Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu môn Tấm và Vỏ Chương 11 rất cần thiết cho chuyên ngành xây dựng, dành cho các anh chị học cao học.
Chương 11 BỔ TRỢ Trong chương này, trình bày một số kiến thức bổ trợ cho việc tính toán kết cấu bằng phương pháp số, gồm các nội dung: 1. Tóm tắt nội dung tính toán kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. 2. Các phương pháp giải bài toán động tuyến tính: phương pháp phân tích theo dạng dao động riêng; Phương pháp tích phân trực tiếp: phương pháp sai phân trung tâm và phương pháp Newmark (gia tốc trung bình không đổi và gia tốc tuyến tính). 3. Phương pháp Newton-Raphson giải bài toán tĩnh phi tuyến và phương pháp Newton-Raphson kết hợp với phương pháp Newmark giải bài toán động phi tuyến. 4. Hệ tọa độ tự nhiên và tích phân số. 11.1. PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Phương trình cân bằng tĩnh của hệ có dạng: [ ] { } { } K q R= (11.1) Phương trình cân bằng động của hệ có dạng: [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } ( ) { } M q t C q t K q t R t+ + = && & (11.2) trong đó: [ ] K , [ ] M , [ ] C - ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và ma trận cản của hệ. { } q - véc tơ chuyển vị nút của hệ (bài toán tĩnh). ( ) { } q t , ( ) { } q t & , ( ) { } q t && - véc tơ chuyển vị nút, vận tốc và gia tốc của hệ (bài toán động). { } R - véc tơ lực nút qui đổi của hệ gây ra do các nguyên nhân tác dụng trong phần tử (bài toán tĩnh). ( ) { } R t - véc tơ lực nút qui đổi của hệ gây ra do các nguyên nhân tác dụng trong phần tử (bài toán động). Ma trận độ cứng [ ] K , ma trận khối lượng [ ] M của hệ được xác định từ các ma trận độ cứng ' e K và ma trận khối lượng ' e M của phần tử trong hệ tọa độ chung bằng phương pháp số mã. Ma trận độ cứng ' e K và ma trận khối lượng ' e M của phần tử trong hệ 38 tọa độ chung được xác định qua ma trận độ cứng [ ] e K và ma trận khối lượng [ ] e M của phần tử trong hệ tọa độ địa phương bằng công thức: [ ] [ ] [ ] ' T e e e e K T K T = (11.3) [ ] [ ] [ ] ' T e e e e M T M T = (11.4) với ma trận [ ] e T là ma trận chuyển tọa độ gồm các ma trận cosin chỉ phương giữa hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ chung. Ma trận [ ] e T có hình dạng, kích thước phụ thuộc kiểu của phần tử (hình dạng: thanh, tam giác, tứ giác, và sơ đồ chuyển vị nút), có dạng tổng quát: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . 0 . . . . . 0 . e L L T L = (11.5) trong đó [ ] L là ma trận cô sin chỉ phương giữa các trục tọa độ của hệ tọa độ địa phương của phần tử và hệ tọa độ chung có dạng: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , , , , , , , , , xx xy xz yx yy yz zx zy zz cos x x cos x y cos x z l m n L l m n cos y x cos y y cos y z l m n cos z x cos z y cos z z = = (11.6) với: ' xx l , ' xy m , ' xz n - côsin chỉ phương trục x so với các trục x', y', z’; ' yx l , ' yy m , ' yz n - côsin chỉ phương trục y so với các trục x', y', z’; ' zx l , ' zy m , ' zz n - côsin chỉ phương trục z so với các trục x', y', z’. Ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương xác định bằng công thức tổng quát: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 T e e e e V K D E D dV= ∫ (11.7) trong đó: [ ] e D - ma trận biến dạng - chuyển vị được rút ra từ quan hệ biến dạng- chuyển vị nút: { } [ ] { } [ ] [ ] { } e e e e e D q B qε = = ∂ có dạng: [ ] [ ] [ ] e e D B= ∂ (11.8) 39 [ ] ∂ - ma trận toán tử vi phân được xác định từ lý thuyết đàn hồi phụ thuộc vào trạng thái biến dạng - chuyển vị của phần tử. [ ] e B - ma trận hàm dạng trong biểu thức hàm chuyển vị { } [ ] { } e e e U B q= , biểu diễn chuyển vị của điểm bất kỳ trong phần tử qua chuyển vị nút. [ ] 0 e E - ma trận đặc trưng đàn hồi của vật liệu trong quan hệ ứng suất - biến dạng của phần tử { } [ ] { } 0 e e e Eσ = ε . Ma trận khối lượng của phần tử trong hệ tọa độ địa phương xác định bằng công thức tổng quát: [ ] [ ] [ ] T e e e V M B B dV= ρ ∫ (11.9) trong đó, ρ là khối lượng vật liệu của phần tử trên một đơn vị thể tích. Ma trận cản [ ] C của hệ được tổ hợp tuyến tính từ ma trận độ cứng [ ] K và ma trận khối lượng [ ] M theo công thức: [ ] [ ] [ ] C M K= α +β (11.10) trong đó, α, β là hệ số cản Rayleigh. Các hệ số cản α, β liên hệ với tỷ số cản ξ bằng phương trình: 2 2 α +βω ξ = ω (11.11) với ω là tần số dao động riêng của hệ. Tỉ số cản được xác định bằng công thức: α ξ = ω (11.12) trong đó α xác định từ biểu thức: 1 T m m y e y α + η = = , với m y , 1m y + là biên độ dao động riêng cách nhau chu kỳ T. Do ảnh hưởng của các tần số dao động riêng bậc cao đến giá trị của hệ số cản không đáng kể nên trong tính toán có thể tính hai hệ số α, β từ hai tỷ số cản ξ=const tương ứng với hai tần số dao động riêng thấp nhất. Véc tơ lực nút qui đổi { } R của hệ được xác định từ véc tơ lực nút qui đổi { } ' e R của phần tử trong hệ tọa độ chung bằng phương pháp số mã, [1]. Véc tơ lực nút qui đổi { } ' e R của phần tử trong hệ tọa độ chung được xác định qua véc tơ lực nút qui đổi { } e R của phần tử trong hệ tọa độ địa phương: { } [ ] { } ' T e e e R T R= (11.13) 40 Trong trường hợp tải trọng động có qui luật thay đổi theo thời gian ( ) f t : ( ) { } [ ] { } ( ) ' T e e e R t T R f t= (11.14) Véc tơ lực nút qui đổi { } e R của phần tử được xác định theo công thức tổng quát: { } { } { } { } o V S e e e e R R R R ε = + + (11.15) trong đó: { } [ ] { } T V V e e V R B p dV= ∫ (11.16) { } [ ] { } T S S e e S R B p dS= ∫ (11.17) { } [ ] [ ] { } o T o o e e e e V R D E dV ε = ε ∫ (11.18) với: V , S - thể tích và diện tích của phần tử; { } { } T V Vx Vy Vz p p p p= - lực phân bố theo thể tích; { } { } T S Sx Sy p p p= - lực phân bố theo diện tích; { } { } 0 0 0 0 0 0 0 T x y z xy zy xz e ε = ε ε ε γ γ γ - biến dạng cưỡng bức ban đầu trong phần tử; Các công thức (11.16) ÷(11.18) là các công thức xác định véc tơ lực nút qui đổi { } e R do tải trọng và biến dạng cưỡng bức ban đầu tác dụng trong phần tử. Phương pháp số mã là phương pháp sắp xếp các phần tử của ' e K , { } ' e R vào vị trí tương ứng trong [ ] K và { } R qua số mã phần tử tương ứng với số mã chung của hệ (tương tự cho ma trận khối lượng). Qui ước mỗi chuyển vị nút (lực nút) được đặt tên bởi 2 số mã tương ứng: - Số mã phần tử (SMPT) là số mã từ 1 đến f ( f là tổng số chuyển vị nút của phần tử). Đó là chỉ số của chuyển vị nút sắp xếp trong { } e q . Các phần tử cùng kiểu có số mã phần tử giống nhau. - Số mã chung (SMC) là số mã từ 1 đến n (n là số chuyển vị nút của hệ xét trong hệ toạ độ chung). Đó là chỉ số chuyển vị nút trong { } q . Dựa vào ý nghĩa của các phần tử trong [ ] K và { } R có thể xác định các phần tử của [ ] K và { } R theo công thức: 41 '( ) , ( , ) e J K J K e K K= ∑ '( ) ( ) e J J e R R= ∑ (11.19) trong đó: - lấy tổng cho các phần tử thứ e ; - J, K lấy theo mã số chung. Các phần tử '( ) ( ) e JK K , '( ) ( ) e J R của ma trận độ cứng ' e K , véc tơ lực nút qui đổi { } ' e R của phần tử thứ i lấy theo số mã phần tử tương ứng với số mã chung của phần tử thứ e . Nếu số mã chung J không thuộc nút có các phần tử đồng qui: '( ) , ( , ) e j k j k K K= '( ) ( ) e j j R R= (11.20) 11.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG TUYẾN TÍNH Phương trình cân bằng động (11.2) là hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc hai. Về nguyên tắc, có thể sử dụng các thủ tục chuẩn để giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Song, các thủ tục này không có hiệu quả khi cấp của ma trận lớn. Do vậy, khi giải hệ phương trình cân bằng động của PP PTHH thường sử dụng phương pháp số. Các phương pháp số chia thành hai nhóm: 1. Phương pháp phân tích theo các dạng dao động riêng (Modal), chuyển vị và nội lực động được xác định tại thời điểm tính toán t . 2. Phương pháp tích phân trực tiếp (Direct Integration): phương pháp sai phân trung tâm và phương pháp Newmark. Theo các phương pháp này, chuyển vị và nội lực động được xác định tại thời điểm theo các bước tích phân. Phương pháp tích phân trực tiếp là phương pháp trước khi tích phân không tiến hành bất kỳ biến đổi nào đối với phương trình khảo sát. Khi tích phân trực tiếp phương trình (11.2) trong khoảng thời gian từ 0 đến * t , ta chia khoảng thời gian làm N khoảng t∆ bằng nhau: * t t N ∆ = (11.21) và tính tích phân theo từng bước với khoảng thời gian t ∆ . Giả sử biết điều kiện ban đầu tại thời điểm 0t = : { } { } 0 q q= ; { } { } 0 q q= & & và { } { } 0 q q= && && (11.22) thì sau từng bước tích phân sẽ lần lượt nhận được nghiệm của (11.2) tại các thời điểm * 0, ,2 , , 2 , i t t t t t t t t= ∆ ∆ + ∆ + ∆ . Trên hình 11-1 biểu diễn lực và chuyển vị tại các thời điểm tích phân theo bước thời gian thứ i . Độ ổn định nghiệm của các phương pháp tích phân trực tiếp phụ thuộc vào 42 độ lớn của khoảng thời gian t∆ . Phương pháp tích phân trực tiếp không những hiệu quả cho các bài toán tuyến tính mà rất hiệu quả cho cả bài toán phi tuyến. Hình 11-1. 