Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng bất đẳng thức Cô-si (Cauchy)
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ăngghen nói : " Biện pháp thực giới thực tế phản ánh khái niệm công thức toán học" Bất nơi đâu học sinh nhận thấy có quy luật phương pháp biện chứng đó, học sinh nhận rõ điều phát triển suy luận theo phương pháp biện chứng Toán học dạy ta cách rút kết luận từ tiên đề có sẵn, cách làm cho kết luận có chứng Dùng ngơn ngữ tốn học luyện tập diễn đạt tư tưởng cách khoa học, ngơn ngữ tốn học bắt ta đem lại kết nhận thức diễn đạt thật tinh tế logic- xác Do vai trị quan trọng tốn học đời sống, khoa học cơng nghệ đại, công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực Bác Phạm Văn Đồng nói "Dù bạn ngành nào, cơng tác kiến thức phương pháp tốn học cần cho bạn" Mơn tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực, phẩm chất trí tuệ có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức sống lao động Các em học sinh làm quen với Bất đẳng thức từ năm lớp 7, đến lớp 10 vấn đề đề cập kỹ Tầm quan trọng hiểu biết kỹ vận dụng Bất đẳng thức rõ ràng Ta vận dụng Bất đẳng thức vào toán khác giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức toán học nhiều ứng dụng toán học khác Mặc dầu quan trọng Bất đẳng thức chủ đề khó đa số học sinh, mảng kiến thức dễ đâm chồi, nảy lộc hoa đẹp tính sáng tạo, địi hỏi kiên trì, ham học hỏi Rèn luyện Bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường khả tính tốn, khả tìm tịi lời giải tốn Hơn luyện tập chứng minh Bất đẳng thức cịn góp phần phát triển tư lơgíc bồi dưỡng trí thơng minh, đọc vấn đề cách nhanh nhạy cho học sinh Trong chương trình tốn THPT có nhiều phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Nhưng có phương pháp quan trọng sử dụng Bất đẳng thức Côsi Đây mảng Bất đẳng thức mà đề thi hay khai thác vận dụng để giải toán khác Qua thời gian nghiên cứu ,giảng dạy vận dụng Bất đẳng thức Côsi rút số kinh nghiệm, sáng kiến để giảng dạy mảng kiến thức Tôi mạnh dạn đưa để bạn đồng nghiệp bàn bạc, đánh giá Mặc dầu có nhiều đề tài khai thác mảng kiến thức này, tin với đề tài học sinh có nhìn tổng thể dạng, phương pháp vận dụng Bất đẳng thức Cơsi, tập, ví dụ đưa từ dễ đến khó, tập bám sát vào kỳ thi Đại học, Cao đẳng , học sinh giỏi , bố trí tập hợp lý sau lý thuyết với nhiều tập hay nên có tác dụng tốt đến em học sinh Học sinh giải nhiều tốn thơng qua việc vận dụng toán phân dạng đề tài Thế Bất đẳng thức phần khó chương trình tốn nói chung Bởi muốn dạy học tốt phần địi hỏi thầy, em học sinh phải đầu tư thời gian, dày công tập luyện, nghiên cứu vấn đề có hệ thống, ghi nhớ phương pháp chứng minh hình thành kỹ sáng tạo Thông qua đề tài tơi thấy thực có ích có cách nhìn đầy đủ phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Cơsi chương trình tốn THPT Học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng, có định hướng rõ ràng giải tốn Đề tài có tên là: " BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI VÀ CÁC KỸ NĂNG VẬN DỤNG" II NỘI DUNG ĐỀ TÀI A Bất đẳng thức Cơsi Bất đẳng thức Cơsi nhà tốn học người Pháp Augustin Louis Caushy đưa Nó phát biểu sau: Cho a1 , a , , a n số không âm thì: a1 a a n n a1 a a n n Dấu đẳng thức xẩy khi: a1 a a n Chúng ta thường sử dụng cho số số, cụ thể: Cho a , b , c ta ln có: a b ab Dấu đẳng thức xẩy a = b a b c 33 abc Dấu đẳng thức xẩy a = b=c Cần nhấn mạnh Điều kiện để sử dụng Bất đẳng thức Côsi số không âm Và dấu xẩy ?(điều quan trọng để sử dụng Bất đẳng thức) Để học sinh dễ nhớ cần nói rõ Trung bình cộng trung bình nhân ta thấy Bất đẳng thức Cơsi có dạng chung "Trung bình cộng lớn trung bình nhân" B Các kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Côsi Sử dụng trực tiếp Bất đẳng thức Cơsi Mục đích tập làm cho học sinh nhận dạng làm quen, tạo hứng thú với Bất đẳng thức Côsi Bài Chứng minh rằng: a 0, b : a b 2 b a (1) Phân tích: Học sinh làm phương pháp biến đổi tương đương ta giải đơn giản Bất đẳng thức Côsi Giải Do a > b>0 nên a b , áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: b a a b ab a b a b 2 2 1 2 b a ba b a b a Dấu "=" xẩy a b a2 b2 a b b a Các tập tương tự vận dụng trực tiếp: "a, b, c > CMR : 1) a b c b c + + ³ 2) 2a + + ³ 3 2c 3) a + ³ b c a a b a Ta tiếp tục cho học sinh phát triển áp dụng Bất đẳng thức Côsi Bài Chứng minh rằng: a, b 1 (a b)( ) a b (2) Phân tích: Học sinh làm nhiều cách như: + Phân tích vế trái sau áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho a b , b a + Quy đồng đưa a b 2 4ab (a b) Tuy nhiên để học sinh thấy hứng thú tạo nên lớp toán sử dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có cách giải sau: Giải Vì a , b nên 1 , áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: a b a + b ³ ab ü 1 1 ï 1 ý Þ (a + b)( a + b ) ³ ab ab Û (a + b)( a + b ) ³ + ³2 ï a b ab ỵ Du "=" xy a b Học sinh dễ dàng chứng minh Bất đẳng thức sau: 1 a, b, c (a b c)( ) a b c (3) Tổng quát: a1 , a , , a n ta ln có: (a1 a a n )( 1 ) n a1 a an Dấu "=" xẩy a1 a a n Đến giáo viên cần ý cho học sinh từ hai Bất đẳng thức (2) (3) cách biến đổi tương đương ta có Bất đẳng thức phụ hữu ích 1 a b ab a b ) ab ab (a b) (2a) (2c) ( 1 1 ( ) ab a b (2b) (2d) 1 1 ( ) (3a) abc a b c Các Bất đẳng thức phụ thường sử dụng xem bổ đề để chứng minh tốn khó cách đơn giản 1) Cho a,b,c số dương thõa mãn : a b c Chứng minh rằng: 1 9 a 2bc b 2ac c 2ba (ĐH Bách khoa) Giải: Theo (3) ta ln có : ( 1 ) ( a 2bc) (b 2ac) (c 2ba ) a 2bc b 2ac c 2ba ( 1 )a b c a 2bc b 2ac c 2ba Do số a,b,c dương a b c Nên ta có (a b c) : Từ suy ra: 1 (Đpcm) a 2bc b 2ac c 2ba Dấu "=" xẩy khi: a b c x 2) Cho x,y,z số dương thõa mãn : CMR: 1 y z 1 1 2x y z x y z x y 2z (ĐH khối A năm 2005) Giải: Từ (2d) với a, b ta có: 1 1 ( ) Dấu "= " xẩy a=b ab a b Áp dụng kết ta có: 1 1 1 1 1 x y z x y z x 16 y 16 z 2x y z 1 1 1 1 1 y x z y x z y 16 x 16 z x 2y z 1 1 2z x x y 2z Vậy: 1 1 1 z x y z 16 x 16 y y 1 1 1 1 = (Đpcm) 2x y z x y z x y 2z 4x y z Dấu "=" xẩy : x = y = z = 3) Cho x,y,z số dương thõa mãn : x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 (ĐH KHTN 2000) xy zy xz Giải: Ta có: 1 )( xy yz zx 1) xy zy xz 9 A 2 xy yz zx x y z ( Vậy giá trị nhỏ A 3/2 x=y=z=1 Các tập tương tự dùng để củng cố: Cho a, b, c i) (a b)(b c)(c a) 8abc ii) (a b)(ab 1) 4ab iii) (a b c)(a b c ) 9abc iv) a b c ( 1)( 1)( 1) b c a v) a 3b a c b 3c b a c a c 3b 6abc c b a c b a vi) a (1 b ) b (1 c ) c (1 a ) 6abc Cho x,y,z số dương thõa mãn : x y z CMR: y x z x 1 y 1 z 1 Kỹ thuật dùng hốn vị vịng Đây kỹ thuật thường gặp sử dụng Bất đẳng thức Côsi Bài 3: Chứng minh a, b, c a b c 1 bc ac ab a b c Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Côsi cho số hạng ta thấy khơng có kết Nếu ta linh hoạt áp dụng cho hai số có kết tức Giải Vì a,b,c>0 nên a b c , , áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có: bc ac ab a b a b a b 1 2 2 bc ac bc ac bc ac c b c b c b c 1 a b c 1 2 2( ) 2( ) ac ab ac ab ac ab a bc ac ab a b c c a c a c a 1 2 2 ab bc ab bc ab bc b a b c 1 bc ac ab a b c (Đpcm) Dấu "=" xẩy a = b = c Ta áp dụng phương pháp Hốn vị vịng quanh cho số tập sau: Cho a, b, c 1) ab bc ac abc c a b 2) a b c ab ca bc 4) a b b c c a abc( a b c) 3) 3a 2b 4c ab bc ca Học sinh làm tập cao sau: 1) Cho a,b,c>0 CMR : a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) x x x ỉ 12 ỉ 15 ỉ 20 2) Chng minh rng: ỗ ữ + ỗ ữ + ỗ ữ 3x + x + x è 5ø è 4ø è ø ( ĐH khèi D-2004) 3) Cho x,y,z số dương thõa mãn xyz=1 CMR + x3 + y + y3 + z3 + z + x3 + + ³3 xy yz zx a2 b2 b2 c2 c2 b2 4) a, b, c : a b c 2c 2a 2a ( ĐH khèi D-2005) Phương pháp cân tổng Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ chúng nhau" Ta phát triển nhận xét này: Để chứng minh tổng S = S1+S2+ +Sn m, ta biến đổi S = A1+A2+ +An số khơng âm mà có tích A1A2 An =c khơng đổi ,sau ta áp dụng Bất đẳng thức Cơsi với x >1 x 1 Bài Tìm giá trị nhỏ f(x) = x Giải Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số x -1 >0 x 1 2 x 1 ta có: x 1 x 1 1 2 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ x = Bài Với số thực x > -1 CMR: x x 12 1 Phân tích: Áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Cơsi cho số hạng ta thấy khơng có kết Nếu ta linh hoạt áp dụng cân tổng cách phân tích 2x thành (x+1)+ (x+1)-2 rối áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số có kết tức Bài Với số thực x CMR: x 27 x 32 1 Phân tích: Biến đổi vế trái thành tổng số hạng có tích khơng đổi nên ta phân tích x thành số hạng có dạng x3 Giải Bất đẳng thức cho tương đương với : x3 x3 x3 27 31 3 ( x 3) x3 x3 x3 27 Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho số ta có 3 ( x 3) điều phải chứng minh Dấu "=" xẩy x = Ta áp dụng phương pháp cân tổng cho ví dụ sau: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 2) CMR: với x>-3 thì: với x > 2x 2x 1 x 32 3) CMR: với a>b>0 thì: a + b 3 (a b)(b 1) 4) Cho x,y hai số thực dương thõa mãn: tìm giá trị nhỏ x y biểu thức: Q = x + y Hướng dẫn: Từ biểu thức 3x ta có: y = 3 x y x2 x2 Vậy Q= x y x 6 x2 x2 x2 Phương pháp cân tích Sách giáo khoa có nhận xét: " Nếu hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng nhau" Ta phát triển nhận xét này: Để chứng minh biểu thức có dạng P= P1P2 Pn M ta phân tích P=B1B2 Bn số khơng âm mà tổng B1+B2+ +Bn=c số khơng đổi Sau ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi Bài 7: Cho hai số dương a,b thõa mãn: a+b=1 CMR: ab 27 Phân tích: Ta phân tích biểu thức ab2 thành tích có tổng khơng đổi mà tổng có mối liên hệ đến a+b=1 Giải: Ta có : ab 4a Suy ra: bb b b Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho số dương là: a , , 22 2 b b a 2 a b b 2 a b b 4a b b (Đpcm) 3 2 27 2 27 Dấu "=" xẩy khi: a ,b 3 Ta áp dụng phương pháp cân tích cho ví dụ sau: Tìm giá trị lớn biểu thức 1) y = 4x3 - 3x2 với ≤ x ≤ 4/3 2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3) y = (2 + x) (4 - x2) với ≤ x ≤ 4) y = x (1 - x2) với ≤ x ≤ 5) y = 2x - + - 2x Phương pháp chọn điểm rơi Côsi thêm hạng tử Đây phương pháp quan trọng thường áp dụng để biến đổi toán theo định hướng sử dụng Bất đẳng thức Cơsi, với phán đốn dấu đẳng thức xẩy từ ta thêm bớt hạng tử thích hợp để khéo léo sử dụng Bất đẳng thức Côsi a2 b2 c2 a b c Bài 8: Chứng minh a, b, c ta ln có: b c a Phân tích: Nếu ta áp dụng phương pháp khơng giải kết Bây ta đánh giá dấu "=" xẩy nào? Dễ nhận thấy a=b=c (Điểm rơi a=b=c) Khi a2 a2 a nên ta thêm b vào phần tử đại diện b b Giải: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho số dương a2 b2 c2 , b, , c, , a ta có: b c a a2 b2 c2 + b ³ 2a; + c ³ 2b; + a ³ 2c b c a 2 a b c a b2 c Þ + b + + c + + a ³ 2a + 2b + 2c Þ + + ³ a + b + c b c a b c a Dấu "=" xẩy khi: a=b=c Theo phân tích có câu hỏi lại thêm hạng tử b cho Giả sử cần thêm cho a2 số hạng m Sử dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: b a2 a2 +m 2 m Vậy m cần chọn cho: b b 10 a2 ? b a2 m triệt tiêu b (Hay mẫu vế trái Bất đẳng b thức khơng có mẫu) Khi dấu "=" xẩy a=b=c=m Nên chọn b=m Để nắm rõ ta làm tiếp tập sau 2 a, b, c CMR: a b c a b c Bài 9: Cho số bc ac ba Phân tích: Điểm rơi a=b=c Ta thêm cho a2 số m thõa