Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa PHN I: I S Ch đề 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Hằng đẳng thức đáng nhớ a b a  b  a  2ab  b2 a  b  a3  b3   a  b  a2  ab  b2   a3  3a 2b  3ab  b3 a  b  a2  2ab  b 3  a  3a 2b  3ab2  b3  a3  b3   a  b  a2  ab  b2 a  b  c   a  b  a  b   a2  b2   a2  b2  c  2ab  2bc  2ca Một số phép biến đổi thức bậc hai - Điều kiện để thức có nghĩa: A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức: A2 A A B A B AB  A B A 2B  A B (A  0;B  0) (A  0;B  0) (B  0) A B  A 2B (A  0;B  0) A  B B C A B  A B   A 2B (A  0;B  0) A AB (AB  0;B  0) B C( A  B) (A  0;A  B2 ) A  B2  A B (B  0) B C A B  C( A  B) (A  0;B  0;A  B) A B Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Phương pháp: Nếu biểu thức có:  Chứa mẫu số  ĐKXĐ: mẫu số khác  Chứa bậc chẵn  ĐKXĐ: biểu thức dấu   Chứa thức bậc chẵn mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dấu   Chứa thức bậc lẻ mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dấu  Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ cỏc biu thc sau) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa 1) 3x  8) x2  2)  2x 9) x2  3) 10) 11) 7x  14 4) 2x  3 x 5) x3 7x 7) 2x  5x  12) 7x  6) x  3x  13) 14) 2x  x x  5x  x 3  3x 5x 6x   x  Dạng 2: Dùng phép biến đổi đơn giản thức để rút gọn biểu thức Phương pháp: Thực theo bước sau:     Bước 1: Tìm ĐKXĐ đề chưa cho Bước 2: Phân tích đa thức tử thức mẫu thức thành nhân tử Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn Bài 1: Đưa thừa số vào dấu a) ; b) x (víix  0); x c) x ; x ; 25  x2 d) (x  5) e) x x2 Bài 2: Thực phép tính a) ( 28  14  )   8; d) b) (   10)(  0,4); e) c) (15 50  200  450) : 10; f) g) 3; 20  14  20  14 ;    5; 11  11 3 h) 7 3 7 26  15  26  15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3 216  ) 2 b) 14  15   ): 1 1 7 c)   15 10 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần §¹i NghÜa Bài 4: Thực phép tính a) (4  15 )( 10  6)  15 b) c) 3  3  e) (3  5)   (3  5)  d) 6,5  12  6,5  12  Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a)   24   24  c) 4  4  b)  1 1 5 52  5 5 3 1 1 3 3  3 3 d) Bài 6: Rút gọn biểu thức: a)   13  48 c) b)   48  10  1 1     1 2 3 99  100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a b b a a) : , víi a  0, b  vµ a  b ab a b  a  a  a  a    , víi a  vµ a  b)     a   a 1    a a   2a  a ; a4 d)  5a (1  4a  4a ) 2a  c) 3x  6xy  3y 2 e)  x  y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A  x  3x y  2y, x  2 ;y  94 b) B  x  12x  víi x  4(  1)  4(  1) ;    c) C  x  y , biÕt x  x  y  y   3; d) D  16  2x  x   2x  x , biÕt 16  2x  x   2x  x  e) E  x  y  y  x , biÕt xy  (1  x )(1  y )  a §Ị cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Dng 3: Bi toỏn tng hp kiến thức kỹ tính tốn Phương pháp: Thực hin theo cỏc bc sau: * Bc 1: Trục thøc ë mÉu (nÕu cã) * Bước 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã) * Bước 3: Đưa mét biÓu thức dấu * Bc 4: Rút gọn biĨu thøc ↣ Để tính giá trị biểu thức biết x  a ta thay x  a vào biểu thức vừa rút gọn ↣ Để tìm giá trị x biết giá trị biểu thức A ta giải phương trình A  x Lưu ý: + Tất tính tốn, biến đổi dựa vào biểu thức rút gọn + Dạng toán phong phú học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch tốn” tìm hướng đắn, tránh phép tính phức tạp x3 Bài 1: Cho biểu thức P  x 1  a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P a2  a 2a  a   Bài 2: Xét biểu thức A  a  a 1 a a) Rút gọn A b) Biết a > 1, so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thức C  1 x   x  2 x  1 x a) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị x để C    a a b :  1    a  b2  a  b2  a  a  b b) Tính giá trị C với x  Bài 4: Cho biểu thức M  a) Rút gọn M Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa a b c) Tìm điều kiện a, b để M <  x 2 x   (1 x)2  P  Bài 5: Xét biểu thức  x  x  x  1    a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P x 9 x  x 1   Bài 6: Xét biểu thức Q  x 5 x 6 x  3 x a) Rút gọn Q b) Tìm giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên  xy x  y3  x  y  xy :  Bài 7: Xét biểu thức H    x y xy  x y   a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H   a   a :   Bài 8: Xét biểu thức A  1   a    a  a a  a  a       a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị A a  2007  2006 b) Tính giá trị M  Bài 9: Xét biểu thức M   3x  9x  x 1 x 2   x x 2 x  1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P  15 x  11 x  x 3  x 2 1 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x cho P  c) So sánh P với 2  x 3 x 3 §Ị cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Ch 2: PHNG TRèNH BC HAI NH Lí VI-ẫT Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax bx c  (a  0) C«ng thøc nghiƯm: Ta cã   b2  4ac - NÕu  < phương trình vô nghiệm - Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 x   b 2a - NÕu  > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  b   b   ; x2  2a 2a b * C«ng thøc nghiƯm thu gän: Ta cã  '  b'2  ac (Víi b' ) - Nếu < phương trình vô nghiệm - Nếu = phương trình cã nghiÖm kÐp x1  x   b' a - Nếu > phương trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1  b '  ' b'  ' ; x2  a a HÖ thức Vi-et: Nếu phương trình có nghiệm x1; x2 S = x1  x  b c ; P = x1.x  a a Gi¶ sư x1; x2 hai nghiệm phương trình ax bx  c  (a  0) Ta cã thể sử dụng định lí Vi-et để tính biểu thøc cña x1, x2 theo a, b, c 2 S1 = x1  x   x1  x2   2x1x2  b2  2ac a2 3 S2 = x1  x   x1  x2   3x1x  x1  x2   S3 = x1  x   x1  x    x1  x  3abc  b3 a3  4x1x  b2  4ac a2 øng dụng hệ thức Vi-et: a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax  bx  c  (a  0) - NÕu a + b + c =  x1 = 1; x  c a - NÕu a - b + c =  x1 = -1; x   c a b) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm phương trình bËc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax  bx  c  (a  0) cã hai nghiệm x1; x2 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa th× ax  bx  c  a  x  x1  x  x2  C¸c dạng toán bản: Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm b2  4ac  hc c 0 a Trong trường hợp cần chứng minh có hai phương trình: ax bx c ; a' x  b' x  c '  cã nghiƯm ng­êi ta th­êng lµm theo mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Chøng minh 1 Cách 2: 1.2 Dạng 2: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: TÝnh S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a B­íc 3: BiĨu diƠn hƯ thøc ®Ị bµi theo S, P víi chó ý r»ng x1  x2  S2  2P ;   x1  x  S S2  3P ; 1 S 1 S2  2P   ; 2  x1 x P x1 x P2 Dạng 3: Hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: TÝnh S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a B­íc 3: Khư m ®Ĩ lËp hƯ thøc S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số m Dạng 4: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: TÝnh S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bước 4: Kết luận Phương trình quy phương trình bậc (bậc hai) Phương trình chứa ẩn mẫu số: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa phương trình bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Khử dấu giá trị tut ®èi, biÕn ®ỉi ®­a vỊ pt bËc nhÊt (bËc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình trùng phương: ax bx c (a 0) Phương pháp: Bước 1: Đặt x2 = t  B­íc 2: BiÕn ®ỉi ®­a phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai Bước 4: So sánh với ®iỊu kiƯn vµ kÕt ln nghiƯm Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân 1    (Èn x) biết: xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b  c ax  x 0 (1) bc ca 2c c  a bx  x 0 (2) ca ab 2a a  b x 0 (3) ab bc với a, b, c số dương cho trước Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = cx  Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: 2 A  x1  x ; B  x1  x ; C 1  ; x1  x  D  3x1  x 3x  x1 ; E  x1  x ; Lập phương trình bậc hai có nghiệm F  x1  x 1 vµ x1  x2  Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá tr ca cỏc biu thc sau: Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa A 2x1 3x1 x  2x  3x1x ; 1 x x1 x x  B       ; x x  x1 x1   x1 x    2 3x  5x1x  3x C 2 4x1x  4x1 x Bài 3: a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10  72 10  Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1 ; x2 với m 1 vµ y  x  b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1  x2 x1 Bài 5: Không giải phương trình 3x + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau: x1 x A  3x1  2x 3x  2x1 ; B  ; x  x1  b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1  x   x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: C  x1  x2 ; D  x1 y  x2  b)  x  y2   x1  y  x  a)  y  x  Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x  y1  y  x  x y  y  x  x 2   a)  ; b)   y  y 2  5x  5x   y  y  3x  3x   y y1  Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho món: 10 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại NghÜa Hai người A B làm xong công việc trơng 72 , cịn người A C làm xong cơng việc trong 63 ngươ B C làm xong công việc 56 Hỏi người làm trong làm xong cơng việc >Nếu ba người làm hồn thành công việc ? Giải : Gọi người A làm xong cơng việc x (giờ ), x > làm (c việc) x ( công việc) y Người C làm xong cơng việc z (giờ ), z > làm ( công việc) z 1 1 504   x  y  72  x   168   504 1 1   y   126 Ta có hpt :    x z 63   504 1 1   y  z  56  z   100   Người B làm xong công việc y (giờ ), y > làm 1 12 + + = ( công việc ) x y z 504 504 Vậy ba ngưịi làm hồn thành công việc  42 (giờ ) 12 Nếu ba người làm làm Bài tập 10: ( 258 /96 – nâng cao chuyên đề ) Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong công việc Hỏi đội làm phải xong Giải : Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x ( x > ) Suy thời gian đội II làm xong cơng việc x + 1 2x    ( công việc ) x x  x ( x  4) x ( x  4) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc (giờ) 2x  x ( x  4) Vậy ta có pt : 2x + = 4,5 hay x2 + 4x – 32 =  x1 = - ( loại ) x2 = ( thoả mãn 2x  Trong hai đội làm chung : điều kiện ẩn ) Vậy Đội I làm xong cơng việc hết , đội hai hết Bài 1: 25 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Hai ngi th cựng làm chung công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài 2: Nếu vòi A chảy vịi B chảy vịi B chảy 30 phút hồ Nếu vòi A chảy hồ Hỏi chảy mỗI vịi chảy đầy hồ Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể? Dạng 3: Tốn liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Dạng 4: Tốn có nội dung hình học Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2 Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng Dạng 5: Tốn tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị 26 §Ị cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Bi 2: Tỡm mt s cú hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Bài 3: Nếu tử số phân số tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số Chủ đề 6: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu Giải phương trình sau: x x3  6 x  x 1 2x  x3 b) 3 x 2x  2 t 2t  5t c) t t 1 t 1 a) Dạng 2: Phương trình chứa thức Lo¹i Lo¹i  A  (hayB  0) A B A  B B  A B A  B Giải phương trình sau: a) 2x  3x  11  x  b) c) 2x  3x   x  d) e) x  1 x  3x Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình sau: 27 x  2  3x  5x  14 x  12x  3   x Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa a) x   x  x  b) x   2x   x  2x  c) x  2x   x  x  x  4x d) x   x  4x   3x Dạng 4: Phương trình trùng phương Giải phương trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; c) 2x4 + 5x2 + = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = Dạng 5: Phương trình bậc cao Giải phương trình sau cách đưa dạng tích đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x + x – 2x – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 Bài 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 =  1   c) x  x  x  x   d) 4 x    16 x    23  x x    x2  x 5 3x 21 e)  40 f)  x  4x   x x  x 5 x  4x  10 x 48 x 4 2 g) 2x  3x   2x  3x   24  h)   10    x 3 x 2x 13x i)  6 k) x  3x   x  3x  2x  5x  2x  x      Phần II: HÌNH HỌC HỆ THỐNG LÝ THUYẾT – HỆ THỐNG BÀI TẬP 1.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông A  AB2  AC2  BC2 2.Hệ thức lượng tam giỏc vuụng A B C H 28 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần §¹i NghÜa 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1 4)   2 AH AB AC2 Kết quả: a -Với tam giác cạnh a, ta có: h  ; 3.Tỉ số lượng giác góc nhọn   Đặt ACB  , ABC   đó: AB AH AC HC sin    ; cos   ; BC AC BC AC a2 S tg  AB AH  ; AC HC cot g  AC HC  AB AH b  a sin B  acosC  ctgB  ccot gC c  acosB  asinC  bctgB  btgC Kết suy ra: 1) sin   cos; cos  sin; tg  cotg; cot g  tg sin  cos 2)  sin   1;  cos R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài 4: Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB tam giác gì? b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tròn I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ i qua im c nh Bi 2: 35 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Cho tam giỏc u ABC ni tip (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đường tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD b) Chứng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B C E a) Chứng minh CE = AC + BE b) Chứng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB 36 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán + Chng minh rng: Trường Trần Đại Nghĩa HA FA  HB FB + Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đường trịn Bài 3: Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đường thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: 1   PQ PB PC Bài 4: Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức: a) 1   2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích Bài 1: Cho hai đường trịn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc ngồi A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B  (O); C  (O’)) a) Chứng minh góc O’OB 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đường tròn Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K) a) Chứng ming EC = MN b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn Bài 3: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị khơng đổi  b) Cho biết BAC  600 bán kính đường trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp , K tâm đường trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính bán kính đường trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bi 5: 37 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Cho ng trịn tâm O đường kính AB = 2R E điểm đường tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vuông O b) OM cắt đường tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEM d) Giả sử tỉ số diện tích ∆ACM ∆AEC Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Tốn quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài 2: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ   a) Chứng minh QMO = QPO đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ qua hai điểm cố định M di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp ∆MPQ M di động d Bài 3: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động ng no? 38 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa c) Tỡm vị trí d để ∆PQB có chu vi lớn Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương Bài 3:  Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm A 'AC'  600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích  biết cạnh đáy dài cm AA 'B  300 Bài 5: Cho ∆ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G ∆ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a 39 ... muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc Hay 22 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa thi gian bng thi gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng... làm (2) Vậy làm việc riêng rẽ công việc người làm 10 người làm 21 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa Bi 3: Hai t niên tình nguyện sửa đường vào xong Nếu làm riêng tổ làm... phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = 12 Đề cương ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trường Trần Đại Nghĩa a) Chứng minh phương