CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 1 Tính giá trị biểu thức: 1. Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 + 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức: A = z 1 .z 2 + |z 1 | 2 + |z 2 | 2 ( )( ) 2 2 2 121 11 zzzzB ++−−= 2. Gọi z 1 , z 2 là nghiệm phức của phương trình: z 2 – 4z + 5 = 0. Tính: A = (z 1 – 1) 2011 + (z 2 – 1) 2011. 3. Cho z 1 , z 2 là các nghiệm phức của phương trình: 2z 2 – 4z + 11 = 0. Tính giá trị: ( ) 2 21 2 2 2 1 zz zz A + + = . 4. Cho phương trình: z 3 – 5z 2 + 16z – 30 = 0 (1). Gọi z 1 , z 2 và z 3 lần lượt là 3 nghiệm của phương trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: 2 3 2 2 2 1 zzzA ++= . 5. Cho hai số phức z, z’ thoả mãn: |z| = |z’| = 1 và 3' =+ zz . Tính giá trị biểu thức: A = |z – z’|. Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức: 6. Trong mp Oxy, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức w = z – 1 + i thoả mãn: 121 2 +=−+ ziz 7. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: a) |z + 1 + i| = |z(1 – i)|. b) 0 2 =+ zz 8. Cho số phức z 1 thoả mãn: ( ) ( ) 2 3 1 1 21 i i z + + = . Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z 1 | = 4 9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức ( ) 231 1 ++= ziz , biết rằng: |z - 1| = 2. 10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết 11z −≤ 11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3. Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất: 12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện: izz 34 −+= và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i| có giá trị nhỏ nhất. 13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: ( ) 12 1 1 =+ − + i zi . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. 14. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) |iz – 3| = |z – 2 – i| b) |z + 1 + 2i| = 1 15. Tìm số phức z thoả mãn ( ) ( ) izz 21 +− là số thực và |z| nhỏ nhất. 16. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn điều kiện: a) izzz 212 +−=− b) 1 3 51 = −+ −+ iz iz . 17. Trong tất cả các số phức z thoả mãn: |z – 2 + 2i| = 1, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. Tìm phần thực, phần ảo: 18. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (1 + i) n , trong đó n ∈ N và thoả mãn: log 4 (n-3) + log 5 (n+6) =4 19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp: 1) ( ) ( ) 12 16 1 3 i i z + + = 2) z = ( ) ( ) 5 10 10 (1 ) 3 13 ii i −+ −− 3) ( ) ( ) 2011 2012 3 1 i i z + + = 4) ( ) 6 31 iz −= 5) z= ( ) 10 3 i− Tìm số phức z thoả mãn điều kiện cho trước: 20. Tìm số phức z thoả mãn: a) ziiz −= − 13 và 2 9 −z là số thuần ảo. b) 1 3 1 = − − z z và 2 2 = + − iz iz . 21. Tìm số phức z thoả mãn: a) i z z z 71 200 2 4 − −=+ b) 3 5 8 12 = − − iz z và 1 8 4 = − − z z c) ( ) 2 1 31 z i ziiz = + +− 22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 23. Tìm số phức z thoả mãn: a) izziz 22 +−=− và 4)( 22 =− zz . b) 8.2 2 2 =++ zzzz và 2 =+ zz 24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: iziz +−=+ 12 và iz iz 2 1 + −+ là một số thuần ảo. 25. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1) ( ) 2621 =+− iz và 25. =zz . 2) ( ) izzzz 413. −=−+ Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 2 26. Cho các số phức: z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 – 4i. Xác định số phức z ≠ 0 thoả mãn: z 1 .z là số thực và 1 2 = z z . 