mãn : bc Rút gọn mẫu số (b+c) sau áp dụng Bất đẳng thức Côsi a2 a2 m m) bc bc ( Dấu đẳng thức Côsi xẩy nghĩa m= a2 =m a=b=c Suy bc bc a2 bc m Và để tính Khi thay a=b=c bc Giải: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho số dương a2 b c b2 c a c2 a b , , , , , ta có: bc ca ab ü a2 b+c + ³ aï b+c ï b c+a a2 b+c b2 c+a c2 a+b ï + ³ bý Þ + + + + + ³ a+b+c Þ c+a 4 c+a a +b ï b+c ï c2 a+b + cù a+b ỵ 2 a b c2 a+b+c + + ³ b+c c +a a +b Dấu "=" xẩy a=b=c Tuy nhiên thêm hạng tử cho hợp lý tùy ví dụ cụ thể 11 Bài 10: Chứng minh với a,b,c dương ta ln có: a3 b3 c3 a2 b2 c2 b c a Phân tích: Điểm rơi a=b=c a3 Ta thấy với hạng tử có hai hướng: b Cách 1: Ta thêm cho hạng tử Tương tự a3 a3 lượng ab +ab 2a b b b3 c3 +bc ; +ca 2c c a Chứng minh a b c ab bc ca cộng Bất đẳng thức ta có ĐPCM Cách 2: a3 a3 b3 b3 c3 c3 + + b ³ 3b ; + + c ³ 3b ; + + a ³ 3c b b c c a a Cộng lại theo vế ta có ĐPCM a2 b2 c2 a b c Bài 11 Chứng minh với a,b,c>0 ta có: b a a b c a Giải: Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: a2 b2 c2 a2 a b2 b c2 c ≥ 3, , , 2 b c c a a b c a b Cộng lại theo vế ta có ĐPCM Bài 12 Chứng minh với x,y,z số dương thõa mãn xyz=1 ta có: x3 y3 z x y z Phân tích: Điểm rơi x=y=z=1 Vì ta thêm vào x3 hai số hạng 1,1 để sử dụng Bất đẳng thức Côsi: Hướng dẫn: x3+ +1 ≥ 3x; y3 + +1 ≥ 3y; z3 + +1 ≥ 3z; 2(x + y +z ) ≥ 2.33 xyz Sau số tập nâng cao: Bài 13: Cho a,b,c số dương thõa mãn abc =1 a3 b3 c3 + + ³ CMR: (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) Phân tích: Điểm rơi a=b=c=1 12 Ta thêm cho a3 hạng tử nào? Chắc chắn là: (1 b)(1 c) 1 b 1 c ; với số dương Để xẩy dấu "=" sử dụng Bất đẳng thức Côsi a3 b +1 c +1 = = áp dụng a=b=c=1 ta có: (1 + b)(1 + c) a a Giải: a3 + b + c 3a + + ³ (1 + b)(1 + c) 8 b3 + c + a 3b + + ³ (1 + c)(1 + a) 8 Ta có: c3 + a + b 3c + + ³ (1 + a )(1 + b) 8 Þ a3 b3 c3 3 + + + ³ (a + b + c) ³ (1 + b)(1 + c ) (1 + c)(1 + a) (1 + a )(1 + b) 2 (Đpcm) Dấu "=" xẩy a=b=c=1 Bài 14: Cho a,b,c số dương thõa mãn: a + 2b+ 3c=20 a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a b c 2b c (Đề thi HSG tỉnh Khối 12 năm 2006) Phân tích: Dự đoán điểm rơi a=2, b=3,c=4 Giải: Sử dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có: a b c 4 3 4 a 4 a 3 a a 4 a 9 1 9 b 6 b b b 2 b 1 a b c 8 4 a 2b c (1) 16 16 16 c 8 c c c 4 c Theo giả thiết: a 2b 3c 20 13 1 a b c5 4 (2) a S = a b c Cộng vế (1) (2) ta có 13 2b c Vậy giá trị nhỏ S =13 a=2, b=3,c= Bài 15 Cho a,b số dương thõa mãn a.b=1 Tìm giái trị nhỏ P a3 b3 1 b 1 a Phân tích: Dấu "=" xẩy a=b=1, ta phải thêm cho 1+ b a3 số hạng Để a 1+ b tính ta cho a=b=1 = áp dụng Bất đẳng thức Cơsi thấy xuất a , ta cần thêm Hướng dẫn: a3 + b b3 + c a3 b3 5 + + ³ a; + + ³ bÞ + + ³ (a + b ) ³ 1+ b 2 1+ c 2 1+ b 1+ c MinP = a=b=1 Một