Đang tải... (xem toàn văn)
chuyên đề phương trình bậc hai chứa tham số ôn thi lớp 10 gồm có các dạng bài tập cách giải và bài tập tự luyện
1 Chuyên đề : Phơng trình bậc hai chứa tham số Bài toán : Giải phơng trình bậc hai có chứa tham số Phơng pháp : Xét trêng hỵp cđa hƯ sè a : - NÕu a = tìm nghiệm phơng trình bậc - Nếu a tiến hành bớc sau: + TÝnh biÖt sè ∆(∆' ) + XÐt trờng hợp (' ) ( Nếu (' ) chứa tham số ) + Tìm nghiệm phơng trình theo tham số Bài : Giải phơng trình bậc hai ( m lµ tham sè ) sau : a) x2 - 2(3m - 1)x + 9m2 - 6m - = b) x2 - 3mx + 2m2 - m - = c) 3x2 - mx + m2 = d) x2 - 2(m - 1)x + m - = HDÉn : a/ ∆' = ; x = 3m + , x = 3m - b/ ∆ = (m + 2)2 : + m ≠ -2 : x = 2m + , x = m - + m =-2 : x = -3 ( nghiÖm kÐp) c/ ∆ = -11m2 : + m = : x = ( nghiÖm kÐp) + m ≠ : PT v« nghiƯm d/ ∆' = m2 - 3m + = (m - ) + > :+ x = m - + 3 m − + 2 + x2 = m - - m − + Bài : Giải phơng trình (m tham sè) : (m - 1)x2 - 2mx + m + = HDÉn : * m =1 : x= *m ≠1 +m>2 +m=2 +m Bài 10 : Cho phơng tr×nh : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - = Tìm giá trị m để phơng trình : a) Có nghiệm kép b) Có nghiệm phân biệt c) Vô nghiệm HDẫn : m = m ≠ a/ ⇔ m = ∆' = m > m ≠ b/ ⇔ m < , m ≠ ∆' > c/ + m = +m ≠0 : Cã nghiÖm : ∆' < ⇔ ⇒ cã biƯt sè kh«ng âm Bài 31 : Cho hai phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = (1) vµ ax2 + bx - c = (2) CMR với a, b, c phơng trình cã nghiÖm HDÉn : ∆ + ∆ = b ≥ ⇒ cã biÖt số không âm Bài 32 : Cho hai phơng tr×nh : x2 + (m - 1)x + m2 = (1) vµ x2 + 2mx - m = (2) CMR víi mäi m, Ýt nhÊt phơng trình có nghiệm HDẫn : + ∆ = (m + 1)2 ≥ có biệt số không âm Chuyên đề PTB2 chøa tham sè *7* Bµi 33 : Cho hai phơng trình : x2 - 3x - a - = (1) vµ x2 + ax + = (2) CMR với a phơng trình có phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt HDÉn : ∆ + ∆ = (a +2)2+ > ⇒ cã biÖt số lớn Bài 34 : Cho hai phơng trình : x2 + (m - 2)x + m =0 (1) vµ 4x2 - 4(m - 3)x + 2m2 - 11m + 13 = (2) CMR víi m, phơng trình cã nghiÖm HDÉn : ∆ = (m − 1)(m − 4) ; ∆ = 16(1 − m)(m − 4) ∆ ∆ = −16(m − 1) (m − 4) ≤ ⇒ cã biệt số không âm Bài 35 : Cho b, c số thoả mÃn : 1 + = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng b c trình sau có nghiệm : x2 + 2bx + c = vµ x2 + 2cx + b = HDÉn : ∆'1 + ∆' = b − (b + c) + c = (b − c) ≥ ⇒ cã biệt số không âm Bài 36 : Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + ax + b = (1) vµ x2 + cx + d = (2) ac Chøng minh r»ng Ýt hai phơng trình có nghiệm HDÉn : ∆ + ∆ = (a - c)2 ≥ ⇒ cã biƯt sè kh«ng ©m BiÕt b + d = Bµi 37: Cho hai phơng trình bậc hai : x2 + a1 x + b1 = vµ x2 + a x + b2 = có hệ số thoả mÃn ®iỊu kiƯn : a1 a ≥ 2(b1 + b2 ) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng trình có nghiệm HDẫn : Giả sử phơng trình vô nghiệm : + = a1 + a 2 − 4(b1 + b2 ) < ⇔ a1 + a 2 < 4(b1 + b2 ) ⇔ (a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a ⇔ ≤ (a1 − a ) < 4(b1 + b2 ) − 2a1 a ⇔ a1 a < 2(b1 + b2 ) ( mâu thuẫn với giả thiết) toán 6:Tìm giá trị tham số để phơng trình có nghiệm chung Phơng pháp : * Cách : - Giả sử x0 nghiệm chung, lập hệ phơng trình ( ẩn x tham số ) - Giải hệ phơng trình tìm x0 , tìm tham số - Thử lại : Thay giá trị tham số vào phơng trình, giải phơng tr×nh, t×m nghiƯm chung - Rót kÕt ln * Cách : - Rút tham số từ phơng trình đà cho Chuyên đề PTB2 chứa tham số *8* - Thế giá trị tham số vào phơng trình lại tìm x - Thay giá trị x tìm m - Rút kết luận Bài 38 : Với giá trị k hai phơng trình sau có nghiệm chung : x2 - (k + 4)x + k + = x2 - (k + 2)x + k +1 = HDÉn : x = ; k = Bài 39 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiÖm chung x2 + 2x + m = x2 + mx + = HDÉn : (m -2)x = m - : + m =2 : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +2 = ( v« nghiƯm) + m ≠ : x = ; m = -3 Bµi 40 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (m - 2)x + = 2x2 + mx + (m + 2) = HDÉn : (m - 4)x = m - : + m = : hai phơng trình có dạng : x2 + 2x +3 = ( v« nghiƯm) + m ≠ : x = ; m = -2 Bài 41 : Tìm giá trị m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 + (3m - 5)x - = (1) 6x2 + (7m - 15)x - 19 = (2) HDÉn : * C¸ch : m x = : + m = : hai phơng trình kh«ng cã nghiƯm chung + m ≠ : x0= ; m = hc m = m * C¸ch : (1) ⇔ m = − x + x (x ≠ 0) thay vµo (2) : 3x 4x2 - 10x + = ta cã x = ; x = x1 = x2 = 3 ⇒ m = ( nghiÖm chung lµ 1) ⇒ m = ( nghiƯm chung ) Bài 42 : Với giá trị m phơng trình sau có Ýt nhÊt nghiÖm chung 2x2 - (3m + 2)x + 12 = (1) 4x2 - (9m - 2)x + 36 = (2) HDÉn : (1) ⇔ m = x − x + 12 (x 0) thay vào (2) : 3x Chuyên đề PTB2 chøa tham sè *9* x - 4x = ta cã x = (lo¹i) ; x = x = ⇒ m = ( nghiệm chung 4) Bài 43 : Tìm giá trị m để phơng trình : x2 + x + m - = x + (m - 2)x + = (1) (2) cã nghiÖm chung HDÉn : (2) ⇔ m = x − x − (x ≠ 0) thay vµo (1) : x x3 - = ⇔ x = ⇒ m = - (nghiƯm chung lµ 2) Bài 44: Tìm giá trị nguyên a để phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 + (3a - 1)x - = (1) 6x2 - (2a - 3)x - = (2) hai phơng trình vô nghiệm 11 +a ≠ ®ã : ⇒ x0 = 11 11a − HDÉn : (11a - 6)x = : +a= (1) ⇔ 99a − 164a − 68 = ta cã : a = ; a = a = nghiÖm chung 34 (loại) 99 Bài toán : Khi phơng trình bậc hai có nghiệm , hÃy tìm hệ thức liên hệ nghiệm x x không phụ thuộc vào tham số m Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - Tính tổng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x vµ x TÝnh m theo S, P Khư m t×m hƯ thøc chØ cßn S, P Thay S = x + x , P = x x ( ) ' ∆ ∆ ≥ Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phơ thc vµo m HDÉn : ∆ = (m -1)2+ 28 ≥ m = S - vµ m = P+5 ta cã hƯ thøc : 2(x + x ) − x1 x = 11 Bài 46: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + m - = Không giải phơng trình, hÃy tìm biểu thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆ = (m - ) + 19 >0 *10* m= Chuyên đề PTB2 chứa tham sè S −2 vµ m = P + ta cã hÖ thøc : x + x − x1 x − 10 = Bài 47 : Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào m m ≤ − HDÉn : ∆' = m − ≥ ⇔ m ≥ S −2 P−3 m= vµ m = ta cã hÖ thøc : x1 x − ( x1 + x ) − = 2 Bµi 48 : Cho phơng trình : (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆' = −m + 10m ≥ ⇔ ≤ m ≤ 10 vµ m ≠ m= 2P − 2S + vµ m = ta cã hÖ thøc : x1 x − ( x1 + x ) − = p2 S Bài 49 : Cho phơng tr×nh : (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + = Khi phơng trình có nghiệm, 10 hÃy tìm hệ thức x x không phụ thuộc vào tham số m HDÉn : − ≤ m ≤ ∆' = −9m + 9m + 18 ≥ ⇔ 2 m − ≠ m ≠ S +8 p+2 m= vµ m = ta cã hÖ thøc : ( x + x2 ) − x1 x + = 2S 2P Bài 50 : Trong phơng trình sau, giả sử chúng có nghiệm x x HÃy tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình không phụ thuéc vµo tham sè k a) (k - 1)x2 - 2kx + k - = (k ≠ 1) b) (k + 3)x2 - 3(k + 4)x - k + = (k ≠ -3) c) kx2 - 2(k + 1)x + (k - 4) = (k ≠ 0) HDÉn : P−4 vµ k = P −1 a/ ∆' = 5k − ≥ ⇔ k ≥ k= S S −2 ta cã hÖ thøc : ( x + x ) + x1 x − = 30 − ≠ k ≤ − 13 b/ ∆ = 13k + 56k + 60 ≥ ⇔ k ≥ −2 12 − 3S − 3P k= vµ k = ta cã hƯ thøc : 10 (x + x2 ) − 3x1 x − 33 = S −3 P +1 *11* Chuyên đề PTB2 chứa tham số c/ ∆' = 6k + ≥ ⇔ ≠ k ≥ − k= vµ k = ta cã hÖ thøc : x1 x + 2( x1 + x ) − = S P Bài 51 : Cho phơng trình : (m + 1)x2 - (2m - 3)x + m + = Khi phơng trình có hai nghiệm x1 , x h·y tÝnh nghiƯm nµy theo nghiƯm HDÉn : m ≠ −1 m + ≠ + ⇔ ∆ ≥ m ≤ 24 + x1 x + x1 + x2 − = ⇔ x = Bài 52 : Cho phơng trình : x1 x1 + (hoặc ngợc lại) 1 = m Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiƯm + x −1 x − h·y biĨu diƠn nghiƯm nµy theo nghiƯm HDÉn : mx2- (4m + 2)x + 3m + = m ≠ (x ≠ ; x ≠ ) + ∆ = m + > + x1 + x − x1 x2 − = ⇔ x = − x1 x1 Bài toán : Tìm giá trị tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x1 , x thoả mÃn 11 đẳng thức liên hệ nghiệm Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiƯm : - TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiệm x x Kết hợp đẳng thức giả thiết lập hệ phơng trình gồm phơng trình Giải hệ phơng trình tìm tham số Đối chiếu điều kiện, thử lại, rút kết luận ( ) ' ∆ ∆ ≥ Bµi 53 : Cho phơng trình : 3x2 - 4x + m = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 , x thoả mÃn : x1 = 3x HDÉn : * ∆' = − 3m ≥ ⇔ m ≤ *m = (t/m) Bài 54 : Xác định giá trị tham sè k cho hai nghiÖm x1 , x phơng trình x2 - 6x + k = thoả mÃn điều kiện : x1 + x = 20 HDÉn : * ∆' = − k ≥ ⇔ k ≤ *k = -16 (t/m) Bài 55 : Cho phơng trình : x2 - (m + 5)x - m + = Xác định m để hai nghiệm x1 , x ta *12* Chuyên đề PTB2 chứa tham số có hÖ thøc : x1 + x = 13 HDÉn : m ≤ −7 − * ∆ = m + 14m + ≥ ⇔ m ≥ −7 + m = * m = (t/m) Bµi 56 : Cho phơng trình : x2 + 2x + 3k = Gäi x1 , x lµ hai nghiệm phơng trình, không giải phơng trình hÃy tìm giá trị k để : x1 x = 14 HDÉn : * ∆' = − 3k ≥ ⇔ k ≤ *k = -16 (t/m) Bài 57 : Cho phơng trình : 3x2 - mx + = Xác định m để gi÷a hai nghiƯm x1 , x ta cã hƯ thøc : x1 x = x1 − HDÉn : m ≤ −2 * ∆ = m − 24 ≥ ⇔ m ≥ * m = (t/m) Bµi 58 : Cho phơng trình : (m + 3)x2 - 3mx + 2m = Xác định m để hai nghiÖm x1 , x ta cã hÖ thøc : x1 − x = HDÉn : m ≠ m + ≠ * ⇔ m ≤ ∆ = m − 24m ≥ m ≥ 24 * m = -1 (t/m) Bµi 59 : Gäi x1 vµ x lµ nghiệm phơng trình : 3x2 - (3k - 2)x - (3k + 1) = (1) Tìm giá trị k để nghiệm phơng trình (1) tho¶ m·n : x1 − x = 12 HDÉn : k = * k = − 32 15 * ∆ = (3k + 4) ≥ ⇔ k ≠ − (t/m) Bài 60 : Cho phơng trình : x2 - (2m + 1)x + m2 + = X¸c định m để hai nghiệm x1 , x ta cã hÖ thøc : x1 x − 5( x1 + x ) + = HDÉn : m = * m = * ∆ = 4m − ≥ m loại m = Bài 61 : Cho phơng trình : x2 + (2 - 3m)x + m2 = Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1 , x tho¶ m·n : x1 + x = x1 x *13* HDẫn : Chuyên đề PTB2 chứa tham sè m ≤ * ∆ = 5m − 12m + ≥ ⇔ m ≥ m = m = 2 * lo¹i m = Bài 62 : Cho phơng trình bậc hai : (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = Xác định k để hai nghiÖm x1 , x ta cã hÖ thøc : (4 x1 + 1).(4 x2 + 1) = 18 HDÉn : * ∆ ' = 6k + ≥ ⇔ k ≥ − * k = (t/m) Bài 63 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = T×m m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x tho¶ m·n : HDÉn : x1 x 10 + =− x x1 * ∆ =1− m > ⇔ m 2 m = m = −2 * x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) = m ⇔ x1 + x − x1 x = m ⇔ m( m + ) = ⇔ Bài 81: Cho phơng trình x 2( m − 3) x + 2m − = (1) Gọi hai nghiệm phơng trình (1) x1, x2 hÃy tìm m để HDẫn : 1 + =m x1 + x + * ∆ = ( m − 4) ≥ 1 + = m ⇔ 2m − 7m + = ⇔ m = ± 33 x1 + x + * Bµi 82: Giải phơng trình x mx + = BiÕt r»ng hai nghiƯm x1 vµ x tho¶ m·n hƯ thøc: 3 x1 x + x1 + x1 x + x = 1029 (*) HDÉn : m ≤ −2 x1 + x = m x1 x = * ∆ = m2 - ≥ ⇔ m ≥ (*) * [ ] ⇔ x1 x ( x1 + x ) + ( x1 + x ) − x1 x ( x1 + x ) = 1029 ⇔ ( x1 + x ) = 343 ⇔ x1 + x = ⇔ m = 7(t / m) Phơng trình: x2 - 7x + = có x1= 1; x2= Bài 83: Cho phơng tr×nh x2 - ( 2m + 1)x + m2 + m = Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm thoả mÃn: - 2 −2 ⇔ ⇔ −2 < m < m < x2 < Do ®ã: Bài 84: Tìm giá trị tham số a cho phơng trình: x2 + 2ax + = (1) cã c¸c 2 x x nghiệm x1, x2 thoả mÃn điều kiện + ≥ x x 2 1 HDÉn : a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔ a ≥ ( x + x ) − x1 x2 * x1 + x2 = x1 + x2 − ≥ ⇔ ≥5 x x x x1 x2 x1 ⇔ 4a − ≥ a ≤ ( nên 4a2 - > ) a≥2 16 ⇔ a ≥ + ⇔ a ≥ + (t / m ) Bài 85: Tìm tất giá trị tham số a để nghiệm x1, x2 phơng trình: x x + ax + = tho¶ m·n x 2 HDÉn : 2 x2 + > x 1 a ≤ −2 * ∆' = a2 - ≥ ⇔ a ≥ ( x1 + x ) − x1 x x2 x1 x + = + −2 > ⇔ > ⇔ a2 − x x x1 x1 x 1 a ≤ −2 nªn a2 - > ) ⇔ a − > = ( v× a≥2 x * x 2 2 ( ) >9 ⇔ a > ⇔ a > (t / m) Bài 86: a) Cho hai phơng trình a2x2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a2 = (2) (Víi a>c>0) Gi¶ sử phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2; phơng tr×nh (2) cã hai nghiƯm x1' , x ' Chøng minh r»ng: x1x2 + x1 ' x ' b) Cho phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) (1) vµ cx2 + dx + a = ( c ) (2) Biết phơng trình (1) có nghiệm m n, phơng trình (2) có nghiệm p q Chứng minh m2 + n2 + p2 + q2 ≥ HDÉn : a) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: b2- 4a2c ≥ - Ta cã x1x2 + x1 ' x ' ≥ c a2 =2 a2 c c a ; p + q ≥ pq = a c c a ⇒ m + n + p + q ≥ 2 + ≥ 2.2 = a c b) m + n ≥ mn = Bài 87: Cho phơng trình ax + bx + c = (1) cã nghiệm dơng x1, x2 a) Chứng minh phơng trình cx + bx + a = (2) còng cã nghiƯm d¬ng x3 , x b) Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x HDẫn : a)Phơng trình (2) có nghiệm dơng khi: c ∆ = b − 4ac ≥ b b − 4ac ≥ x3 + x = − > ⇔ c bc < a ac > x3 x = c > - Vì phơng trình (1) có nghiệm dơng nên: (I) 17 c ≠ c ≠ ∆ = b − 4ac ≥ b b − 4ac ≥ b − 4ac ≥ ⇔ (II) x1 + x = − > ⇔ a ab < bc < c ac > ac > x1 x = a > - Tõ (I) vµ (II) ⇒ kÕt luËn ? b) C¸ch 1: NÕu α nghiệm (1) a + b + c = 1 1 Thay x = vµo (2) ta cã: c + b + a = c + bα + aα = α α α ⇒ lµ nghiƯm cđa (2) Do x1, x2 nghiệm (1) 1 x3 = , x = lµ nghiƯm cđa (2) x1 x2 1 + x + ≥ + = ( Bất đẳng thức Côsi) x1 x2 C¸ch 2: ( x1 + x ) + ( x3 + x ) ≥ x1 x + x3 x = VËy S = x1 + ( c a ≥ 2.2 2 + a c ) c a = 2.2.1 = a c Bài toán : So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Phơng pháp : Phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a ≠ ) 1)PTB2 cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P< ⇔ ac < - Đặc biệt PTB2 có nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm ( ) ∆ ∆' > P < hc S < S < d¬ng ⇔ ( ) ∆ ∆' ≥ 2) PTB2 cã nghiÖm cïng dÊu ⇔ P > ∆ ∆' ≥ a- PTB2 cã nghiƯm cïng ©m ⇔ P > S < ( ) ( ) ∆ ∆' ≥ b- PTB2 cã nghiƯm cïng d¬ng ⇔ P > S > ( ) ∆ ∆' > P = 3) P TB2 cã nghiƯm lµ số nghịch đảo 4) P TB2 có nghiệm số đối ( 2nghiệm trái dấu giá trị tuyệt ( ) ' > S =0 đối) ⇔ P < S = Bµi 88: Tìm giá trị m để phơng trình: a) x2 - 2x + m = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) x2 - 2mx + (m - 1)2 = cã nghiƯm d¬ng ( m < 0) ( < m ≠ 1) 18 m + > m > không xảy m < −1 c) 2x2 - 2(m + 1)x + m = cã nghiƯm ©m Bài 89: Tìm giá trị m để phơng tr×nh: a) x2 - 2(m + 1)x + m - = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) x2 - 2(m + 1)x + m2 = cã nghiệm phân biệt dơng c) x2 - 2x + m = có nghiệm phân biệt số dơng Bài 90: Xác định điều kiện k để phơng trình: a) ( k 2) x − 6kx + 2( k − 5) = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) ( k − 1) x − 2( k − 1) x + k = cã nghiƯm d¬ng c) ( k − 2) x − 2( k + 3) x + k = có nghiệm âm Bài 91: Xác định điều kiện m để phơng trình: a) ( m − 5) x − 4mx + m − = cã nghiƯm tr¸i dÊu b) ( 2m − 1) x − ( 3m + 4) x + m + = cã nghiƯm tr¸i dÊu ( m < 4) (- < m ≠ ) ( 0 2 x + x = m = 6; m = Bài 98: Số đo hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phơng trình bậc hai ( m 2) x − 2( m − 1) x + m = HÃy xác định giá trị m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền m ≠ ∆' ≥ * ⇔ P > S > m < m > * x1 + x2 = 5 ⇔ m = 4(t / m) ®ã x1 = 1; x2 = Bài 99: Tìm giá trị m để phơng trình x mx + m m − = (m>0) cã hai nghiÖm x1, x2 tơng ứng độ dài hai cạnh AB, AC ABC vuông A BC = Bài toán 10 : Tìm giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai đà cho tơng đơng với ( Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm phân biệt) Phơng pháp : - Chỉ phơng trình có nghiệm phân biệt x1 + x = x3 + x x1 x = x3 x - LËp hÖ phơng trình - Giải hệ phơng trình tìm giá trị tham số - Thử lại, rút kết luận Bài 100: Cho phơng trình bậc hai x − ( m + n ) x − ( m + n ) = (1) T×m m n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng tr×nh x − x − = (2) *Phơng trình (2) có ac = - 5 2 * P = 2m − + 15 ≥ 15 ⇒ Pmin = 15 ⇔ m = 2 4 4 Bài 113: Cho phơng trình x mx + m = Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa A = x 21 + x 2 x1 x giá trị t¬ng øng cđa m * ∆ = ( m − 2) ≥ * A = ( m − ) − ≥ −8 ⇒ Amin = m = Bài 114: 1) Cho phơng tr×nh x − mx + m − = Gọi x1 , x nghiệm, tìm giá trị nhỏ A = x 21 + x 2 2) Cho phơng trình x + 2(m + 3) x + m + = Xác định giá trị m để x 21 + x 2 đạt giá trị nhá nhÊt 1) a + b + c = − m + m − = ⇒ ph¬ng trình có nghiệm A = + ( m − 1) ≥ ⇒ Amin = ⇔ m = 2) ∆' = ( m − 2) + > 2 x 21 + x 2 = ( m − ) + ≥ ⇒ ( x + x ) = ⇔ m = Bµi 115: Cho phơng trình x 2mx + 2m − = T×m m cho A = 2( x 21 + x 2 ) − x1 x đạt giá trị nhỏ * ∆' = ( m − 1) ≥ * A = 8m − 18m + = 2 2m − − ≥ − ⇒ Amin = − ⇔ m = 4 8 8 Bµi 116: Cho phơng trình x 2(m 2) x 6m = (1) Gäi x1 , x lµ nghiệm phơng trình (1) Tìm giá trị nhá nhÊt cña x 21 + x 2 * ∆' = ( m + 1) + > * x 21 + x 2 = ( 2m − 1) + 15 ≥ 15 ⇒ ( x 21 + x 2 ) = 15 ⇔ m = 23 Bµi 117: Cho phơng trình x 2(m 1) x + 5m = Tìm giá trị m nghiệm x1 , x phơng trình cho tổng x 21 + x 2 có giá trị nhỏ * Giả sử phơng trình có nghiệm ta có: x1 + x2 = 2m − ≥ −2 ⇒ ( x1 + x2 ) = −2 ⇔m=0 * m = : x + x − = ⇒ x1, = −1 ± Bµi 118: Cho phơng trình ax ( b a + 1) x = m + (1) a) Víi a = 1; b = Chøng