Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu môn Tấm và Vỏ rất cần thiết đề các anh chị học chuyên ngành xây dựng đề tham khảo.
Chương 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM MỎNG Trong chương này giới thiệu: Phương pháp chuỗi lượng giác; Phương pháp biến phân; Phương pháp sai phân hữu hạn; Tính tấm tròn trong hệ tọa độ cực. Tính tấm bằng phương pháp phần tử hữu hạn được giới thiệu trong chương 3. A. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC Phương pháp chuỗi lượng giác là phương pháp mà chuyển vị pháp tuyến ( ) ,w x y của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác (kép hoặc đơn). 2.1. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC KÉP Phương pháp chuỗi lượng giác kép sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố ( ) ,q x y hoặc tải trọng tập trung vuông góc với mặt phẳng tấm, hình 2-1. 2.1.1. Các công thức cơ bản Phương trình chuyển vị của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác kép: ( ) 1 1 , ) ( ) nm n m n m w x y A sin( x sin y α β ∞ ∞ = = = ∑∑ (2.1) trong đó: nm A - hệ số cần xác định. n n a π α = m m b π β = (2.2) Phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm dạng (2.1) thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp trên chu vi tấm. Tải trọng phân bố ( ) ,q x y được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác kép: ( ) 1 1 , ( ) ( ) nm n m n m q x y q sin x sin y ∞ ∞ = = = α β ∑∑ (2.3) Để xác định hệ số nm q nhân hai vế của (2.3) với , , sin( )sin( ) n m x yα β , lấy tích phân theo bề mặt tấm và sử dụng tính chất trực giao của các hàm lượng giác: 23 Hình 2-1. Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp. ' , ' 0 0 ( ) ( ) 2 a n n khi n n sin x sin x dx a khi n n ≠ α α = = ∫ ' , ' 0 0 ( ) ( ) 2 b m m khi m m sin y sin y dy b khi m m ≠ β β = = ∫ Sau khi biến đổi: ( ) 0 0 4 , ( ) ( ) a b nm n m q q x y sin x sin y dxdy ab = α β ∫∫ (2.4a) Khi tải phân bố đều ( ) , o q x y q= : 2 16 o nm q q nm = π với , 1,3,5, n m = (2.4b) Để xác định nm A thay (2.1), (2.3) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26): 2 2 2 4 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) nm n m nm n m n m n m p n m A sin x sin y q sin x sin y a b D ∞ ∞ ∞ ∞ = = = = + π α β = α β ÷ ∑∑ ∑∑ Hai chuỗi lượng giác ở hai vế của phương trình trên bằng nhau khi từng số hạng tương ứng của chúng bằng nhau nên: 2 2 2 4 2 2 2 2 2 ( ) nm nm nm n m p q n m A A a b D + π = α +β = ÷ , rút ra: 2 2 2 ( ) nm nm n m p q A D = α +β (2.5) Như vậy, phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm có dạng (2.1) với hệ số nm q , nm A xác định theo (2.4) và (2.5). Phương trình chuyển vị ( ) ,w x y và nội lực của tấm chữ nhật chu vi tựa khớp được xác định từ các công thức (1.12) ÷ (1.14) và (1.23) ÷ (1.24) có dạng: ( ) 2 2 2 1 1 , ( ) ( ) ( ) nm n m n m n m p q w x y sin x sin y D ∞ ∞ = = = α β α +β ∑∑ (2. 6) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ( ) , ( ) ( ) ( ) nm n m x n m n m n m q M x y sin x sin y ∞ ∞ = = α + µβ = α β α +β ∑∑ (2.7) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ( ) , ( ) ( ) ( ) nm n m y n m n m n m q M x y sin x sin y ∞ ∞ = = µα +β = α β α +β ∑∑ (2.8) ( ) 2 2 2 1 1 (1 ) , ( ) ( ) ( ) nm n m xy n m n m n m q M x y cos x cos y ∞ ∞ = = −µ α β = α β α + β ∑∑ (2.9) ( ) 2 2 1 1 , ( ) ( ) ( ) nm n x n m n m n m q Q x y cos x sin y ∞ ∞ = = α = α β α + β ∑∑ (2.10) ( ) 2 2 1 1 , ( ) ( ) ( ) nm m y n m n m n m q Q x y sin x cos y ∞ ∞ = = β = α β α +β ∑∑ (2.11) 24 Để xác định phương trình chuyển vị ( ) ,w x y và nội lực của tấm chữ nhật chu vi tựa khớp cần xác định nm q . 2.1.2. Các thí dụ Thí dụ 1: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố đều trong diện tích u , v hình 2-2. Áp dụng (2.4): 2 2 2 2 2 4 16 ( ) ( ) 2 2 u v i j o o nm n m u v i j q q n m n m q sin x sin y dxdy sin i sin j sin u sin v ab nm a b a b + + − − π π π π = α β = ÷ ÷ ÷ ÷ π ∫ ∫ (2.12) Thí dụ 2: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng tập trung P tại tọa độ ( ) ,i j . Để áp dụng (2.12) cần chuyển tải trọng tập trung thành tải trọng phân bố . o P q u v = với diện tích ( ) ,u v rất nhỏ, hình 2-2, sau đó tìm giới hạn cho , 0u v → . 2 16 . . . 2 2 nm P n m n m q sin i sin j sin u sin v n m u v a b a b π π π π = ÷ ÷ ÷ ÷ π hay: 4 2 2 2 2 nm n m sin u sin v P n m a b q sin i sin j n u m v ab a b a b π π ÷ ÷ π π = ÷ ÷ π π 0 4 nm n m u,v P lim q sin( .i )sin( .j ) ab → = α β (2.13) 2.2. PHƯƠNG PHÁP CHUỖI LƯỢNG GIÁC ĐƠN Phương pháp chuỗi lượng giác đơn sử dụng cho bài toán tấm chữ nhật có hai cạnh đối diện tựa khớp, còn hai cạnh kia có điều kiện biên bất kỳ. Phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm chữ nhật có hai cạnh đối diện tựa khớp, thí dụ tại 0x = và x a= , biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác đơn: ( ) ( ) 1 , ( ) n n n w x y y y sin x ∞ = = α ∑ (2.14) trong đó, ( ) n y y là hàm cần tìm biểu diễn chuyển vị của tấm theo phương trục y. 25 Hình 2-2. Phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm (2.14) thỏa mãn điều kiện biên tựa khớp tại 0x = và x a= . Tương tự như phương pháp chuỗi lượng giác kép, tải trọng phân bố ( ) ,q x y được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác đơn: ( ) ( ) 1 , ( ) n n n q x y q y sin x ∞ = = α ∑ (2.15) trong đó, ( ) n q y là hàm cần tìm. Để xác định ( ) n q y nhân hai vế của (2.15) với ' sin( ) n xα và lấy tích phân từ 0 đến a , chú ý đến tính chất trực giao của hàm lượng giác nhận được: ( ) ( ) 0 2 , ( ) a n n q y q x y sin x dx a = α ∫ (2.16) Thay (2.14), (2.15) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26): ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 " 1 1 1 ( 2 ) ( ) ( ) IV n n n n n n n n n n p y y y y y y sin x q y sin x D ∞ ∞ = = α − α + α = α ∑ ∑ (2.17) Phương trình (2.17) sẽ thỏa mãn nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 " 4 2 n IV n n n n n p q y y y y y y y D − α + α = (2.18) Giải phương trình vi phân (2.18), xác định được hàm ( ) n y y tương ứng với thành phần thứ n của chuỗi. Nghiệm của (2.18) có dạng: ( ) . ( ) . ( ) . . ( ) . . ( ) o n n n n n n n n n n y y A ch y B sh y C y ch y D y sh y y= α + α + α + α + (2.19) trong đó: n A , n B , n C , n D - các hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên tại 0y = và y b= . o n y - nghiệm riêng phụ thuộc tải trọng ( ) ,q x y . Nếu ( ) 0 ,q x y q const= = , nghiệm riêng có dạng: 0 4 o n n p q y D = α (2.20) Phương trình nội lực được xác định từ các công thức (1.12 ÷ 1.14) và (1.23) có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 " 1 , ( ) ( ) x p n n n x n M x y D y y y y sin x ∞ = = α −µ α ∑ (2.21) 26 ( ) ( ) ( ) " 2 1 , ( . . ) ( ) y p n n n n n M x y D y y y y sin x ∞ = = − +µ α α ∑ (2.22) ( ) ' 1 , (1 ). . ( ) s( ) xy p n n n n M x y D y y co x ∞ = = − −µ α α ∑ (2.23) ( ) ( ) ( ) 3 " 1 , ( . ) s( ) x p n n n n n n Q x y D y y y y co x ∞ = = α − α α ∑ (2.24) ( ) ( ) ( ) 2 ' ''' 1 , ( ) ( ) y p n n n n n Q x y D y y y y sin x ∞ = = α − α ∑ (2.25) 2.3. TÍNH TẤM TRÊN NỀN BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI Dạng của phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi phụ thuộc vào dạng mô hình nền. Khi tính kết cấu tiếp xúc với nền đàn hồi thường sử dụng mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ: mô hình nền một hệ số (mô hình nền Winkler) và mô hình nền hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi). 