27. Tìm số phức z thoả mãn: a) ( ) ( ) izz 21 +− là số thực và 22=z . b) 13. =zz và |z – 4| + |z + 4| = 10 28. Tìm số phức z thoả mãn: iziz 43|21| ++=−+ và iz iz + − 2 là một số thuần ảo. 29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1) ( ) 1 2 5 . 34z i va z z+− = = 2) 15z −= và 17( ) 5 0z z zz+− = 3) 3 zz = Hai số phức bằng nhau: 30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i) 3 = 7 + 32i. 2) ( ) ( ) iiy i ix 41121 32 23 3 +=−+ + − 31. Tìm môđun của số phức z, biết: 1) ( ) iziz 2125314 +=++ . 2) ( ) i z zi z i −+ − = − 2 .321 2 . 32. Giải phương trình trên tập số phức: 1) (z 2 + z) 2 + 4(z 2 + z) – 12 = 0 2) ( ) ( ) 0 22 =−+ zziz 3) |z| - iz = 1 – 2i 4) z 3 + 2z – 4i = 0 5) (z 2 – z)(z + 3)(z + 2) = 10 6) ( ) 52 2 4 −= zzz 7) z 4 – z 3 + 6z 2 – 8z – 16 = 0 a) 8 35 542 2 =−+ zzz b) i z z 68 25 −=+ 33. Giải phương trình trên tập số phức, biết phương trình có nghiệm thực: 2z 3 – 5z 2 + (3 + 2i)z + 3 + i = 0. 34. Chứng minh rằng phương trình z 4 - 4z 3 + 14z 2 - 36z + 45 = 0 có 2 nghiện thuần ảo. Tìm tất cả nghiệm. 35. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: z = 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + … + (1 + i) 20 . 36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i 2 + 4i 3 + … + 2009i 2008 . 37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và 2=+ z i z . Tính tổng: S = 1 + z 2 + z 4 + … + z 2010 . 38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức: ( ) ( ) ( ) ( ) 3000963 3 333 iiiiz −++−+−+−= 39. Chứng minh số phức sau là số thực: i i i i z 32 323 32 323 − +− + + + −= 40. Tìm các số thực x, y thỏa mãn: (x + i)(1 – yi) + (x – i)(y + i) = 6 – 2i. 41. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , với n ∈ N * và n là nghiệm của: ( ) ( ) 39log3log 44 =++− nn 42. Tìm số phức z có mô đun lớn nhất, biết z thỏa mãn điều kiện: 2 2 3 = +− +− iz iz 43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + … + (1 + i) 20 . 44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i 2011 + i 2012 . Tìm môđun của số phức: ziz + 45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng: 32 +=− ziz và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất. 46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 18 1 − − =− z z z . Tính: iz iz 2 4 − + 47. Cho z là số phức thỏa mãn: ( ) ( ) iziziz 2=++ . Tính: |z + i| 48. Tìm các số phức z 1 , z 2 thỏa mãn: 24 211 −=− zzz và ( ) i ziz i z −= − −         + 1 1 2 1 11 2 49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)| 50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z 3 , biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i). 51. Tìm số thực m để phương trình: z 3 – 5z 2 + (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z 1 , z 2 , z 3 thỏa mãn điều kiện: |z 1 | 2 + |z 2 | 2 + |z 3 | 2 = 21. 52. Cho hai số phức z 1 , z 2 thỏa mãn: |z 1 – z 2 | = |z 1 | = |z 2 | > 0. Tính giá trị của biểu thức: 4 1 2 4 2 1         +         = z z z z A Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 1 Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức: Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 1) z = 23 (2 )(3 ) (1 2 )ii i− − −− 2) z = (2 + i) 3 – (3 - i) 3 . 