minh r»ng phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x với giá trị m b) Tìm m x 21 + x 2 đạt giá trị nhỏ tính nghiệm trờng hợp a) x − x − m − = cã ∆' = m + > 0∀m ∈ R b) * x 21 + x 2 = 2m + ≥ ⇒ ( x 21 + x 2 ) = ⇔ m = * m = : x − x − = ⇒ x1, = Bài 119: Cho phơng tr×nh x + (2m − 1) x + m = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A = x 21 + x 2 − x1 x * ∆ = ( 2m − 3) ≥ 5 2m − * 3 2 A= + ≥ ⇒ Amin = ⇔m= 16 16 16 Bµi 120: Gäi x1 , x lµ nghiƯm phơng trình sau, tìm giá trị m để x 21 + x 2 có giá trị nhỏ nhÊt 1) x − ( 2m − 1) x + m − = 2) x − 2( m + 1) x + ( m − 1) = 1) ∆ = 4( m − 1) + > 11 11 2 x + x = 4m − 6m + = 2m − + ≥ ⇒ ( x + x ) = 2 2) ∆ = 4m + > 2 4 11 ⇔m= 4 2 ( 1 5 2 x + x = 4m + 2m + = 2m + + ≥ ⇒ x + x 2 4 2 ) = ⇔m=− 4 Bµi 121: Gọi x1 , x nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x 21 + x 2 có giá trị nhỏ 1) x + 2( m − ) x − ( 2m − ) = 2) x + 2( m − ) x − 3m + 10 = m ≤ −1 m ≥ 1) ∆' = m − 2m − ≥ ⇔ x 21 + x 2 = 4m − 12m + = ( 2m − 3) − + m ≥ ⇒ A ≥ ( 2.3 − 3) − = + m ≤ −1 ⇒ A ≥ [ 2.( − 1) − 3] − = 18 24 Suy Amin = ⇔ m = m ≤ −2 m ≥ 2) ∆' = m − m − ≥ ⇔ 5 41 x + x = 4m − 10m − = 2m − − 2 2 2 + m ≥ ⇒ A ≥ 2.3 − − 41 = 2 + m ≤ −2 ⇒ A ≥ 2.( − ) − − 41 = 32 2 Suy Amin = ⇔ m = Bµi 122: Gọi x1 , x nghiệm phơng trình sau, tìm giá trị m để x1 x2 có giá trị nhỏ 1) x ( m − 1) x − ( m + 1) = 2) x − 4mx + ( m + 1) = 1) ∆ = ( m + 1) + > ( x1 − x ) = ( m + 1) + ⇒ ( x1 − x2 ) ⇒ x1 − x = ⇒ ( x1 − x ) m ≤ − ; 2) ∆ = 3m − 2m − ≥ ⇔ m ≥ 1 * m ≤ − ⇒ x1 − x2 ≥ * m ≥ ⇒ x1 − x ≥ ' Suy (x − x2 ) ( m + 1) + ( m + 1) + ≥ = = ⇔ m = −1 x1 − x = 12m − 8m − m = − =0⇔ m = Bài 123: Cho phơng trình x 2(m + 1) x + m + 4m − = Xác định m để hiệu tổng Hai nghiệm tích hai nghiệm phơng trình đạt giá trị lớn * ' = 2m ≥ ⇔ m ≤ * ( x1 + x ) − x1 x = −m − 2m + = −( m + 1) + ≤ ⇒ [ ( x1 + x ) − x1 x ] max = m = (t/m) Bài 124: Cho phơng tr×nh x + (m + 1) x + m = (1) Gäi x1 , x lµ nghiƯm phơng trình (1) Tìm giá trị m để biÓu thøc B = x 21 x + x1 x 2 đạt giá trị lớn * = ( m − 1) ≥ 2 * B = x1 x ( x1 + x ) = − m − m = − m + + ≤ ⇒ Bmax = ⇔ m = − 2 4 25 Bài 125: Cho phơng trình mx − 2mx + 3m − = Tìm giá trị m để nghiệm x1 , x phơng trình có tích x1 x lín nhÊt m ≠ * ⇔0 2 * Q = 2007( x1 + x ) − 4014 x1 x = 2007( 2m + ) − 4014( m 3) = 16056 Bài toán 14 : Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện giả thiết Phơng pháp : - Tính tổng (S), tích (P) hai nghiệm - áp dụng định lý đảo định lý Viét lập phơng trình X2 SX + P=0 Bài 132: Cho phơng trình x + px + q = cã hai nghiƯm x1 , x2 vµ x Lập phơng trình Bậc hai có nghiệm *S= x1 x x2 x1 p 2q ;P=1 q * Phơng trình: qx − ( p − 2q ) x + q = Bài 133: Cho phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ 0, c ) với