Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com CHUYÊN ĐỀ : THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN A- TĨM TẮT LÝ THUYẾT: CƠNG THỨC THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN THƯỜNG GẶP Thể tích khối lăng trụ: B: diện tích đáy, h: chiều cao V= B.h h Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c a,b,c ba kích thước a b c a Thể tích khối lập phương: V = a a độ dài cạnh Thể tích khối chóp: a a V= Bh h B: diện tích đáy, h: chiều cao S Tỉ số thể tích tứ diện: Cho khối tứ diện SABC A’, B’, C’ điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC VSA ' B ' C '  SA SB SC SA ' SB ' SC ' C' A' A B' C B Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com CÁC CƠNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG CÓ LIÊN QUAN: Độ dài trung tuyến tam giác: ITỷ số lượng giác góc nhọn: B 2(b  c )  a 2 ma  2(a  c )  b 2 mb  C 2(a  b )  c A mc2  Cho tam giác ABC vng A, ta có: AC AB AC AB Diện tích tam giác: sin B  ;cos B  ; tan B  ;cot  BC BC AB AC S  a.h  b.h  c.h a b c IIHệ thức lượng tam giác vuông: 2 1 B S  bc sin A  ca sin B  ab sin C 2 abc S 4R H S  pr (p nửa chu vi) S C A Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao, ta có: BC2 = AB2 + BC2 (Pi-ta-go) AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC AH.BC = AB.AC 1 AH2 = BH.BC ;   2 AH AB AC 1 S ABC  AH BC  AB AC 2 IIIHệ thức lượng tam giác thường: p  p  a  p  b p  c  IV- Diện tích đa giác thường gặp: a2 Diện tích tam giác cạnh a: a Đường cao tam giác cạnh a: Diện tích hình chữ nhật: a.b ( a,b kích thước) Diện tích hình vng cạnh a: a2 ( a  b)h Diện tích hình thang: a A h b c b B a Đ.lý cos: a2 = b2 + c2- 2bc cosA b2 = c2 + a2- 2ca cosB c2 = a + b2- 2ab cosC Đ.lý sin: a b c    2R sin A sin B sin C ( R: bk đ.trịn ngoại tiếp) C Diện tích hình bình hành: a.h h a Diện tích tứ giác có đường chéo vng góc: d1.d (d1;d2 độ dài đường chéo) d1 d2 Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com QUAN HỆ VNG GĨC, KHOẢNG CÁCH, CÁC LOẠI GĨC C/m đt vng góc với mp: a a b, a c , b  c = {O} , b,c  (P) Suy : a  (P) P b O Định lý đường vng góc: Cho b’ hình chiếu vng góc b mp   , c B b A c    , ta có: c  b  c  b ' b'  A' B' c 2mp vng góc với mp thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mp Khoảng cách từ điểm đến 1mp: Để xác định khoảng cách từ A đến mp(P), ta tìm mp qua A vng góc với (P) cắt (P) theo giao tuyến d Hạ AH  d  AH  (P)  AH khoảng cách từ A đến mp(P) *Chú ý: loại khoảng cách khác thường quy loại khoảng cách +Khoảng cách 2mp // k/cách từ điểm mp đến mp +K/cách 2đt chéo nhau:  độ dài đoạn vng góc chung  k/cách từ điểm đt thứ đến mp chứa đt thứ hai // với đt thứ  k/cách 2mp // chứa 2đt Góc đường thẳng: Cho a,b đt không gian O điểm tùy ý, qua O vẽ a’//a, b’//b Ta có: góc(a,b) = góc(a’,b’) Góc đt mp: góc đt hình chiếu mp A d H (P) a b a' O b' d A d' O H Góc mp cắt nhau: Để xác định góc 2mp cắt ta tìm giao tuyến c 2mp đó, tìm mp thứ đt a  c, tìm mp thứ hai đt b  c, góc 2mp cho góc 2đt a b b c a Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com B- CÁC VÍ DỤ CƠ BẢN: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy: Ví dụ : Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o 1) Chứng minh mặt bên tam giác vng 2)Tính thể tích khối chóp SABC S C a A 60o B Lời giải : 1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC mà BC  AB  BC  SB ( đl đường  ) Vậy mặt bên chóp tam giác vng 2) Ta có SA  (ABC)  AB hình chiếu SB (ABC) Vậy góc[SB,(ABC)] =   60o SAB a ABC vuông cân nên BA = BC = 2 a SABC = BA.BC  a SAB  SA  AB.t an60o  2 1 a a a3 Vậy V  SABC SA   34 24 Ví dụ : Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC Nguyễn Q Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com S C A 60 o a M B Lời giải: Mlà trung điểm BC,vì tam giác ABC nên AM  BC  SM  BC (đl đường  ) Vậy góc[(SBC) ;(ABC)] =   60o SMA 3a SA  AM tan 60o  a3 Vậy V = SABC SA  Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o 1) Tính thể tích hình chóp SABCD 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) S H 60 o A B a D C Lời giải : 1)Ta có SA  (ABCD) CD  AD  CD  SD ( đl  ).(1)  Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA = 60o SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 1 a3 Vậy V  SABCD SA  a2 a  3 2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD  AH  AH  (SCD) Vậy AH khoảng cách từ A đến (SCD) 1 1 SAD     2 2 2 2 AH SA AD 3a a 3a a Vậy AH = Dạng 2: Khối chóp Ví dụ 1: Cho chóp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC Lời giải : Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy OA = OB = OC Vậy O tâm tam giác ABC Ta có tam giác ABC nên Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com S AO = 2a 2a a AH   3 11a2 SAO  SO  SA  OA  a3 11 a 11 Vậy V  SABC SO   SO  12 C A O a H 2 B Ví dụ 2:Tính thể tích khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a Lời giải: Gọi O tâm h.vuông ABCD Ta có SA2 + SC2 = AC2 nên S a 2 1 a a3   V  S ABCD SO  a 3  ASC vuông S  OS  C D O A a Vậy V  B a3 Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Tính thể tích khối chóp MABC Lời giải : a.Gọi O tâm ABC  DO  ( ABC ) D a2 a V  S ABC DO , S ABC  , OC  CI  3 M A C O I H a B DOC vng có : DO  DC  OC  a a2 a a3 V   12 b.Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) MH  a DO  1 a a a3  VMABC  S ABC MH   3 24 Vậy V  a3 24 Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Dạng 3: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáyABCD, 1) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB 2) Tính thể tích khối chóp SABCD Lời giải: S 1) Gọi H trung điểm AB SAB  SH  AB mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD) Vậy H chân đường cao khối chóp D A a 2) Ta có tam giác SAB nên SA = H a B suy V  SABCD SH  a C Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác ,BCD tam giác vuông cân D , (ABC)  (BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD Lời giải : A Gọi H trung điểm BC Ta có tam giác ABC nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH  (BCD) a B H C 60 o D Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a a & HD = AD.cot60o = 2a BCD  BC = 2HD = suy 1 a3 V = SBCD AH  BC.HD.AH  3 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450 a) Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC Nguyễn Q Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com S H A 45 C I J B Lời giải: C) Kẽ SH  BC mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả thiết   SJH  45o SIH  Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ABC suy H trung điểm AC a a3 b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC SH  12 Dạng 4: Phương pháp tỷ số thể tích tứ diện: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân B, AC  a , SA vuông góc với đáy ABC , SA  a 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC 2) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG song song với BC cắt SB,SC M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải : S a)Ta có : VS ABC  N C G A M I B S ABC SA SA  a + ABC cân có : AC  a  AB  a 1 a3  S ABC  a Vậy: VSABC  a a  b) Gọi I trung điểm BC SG  G trọng tâm,ta có : SI SM SN SG     // BC  MN// BC  SB SC SI  VSAMN SM SN   VSABC SB SC Vậy: VSAMN 2a  VSABC  27 Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông cân A AB  a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD  a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: a3 D a)Tính VABCD : VABCD  SABC CD  F b)Tacó: AB  AC , AB  CD  AB  ( ACD )  AB  EC a Ta có : DB  EC  EC  ( ABD ) E C) Tính VDCEF :Ta có : B C VDCEF DE DF  (*) VDABC DA DB Để ý DE.DA  DC a DE DC a2    DA DA 2a 2 DF DC a2    Tương tự: 2 DB DB DC  CB  A VDCEF 1 a3  Vậy VDCEF  VABCD  Từ(*)  VDABC 6 36 Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ( ) qua A, B trung điểm M SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng Lời giải: S Kẻ MN // CD (N  SD) hình thang ABMN thiết diện khối chóp cắt mặt phẳng (ABM) N VSAND SN 1    VSANB  VSADB  VSABCD VSADB SD 2 VSBMN SM SN 1 1     VSBMN  VSBCD  VSABCD VSBCD SC SD 2 4 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD VSABMN Suy VABMN.ABCD = VSABCD Vậy  V ABMN ABCD + M D A O C B Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo  với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Lời giải: a) Gọi I  SO  AM Ta có (AEMF) //BD  EF // BD S b) VS ABCD  M E B  + SOA có : SO  AO tan 60  I C Vậy : VS ABCD F O A S ABCD SO với S ABCD  a D a a3  C) Phân chia chóp tứ giác ta có VS AEMF = VSAMF + VSAME =2VSAMF VS ABCD = 2VSACD = VSABC Xét khối chóp S.AMF S.ACD SM  Ta có :  SC SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:  V SM SF SI SF     SAMF  VSACD SC SD SO SD  VSAMF 1 a3  VSACD  VSACD  36  VS AEMF a3 a 2  36 18 Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA  a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC  ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Nguyễn Q Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com Lời giải : a) Ta có : VS ABCD S D' I +Tính B A O D b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB ' & SB  AB ' Suy : AB '  ( SBC ) nên AB’  SC Tương tự AD’  SC Vậy SC  (AB’D’) C) Tính VS A B 'C ' D ' B' C' C a3  S ABCD SA  3 VSAB'C ' VSABC VS AB 'C ' : SB ' SC '  (*) SB SC Ta SAC vuông cân nên SC '  SC Ta SB ' SA2 2a 2a 2     SB SB SA2  AB 3a Từ (*)  V SA B 'C '  V SABC a3 a  VSAB 'C '   3 + VS A B 'C ' D '  2VS A B 'C ' có : 2a  có : Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng 1: Lăng trụ đứng Ví dụ 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A’B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ C' A' B' 3a C A a Lời giải: Ta có ABC vng cân A nên AB = AC = a ABC A’B’C’ lăng trụ đứng  AA'  AB AA'B  AA'2  A 'B2  AB2  8a2  AA '  2a Vậy V = B.h = SABC AA’ = a3 B Ví dụ2: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải: Gọi I trung điểm BC Ta có  ABC nên C' A' B' AI  A C I B AB  & AI  BC  A 'I  BC(dl3 ) 2S SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  BC AA '  (ABC)  AA '  AI A 'AI  AA '  A 'I2  AI  Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC AA’= Dạng 2: Lăng trụ xiên Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com A' Lời giải : Ta có C'H  (ABC)  CH hình chiếu CC’ (ABC) Vậy góc[CC',(ABC)]    60o C'CH 3a CHC'  C'H  CC'.sin 600  2 a 3a 3 SABC =  Vậy V = SABC.C’H = C' B' o 60 C A H B a Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A’ xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với đáy ABC góc 60 1) Chứng minh BB’C’C hình chữ nhật 2) Tính thể tích lăng trụ A' C' B' A 60 o C a O H B Lời giải : C) Ta có A 'O  (ABC)  OA hình chiếu AA’ (ABC) Vậy góc[AA ',(ABC)]    60o OAA' Ta có BB’CC’ hình bình hành ( mặt bên lăng trụ) AO  BC trung điểm H BC nên BC  A'H (đl  )  BC  (AA 'H)  BC  AA ' mà AA’//BB’ nên BC  BB' Vậy BB’CC’ hình chữ nhật 2a a 2) ABC nên AO  AH   3 AOA '  A 'O  AO t an60o  a a3 Vậy V = SABC.A’O = Nguyễn Quý Bảo – Giáo viên trường THPT Phú Bài - baonguyenquy@gmail.com C- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập tự luyện chia thành đợt, đợt bài, em giải xong đưa lên trang web trường để bạn tham khảo, sau thầy đưa giải để em đối chiếu BÀI TẬP TỰ LUYỆN ĐỢT Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB= AD =2a, CD = a Góc (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD, biết (SBI) (SCI) vng góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng  (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA a, SB  a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm trongmặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diệnCMNP  ...  IV- Diện tích đa giác thường gặp: a2 Diện tích tam giác cạnh a: a Đường cao tam giác cạnh a: Diện tích hình chữ nhật: a.b ( a,b kích thước) Diện tích hình vng cạnh a: a2 ( a  b)h Diện tích. .. O A a Vậy V  B a3 Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Tính thể tích khối chóp MABC Lời giải : a.Gọi... Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE  ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: a3 D a)Tính VABCD : VABCD  SABC CD 