2.3.1. Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số (mô hình nền Winkler) Mô hình nền Winkler được xây dựng từ giả thiết: “phản lực nền ( ) ,p x y tỷ lệ bậc nhất với chuyển vị ( ) ,w x y qua hệ số nền 1 k ”. ( ) ( ) 1 , . ,p x y k w x y= (2.26) trong đó, hệ số nền 1 k có giá trị hằng số đối với mỗi loại đất, có thứ nguyên [lực/ (chiều dài) 3 ]. Đặc trưng cơ bản của mô hình nền một hệ số, hình 2-3, là nền chỉ biến dạng trong phạm vi bề mặt tiếp xúc của kết cấu với nền. Hình 2-3. Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ một hệ số. Ưu, nhược điểm của mô hình nền Winkler: - Ưu điểm: mô hình này diễn toán đơn giản, thuận lợi trong lập trình. - Nhược điểm: 27 + Coi hệ số nền là hằng số với mỗi loại đất là chưa phù hợp với thực tế vì nó còn phụ thuộc cả vào kích thước của kết cấu tiếp xúc với nền. Hệ số nền chỉ mang tính chất quy ước mà không có ý nghĩa vật lý rõ ràng. + Coi biến dạng của nền là cục bộ trong phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với nền là bỏ qua tính ma sát và tính dính của đất nền. Phạm vi áp dụng: nhiều kết quả nghiên cứu và thực nghiệm đã chứng tỏ, mô hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất yếu, đất ẩm hoặc bão hoà nước; đặc biệt đối với môi trường chất lỏng thì mô hình này là chính xác. Phương trình vi phân cân bằng của tấm, phương trình Sophi-Giecman, có dạng: ( ) 4 4 4 4 2 2 4 , 2 p q x y w w w x x y y D ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (1.26.a) dưới dạng toán tử Laplat: ( ) ( ) 2 2 , , p D w x y q x y∇ ∇ = (1.26.b) khi có kể đến phản lực của nền, phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi Winkler có dạng: ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 4 , , 2 p p q x y p x y w w w x x y y D D ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ (2.27.a) dưới dạng toán tử Laplat (1.25): ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , p D w x y q x y p x y∇ ∇ = − (2.27.b) thay (2.26) vào (2.27) ( ) ( ) 4 4 4 1 4 2 2 4 , . , 2 p p q x y k w x y w w w x x y y D D ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ (2.28.a) dưới dạng toán tử Laplat: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , , , p D w x y k w x y q x y∇ ∇ + = (2.28.b) 2.3.2. Phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ hai hệ số (mô hình lớp đàn hồi) Mô hình nền 02 hệ số là mô hình trong đó hệ số nền 1 k đặc trưng cho sự làm việc chịu nén và hệ số nền 2 k đặc trưng cho sự làm việc chịu cắt của đất nền. Như vậy, lực tương tác giữa kết cấu với đất nền ngoài phản lực pháp tuyến còn có phản lực tiếp tuyến. Mô hình nền hai hệ số chỉ khác mô hình nền Winkler ở hệ số nền kể đến 28 ứng suất tiếp giữa các cột đất trong nền. Chính ứng suất này đã gây ra biến dạng của nền ở ngoài phạm vi tiếp xúc giữa kết cấu với đất nền. Mô hình nền hai hệ số phản ánh sự làm việc của đất nền sát với thực tế hơn. Đây là mô hình trung gian giữa hai mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ và bán không gian đàn hồi. Khi không kể đến ứng suất tiếp thì mô hình này trở về mô hình nền Winkler. Mô hình nền hai hệ số có nhược điểm là giá trị của các hệ số 1 k và 2 