3) z = 5(4 2 ) 7 (8 5 )ii i−+ − 4) z = 25 (1 3 )( 2 )(1 ) i i ii −+ +−−+ 5) z = 7 7 11 2 i ii  −   6) z = 1 31 3 1 21 2 ii ii +− + −+ 7) z = 23 ( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )ii i i−+ − + − + 8) z = 22 (4 ) (1 3 ) ii − −− 9) z = 22 ( 2 5) (4 8) ii −+ + 11) z = (2 ) (1 )(4 3 ) 32 i ii i +++ − − 12) z = 32 1 ii ii −+ − + 13) z = 2 3 ( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 ) ii ii −+ − −+ 15) z = (3 4 )(1 2 ) 43 12 ii i i −+ +− − 16) (3 )(2 6 ) 1 ii i ++ − 17) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 223 121 ii ii z +−+ −−+ = 18) z = 44 (2 7 ) [(1 2 )(3 )]i ii+ −− + 19) z = 7 5 (1 )ii− 20) z = 34 (2 ) (2 ) ii+− Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z 2 – 2z + 4i. 2) 1 zi iz + − . Bài 3. Cho số phức z thỏa mãn 2 (1 3 ) 1 i z i − = − . Tìm môđun của số phức z iz+ . Bài 4. Cho các số phức z 1 = 1 + 2i, z 2 = -2 + 3i, z 3 = 1 – i. Hãy tính và sau đó tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau: 1) 22 12 22 23 zz zz + + 2) 12 23 31 zz zz zz++ 3) 123 zzz 4) 222 123 zzz++ 5) 3 12 231 z zz zzz ++ Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho: 1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2) i i y i x = − − + + − 3 3 3 3 3) ( ) ( ) ( ) iyxyxyxyixi 2222 23 2 1 42343 −+−=++− Bài 6. Cho ba số phức 12 3 14; 15; 33z iz iz i=+ =−+ =−− có các điểm biểu diễn lần lượt là A, B, C. Hãy tìm số phức z có điểm biểu diễn là: 1) trọng tâm G của tam giác ABC. 2) D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD. 3) trực tâm H của tam giác ABC. 4) tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số: 1 4 −i i ; (1 – i)(1 + 2i) ; i i − + 3 62 . 1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông Tính toán: 1) Cho số phức i i z − + = 1 1 . Tính z 2009 . 2) Tính: 2004 1 1       + i ; 21 321 335         − + i i ; ( ) ( ) 11 5 31 3 i i − + 3) Tính giá trị biểu thức: 816 1 1 1 1       + − +       − + = i i i i A 66 2 31 2 31         + +         +− = ii B Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: 1) 2 13 12 ii z ii + −+ = −+ 2) 4 1 zi zi +  =  −  . 3) (9 3 ) (11 6 ) 57 ii i z −−+ = − 4) 8 3 =       − + iz iz 5) (1 + i)z 2 = -1 + 7i 6) ( ) 1 23 0 2 i z i iz i   + ++ + =    7) 35 12 (1 )(4 3 ) 13 2 ii z ii ii ++ + =−+ − 8) 3 (1 2) (3 4) 2 3iz i i+ − − =−+ 9) (2 ) 3 4iz i −=+ 10) 2 ( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )iz i i i+ =−+ − − − 10) (i+1) 2 (2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11) 5 (1 ) (3 2 )(1 3 )iz i i−=+ + 12) ( 2 7 ) (14 ) (1 2 )iz i iz−+ = − + − Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: 1) 2 34zz i−=− . 2) 2 2 0zz+= 3) 2z + 3 z =2+3i 4) z 2 = z + 2 5) 2 0zz+= . 6) (2 ) 10zi−+= và . 25zz= (ĐH.B’09) 7) 2i ( ) ( ) 12z zi−+ là số thực và 15 z −= Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã Trang 2 8) 1z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)    −=− =− |||1| |||2| izz ziz 11) 1 1 z zi − = − và 3 1 zi zi − = + Dạng 3: Giải phương trình bậc hai - tìm số phức z. Bài 1. Giải phương trình trên tập số phức: 1) z 2 – z + 1 = 0. 2) x 2 – 6x + 25 = 0 3) ( ) ( ) 2 2 2 1 30zz+ ++ = 4) z 2 + 2z +5 = 0 5) 2 50xx− +−= 6) z 2 – 3z + 3 + i = 0 7) x 4 + 7x 2 + 10 = 0 8) 42 5 40xx+ += Bài 2. Giải các phương trình sau: 1) ( ) ( ) 2 3 6 3 13 0zi zi+− − +− + = 2) ( ) ( ) 2 22 4 12 0zz zz+ + +−= 3) 2 33 3. 4 0 22 iz iz zi zi ++  − −=  −−  Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z 2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z 1 và z 2 là nghiệm. Tính giá trị 22 12 Az z= + . Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức: 1) 2 43 10 2 z zz z− + ++= 2) 01 23 =+ + − +       + − +       + − iz iz iz iz iz iz 3) 10)2)(3)(( 2 =++− zzzz 4) z 4 + 2z 3 – z 2 + 2z + 1 = 0 5) z 4 – 4z 3 + 6z 2 – 4z – 15 = 0. 6) 42 2 3 (1 ) 4(1 ) 0zz z z− +− + = 7) (z 2 + 3z + 6) 2 + 2z(z 2 + 3z + 6) - 3z 2 = 0 8) z 6 + z 5 – 13z 4 – 14z 3 – 13z 2 + z + 1 = 0 Bài 5. Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: 1) z 3 + (2 – 2i)z 2 + (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z 3 + (1 + i)z 2 + (i – 1)z – i = 0 Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện: 1) 34zz++ = 2) 12zz i− +− = 3) (3 4 ) 2zi−− = . (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10 5) 22 () 4zz −= 6) 32 1zi−+ = 7) (1 3 ) 3 2z iz i+ − = +− 8) 22 zi zz i−= −+ 9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10) 9. =zz 11) (3 2 )(1 ) 1z ii−+ −= 12) |z + i| = |z – 2 – 3i| 13) |z + 2| = |i – z| 14) 3 (1 ) 1zi−− = 15) 2 () zi− là một số thực dương 16) 1222 −=− zzi 17) 1 3 = + − iz iz 18) 4 zi zi − = + 19) 1 1 zi = + 20) iz z + − 2 là số thực 21) zi zi + − là một số thực dương 22) 2 ( 1)zi−+ là một số thuần ảo. 23) ( ) 2 ()ziz−+ là số thực tùy ý, 24) 1 1z − là một số thuần ảo. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 23zi z i−= −− . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức. Dạng lượng giác của số phức: ( ) ϕϕ sincos irz += ; r ≥ 0. ϕ được gọi là agumen. r là môđun của z. Bài 1. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1) 31 i− 2) 1 + i 3) )1)(31( ii +− 4) i i + − 1 31 5) i22 1 + 6) )3(2 ii − Bài 2. Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi trường hợp sau: 1) |z| = 3 và một acgumen của iz là 4 5 π 2) 3 1 =z và một acgumen của i z +1 là 4 3 π − Bài 3. Gọi z 1 và z 2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 0432 2 =−− izz .Viết dạng lượng giác của z 1 và z 2 Một số bài tập: 1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ; i221− 2. Xác định phần thực của số phức 1 1 − + z z , biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1. 3. Chứng minh rằng: nếu 1 1 − + z z là số ảo thì |z| = 1. 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z=x+yi thoả mãn 3 18 26 z i = + Giải: 3 18 26 z i = + ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 3 2 2 3 3 18 18 26 18 3 26 3 3 26 x xy x yi i x y y x xy x y y  − =  ⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −  − =   Gi ả i ph ươ ng trình b ằ ng cách ñặ t y=tx ta ñượ c 1 3, 1 3 t x y = ⇒ = = . Vậy z=3+i Ví dụ 2) Cho hai số phức 1 2 ; z z thoả mãn 1 2 1 2 ; 3 z z z z= + = Tính 1 2 z z − Giải: Đặ t 1 1 1 2 2 2 ; z a bi z a b i = + = + . Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 a b a b a a b b  + = + =   + + + =   ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 a b a b a a b b z z ⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − = Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2 8(1 ) 63 16 0 z i z i − − + − = Giải: Ta có ( ) 2 2 ' 16(1 ) (63 16 ) 63 16 1 8 i i i i ∆ = − − − = − − = − Từ ñó tìm ra 2 nghiệm là 1 2 5 12 , 3 4 z i z i = − = + Ví dụ 2) Giải phương trình sau: 2 2(1 ) 4(2 ) 5 3 0 i z i z i + − − − − = Giải: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i) 2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. Vậy phương trình cho hai nghiệm là: z 1 = i ii i i i i 2 5 2 3 2 )1)(4( 1 4 )1(2 4)2(2 −= − − = + − = + + − z 2 = i ii i i i i 2 1 2 1 2 )1)(( 1)1(2 4)2(2 −−= − − = + − = + − − Ví dụ 3) Giải phương trình 3 2 9 14 5 0 z z z − + − = Giải: Ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 2 1 4 5 0 z z z − − + = . T ừ ñ ó ta suy ra ph ươ ng trình có 3 nghi ệ m là 1 2 3 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i = = − = + Ví dụ 4) Giải phương trình: 3 2 2 5 3 3 (2 1) 0 z z z z i − + + + + = biết phương trình có nghiệm thực Giải: Vì ph ươ ng trình có nghi ệ m th ự c nên 3 2 2 5 3 3 0 2 1 0 z z z z  − + + =  + =  1 2 z − ⇒ = tho ả mãn cả hai ph ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) 2 2 1 3 3 0 z z z i + − + + = . Giải phương trình ta tìm ñược 1 ; 2 ; 1 2 z z i z i = − = − = + www.MATHVN.com www.MATHVN.com 2 Ví dụ 5) Giải phương trình: 3 2 (1 2 ) (1 ) 2 0 z i z i z i + − + − − = biết phương trình có nghiệm thuần ảo: Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có ( ) ( ) 3 2 2 3 2 (1 2 ) (1 )( ) 2 0 ( ) ( 2 2) 0 bi i bi i bi i b b b b b i + − + − − = ⇔ − + − + + − = 2 3 2 0 1 2 2 0 b b b z i b b b  − =  ⇔ ⇒ = ⇒ =  − + + − =   là nghi ệ m, t ừ ñ ó ta có ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v ớ i ( ) ( ) 2 (1 ) 2 0 z i z i z − + − + = . Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2 z z = . Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( ) 2 a bi a bi + = + 2 2 2 a b a ab b  − = ⇔  = −  Gi ải hệ trên ta tìm ñược 1 3 ( , ) (0;0),(1;0),( ; ) 2 2 a b = − ± . V ậy phương trình có 4 nghi ệm là 1 3 0; 1; 2 2 z z z i = = = − ± Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức: Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau: 1 2 2 z i z i + − = − + và 5 z i− = Giải: Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có 1 ( 2) 2 (1 ) ( 1) | 5 x y i x y i x y i  + + − = − + −   + − =   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) ( 2) (1 ) 1 5 x y x y x y  + + − = − + −  ⇔  + − =   2 3 10 6 4 0 y x x x =  ⇔  − − =  1, 3 x y ⇔ = = hoặc 2 6 , 5 5 x y = − = − . Vậy có 2 số phức thoả mãn ñiều kiện. Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn ; 1 ( 2 ) i m z m R m m i − = ∈ − − a) Tìm m ñể 1 . 2 z z = b)Tìm m ñể 1 4 z i − ≤ c) Tìm số phức z có modun lớn nhất. Giải: a) Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 ) 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 1 4 i m m mi i m m m m m m z m mi m mi m mi m m − − − − − − + + − + = = = − + − + − − − + www.MATHVN.com www.MATHVN.com 3 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1 1 1 m m i m m m i z i m m m m m + + + = = + ⇒ = − + + + + + ( ) 2 2 2 2 1 1 1 . 