nghiệm HÃy lập 27 phơng trình bậc hai có nghiệm ( 0, β ≠ 0) α β α + β ( α + β ) − 2αβ b − 2ac α β = ; + = = = β α β α αβ αβ ac * Phơng trình : x b 2ac x + = ⇔ acx − ( b − 2ac ) x + ac = ac * Bài 134: Lập phơng trình bậc hai mà nghiệm tổng tích nghiệm phơng trình ax + bx + c = ( a ≠ 0) b c ; y = x1 x = a a c−b bc * y1 + y = ; y1 y = − a a c−b bc * Ph¬ng tr×nh : y − y − = ⇔ a y + a ( b − c ) y − bc = a a * y1 = x1 + x = − Bµi 135: Gọi x1 x hai nghiệm phơng tr×nh bËc hai ax + bx + c = ( a ≠ 0) H·y lËp mét ph¬ng trình bậc hai có nghiệm x 21 x 2 * x 21 + x 2 = ( x1 + x ) − x1 x2 = b − 22ac ; a x 21 x 2 = ( x1 x ) = c a * Ph¬ng tr×nh : x − b − 22ac x + c = ⇔ a x − ( b − 2ac ) x + c = 2 a a Bài 136: Cho phơng trình x − 5mx + = (1) cã hai nghiệm x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm y1 , y thoả mÃn: a) Là số đối nghiệm phơng trình (1) b) Là nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) a/ y1 + y = −( x1 + x ) = 5m ; y1.2=x1( 2)=x121 Phơng trình: y + 5my + = b/ y1 + y = 1 x + x2 1 =1 + = = 5m ; y1 y = = x1 x x1 x x1 x x1 x Phơng trình: y − 5my + = Bµi 137: Cho phơng trình bậc hai ax + bx + c = (1) ( a ≠ 0) , cã hai nghiệm khác Tìm phơng trình bậc hai mà c¸c nghiƯm cđa nã : a) Kh¸c dÊu víi nghiƯm phơng trình (1) b) Bằng nghịch đảo nghiệm phơng trình (1) c) Lớn nghiệm phơng trình (1) lợng n d) Gấp k lần nghiệm phơng trình (1) a/ ax − bx + c = b/ cx + bx + a = c/ ax + ( b − 2an ) x + an − bn + c = d/ ax + kbx + k c = Bài 138: Cho phơng trình x + 3ax − 3( b + 1) = , ( a b số nguyên) Gọi nghiệm phơng trình x1 x HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ x 31 vµ x * x 31 + x = ( x1 + x ) − x1 x2 ( x1 + x ) = ( − 3a ) − 3.[ − 3( b + 1) ]( − 3a ) = − 27 a − 27 ab − 27 a = − 27( a + ab + a ) 28 [ ( + 27( a )] x 31 x = ( x1 x ) = − b + * Phơng trình : x 3 ( ) = −27 b + ) ( ) + ab + a x − 27 b + = Bài toán 15 : Tìm giá trị tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm nguyên a Phơng pháp : - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - TÝnh - TÝnh - Khư m Bµi 139: ( ) ' ∆ ∆ ≥ ... P Thay S = x + x , P = x x ( ) '' Bài 45: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình : x2 - (m + 3)x + 2m - = mà hệ thức không phụ thuộc vào m HDÉn : ∆ = (m -1)2+ 28 ≥ m = S - vµ m = P+5... phơng trình bậc hai có nghiệm x1 , x thoả mÃn 11 đẳng thức liên hệ nghiệm Phơng pháp : a - Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : - TÝnh tỉng S, tÝch P cđa hai nghiƯm x x Kết hợp đẳng thức. .. x hai nghiệm phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a 0) HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm x 21 x 2 * x 21 + x 2 = ( x1 + x ) − x1 x2 = b − 22ac ; a x 21 x 2 = ( x1 x ) = c a * Phơng trình