k được xác định tuỳ thuộc vào quan niệm và cách xác định khác nhau. Vì vậy, khi sử dụng mô hình này, các kết quả tính toán cần được kiểm tra lại bằng thực nghiệm. Mô hình nền hai hệ số được xây dựng từ giả thiết: phản lực nền ( ) ,r x y bao gồm phản lực pháp tuyến ( ) ,p x y tương ứng với sự làm việc chịu nén của nền và phản lực tiếp tuyến ( ) ,t x y ứng với sự làm việc chịu cắt của nền. ( ) ( ) ( ) , , ,r x y p x y t x y= + (2.29) trong đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , , , w x y w x y t x y k x y ∂ ∂ = − + ÷ ∂ ∂ (2.30) kết hợp với (2.26), phản lực nền với mô hình nền hai hệ số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 , , , , , . , w x y w x y r x y p x y t x y k w x y k x y ∂ ∂ = + = − + ÷ ∂ ∂ (2.31) thay vào (1.26), phương trình vi phân cân bằng của tấm với mô hình nền hai hệ số có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 2 2 1 2 4 2 2 4 2 2 , , , , , 2 , , p w x y w x y w x y w x y w x y D k w x y k q x y x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + − + = ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.32.a) dưới dạng toán tử Laplat (1.24): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 2 , , , , , p w x y w x y D w x y k w x y k q x y x y ∂ ∂ ∇ ∇ + − + = ÷ ∂ ∂ (2.32.b) Dấu âm trong số hạng thứ ba biểu thị phản lực tiếp tuyến ( ) ,t x y ngược chiều với phản lực pháp tuyến ( ) ,p x y . Thí dụ 3: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải trọng phân bố. Phương trình chuyển vị của tấm dưới dạng chuỗi lượng giác kép có dạng: 29 ( ) 1 1 , ( ) ( ) nm n m n m w x y A sin x sin y ∞ ∞ = = = α β ∑∑ (2.1) Tương tự như tấm chữ nhật tựa khớp không nằm trên nền đàn hồi, tải trọng được khai triển dưới dạng chuỗi lượng giác kép có dạng (2.3) với hệ số nm q được xác định theo (2.4). Thay (2.1) và (2.3) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm trên nền đàn hồi một hệ số (2.28.a), cân bằng hai vế rút ra: ( ) 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 4 , a b nm nm p p p p n m q x y sin x sin y dxdy a b q A k k n m n m D D ab a b D a b D π π ÷ ÷ = = π π π π + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ∫∫ (2.33) Phương trình chuyển vị của tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải trọng phân bố có dạng theo (2.1): ( ) ( ) 0 0 2 2 2 1 1 1 4 , , a b n m p p n m q x y sin x sin y dxdy a b n m w x y sin x sin y a b k n m D ab a b D ∞ ∞ = = π π ÷ ÷ π π = ÷ ÷ π π + + ÷ ÷ ∫∫ ∑∑ (2.34) Trường hợp tấm chịu tải phân bố đều 0 q , hệ số 2 16 o nm q q nm = π nên: ( ) 0 2 2 2 2 1 1 4 1 16 , . n m p n m sin x sin y q a b w x y n m n m D k a b ∞ ∞ = = π π ÷ ÷ = π π + + ÷ ÷ ∑∑ (2.35) Thí dụ 4: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi một hệ số chịu tải trọng tập trung P tại toạ độ ( ) ,i j . Hệ số khai triển tải trọng được xác định theo công thức (2.13), do đó: 2 2 2 4 1 4 nm p p n m Psin i sin j a b A k n m D ab a b D π π ÷ ÷ = π π π + + ÷ ÷ (2.36) 30 Thí dụ 5: Tấm chữ nhật chu vi tựa khớp trên nền đàn hồi hai hệ số chịu tải trọng phân bố. Tiến hành tương tự như thí dụ 2, nhận được: ( ) 0 0 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 2 4 , a b nm p p p n m q x y sin x sin y dxdy a b A k k n m n m D ab a b D a b D π π ÷ ÷ = π + + π + + ÷ ÷ ÷ ∫∫ (2.37) Khi tấm chịu tải trọng phân bố đều: 0 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 16 nm p q A n m n m nm D k k a b a b = π π + + π + + ÷ ÷ (2.38) trong đó n, m lấy chỉ số lẻ , 1,3,5, n m = . B. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN Phương pháp biến phân là phương pháp sử dụng các nguyên lý năng lượng như: nguyên lý công khả dĩ hoặc nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần để tìm phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm. Nguyên lý công khả dĩ: “ Điều kiện cần và đủ để hệ ở trạng thái cân bằng là tổng công khả dĩ của ngoại lực và nội lực bằng không”. Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần: “Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (các chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực tương ứng với sự cân bằng sẽ làm cho thế năng toàn phần Π đạt giá trị dừng”. Biểu thức toán học: 0 δΠ = (2.39) 2.4. PHƯƠNG PHÁP RITX Phương pháp Ritx sử dụng nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần [17]. 2.4.1. Các công thức cơ bản Phương trình chuyển vị ( ) ,w x y của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 , , , , n i i n n i w x y a a x y a x y a x y = = ϕ = ϕ + ϕ + + ϕ ∑ (2.40) trong đó: i a - hệ số cần tìm, 1i n= ÷ . ( ) , i x yϕ - hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên động học và không nhất thiết thỏa mãn điều kiện biên tĩnh học. 31 Hệ số i a được xác định từ điều kiện thế năng toàn phần Π đạt cực tiểu: 0 i a ∂Π = ∂ ( 1 )i n= ÷ (2.41) Biểu thức thế năng toàn phần Π của tấm mỏng có dạng, [17]: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 , , 2 a b p D w w w w w q x y w x y dxdy x y x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Π = + − −µ − − ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ (2.42) Thay (2.40) vào (2.42), thế năng toàn phần Π có dạng: 2 2 2 11 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 p p np n a a a a a a a a a a a a Π = δ + δ + δ + + δ + δ + + δ + −∆ − ∆ − ∆ (2.43) trong đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 a b i k i k i k i k ik ki p D x x x y y x y y ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ δ = δ = + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 i k i k i k dxdy x y y x x y x y ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ − −µ + − ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.44) 0 0 a b ip i q dxdy∆ = ϕ ∫∫ (2.45) Hệ số i a được xác định từ điều kiện giá trị dừng của thế năng toàn phần. Áp dụng (2.41) cho (2.43) sẽ nhận được hệ phương trình đại số xác định các hệ số i a : 11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 1 1 2 2 3 3 0 0 0 n n p n n p n n n nn n np a a a a a a a a a a a a δ + δ + δ + δ + ∆ = δ +δ +δ + δ + ∆ = δ +δ + δ + δ + ∆ = (2.46) Giải (2.46) xác định được các hệ số i a , thay vào (2.40) xác định được phương trình chuyển vị ( ) ,w x y . 2.4.2. Thí dụ Thí dụ 6: Tính tấm chữ nhật chu vi tựa khớp chịu tải trọng phân bố đều q. Nghiệm gần đúng chỉ lấy một thành phần của chuỗi: ( ) ( ) 1 1 , ,w x y a x y= ϕ . Biểu diễn ( ) 1 ,x yϕ dưới dạng tích hai hàm số: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ,x y x yϕ = ψ χ (1) 32 [...]... ĐỘ CỰC 2.7 TÍNH TẤM TRÒN 2.7.1 Phương trình vi phân cân bằng Tấm tròn được tính toán trong hệ tọa độ cực Hệ tọa độ cực và nội lực tấm tròn được biểu diễn trên hình 2-6 Hình 2-6 Hệ tọa độ cực và nội lực tấm tròn Phương trình vi phân tấm mỏng chịu uốn trong hệ tọa độ cực được suy ra từ phương trình vi phân của tấm mỏng xét trong hệ tọa độ vuông góc OXY Quan hệ giữa hệ tọa độ cực r ( ϕ ) và hệ tọa độ vuông... của tấm được biểu diễn dưới dạng chuỗi: n w ( x, y ) = ∑ ai ϕi = a1ϕ1 ( x, y ) +a2 ϕ2 ( x, y ) + + an ϕn ( x, y ) (2.47) i =1 trong đó: ai - hệ số cần