số ví dụ áp dụng phương pháp chọn điểm rơi thêm hạng tử : Cho a+b+c=0 CMR: 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c (ĐHQGHN 2000) Hướng dẫn: Đặt x a ; y b ; z c x,y,z>0 xyz=1 a3 b3 c3 a b c b3 c a3 b c a Cho a, b, c CMR: Hướng dẫn: a3 a3 + +1 ³ 33 b3 b Cho a, b, c CMR Với abc = a3 a3 a = tương tự cho b b b b3 c3 ; c3 a3 ab cb ac abc ab bc ac a, b, c > Với xyz = 1, x, y, z > CM: CM: 1 a (b c) b (a c) c (b a ) 2 x2 y2 z2 z y x z x y Với x,y,z > 0: x y z x y y z z x CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1 tính giá trị nhỏ biểu thức 14 A bc ca ab 2 a b a c b a b c c b c2a Kĩ thuật thêm nghịch đảo õy kỹ thuật thường dùng sử dụng Bất đẳng thức Cơsi x Bài tập 16 Tìm giá trị nhỏ P= + Với x, y số dương thõa mãn x+y=1 y Giải æ2 3ử 2y 3x Ta cú : P = ỗ + ÷ ( x + y ) = + + + ³ + x y èx yø x x y 1 2 Dấu xẩy 2 3x y y Bài tập 15: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P = + víi x, y số dơng thỏa mÃn x+y=1 x y Giải: Ta đà làm tập Côsi nhng ta cịng cè thĨ lµm nh sau: ỉ2 3ư 2y 3x P = ỗ + ữ ( x + y ) = + + + ³ + dấu xảy x+y=1 3x2 = 2y2 x y èx yø Khi x = ;y = 2+ 2+ Bµi tËp 16: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: a, b, c số dơng a b c + + ³ b+c c+a a +b HD: Thªm vào hai vế bất đẳng thức ta xuất hiÖn 2(a + b + c)( 1 + + )9 a+b b+c c+a II.3 Các tập chọn lọc 15 Cuối xin đa lớp tập tham khảo để thày cô nâng cao kĩ giải cho em: ( y z) (x z) ( y x) 9 16 26 x y z Cho x, y, z > cm: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng: abc a b2 b2 c c b2 a3 b3 c3 2c 2a 2a bc ac ab Cho a, b, c > vµ a + b + c = CMR: a b c 1 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Cho x + y = 1, x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a2 CMR a, b > ta cã b a 2b HD a b 1 xy x y 2 (a - 1) ỉa 2 ỗ - b ữ + ( b - 1) + (b - 1) + a èb ø §H BKHN - 2000: a b3 a b a) Cho a + b ≥ Chøng minh b) Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biÓu thøc: sin A sin B sin c A B C cos cos cos 2 P Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = CMR x2 y2 Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c lµ sè thùc vµ abc = CMR 1 3 1 3 a b 1 c b 1 a c 1 HD: 1 1 ; sau ®ã sư dông a3+b3≥ab(a+b) 3 a b abc c b abc c a abc abc a4 b4 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A víi a, b số dơng ab a b 2 tho¶ m·n a + b = HD: 4 1 ³ ; + ; a + b dùng bất đẳng thức Côsi lần ab (a + b)2 2ab a + b (a + b) 2 16 Cho tam gi¸c ABC víi AB = c, BC = a, CA = b Gäi S lµ diƯn tÝch tam giác ABC M, N, P số thực cho m + n, n + p, p + m số dơng CMR: ma nb mn np pm 10 Chøng minh r»ng: a) x y ( x y) b) x y 4 c) x > 0, y > 0, x + y = CM: 8( x y ) ( x y) xy 11 Giả sử x, y số dơng thoả mÃn x + y = 10 Tìm giá trị x, y để P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ HD đặt t= xy x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ( O; R ) cã gãc nhän víi BC = a, AC = b, AB = c LÊy I bÊt kú ë phÝa tam gi¸c ABC, gäi x, y, z khoảng cách từ điểm I đến cạnh BC, AC, AB cđa tam gi¸c.Chøng minh x a2 b2 c2 2R y z HD CM ax + by + cz = 2S Sử dụng bất đẳng thức Bunhia 13 Cho a, b, c số thực dơng tho¶ m·n abc = CMR: 1 1 2 a 2b 2c b 2a c 2 HD t¸ch: 1 1 = £ ( + ) 2 a + 2b + a + 2(b + 1) a + 2b + 2 14 Cho a + b = 5, a, b > Tìm giá trị nhỏ P 15 CMR x2 y y z z x x3 y3 z3 1 a b (x y z ) Trong ®ã x, y, z số không âm thoả mÃn x + y + z = 16 Víi a, b, c d¬ng thoả mÃn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ T HD: Bình ph¬ng hai vÕ: T = a b b c c a a b c 2a b 2b c 2c a + + + + + ; b c a c a b 17 a2 a b a b + + + c ³ 4a , t¬ng tù b c c 17 CMR nÕu a, b, c, d > th×: a) b) HD: a b c abc b c a abc a2 b2 c2 d a b c d b2 c2 d a2 abcd a a b 3a b b c 3b c c a 3c + + ³ ; + + ³ ; + + ³ b b c abc c c a abc a a b abc Tơng tự cho câu b 18 III Thực nghiệm s phạm Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính khả thi hiệu đề tài Nội dung thực nghiệm Tiến hành triển khai giảng dạy theo đề tài "BT NG THC CAUSHY V CC K NNG VN DNG" Kết thực nghiệm Tôi đợc phân công giảng dạy lớp khối, bồi dỡng học sinh giỏi, ôn thi Đại học, Cao đẳng nhiều năm Trong trình giảng dạy đà vận dụng đề tài hớng dẫn em vận dụng vào giải toán Kết hầu hết em hiểu, vận dụng vào giải toán nhanh gọn, trình bày sáng sủa xác, học sinh thích thú gặp toán thuộc dạng Kết cụ thể nh sau a Thực nghiệm lớp giảng dạy (100 học sinh) thông qua kiểm tra Kết quả: Tầm kiến thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Số lợng HS 82 75 65 Tû lƯ 82% 75% 65% b Trong c¸c kú thi Đại học cao đẳng: Khối D năm 2004, Khối A,D năm 2004 Tỷ lệ học sinh làm đợc câu V cao (Các câu có dạng toán thuộc đề tài đà nêu) IV Kết luận Đề tài đà đợc kiểm nghiệm cho kết khả quan, nhng cha rộng Tôi xin chân thành cám ơn đồng nghiệp đà góp ý để hoàn thiện đề tài Tuy nhiên đề tài chắn có nhiều khiếm khuyết Tôi mong tiếp tục nhận đợc góp ý đồng nghiệp Một lần xin chân thành cảm ơn! 19 ... trọng thường áp dụng để biến đổi toán theo định hướng sử dụng Bất đẳng thức Cơsi, với phán đốn dấu đẳng thức xẩy từ ta thêm bớt hạng tử thích hợp để khéo léo sử dụng Bất đẳng thức Côsi a2 b2... sử dụng Bất đẳng thức) Để học sinh dễ nhớ cần nói rõ Trung bình cộng trung bình nhân ta thấy Bất đẳng thức Cơsi có dạng chung "Trung bình cộng lớn trung bình nhân" B Các kỹ thuật sử dụng Bất đẳng. .. phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Côsi chương trình tốn THPT Học sinh dễ hiểu, dễ áp dụng, có định hướng rõ ràng giải tốn Đề tài có tên là: " BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI VÀ CÁC KỸ NĂNG VẬN DỤNG" II NỘI