Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 1 6 Chuyên đề Hình học phẳng Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 2 Dạng 1. Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng 1. 1 Phương pháp 1.2 Một số ví dụ Bài 1. (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại M. Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K. Nếu . . . MA MC MACD MB MD   thì   BKC CDB  . Bài 2. (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao cho AP AC  . Hãy chứng minh rằng PM là phân giác góc  BPH khi và chỉ khi  3 A   Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 3 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 4 Bài 3. (Đề thi Olympic Italia) Cho tứ giác lồi ABCD với      , , , , DAB ADB ACB DBC DBA           . Giả thiết rằng , , 2 2         2      . Chứng minh rằng   2 2 2 DB BC AD AC    Bài 4. (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC cắt các cạnh của tam giác tại A 1 , B 1 , C 1 sao cho tứ giác BA 1 B 1 C 1 nội tiếp. Chứng minh rằng BC AC AB AC AB BA BC CA CB      Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 5 Bài 5. (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của BC. Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho     , ABN BAM ACN CAM   . Chứng minh rằng   BAN CAM  Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 6 Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q. Đường thẳng SO giao với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A. Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng 1 1 2 AC AD AB   Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 7 Bài 7. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E. Cho F là giao điểm thứ hai (khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE. Vẽ tiếp tuyến tại A với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G. Chứng minh rằng AF AG  . Bài 8. (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD sao cho   AOB COD    . Chứng minh rằng   OBC ODC  . Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 8 Bài 9. (Đề thi Olympic Đức) Một hình vuông S a nội tiếp một tam giác nhọn ABC với 2 đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC. Các hình vuông S b , S c được xây dựng tương tự. Với những trường hợp nào của tam giác ABC thì các hình vuông S a , S b , S c là bằng nhau. 1.3 Bài tập áp dụng Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 9 Bài 10. (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng   ' ' ' ' ' ' ' ' 2 A B B C C D D A AB BC CD DA        . Khi nào đẳng thức được nghiệm đúng? Bài 11. (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm giữa 2 tia này. Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất. Bài 12. (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có   0 0 90 , 30 , 1 C A BC    . Tìm giá trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC. Bài 13. (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp. Tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong ABCD. Cạnh ngắn nhất có độ dài bằng 2 4 t  và cạnh dài nhất có độ dài bằng t với 2 2 t   . Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại A’, các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A cắt nhau tại D’. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của ' ' ' ' A B C D ABCD S S . Bài 14. (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta dựng hình vuông nội tiếp B 1 C 1 DE (cạnh DE nằm trên đoạn BC, còn các đỉnh B 1 , C 1 lần lượt nằm trên đoạn AB và AC). Tiếp theo, từ tam giác AB 1 C 1 , lại dựng hình vuông B 2 C 2 D 1 E 1 nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu). Quá trình dựng như trên được thực hiện một vài lần. Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC. Bài 15. (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB. Cát tuyến PQ đi qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q. a. Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q? b. Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn nhất. c. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA. Bài 16. (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vuông có BC CA AB   . Gọi D là 1 điểm trên cạnh BC, E là 1 điểm trên cạnh BA kéo dài về phía điểm A, sao cho BD BE CA   . Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho E, P, D, P nằm trên 1 đường Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 10 tròn, Q là giao điểm thứ 2 của BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng AQ CQ BP   . Bài 17. (Malaysia – 2000) Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: , , AB c BC a AC b    và   3 ABC BAC  . Chứng minh rằng    2 2 a b a b bc    Bài 18. (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ dài a. Chia BC thành n phần bằng nhau, với n là một số nguyên dương lẻ. Khi đó, tam giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh a bằng α. Gọi H là khoảng cách từ A đến BC. Chứng minh rằng 2 4 tan nh an a    Bài 19. (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có diện tích là S. Chứng minh rằng 2 2 2 4 3 a b c S    . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 20. (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC. PA cắt BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ số sau đây không lớn hơn 2: ; ; AP BP CP PD PE PF Bài 21. (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Ta lần lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh tam giác. Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành. Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam giác mới đó. Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên. Bài 22. (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu   tan tan tan 2 C BC AC BC A AC B    Bài 23. (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tuỳ ý nằm trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng trong các tam giác AML, BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng ¼ diện tích tam giác ABC. Bài 24. (IMO 1975) (40 – p66) Cho tam giác ABC bất kỳ. Ta dựng bên ngoài tam giác đó các tam giác BCP, CAQ, ABR sao cho:       0 0 0 45 ; 30 ; 15 PBC CAQ BCP QCA ABR BAR      . Chứng minh rằng  0 90 , QRP QR RP   [...]... 2 điểm chuyển động với tốc độ không đổi, mỗi điểm chuyển động trên 1 đường tròn, theo cùng một hướng Sau một vòng chuyển động, cả hai điểm đó cùng trở về A Chứng minh rằng có một điểm cố định S trên mặt phẳng sao cho hai điểm chuyển động nói trên luôn cách đều S 26 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 27 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng MỤC LỤC Dạng 1 Chứng minh các... là bán kính của (O) 16 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 3 (IMO – Hong kong – 1998) Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY và CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn 17 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng XA  XB, YB  YC , ZC  ZA Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy 3.2.2 Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương Bài 1 Cho... tại E Chứng minh rằng PE = QE 11 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Dạng 2 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – song song 2.1 Phương pháp 2.2 Một số ví dụ Bài 1 Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD trong đó AB = AC = BD Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của ta 12 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 2 Cho O là tâm đường... chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC Đường thẳng qua H vuông góc với PB gặp đoạn AB tại Q Đường thẳng qua H vuông góc với PC gặp đoạn AC 14 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng tại R Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QHR tiếp xúc với cạnh BC tại H Bài 9 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của hình vuông đó Giả sử các điểm M, K là hình chiếu... học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 2 Gọi AA1, CC1 là các đường cao của tam giác nhọn ABC Đường phân giác của góc nhọn giữa hai đường thẳng AA1, CC1 cắt các cạnh AB và BC tại P, Q tương ứng Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh AC, đường phân giác của góc ABC cắt đoạn HM tại R Chứng minh rằng tứ giác PBQR nội tiếp một đường tròn 21 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học. .. MN Chứng minh rằng BL  AC Bài 3 (Đề thi Olympic Đài Loan) Cho tam giác nhọn ABC, AC > BC và M là trung điểm AB Các đường cao AP và BQ gặp nhau ở H, đường thẳng AB và BQ cắt nhau ở R Chứng minh rằng RH  CM 13 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 4 (Đề thi Olympic IrLand) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống BC, CA, AD Tìm... đoạn thẳng MN có độ dài không đổi b Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm cố định 25 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 12 Cho đường tròn tâm O đường kính AB D là một điểm cố định thuộc AB, đường thẳng d đi qua D và vuông góc với AB H là một điểm thay đổi trên d AH và BH cắt (O) lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định... Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 22 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Bài 4 (VĐ 12 – p9) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường thẳng, mỗi đường đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng quy Dạng 6 Đường thẳng – đường tròn qua điểm cố định 6. 1 Phương pháp Bài toán: Cho điều kiện X Xét đường thẳng d thay đổi... Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng Dạng 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp 5.1 Phương pháp 5.2 Một số ví dụ Bài 1 (Đề thi Olympic Hàn Quốc) Cho tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp Gọi P, Q, R, S lần lượt là các giao điểm của hai đường phân giác ngoài các góc ABD và ADB , DAB và DBA , ACD và ADC , DAC và DCA tương ứng Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S cùng nằm trên 1 đường tròn 20 Chuyên đề Hình học. .. biến hình để chỉ ra rằng nếu ảnh của đường thẳng d đi qua một điểm cố định thì d đi qua một điểm cố định 23 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng + Dùng phương pháp toạ độ + Dùng điều kiện cùng phương của hai vec tơ: “Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên BC là tồn tại các số thực x, y sao       cho x  y  1 và OM  xOA  yOB ” 6. 2 Ví . Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 1 6 Chuyên đề Hình học phẳng Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 2 Dạng 1. Chứng minh. khi và chỉ khi  3 A   Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 3 Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 4 Bài 3. (Đề thi Olympic Italia) Cho tứ.     , ABN BAM ACN CAM   . Chứng minh rằng   BAN CAM  Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng 6 Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm