B nh- có A khi và chỉ khi B, A là cần và đủ đối với B hay nếu A thì B và ng-ợc lại. [...]... (6665555, Khoái, Toán, 40) Định nghĩa 4.4.3 Toán tử chiếu Pi1i2 im chỉ quan tâm đến các cột mang số thứ tự qua các cột khác Ngoài ra nếu có nhiều bộ cùng i1i2 im thì chỉ giữ lại một i1i2 im , bỏ Ví dụ 4.4.4 Toán tử chiếu P(Tên, bộ môn) cho ta (Vui, Toán) (Vẻ, Lý) (Khoái, Hoá) (Chí, Sinh) (Khoái, Toán) thì toán tử chiếu P(Tên) chỉ cho ta (Vui), (Vẻ), (Khoái), (Chí) Định nghĩa 4.4.4 Toán tử liên kết... cho nên nó chính là một định lý Ghi chú 1.3.1 Để đơn giản hơn trong cách viết các công thức ng-ời ta quy -ớc trật tự các phép toán nh- sau: các phép toán trong ngoặc thực hiện tr-ớc, công thức nào có phủ định phải thực hiện nó tr-ớc sau đó theo thứ tự -u tiên nếu không có dấu ngoặc thì phép hội thực hiện tr-ớc phép tuyển thực hiện sau, cuối cùng mới đến các phép toán suy diễn và t-ơng đ-ơng Ví dụ công. .. quan hệ này không có 2 giáo viên nào trùng cả tên lẫn bộ môn Một cơ sở dữ liệu phải đáp ứng đ-ợc các đòi hỏi của ng-ời sử dụng khi ng-ời ta cần lấy những thông tin nào đó ra Định nghĩa 4.4.2 Toán tử chọn - Select chọn từ các hàng của quan hệ ra các hàng mà tiêu chí cần quan tâm nhận một giá trị nhất định Ví dụ 4.4.3 Toán tử chọn Giáo viên [Tên = Khoái] chọn ra các hàng nào trên giáo viên là Khoái đó...Ví dụ 1.3.2 Nếu gọi A là mệnh đề Hôm nay trời nắng B là mệnh đề Nhiệt độ ngoài trời cao hơn 300C thì A B sẽ nhận giá trị đúng nếu khẳng định sau là đúng: Trời nắng thì nhiệt độ ngoài trời cao hơn 300C và nhiệt độ ngoài trời cao hơn 300C thì trời nắng ở Việt Nam điều này rõ ràng không đúng, vì vào mùa hè ở n-ớc ta nhiệt độ có thể cao hơn 300C mà trời vẫn không nắng Định nghĩa 1.3.3 Từ các mệnh... tr-ờng hợp khi mà A đúng còn B sai Quá trình thực hiện phép suy diễn đ-ợc gọi là lập luận hay luận chứng Luận chứng đ-ợc coi là đúng nếu chúng ta nhận đ-ợc công thức hằng đúng hay định lý Ví dụ nh- A A B B là một định lý vì với mọi giá trị của A, B công thức đó là công thức hằng đúng Trong lập luận thì công thức hằng đúng ấy đ-ợc viết nh- sau: A, A B B Khi dùng ký hiệu này ta muốn nhấn mạnh tới... A B đ-ợc viết trên gạch ngang; d-ới dấu gạch ngang viết kết luận B, ký hiệu thay cho vậy thì trong lập luận Quy tắc suy diễn theo lập luận trên đ-ợc gọi là luật tách rời Ví dụ 5.1.1: Giả sử B là mệnh đề nếu n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 9, còn A là mệnh đề 2 n = 6 Khi đó, theo luật tách rời n 36 sẽ chia hết cho 9 2 Sau đây là một số quy tắc suy diễn quan trọng chúng ta sẽ đặt t-ơng ứng các... tách rời A, A B B iv) AB A t-ơng ứng với hằng đúng t-ơng ứng với hằng đúng A A B B Tam đoạn luận giả định A B BC B C v) A B A t-ơng ứng hằng đúng Tam đoạn luận tuyến A B B C A C A B A B t-ơng ứng với hằng đúng A B A B Ví dụ 5.1.2 Lập luận Nếu hôm nay trời nắng tôi sẽ đi dạo công viên có cơ sở là luật tách rời iii) Ví dụ 5.1.3 Lập luận Nếu hôm nay trời nắng tôi sẽ đi chơi công. .. h-ởng đến việc tiếp thu các ch-ơng sau quan hệ Ví dụ 4.4.2 giáo viên Số điện thoại Tên Bộ môn Tuổi 1010001 Vui Toán 40 1230401 Vẻ Lý 37 2123456 Khoái Hoá 49 6106333 Chí Sinh 27 6665555 Khoái Toán 40 Hàng thứ nhất Giáo viên chỉ tên của quan hệ liệt kê d-ới bảng Bảng này gồm có 4 cột nó biểu diễn quan hệ 4 - ngôi với các thành phần: số điện thoại, tên giáo viên, bộ môn và tuổi Một cơ sở dữ liệu gồm các bản... các mệnh đề mới với sự giúp đỡ của các phép toán logic: hội, tuyển, phủ định, suy diễn và t-ơng đ-ơng Các mệnh đề ban đầu đ-ợc gọi là các mệnh đề sơ cấp, các mệnh đề mới nhận đ-ợc gọi là các công thức Công thức có giá trị đúng với mọi giá trị khác nhau của các mệnh đề sơ cấp đ-ợc gọi là công thức hằng đúng hay định lý (đôi khi còn gọi là luật) Ví dụ 1.3.3 Xét công thức A B A B Ta thành lập bảng giá... minh phản chứng thứ hai A B A B 2 Tập hợp và các phép toán trên tập hợp 2.1 Tập hợp, tập con và tích Decac Tập hợp là một khái niệm toán học không định nghĩa đ-ợc Ng-ời ta chỉ có thể mô tả tập hợp thông qua các phần tử của nó Tập hợp th-ờng đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latin hoa nhA, B, C , còn các phần tử của tập hợp đ-ợc ký hiệu bằng các chữ Latin th-ờng a, b, c, a A Nh- vậy giữa phần tử và tập . đầu Toán rời rạc là một trong những kiến thức cơ sở đ-ợc giảng dạy ở tất cả các khoa Công nghệ Thông tin hiện nay. Tuy nhiên, tuỳ theo yêu cầu kiến thức và cấu trúc của ch-ơng trình đào. sách đó sẽ hết sức hữu ích cho bạn đọc . Những ai quan tâm đến việc ch-ơng trình hoá một số thuật toán nêu trong cuốn sách này có thể tham khảo thêm tài liệu Toán rời rạc của Nguyễn Đức Nghĩa. các phép toán trên các mệnh đề), tập hợp (khái niệm về tập hợp và các phép toán trên tập hợp) và suy luận toán học (các lập luận toán học cơ sở và các phép chứng minh th-ờng dùng trong toán học).