tìm ϕi ( x, y ) - hàm chọn trước, độc lập tuyến tính, thỏa mãn điều kiện biên động học và cả điều kiện biên tĩnh học Thay (2.47) vào phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26), sau đó nhân hai vế với ϕk ( x, y ) và tích phân trên toàn bộ diện tích tấm: ... chất toán học, trong đó các đạo hàm riêng của phương trình vi phân cân bằng của tấm (1.26) được thay bằng các biểu thức sai phân Điều kiện biên của tấm cũng được biểu diễn qua phép sai phân Khi xét tại các điểm nút trong lưới sai phân, từ phương trình vi phân cân bằng của tấm dưới dạng sai phân, nhận được hệ phương trình đại số xác định chuyển vị tại các điểm nút Biểu thức xác định nội lực của tấm cũng... ) thay vào biểu thức xác định δ11 , ∆1 p và chú ý điều kiện biên, nhận được: 2 a b δ11 = 0, 0236a 7b 7 + ÷ D p b a qa 5b 5 ∆1 p = 25 a1 = ∆1 p δ11 = 0,1695 2 a b Dab + ÷ b a 2 p 2 2 q Với tấm vuông b = a , nên a1 = 0, 0424 a 4 D p Phương trình chuyển vị của tấm: w ( x, y ) = ( x 4 − 2ax 3 + a 3 x ) ( y 4 − 2ay 3 + a 3 y ) 0, 0424q a 4 Dp thay x = y = 0,5a , độ võng tại tâm của tấm: w (... w( r ) = vào (9): qr 4 qa 2 r 2 − + C3 64 D p 32 D p (11) Sử dụng điều kiện biên: chuyển vị w ( a ) = 0 , rút ra: C3 = qa 4 Thay C3 64 D p vào (11) nhận được phương trình chuyển vị của tấm tròn bán kính r = a chịu tải trọng phân bố đều q ( r ) = const = q trong hệ tọa độ cực: w( r ) = 2 q ( a2 − r 2 ) 64 D p (2.89.a) qa 4 64 Dp (2.89.b) qa 2 8 (2.90) Chuyển vị lớn nhất tại tâm của tấm r = 0 : wmax... = 3wn − wv Tương tự cho biên ngàm theo trục y: 2 wl = 0 + 0 + ∆h 2 wl − 2.0 + wk 2 ∆h 2 (1) (2) Biểu thức (1) và (2) biểu diễn chuyển vị nút ngoài biên qua các chuyển vị nút trong biên khi nút i là biên ngàm Như vậy, từ (2.65): - Điều kiện biên ngàm tại nút i trên biên trục x : 1 wi = 0 và wl = 3wk − wS 2 (2.66.a) - Điều kiện biên ngàm tại nút i trên biên trục y : 1 wi = 0 và wm = 3wn − wv 2 (2.66.b)... phân nên số lượng ẩn số của hệ phương trình lớn, đặc biệt khi tấm có biên tự do; - Độ chính xác không cao khi chia lưới sai phân thưa; - Số lượng phương trình tăng đáng kể nếu lưới chia dày; - Hệ phương trình sai phân các thành phần không có tính đối xứng 6 7 6 2.6.5 Thí dụ tính toán Thí dụ 8: Tính tấm mỏng hình vuông 4 4 5 a , chu vi tựa khớp chịu tải trọng cạnh 6 4 3 2 3 4 6 phân bố đều q Chia lưới... / 4 Do hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng nên chuyển 6 4 3 2 3 4 6 vị nút có tính đối xứng 4 5 4 Ký hiệu chỉ số nút trong biên là 1, 2, 3; trên biên là 4, 5 và ngoài biên là 6, 6 7 6 7, 8 Hình 2-5 Tấm vuông chu vi tựa khớp Điều kiện biên chu vi tựa khớp nên tại nút i trên biên wi = 0 , wl = wk Đối với bài toán này: w4 = w5 = 0 ; w6 = − w3 , 40 w7 = − w2 Phương trình sai phân cho các nút 1, 2, 3... vị tại tâm của tấm w1 = 4, 06.10 , sai số Dp −3 -0,78% Mô men uốn M x tại tâm của tấm tính theo (2.92) với i = 1 và µ = 0,3 41 ∂2w w − 2 wi + wn ∂2w w − 2 wi + wk M x = − Dp 2 + µ 2 ÷ = − Dp l +µ m ÷ 2 ∂y ∆h ∆h 2 ∂x w − 2w1 + w2 w − 2 w1 + w2 2 = − Dp 2 +µ 2 ÷ = 0, 0457 qa 2 ∆h ∆h 2 2 Sai số so với giá trị chính xác M x = 0, 0479qa là +4,6% Thí dụ 9: Tính tấm mỏng hình... chính xác tại tâm của tấm w1 = 0,126.10 qa 4 , sai số Dp +9,8% Mô men uốn M x tại tâm của tấm tính theo (2.92) với i = 1 và µ = 0,3 ∂2w w − 2 wi + wn ∂2w w − 2 wi + wk M x = − Dp 2 + µ 2 ÷ = − Dp l +µ m ÷ 2 ∂y ∆h ∆h 2 ∂x w − 2w1 + w2 w − 2 w1 + w2 2 = − Dp 2 +µ 2 ÷ = 0, 02078qa 2 2 ∆h ∆h 2 so với giá trị chính xác M x = 0, 0231qa , sai số -11,16% D TÍNH TẤM MỎNG TRONG HỆ TỌA