1 2 1 2 2 1 m z z m m m + ⇒ = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± + b) Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 1 1 4 1 1 4 m m m z i i i m m m m   − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤   + + + +   ⇔ 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 16 1 (1 ) (1 ) 16 1 6 15 15 m m m m m m m m m ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ + + + c) Ta có ( ) 2 max 2 2 2 1 1 1 | | 1 0 1 1 m z z m m m + = = ≤ ⇒ = ⇔ = + + Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện 2 4 5 z i− − = Tìm số phức z có modun lớn nhất, nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) 2 2 2 4 5 x y − + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm I(2;4) bán kính 5 R = D ễ dàng có ñược (2 5 sin ;4 5 cos ) M α α + + . Modun s ố phức z chính là ñộ dài véc tơ OM. Ta có |z| 2 = 2 2 2 (2 5 sin ) (4 5 cos ) 25 4 5(sin 2cos ) OM α α α α = + + + = + + Theo BDT Bunhiacopxki ta có ( ) 2 2 2 (sin 2cos ) (1 4) sin cos 5 α α α α + ≤ + + = 5 sin 2cos 5 α α ⇒ − ≤ + ≤ 5 3 5 z⇒ ≤ ≤ . Vậy min 1 2 | | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2 5 5 z x y z i α α α α − − = ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + max 1 2 | | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6 5 5 z x y z i α α α α = ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = + Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện 2 4 2 z i z i − − = − .Tìm số phức z có moodun nhỏ nhất. Giải: Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 0 x y x y x y − + − = + − ⇔ + − = Suy ra tập hợp ñiểm M(x;y) biểu diễn s ố phức z là ñường thẳng y=-x+4 Ta có 2 2 2 2 2 2 (4 ) 2 8 16 2( 2) 8 2 2 z x y x x x x x= + = + − = − + = − + ≥ . Từ ñó suy min 2 2 2 2 2 2 z x y z i = ⇔ = ⇒ = ⇒ = + Dạng 4) Tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức Ví dụ 1) Tìm tập hợp các ñiểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: a) 3 z z i = − b) 3 4 z z i = − + c) 4 z i z i − + + = www.MATHVN.com www.MATHVN.com 4 Giải: Gọi z=x+yi a) Từ giả thiết ta có 2 2 2 2 2 2 9 9 3 9( ( 1) ) ( ) 8 64 z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − = V ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm 9 3 (0; ), 8 8 I R = b) T ừ giả thiết ta có ( ) 2 2 2 2 3 (4 ) 6 8 25 x y x y x y + = − + − ⇔ + = . Vậy tập hợp các ñiểm M là ñường thẳng 6x+8y-25=0 c) Gi ả sử z =x+yi thì 4 z i z i − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 4 x y x y ⇔ + − + + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16 1 4 2 1 4 1 16 8 1 1 x y x y x y y x y x y x y   + + ≤ + + ≤   ⇔ ⇔   + − = +   + − = − + + + + +   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 16(1) 1 16 4 4 8 4 8 16 1(2) 3 4 4 4(3) x y x y x y x y y y y y y  + + ≤  + + ≤     ⇔ + + + = + + ⇔ + =     ≥ − ≥ −     Ta th ấ y các ñ i ể m n ằ m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñộ các ñ i ể m n ằ m trên (Elip) luôn tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n y >-4. V ậ y t ậ p h ợ p ñ i ể m M là Elip có pt 2 2 1 3 4 x y + = . Ví dụ 2) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức ( ) 1 3 2 i z ω = + + biết rằng số phức z thoả mãn: 1 z − ≤ 2. Giải: Đặ t ( ) , z a bi a b R = + ∈ Ta có 1 z − ≤ 2 ( ) 2 2 1 4 a b ⇔ − + ≤ (1) T ừ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 3( 1) x a b x a b i z x yi i a bi y a b y a b ω   = − + − = − +   = + + ⇒ + = + + + ⇔ ⇔   = + − = − +     T ừ ñó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 4 1 16 x y a b   − + − ≤ − + ≤   do (1) V ậy tập hợp các ñiểm cần tìm là hình tròn ( ) ( ) 2 2 3 3 16 x y − + − ≤ ; tâm ( ) 3; 3 I , bán kính R=4. Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho số 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π . Giải: www.MATHVN.com www.MATHVN.com 5 Giả sử z=x+yi, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x yi x yi x yi z z x yi x y − + + +     − + −     = = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 x y yi x x x y y i x y x y x y − + + + − + + − = = + + + − + − + (1) Vì s ố ph ứ c 2 2 z z − + có acgumen bằng 3 π , nên ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 cos sin 3 3 2 2 x y y i i x y x y π π τ + −   + = +     − + − + v ớ i 0 τ > ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 3 2 2 x y x y y x y τ τ  + − =  − +  ⇒   =  − +  T ừ ñó suy ra y>0 (1) và 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 3 4 (2) 4 3 3 3 y y x y x y x y     = ⇔ + − = ⇔ + − =     + −     .T ừ (1) và (2) suy ra t ập hợp các ñiểm M là ñường tròn tâm nằm phía trên trục thực(Trên trục Ox). Dạng 5) Chứng minh bất ñẳng thức: Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu 1 z ≤ thì 2 1 1 2 z iz − ≤ + Giải: Gi ả s ử z =a+bi (a, b ∈ R) thì 2 2 2 2 1 1 z a b a b = + ≤ ⇔ + ≤ . Ta có 2 2 2 2 4 (2 1) 2 1 2 (2 1) 2 (2 ) (2 ) a b z a b i iz b ai b a + − − + − = = + − + − + .Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương v ới 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 (2 1) 1 4 (2 1) (2 ) 1 (2 ) a b a b b a a b dpcm b a + − ≤ ⇔ + − ≤ − + ⇔ + ≤ ⇒ − + Ví dụ 2) Cho số phức z khác không thoả mãn ñiều kiện 3 3 1 2 z z + ≤ . Chứng minh rằng: 1 2 z z + ≤ Giải: Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức 1 2 , z z bất kỳ ta có 1 2 1 2 z z z z + ≤ + Ta có 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 3z z z z z z z z z z z z z z     + = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +         Đặt 1 z z + =a ta có ( )( ) 2 3 3 2 0 2 1 0 a a a a dpcm − − ≤ ⇔ − + ≤ ⇒ www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... = 2 - 4i e) z - 2 z = -1 - 8i d) z 2 - z = 0 f) ( 4 - 5i ) z = 2 + i Trang 104 Trần Só Tùng Số phức 4 ỉ z+iư g) ç ÷ =1 è z -iø h) i) 2 z - 3z = 1 - 12i k) ( 3 - 2i ) 2 l) [(2 - i ) z + 3 + i ](iz + o) 3 + 5i = 2 - 4i z ( )( 2+i - 1 + 3i z= 1- i 2+i ( z + i ) = 3i ỉ 1 ư 1 m) z ç 3 - i ÷ = 3 + i 2 ø 2 è 1 )=0 2i ( ) p) ( z + 3i ) z2 - 2 z + 5 = 0 ) q) z2 + 9 z2 - z + 1 = 0 r) 2 z3 - 3z2 + 5z + 3i - 3... b) z - z + 1 - i = 2 c) z - z + 2i = 2 z - i d) 2i.z - 1 = 2 z + 3 e) 2i - 2 z = 2 z - 1 f) z + 3 = 1 g) z + i = z - 2 - 3i h) k) 2 + z = i - z l) z + 1 < 1 z - 3i =1 z+i i) z - 1 + i = 2 m) 1 < z - i < 2 Bài 2 Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau: a) z + 2i là số thực b) z - 2 + i là số thuần ảo c) z z = 9 VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức. .. i) 2 (3 + 2i) 2 - (2 + i ) 2 3+ i (1 - 2i )(1 + i ) q) 3 e) f) ( 2 - 3i )( 3 + i ) i) b) ( 2 + i ) - ( 3 - i ) 3 ỉ2 5 ư c) ( 2 - 3i ) - ç - i ÷ è3 4 ø 2 - 3i 4 + 5i c) ( 3 + 4i ) f) ( 2 - i ) 2 6 g) (-1 + i )3 - (2i )3 h) (1 - i)100 i) (3 + 3i )5 Bài 3 Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: z+i iz - 1 Bài 4 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R: a) z2 - 2 z + 4i b) a)... = 16sin5 t - 20sin3 t + 5sin t b) cos 5t = 16 cos5 t - 20 cos3 t + 5 cos t c) sin 3t = 3cos2 t - sin3 t d) cos3t = 4 cos3 t - 3 cos t Trang 107 Số phức Trần Só Tùng II ÔN TẬP SỐ PHỨC Bài 1 Thực hiện các phép tính sau: 6 ỉ -1 + i 3 ư ỉ 1 - i 7 ư b) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø a) (2 - i ) (-3 + 2i)(5 - 4i ) 16 ỉ1+ i ư ỉ 1- i ư c) ç ÷ +ç ÷ è 1- i ø è1+ i ø 8 d) 6 3 + 7i 5 - 8i + 2 + 3i 2 - 3i e) (2 - 4i)(5 + 2i)... của các số phức sau: a) ( 4 – i ) + ( 2 + 3i ) – ( 5 + i ) ỉ1 ư b) 2 - i + ç - 2i ÷ è3 ø ỉ3 1 ư ỉ 5 3 ư e) ç + i ÷ - ç - + i ÷ è4 5 ø è 4 5 ø ỉ 1 ư ỉ 3 ư 1 d) ç 3 - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i 3 ø è 2 è ø 2 3 -i 2 -i 3 h) g) 1+ i i 1 + 2i m a+i a l) k) i m a-i a 1+ i a+i b o) p) 2-i i a Bài 2 Thực hiện các phép toán sau: 2 a) (1 + i ) - (1 – i ) ỉ1 ư d) ç - 3i ÷ è2 ø 2 1+ i 1- i m) 3 (1 + 2i) 2 - (1 - i) 2... f) í ï ï ỵ z - 12 5 = z - 8i 3 z-4 =1 z -8 Trang 105 z -1 =1 z -i z - 3i =1 z +i Số phức ì z 2 + z 2 = 5 + 2i ï g) í 1 2 ïz1 + z2 = 4 - i ỵ Trần Só Tùng ì ï z - 2i = z ï z - i = z -1 ỵ h) í ìz 2 + z 2 + 4 z z = 0 ï1 2 1 2 z1 + z2 = 2i ï ỵ i) í Bài 8 Giải các hệ phương trình sau: ì1 1 1 1 ï + = - i d) í x y 2 2 ï x 2 + y 2 = 1 - 2i ỵ ìx + y = 5 - i b) í 2 2 ỵ x + y = 8 - 8i ì x 2 + y 2 = -6 ï e) í 1... + ( 2 - i 5 ) 6 ỉ -1 + i 3 ư ỉ -1 - i 3 ư c) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 6 ỉi+ 3 ư ỉi- 3 ư e) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 4 c) (1 + i 3 ) + (1 - i 3 ) 6 5 n ỉ -1 + i 3 ư ỉ -1 - i 3 ư d) ç ÷ +ç ÷ è 2 ø è 2 ø 5 6 Bài 26 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z - 2 + 3i = nhỏ nhất 3 Tìm số phức z có môđun 2 Bài 27 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau: 4i 2 + 6i ; (1 - i)(1... -1 3-i a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông Bài 28 Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a) z3 + (2 - 2i)z2 + (5 - 4i)z - 10i = 0 b) z3 + (1 + i )z2 + (i - 1)z - i = 0 c) z3 + (4 - 5i )z2 + (8 - 20i )z - 40i = 0 Bài 29 Cho đa thức P( z) = z3 + (3i - 6)z2 + (10 - 18i)z + 30i Trang 110 Trần Só Tùng Số phức. .. z4 + iz3 - (1 + 2i)z2 + 3z + 1 + 3i, với z = 2 + 3i 1 b) B = ( z - z2 + 2 z3 )(2 - z + z2 ), với z = ( 3 - i) 2 Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho: x -3 y -3 b) + =i a) (1 - 2i ) x + (1 + 2 y )i = 1 + i 3+i 3-i 1 c) (4 - 3i ) x 2 + (3 + 2i ) xy = 4 y 2 - x 2 + (3 xy - 2 y 2 )i 2 Bài 5 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: b) 3 + 4i c) 1 + i a) 8 + 6i ỉ1+ i ư e) ç ÷ è 1- i ø i) 2 3 -i ỉ 1- i 3 ư f)... ç ÷ ç 3 -i ÷ è ø k) 1 + 1 2 g) 1 2 i 2 2 l) -2 (1 + i 3 ) i 1+ i 3 2 2 Bài 6 Tìm các căn bậc ba của các số phức sau: a) -i b) –27 c) 2 + 2i Bài 7 Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau: a) 2 - i 12 b) 3 + i Bài 8 Giải các phương trình sau: a) z3 - 125 = 0 c) -2 i b) z 4 + 16 = 0 d) 7 - 24i h) i, –i m) 1 1 + 1+ i 1- i d) 18 + 6i d) -7 + 24i c) z3 + 64i = 0 d) z3 - 27i = 0 e) z7 - 2iz4 - iz3 - 2 = 0 . CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó. Chuyên đề luyện thi đại học về số phức Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai” Trang 2 26. Cho các số phức: z 1 = 1 + 2i, z 2 = 3 – 4i. Xác định số phức. là số ảo thì |z| = 1. 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC Dạng 1) Bài toán liên quan ñến biến ñổi số phức Ví dụ 1) Tìm số