11.2.1. Phương pháp phân tích theo dạng dao động riêng Phương trình cân bằng động theo PP PTHH có dạng tổng quát (11.2). Khi giải hệ phương trình (11.2) bằng phương pháp phân tích theo các dạng riêng, chuyển vị nút ( ) { } q t được biểu diễn dưới dạng: ( ) { } [ ] ( ) { } q t X t= φ (11.23) trong đó: ( ) { } X t - véc tơ phụ thuộc thời gian có kích thước nx1 - gọi là chuyển vị khái quát; [ ] φ - ma trận vuông kích thước n x n. 1. Xác định ma trận [ ] φ Ma trận [ ] φ được chọn là ma trận mà các cột của nó là các véc tơ riêng { } k ϕ đã chuẩn hoá tương ứng với tần số dao động riêng k ω - là nghiệm của phương trình dao động tự do không xét lực cản: [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } { } 0M q t K q t+ = && (11.24) Khi dao động tự do, tất cả các điểm của hệ dao động điều hoà nên: ( ) { } { } ( ) q t sin t= ϕ ω + λ (11.25) trong đó: 43 { } ϕ - véc tơ kích thước n x1; ω - tần số dao động riêng; λ - độ lệch pha ban đầu. Thay (11.25) vào (11.24), nhận được: [ ] { } [ ] { } 2 K Mϕ = ω ϕ (11.26) Phương trình (11.26) là phương trình điển hình của bài toán trị riêng. Giải (11.26) xác định được n cặp trị riêng và véc tơ riêng: { } 2 1 1 ,ω ϕ ; { } 2 2 2 ,ω ϕ ; { } 2 , k k ω ϕ { } 2 , n n ω ϕ . Theo lý thuyết dao động, các véc tơ riêng có tính chất trực giao: { } [ ] { } 1 T k j Mϕ ϕ = khi k j= (11.27a) { } [ ] { } 0 T k j Mϕ ϕ = khi k j≠ (11.27b) Ma trận [ ] φ có dạng: [ ] { } { } { } { } 1 2 k n φ = ϕ ϕ ϕ ϕ (11.28) Với { } k ϕ là véc tơ riêng thứ k đã chuẩn hoá tương ứng với tần số dao động riêng k ω (k=1, 2, n). Véc tơ riêng chuẩn hoá được xác định bằng công thức: { } { } k k ch k a ϕ ϕ = (11.29) trong đó: { } k ϕ - véc tơ riêng chưa chuẩn hoá nhận được từ giải phương trình (11.26). k a - hệ số xác định từ phương trình: { } [ ] { } 2 T k k k a M= ϕ ϕ (11.30) Ký hiệu: [ ] 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 . . . . 0 0 0 n ω ω Ω = ω (11.31) Thay n nghiệm trị riêng và véc tơ riêng vào (11.26), ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] K Mφ = φ Ω (11.32) Nhân hai vế với [ ] T φ : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T T K Mφ φ = φ φ Ω (11.33) Theo tính chất trực giao của các dạng riêng: 44 [ ] [ ] [ ] [ ] T M Iφ φ = ( [ ] I là ma trận đơn vị) (11.34) Chú ý đến (11.34), từ (11.33) rút ra: [ ] [ ] [ ] [ ] T Kφ φ = Ω (11.35) 2. Phương trình xác định chuyển vị khái quát ( ) { } X t Thay (11.23) vào (11.2) và nhân trái với [ ] T φ ta có: [ ] [ ] [ ] ( ) { } [ ] [ ] [ ] ( ) { } [ ] [ ] [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } T T T T M X t C X t K X t R tφ φ + φ φ + φ φ = φ && & Chú ý đến (11.34) và (11.35), hệ phương trình vi phân biểu diễn chuyển vị khái quát có dạng: ( ) { } [ ] [ ] [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } T T X t C X t X t R t+ φ φ + Ω = φ && & (11.36) Các điều kiện ban đầu của chuyển vị khái quát { } o X và { } o X & được xác định từ véc tơ chuyển vị ban đầu { } q , tốc độ chuyển vị ban đầu { } 0 q & tại thời điểm ban đầu 0t = . Nhân phải hai vế của (11.23) với [ ] [ ] T Mφ tại thời điểm 0t = , ta có: [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } 0 0 T T M q M Xφ = φ φ . Chú ý đến (11.34), rút ra: { } [ ] [ ] { } 0 0 T X M q= φ (11.37) Tương tự: { } [ ] [ ] { } 0 0 T X M q= φ & & (11.38) a. Trường hợp không xét lực cản Khi không xét lực cản, (11.36) có dạng: ( ) { } [ ] ( ) { } [ ] ( ) { } T X t X t R t+ Ω = φ && (11.39) Xét nghiệm thứ k, từ (11.39) phương trình xác định ( ) k X t có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 k k k k X t X t r t+ ω = && Với k=1 n (11.40) trong đó: ( ) { } ( ) { } T k k r t R t= ϕ (11.41) Phương trình (11.40) có dạng tương tự như phương trình biểu diễn dao động của hệ một bậc tự do nên nghiệm có dạng: ( ) ( ) ( ) 0 1 t k k k k k k k k X t A sin t B cos t r u sin t u du= ω + ω + ω − ω ∫ (11.42) trong đó: - Hai thành phần đầu là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất (dao 45 động tự do), còn thành phần thứ ba là nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất. - Hằng số tích phân k A , k B xác định từ điều kiện ban đầu theo (11.37) và (11.38). Phương trình (11.42) có dạng khác: ( ) ( ) ( ) ( ) * 0 1 t k k k k k k k X t A sin t r u sin t u du= ω + λ + ω − ω ∫ (11.43) Với: * 2 2 k k k A A B= + và k k k A arctg B λ = (11.44) Khi tải trọng động tác dụng lên hệ có cùng qui luật ( ) f t theo thời gian, từ (11.41): ( ) { } { } ( ) T k k r t R f t= ϕ (11.45) Với { } R là véc tơ tải qui nút khi ( ) 1f t = . Thay (11.45) vào (11.43): ( ) ( ) { } { } ( ) ( ) * 0 1 t T k k k k k k k X t A sin t R f u sin t u du= ω + λ + ϕ ω − ω ∫ (11.46) hay: ( ) ( ) { } { } ( ) * 2 1 T k k k k k k k X t A sin t R K t= ω + λ + ϕ ω (11.47) với: ( ) ( ) ( ) 0 t k k k K t f u sin t u du= ω ω − ∫ (11.48) Xét với tải trọng điều hoà ( ) f t sinrt= , từ (11.48): ( ) ( ) 2 2 2 0 . t k k k k k k k r K t sinru sin t u du sinrt sin t r ω = ω ω − = − ω ÷ ω − ω ∫ (11.49) Thay (11.49) vào (11.47): ( ) { } { } * 2 2 1 ( ) ( ) T k k k k k k k k r X t A sin t R sinrt sin t r = ω + λ + ϕ − ω ω − ω (11.50) Giả sử trước khi chịu tải trọng, hệ ở trạng thái tĩnh, nghĩa là { } { } { } 0 0 0q q= = & ( ) { } { } 2 2 1 ( ) T k k k k k r X t R sinrt sin t r = ϕ − ω ω − ω (11.51) ( ) { } { } 2 2 1 ( . . ) T k k k k X t R r cosrt r cos t r = ϕ − ω ω − & (11.52) 46 ( ) { } { } 2 2 2 1 ( ) T k k k k k X t R r sinrt r sin t r = ϕ − + ω ω ω − && (11.53) Trong giai đoạn dao động bình ổn (không xét thành phần dao động với tần số dao động riêng k ω ) : ( ) 2 2 2 k k k K t sinrt r ω = ω − (11.54) ( ) ( ) { } { } * 2 2 T k k k k k k sinrt X t A sin t R r = ω + λ + ϕ ω − (11.55) Giả sử trước khi chịu tác dụng của tải trọng, hệ ở trạng thái tĩnh nghĩa là { } { } 0 o o q q= = & , thì: ( ) { } { } 2 2 T k k k sinrt X t R r = ϕ ω − (11.56) ( ) { } { } 2 2 s T k k k rco rt X t R r = ϕ ω − & (11.57) ( ) { } { } 2 2 2 T k k k r sinrt X t R r = − ϕ ω − && (11.58) Hệ có n bậc tự do sẽ có n nghiệm dạng (11.43) hoặc (11.46÷11.47). Thành phần chuyển vị nút thứ m ( )m t q của véc tơ chuyển vị nút { } ( )t q bằng tổng chuyển vị nút trong tất cả các dạng riêng: ( ) ( ) ( ) 1 1 n n m mk mk k k k q t q t X t = = = = ϕ ∑ ∑ (11.59) Với mk ϕ là giá trị thứ m của véc tơ riêng thứ k. Tổng quát, véc tơ chuyển vị nút ( ) { } [ ] ( ) { } q t X t= φ (11.60) trong đó: ( ) { } ( ) ( ) ( ) { } 1 2 T n X t X t X t X t= (11.61) b. Trường hợp xét lực cản Khi không xét lực cản, hệ phương trình vi phân (11.36) xác định chuyển vị khái quát được đưa về dạng (11.39) và có thể phân ly thành n phương trình độc lập dạng (11.40). Trong thực tế rất khó xác định chính xác các tham số cản của kết cấu do chúng phụ thuộc vào các tần số dao động riêng. Hơn nữa để sử dụng có hiệu quả 47 [...]... ] i ,sec { ∆q} i (11. 113) Ma trận cát tuyến [ K ] i ,sec không thể xác định được vì { q} i +1 chưa biết, hình 11- 3 Nếu thừa nhận bước thời 60 Hình 11- 3 gian ∆t nhỏ thì ma trận cát tuyến được thay thế bằng ma trận độ cứng tiếp tuyến [ K ] i,T Khi đó (11. 113) có dạng: ( ∆f S ) i ≅ [ K ] i ,T { ∆q} i (11. 114) Bỏ ký hiệu T của ma trận độ cứng tiếp tuyến và thay vào phương trình (11. 112), nhận được: &&... [M] (11. 97) 1 1 γ γ & && + [ M ] + [ C ] ÷{ q} i + [ M ] + ∆t − 1÷[ C ] { q} i (11. 98) β β∆t 2β 2β Từ (11. 96), gia số chuyển vị nút: ) { ∆q} i = K −1 ) { ∆R} i (11. 99) & && Sau khi xác định được { ∆q} i , các đại lượng { ∆q} i và { ∆q} i được xác định & && bằng (11. 93) và (11. 94); Các đại lượng { q} i +1 , { q} i +1 và { q} i +1 xác định bằng biểu thức (11. 87 ÷ 11. 89)... tường minh có thể sử dụng phương pháp tích phân số 11. 2.2 Phương pháp sai phân trung tâm 1 Nội dung phương pháp và thuật toán Gia tốc và vận tốc tại bước thời gian thứ i được biểu diễn bằng các biểu thức sai phân: && { q} i = & { q} i = { q} i +1 − 2 { q} i + { q} i −1 (11. 66) { q} i +1 − { q} i −1 (11. 67) ∆t 2 2∆t 48 Thay (11. 66) và (11. 67) vào (11. 2) dẫn đến phương trình xác định { q} i +1 { q} i... { q} i { ∆R} i = { R} i +1 − { R} i (11. 88) (11. 89) (11. 90) Phương trình (11. 81) dưới dạng số gia: & && && { ∆q} i = ( ∆t ) { q} i + ( γ.∆t ) { ∆q} i & { ∆q} i = ( ∆t ) { q} i ( ∆t ) + 2 2 (11. 91) && && { q} i + β ( ∆t ) { ∆q} i 2 (11. 92) Từ phương trình thứ hai, rút ra 1 && { ∆q} i = β ( ∆t ) 2 { ∆q} i − 1 1 & && { q} i − { q} i β∆t 2β (11. 93) Thay (11. 93) vào (11. 91) γ γ γ & && { ∆q} i − { q}... Newmark và (11. 100) lấy giá trị hiệu của { q} i +1 và { q} i của bước tính trước Tương tự như đối với bài toán tuyến tính, phương trình cân bằng động dưới dạng số gia của bài toán phi tuyến có dạng: ) ) K { ∆q} i = ∆R i { } trong đó: ) { ∆R} i (11. 116) i lấy theo công thức (11. 99) - bài toán tuyến tính ) γ K = [ K ] i + [ C] + i β∆t 1 β ( ∆t ) 2 [M] (11. 117) Để thuận tiện ở (11. 116) bỏ... (11. 116) bỏ chỉ số i ở ma trận độ cứng và thay bằng T (ma trận độ cứng tiếp tuyến): ) ) K { ∆q} = ∆R T ) γ K = [ K ]T + [ C] + T β∆t { } với: (11. 118) 1 β ( ∆t ) 2 [M] (11. 119) Phương trình (11. 118) là phương trình phi tuyến có thể giải bằng phương pháp Newton-Raphson Phương trình này là phương trình phi tuyến vì ma trận độ cứng tiếp tuyến [ K ] T phụ thuộc vào chuyển vị { q} nên ma trận [ K... 6,1207 7,5000 7,5000 7,5000 7,5000 5,3228 1,4071 0,0000 17,4666 23,1803 12,3724 1, 6110 -12,4970 -30,8738 -28,9930 -18,8932 -2,7549 5,0000 21,6356 43,4485 53,8708 46,5455 32,3703 5,3984 -24,9304 -44,8354 -47,9712 10 10 10 10 0 0 0 10 10 10 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 104,5043 104,5043 104,5043 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 0,0437 0,1890 0,3794 0,4705 0,4454 0,3098 0,0517 -0,2177 -0,3916 -0,4189... 0,0000 0,0000 7,5000 7,5000 7,5000 7,5000 5,7863 2,1458 0,0000 21,6356 43,4485 53,8708 3.3254 0,2904 0,0254 0,22e-02 52,9849 38,4086 11, 0600 -19,6226 -41,6857 -47,9600 10 10 10 10 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 0 0 0 10 10 10 104,5043 104,5043 104,5043 114 ,5043 114 ,5043 114 ,5043 0,0437 0,1890 0,3794 0,4705 0,0290 0,0025 0,0002 0,19e-04 0,5070 0,3675 0,1058 -0,1714 -0,3641 -0,4188 0,0000 0,8733 2,9057... thuật toán cho trong bảng 11. 3, [13] Bảng 11. 3 Thuật toán phương pháp Newmark 1.0 Các phép tính ban đầu 1.1 Xác định ma trận độ cứng [ K ] , ma trận khối lượng [ M ] , ma trận cản [ C] và véc tơ lực nút qui đổi { Rt } của hệ & && 1.2 Xác định giá trị ban đầu { q} 0 , { q} 0 và { q} 0 1.3 Chọn bước thời gian ∆t và các tham số β = 1 1 và γ = để tích phân ổn 4 2 định vô điều kiện và tính các hằng số ai... Chú ý là { q} i +1 được tính từ { q} i và { q} i −1 Bởi vậy, để tính chuyển vị tại bước thời gian thứ nhất i = 1.∆t , cần xác định { q−1} tại bước thời gian thứ i = 0 ( −∆t ) so với thời điểm ban đầu t = 0 Từ (11. 66) và (11. 67): & { q} 0 = { q} 1 − { q} −1 2∆t && { q} 0 = { q} 1 − 2 { q} 0 + { q} −1 2 ( ∆t ) (11. 74) Xác định { q} 1 từ phương trình đầu và thay vào phương trình thứ hai, nhận được: &