Đang tải... (xem toàn văn)
Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 62.46.30.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Nguyễn Bường 2. TS. Nguyễn Công Điều Hà Nội – 2014 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15 1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . . 15 1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22 1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình toán tử U− đơn điệu . . . . . . . 27 1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . . 35 Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu 42 2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . . 42 2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 65 2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81 3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . 89 3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 97 3.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng 3 LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận án tại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều, những người thầy đã tận tình hướng dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành luận án đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học Thái Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin. Nghiên cứu sinh Nguyễn Đình Dũng 4 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R n Không gian Ơcơlit n-chiều. X ∗ Không gian liên hợp của không gian Banach X. A ∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y . H Không gian Hilbert. I Toán tử đơn vị. D(A) Miền xác định của toán tử A. R(A) Miền ảnh của toán tử A. A −1 Toán tử ngược của toán tử A. A (x) Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x. x, y Tích vô hướng của x và y trong không gian Hilbert. x X Chuẩn của x trong không gian X. ρ X (x, y) Metric của x và y trong không gian X. a ∼ b a tương đương với b. C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. ∅ Tập rỗng. x n x Dãy x n hội tụ yếu tới x. x n → x Dãy x n hội mạnh tới x. θ Phần tử không trong không gian Banach. S(x ∗ , r) Hình cầu mở tâm x ∗ bán kính r trong không gian Banach . N(A) Không gian không điểm của toán tử A. 5 Mở đầu Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh. Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình A(x) = f, (1) ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y . Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1. Phương trình (1) có nghiệm x 0 với mọi f ∈ Y ; 2. Nghiệm x 0 được xác định một cách duy nhất; 3. Nghiệm x 0 phụ thuộc liên tục vào f. Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm. 6 Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến những sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt không chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov Một số nhà toán học Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào, Đ. Đ. Trọng Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong một tập compact lồi M và ảnh A(M) = N, sao cho khi f xấp xỉ bởi f δ ∈ N ta vẫn có nghiệm x δ thỏa mãn Ax δ ∈ N. Do số liệu xấp xỉ là số liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ f δ lại không nằm vào tập A(M). Khi đó, phương trình A(x) = f δ không có nghiệm theo nghĩa thông thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử ˜x ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf x∈M ρ Y (A(x), f) được gọi là tựa nghiệm của (1) trên tập M, trong trường hợp M là tập compact của X, thì với mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M) thì tựa nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm thông thường có thể không duy nhất. Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M) 7 cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải. Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, f δ ] = ρ 2 (A(x), f δ ) + αψ(x), (2) ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có α(δ) → 0 và điểm cực tiểu x δ α của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của bài toán (1). Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóng yếu, Engl, H.W. [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là M α [x, f δ ] = Ax − f δ 2 + αx 2 (3) và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào f δ và hội tụ về nghiệm của (1) khi f δ → f. Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không gian Bannach X vào X ∗ , Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A(x) + αU s (x) = f δ , (4) ở đây, U s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là U s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện U s (x), x = xU s (x), U s (x) = x s−1 , s ≥ 2. 8 [...]... hằng số dương αi , δi , i = 1, 2, ta có xδ11 − xδ22 ≤ M1 α α |α1 − α2 | |δ1 + δ2 | + , α1 α1 ở đây, M1 > 0 Mục tiếp theo, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình này 1.3 Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh 1.3.1 Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh Trong phần này, chúng tôi trình bày một số. .. 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trong không gian Hilbert và không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu cùng với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U − đơn điệu Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương. .. sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh Chương 2 giới thiệu các kết quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp Cuối cùng, chương 3 trình. .. quy, hay bài toán thiết lập không đúng đắn 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử tuyến tính liên tục (xem [1]) 22 Xét bài toán tìm nghiệm x0 của phương trình (1.1), ở đây, A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y và được xấp xỉ bởi toán tử tuyến tính... nghệ Việt Nam Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành ba chương Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh, từ đó giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử. .. theo, chúng tôi trình bày các phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, toán tử có tính chất U − đơn điệu 1.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh Khái niệm Bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J (xem [45], [65]) đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình eliptic cũng... các toán tử là một trong các mục tiêu của luận án Cụ thể, liệu có thể xây dựng được phương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tử hay không? Trong trường hợp Aj là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên không gian Banach X, Buong,Ng [22] đã xây dựng phương pháp hiệu 10 chỉnh dựa vào việc giải phương trình. .. ra phương pháp hiệu chỉnh N Aj (x) − fjδ 2 + α x − x∗ j=1 11 2 → min, X (11) mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều kiện của một toán tử A1 Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương. .. quả hiệu chỉnh cho phương trình khi toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu Trong trường hợp các tính chất liên tục và đóng yếu không được thỏa mãn, sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của (1.1) cũng được xét đến trong các tài liệu [23], [24], [25], [26], [33] và [35] Phần kế tiếp chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình phi tuyến với toán tử U − đơn điệu 26 1.2.3 Phương pháp. .. phương trình đặt không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này 1.1 Không gian Hilbert và không gian Banach Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]) Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định một . cho phương trình với toán tử U− đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số phương pháp hiệu chỉnh. và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U− đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không. bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21 1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22 1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương