Đang tải... (xem toàn văn)
Tổng hợp toàn bộ kiến thức và cách thức giải toán dùng ở lớp 10 bao gồm Đại Số,Giải Tích và Hình Học
www.MATHVN.com Lê Ths Lê Văn Đoàn www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com MỤC LỤC Trang PHẦN I – ĐẠI SỐ CHƯƠNG I – MỆNH ĐỀ & TẬP HỢP A – MỆNH ĐỀ - B – TẬP HỢP CHƯƠNG II – HÀM SỐ BẬC NHẤT & BẬC HAI - 12 A – ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 12 Dạng toán Tìm tập xác định hàm số 13 Dạng toán Tính đơn điệu hàm số - 16 Dạng toán Xét tính chẳn lẻ hàm số - 18 B – HÀM SỐ BẬC NHẤT - 20 C – HÀM SỐ BẬC HAI 25 CHƯƠNG III – PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH 36 A – ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH - 36 B – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT - 38 C – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 43 Dạng toán Giải biện luận phương trình bậc hai 43 Dạng tốn Dấu số nghiệm phương trình bậc hai 44 Dạng toán Những toán liên quan đến định lí Viét - 47 Dạng tốn Phương trình bậc cao quy phương trình bậc hai - 52 Dạng tốn Phương trình chứa ẩn dấu trị tuyệt đối 57 Dạng toán Phương trình chứa ẩn dấu 59 D – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN - 73 E – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN SỐ 80 CHƯƠNG IV – BẤT ĐẲNG THỨC & BẤT PHƯƠNG TRÌNH - 106 A – BẤT ĐẲNG THỨC - 106 Dạng toán Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất 108 Dạng toán Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy 113 Dạng tốn Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacơpxki 122 Dạng toán Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz - 125 Dạng toán Chứng minh BĐT dựa vào phương pháp tọa độ véctơ 126 Dạng toán Ứng dụng BĐT để giải phương trình - 127 PHẦN II – HÌNH HỌC CHƯƠNG I – VÉCTƠ & PHÉP TOÁN - 141 A – VÉCTƠ & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ - 141 Dạng toán Đại cương véctơ - 143 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com Dạng toán Chứng minh đẳng thức véctơ 147 Dạng toán Xác định điểm thỏa đẳng thức véctơ - 156 Dạng tốn Phân tích véctơ – Chứng minh thẳng hàng – Song song 164 Dạng toán Tìm mơđun – Quỹ tích điểm – Điểm cố định - 177 B – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ - 180 Dạng toán Tọa độ véctơ – Biểu diễn véctơ - 181 Dạng toán Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước - 183 Dạng toán Véctơ phương ứng dụng - 185 CHƯƠNG II – TÍCH VƠ HƯỚNG & ỨNG DỤNG 190 A – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG GĨC BẤT KÌ - 190 B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 194 Dạng tốn Tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vng góc - 195 Dạng toán Chứng minh đẳng thức – Bài toán cực trị - 201 C – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC - 207 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com PHẦN I ĐẠI SỐ www.DeThiThuDaiHoc.com Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Chương www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP A – MỆNH ĐỀ Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề "không phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Lưu ý rằng: Các định lí tốn học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó: P giả thiết, Q kết luận P điều kiện đủ để có Q Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề tương đương Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "P Q" gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh để P ⇒ Q Q ⇒ P Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P ⇔ Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu ∀ ∃ "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề "∀x ∈ X, P(x)" "∃x ∈ X, P(x) " Mệnh đề phủ định mệnh đề "∃x ∈ X, P(x)" "∀x ∈ X, P(x) " Phép chứng minh phản chứng Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B Cách Ta giả thiết A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B Cách (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A vừa vừa sai nên kết B phải "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phần Đại Số BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Trong câu đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến ? a/ Số 11 số chẵn c/ Huế thành phố Việt Nam b/ Bạn có chăm học khơng ? d/ 2x + số nguyên dương e/ − < g/ Hãy trả lời câu hỏi ! f/ + x = h/ Paris thủ nước Ý i/ Phương trình x2 − x + = có nghiệm k/ 13 số nguyên tố Bài 2 Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a/ c/ e/ g/ Nếu a chia hết cho a chia hết cho Nếu a chia hết cho a chia hết cho hai số nguyên tố > < b/ d/ f/ h/ Nếu a ≥ b a ≥ b2 Số π lớn nhỏ 81 số phương Số 15 chia hết cho cho Bài 3 Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? a/ Hai tam giác chúng có diện tích b/ Hai tam giác chúng đồng dạng có cạnh c/ Một tam giác tam giác chúng có hai đường trung tuyến có góc 600 d/ Một tam giác tam giác vuông có góc tổng hai góc cịn lại e/ Đường trịn có tâm đối xứng trục đối xứng f/ Hình chữ nhật có hai trục đối xứng g/ Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với h/ Một tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc vng Bài 4 Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? Giải thích ? Phát biểu mệnh đề thành lời ? a/ ∀x ∈ », x2 > b/ ∃x ∈ », x > x c/ ∃x ∈ », 4x − = d/ ∀n ∈ », n2 > n e) ∀x ∈ », x − x = > f/ ∀x ∈ », x > ⇒ x > g/ ∀x ∈ », x > ⇒ x > h/ ∀x ∈ », x < ⇒ x < i/ ∃x ∈ », 5x − 3x ≤ k/ ∃x ∈ », x2 + 2x + hợp số l/ ∀n ∈ », n2 + không chia hết cho m/ ∀n ∈ »*, n(n + 1) số lẻ n/ ∀n ∈ »*, n(n + 1)(n + 2) chia hết cho o/ ∀n ∈ » *, n + 11n chia hết cho Bài 5 Điền vào chỗ trống từ nối "và" hay "hoặc" để mệnh đề ? a/ π < π > b/ ab = a = b = c/ ab ≠ a ≠ b ≠ d/ ab > a > b > a < b < e/ Một số chia hết cho chia hết cho ……… cho f/ Một số chia hết cho chữ số tận ……… Bài 6 Cho mệnh đề chứa biến P ( x ) , với x ∈ » Tìm x để P ( x ) mệnh đề ? a/ P ( x ) : " x − x + = " Page - - b/ P ( x ) : " x − 5x + = " "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn c/ P (x ) : " x − 3x > " d/ P (x ) : " x ≥ x " e/ P (x ) : " 2x + ≤ " f/ P (x ) : " x + x + > " Bài 7 Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a/ b/ c/ d/ Số tự nhiên n chia hết cho cho Số tự nhiên n có chữ số tận Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa Số tự nhiên n có ước số n Bài 8 Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a/ ∀x ∈ » : x2 > b/ ∃x ∈ » : x > x2 c/ ∃x ∈ » : 4x2 − = d/ ∀x ∈ » : x2 − x + > e/ ∀x ∈ » : x2 − x − < g/ ∀n ∈ », n2 + không chia hết cho f/ ∃x ∈ » : x2 = h/ ∀n ∈ », n2 + 2n + số nguyên tố i/ ∀n ∈ », n2 + n chia hết cho k/ ∀n ∈ », n2 − số lẻ Bài 9 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a/ b/ c/ d/ e/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận chữ số chia hết cho Nếu a + b > hai số a b phải dương Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho Nếu a = b a = b2 Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c Bài 10 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần", "điều kiện đủ": a/ Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với b/ Nếu hai tam giác chúng có diện tích c/ Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc với d/ Nếu tứ giác H hình chữ nhật có ba góc vng e/ Nếu tam giác K có hai góc Bài 11 Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ": a/ b/ c/ d/ e/ Một tam giác vuông có góc tổng hai góc cịn lại Một tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng Một tứ giác nội tiếp đường tròn có hai góc đối bù Một số chia hết cho chia hết cho cho Số tự nhiên n số lẻ n2 số lẻ Bài 12 Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng: a/ b/ c/ d/ e/ f/ g/ Nếu a + b < hai số a b nhỏ Một tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 600 Nếu x ≠ y ≠ x + y + xy ≠ Nếu bình phương số tự nhiên n số chẵn n số chẵn Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn Nếu tứ giác có tổng góc đối diện góc vng tứ giác nội tiếp đường tròn Nếu x2 + y2 = x = y = "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phần Đại Số BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 13 Trong câu sau, câu mệnh đề, câu không mệnh đề ? Nếu mệnh đề mệnh đề hay sai ? a/ b/ c/ d/ Các em có vui khơng ? Cấm học sinh nói chuyện học ! Phương trình x + x = có hai nghiệm dương phân biệt 25 − số nguyên tố e/ số vơ tỉ f/ Thành phố Hồ Chí Minh thủ đô nước Việt Nam g/ Một số tự nhiên chia hết cho số chia hết cho h/ Nếu 22003 − số ngun tố 16 số phương Bài 14 Viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét xem mệnh đề phủ định hay sai ? a/ π < 3,15 b/ −125 ≤ c/ số nguyên tố e/ π số hữu tỉ d/ không chia hết cho f/ 1794 chia hết cho g/ số hữu tỉ h/ Tổng cạnh ∆ lớn cạnh thứ Bài 15 Phát biểu thành lời mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề đó: a/ ∀x ∈ », x2 > c/ ∃n ∈ », n ≤ 2n b/ ∃n ∈ », n2 = n d/ ∃x ∈ », x < e/ ∀x ∈ », 1,2 < x < 2,1 f/ ∀n ∈ », n2 + chia hết cho Bài 16 Các mệnh đề sau hay sai ? Giải thích ? Viết mệnh đề phủ định chúng ? a/ ∃n ∈ », n2 = b/ ∀x ∈ », x > x2 c/ ∃x ∈ », x > x2 d/ ∀n ∈ », n2 ≥ n e/ ∃n ∈ », n2 ≥ n f/ ∀x ∈ », x2 − x + > g/ ∃x ∈ », x2 − x + > h/ ∀n ∈ », n2 + không chia hết cho i/ ∃n ∈ », n2 + không chia hết cho j/ ∃n ∈ », n2 + chia hết cho Bài 17 Cho mệnh đề chứa biến P (x ) : " x = x " Xác định tính – sai mệnh đề sau: P (0); P (−1); P (1); " ∃x ∈ », P (x ) "; " ∀x ∈ », P (x ) " Bài 18 Cho mệnh đề chứa biến P (x ) : " x − 2x = " Xác định tính – sai mệnh đề sau: P (0); P (2); P ( ); " ∃x ∈ », P(x) "; " ∀x ∈ », P(x) " Bài 19 Các mệnh đề sau hay sai ? Nếu sai sửa lại để có mệnh đề ? a/ x = ⇔ x = c/ ∀x ∈ », x2 > x e/ b/ c/ d/ e/ Page - - b/ 2001 số nguyên tố d/ ∀x ∈ », x2 + y2 ≤ 2xy ∃x ∈ », x2 ≤ x f/ ∃n ∈ », n2 + n + ABCD hình vng ⇒ ABCD hình bình hành ABCD hình thoi ⇒ ABCD hình chữ nhật Tứ giác MNPQ hình vng ⇔ Hai đường chéo MP NQ Hai tam giác ⇔ Chúng có diện tích "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đồn Bài 20 Dùng bảng chân trị chứng minh: ( ) c/ (A ⇒ B) = (A ∨ B) = (B ⇒ A) e/ (A ∨ B) = (A ∧ B) b/ (A ⇒ B) ∧ A = A d/ (A ⇒ B) ⇒ B = (A ∨ B) i/ A ⇒ (B ∧ C) = (A ⇒ B) ∧ (A ⇒ C) j/ a/ (A ⇒ B) = A ∨ B ( ) ( ) (A ∧ B) ⇒ C = (A ∨ B ∨ C) f/ A ∧ B = A ∨ B Bài 21 Với n số tự nhiên lẻ, xét định lí: " Nếu n số tự nhiên lẻ n − chia hết cho 8" Định lí viết dạng P (n ) ⇒ Q (n) a/ Hãy xác định mệnh đề P (n ) Q (n ) b/ Phát biểu định lí cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" " điều kiện cần" Bài 22 Cho định lí: " Nếu n số tự nhiên n − n chia hết cho 3" Định lí viết dạng P (n ) ⇒ Q ( n ) a/ Hãy xác định mệnh đề P (n ) Q (n ) b/ Phát biểu định lí cách sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" " điều kiện cần" c/ Chứng minh định lí Bài 23 Sử dụng thuật ngữ "điều kiện đủ" để phát biểu định lí sau: a/ Nếu tứ giác hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường b/ Nếu hình thoi có hai đường chéo hình vng c/ Nếu ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) có b2 − 4ac > phương trình có nghiệm phân biệt d/ Nếu x > x > Bài 24 Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" để phát biểu định lí sau: a/ b/ c/ d/ Nếu x > x > 25 Nếu hai góc đối đỉnh chúng Nếu hai tam giác diện tích chúng Nếu a số tự nhiên a chia hết cho a chia hết cho Bài 25 Cho hai mệnh đề, mệnh đề A: "a b hai số tự nhiên lẻ" mệnh đề B: " a + b số chẵn" a/ Phát biểu mệnh đề A ⇒ B Mệnh đề hay sai ? b/ Phát biểu mệnh đề B ⇒ A Mệnh đề hay sai ? Bài 26 Chứng minh mệnh đề sau phương pháp phản chứng a/ Nếu tổng 99 số 100 có số lớn b/ Nếu a b số tự nhiên với tích a.b lẻ a b số tự nhiên lẻ c/ Cho a, b, c ∈ » Có ba đẳng thức sau đúng: a + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ac; c2 + a ≥ 2ab d/ Với số tự nhiên a b, a + b chia hết cho a b đồng thời số lẻ e/ Nếu nhốt 25 thỏ vào chuồng có chuồng chứa nhiều thỏ Bài 27 Cho định lí: " Nếu a b hai số nguyên dương số chia hết cho a + b chia hết cho 3" Hãy phát biểu chứng minh định lí đảo định lí (nếu có), dùng thuật ngữ "điều kiện cần đủ" để gộp hai định lí thuận đảo "Cần cù bù thơng minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - - Ths Lê Văn Đoàn Phần Đại Số www.MATHVN.com B – TẬP HỢP Tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Cách xác định tập hợp + Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu ∅ Tập hợp – Tập hợp Tập hợp con: A ⊂ B ⇔ ( ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) + A ⊂ A, ∀A B A + ∅ ⊂ A, ∀A + A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C A ⊂ B Nếu tập hợp có n phần tử ⇒ n tập hợp B ⊂ A Một số tập hợp tập hợp số thực » Tập hợp nhau: A = B ⇔ Tập hợp » : »* ⊂ » ⊂ » ⊂ » ⊂ » Khoảng: a – ∞ ////////// ( + (a; b ) = {x ∈ » / a < x < b} (a; +∞) = {x ∈ » / a < x} + (−∞; b) = {x ∈ » / x < b} Đoạn: a; b = {x ∈ » / a ≤ x ≤ b} + Nửa khoảng: + a; b) = {x ∈ » / a ≤ x < b} + + + (a; b = {x ∈ » / a < x ≤ b} a; +∞) = {x ∈ » / a ≤ x } (−∞; b = {x ∈ » / x ≤ b} b ) ////////// – ∞ ////////// ( +∞ +∞ –∞ ) ////////// +∞ – ∞ ////////// ////////// +∞ a – ∞ ////////// – ∞ ////////// ( b ) ////////// ////////// – ∞ ////////// [ +∞ +∞ +∞ ] ////////// –∞ +∞ Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp: A ∩ B ⇔ { x x ∈ A x ∈ B } A B Hợp hai tập hợp: A ∪ B ⇔ { x x ∈ A x ∈ B } Hiệu hai tập hợp: A \ B ⇔ { x x ∈ A x ∉ B } D A B Phần bù: Cho B ⊂ A CA B = A \B A Page - - B "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Ths Lê Văn Đồn Phần Hình học www.MATHVN.com B – TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Góc hai véctơ Cho a, b ≠ Từ điểm O vẽ OA = a, OB = b ( ) Khi a, b = AOB với 00 ≤ AOB ≤ 1800 Lưu ý ( ) ● (a, b) = 180 ( ) ● (a, b) = (b, a ) ● a, b = 900 ⇔ a ⊥ b ● a, b = 00 ⇔ a, b hướng ⇔ a, b ngược hướng Tích vơ hướng hai véctơ 2 ( ) Định nghĩa: a.b = a b cos a, b Đặc biệt: a.a = a = a Tính chất: với a, b, c ∀k ∈ » , ta có: ( ) ● a.b = b.a ● a b + c = a.b + a.c ( ) ( ) ( ) ● (a + b) = a + 2a.b + b ● a − b = (a − b)(a + b) ● a.b < ⇔ (a, b) góc tù ● a ≥ 0; a = ⇔ a = ● ka b = k a.b = a kb 2 2 2 ( ) 2 ● a − b = a − 2a.b + b ( ) a.b = ⇔ (a, b) góc vng ● a.b > ⇔ a, b góc nhọn ● Biểu thức tọa độ tích vơ hướng ( ) Cho a = (a1;a ), b = (b1; b2 ) Khi đó: a.b = a1b1 + a b2 = a b cos a, b (Hoành nhân hoành + Tung nhân tung = số) ( ) ● cos a, b = a.b = a.b a1b1 + a b2 2 a + a b1 + b2 2 ( ) ● a ⊥ b ⇔ cos a, b = ⇔ a.b = ⇔ a 1b1 + a b2 = ● Để chứng minh a b không phương, ta chứng minh (Dùng để chứng minh ba đỉnh tam giác) ● Với A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) ⇒ AB = (x B a1 b1 ≠ a2 b2 hay a1b2 ≠ a b1 − x A ) + (y B − y A ) ● Khi tính tích vơ hướng véctơ, ta nên để ý đến chiều nhằm xác định góc Page - 194 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Ths Lê Văn Đồn www.MATHVN.com Dạng Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh & thiết lập vng góc Tính tích vơ hướng Ta lựa chọn hướng sau Hướng Sử dụng định nghĩa cách đưa hai véctơ a b gốc để xác định ( ) xác góc α = a, b , từ đó: a.b = a b cos α Hướng Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai véctơ Hướng Nếu đề cho dạng tọa độ a = (a 1;a ), b = (b1; b2 ) ⇒ a.b = a1b1 + a b2 ( ) a.b Tính góc: cos a, b = a.b = a1b1 + a b2 2 a + a b1 + b2 Chứng minh vng góc Ta lựa chọn hướng sau Hướng Nếu đề khơng cho tọa độ, ta sử dụng tính chất tích vơ hướng Đặc biệt: a = a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a b cos a, b = ⇔ b = cos a, b = ( ) ( ) ( ( ) ) Hướng Nếu đề cho dạng tọa độ a = a1 ;a , b = b1 ; b2 a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a 1b1 + a b2 = Bài 282 Cho ∆ABC vng A có AB = a, BC = 2a Tính tích vơ hướng a/ AB.AC b/ AC.CB c/ AB.BC Bài 283 Cho ∆ABC cạnh a Tính tích vơ hướng a/ AB.AC b/ AC.CB c/ AB.BC Bài 284 Cho ∆ABC vng cân có AB = AC = a có AH đường cao Tính tích vơ hướng sau a/ AB.AC b/ AH.BC c/ AC.CB AB.BC Bài 285 Cho ∆ABC vng A, có AB.CB = AC.BC = a/ Tính cạnh ∆ABC b/ Gọi I, J điểm thỏa đẳng thức véctơ IA + 2IB = 0, 2JB − JC = Tính IJ theo hai véctơ BA, BC Bài 286 Cho ∆ABC vuông A có AB = 3, AC = a/ Tính tích vơ hướng: AB.BC, BC.CA, CA.AB b/ Nếu BC = (cm ), CA = (cm ), AB = (cm ) "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 195 - Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học www.MATHVN.com ( ) Tính BC, BA B ( ( ) ) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = cm Hãy tính AD, AC Bài 287 Cho ∆ABC vng A có BC = a 3, M trung điểm BC Biết AM.BC = a2 Hãy tính AB, AC Bài 288 Cho ∆ABC cạnh a AM trung tuyến tam giác Tính tích vơ hướng sau ( ) ( ) a/ AC 2AB − 3AC b/ AC AC − AB c/ AM.AB d/ AB − AC AB + AC ( ( )( ) e/ CA + BC CA + CB )( ) f/ m = AB.BC + BC.CA + CA.AB Bài 289 Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính tích vơ hướng sau theo a, b, c a/ BA.BC b/ CB.CA c/ AC.AB Bài 290 Cho ∆ABC có AB = 3a, AC = a, A = 600 Tính AB.AC Suy độ dài cạnh BC độ dài đường trung tuyến AM Bài 291 Cho ∆ABC có a/ AB = 2, AC = 3, A = 600 Hãy tính độ dài cạnh BC b/ AB = 3, BC = 4, B = 450 Hãy tính độ dài cạnh AC c/ CA = 5, BC = 6, C = 1200 Hãy tính độ dài cạnh AB Bài 292 Cho ∆ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: (1) : a (2) : b (3 ) : c = b2 + c2 − 2bc cos A = a + c2 − 2ac cos B 2 (Định lý hàm cos) = a + b − 2ab cos C Bài 293 Cho ∆ABC có AB = 5, BC = 7, CA = a/ Tính cosA, cosB, cosC b/ Tính AB.BC + BC.CA + CA.AB c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP tam giác ABC Bài 294 Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = a/ Tính AB.AC , suy giá trị góc A b/ Tính CA.CB c/ Gọi D điểm CA cho CD = Tính CD.CB Bài 295 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau ( ) a/ AB.AC b/ AC AB + AD c/ AB.BD d/ AB + AD BD + BC ( )( ) e/ AC − AB 2AD − AB Page - 196 - ( )( ) f/ (AB + AC)(BC + BD + BA) "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I ( www.MATHVN.com )( ) g/ AB + AC + AD DA + DB + DC Ths Lê Văn Đoàn h/ OA.AB Bài 296 Cho ∆ABC có AB = c, AC = b, AB = a Gọi G trọng tâm D, E, F chân đường phân giác góc A, B, C Tính a/ Tích vơ hướng véctơ: AG.BC, BG.AC, CG.AB b/ Độ dài cạnh AG, BG, CG c/ Tính giá trị S = GB.GC + GC.GA + GA.GB Bài 297 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = a/ Tính AB.AC, BC.BA, CA.CB , suy cosA, cosB, cosC b/ Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính AG.BC c/ Tính giá trị biểu thức S = GA.GB + GB.GC + GC.GA d/ Gọi AD phân giác góc BAC, (D ∈ BC) Tính AD theo AB, AC , suy AD HD: a/ AB.AC = − , cos A = − 29 c/ S = − AB 54 d/ Đường phân giác DB = DC ⇒ AD = AB + AC , AD = AC 5 Bài 298 Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600 Gọi M trung điểm BC a/ Tính BC, AM b/ AG.BC = b/ Tính IJ, I, J xác định bởi: 2IA + IB = 0, JB = 2JC 133 b/ IJ = Bài 299 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a HD: a/ BC = 19, AM = a/ Tính tích vô hướng: AB.CD, BD.BC, AC.BD b/ Gọi I trung điểm CD, tính AI.BD Suy góc hai véctơ AI BD Bài 300 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = a , canh đáy AD = a, BC = 2a a/ Tính AC.BD Suy góc nhọn tạo hai đường AC BD b/ Gọi G trọng tâm ∆BCD tính AG.AB Bài 301 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh AB = a, AD = b Tính theo a, b tích vô hướng a/ AB.AC, BD.AC, (AC − AB)(AC + AD) b/ MA.MC + MB.MD với M điểm thuộc đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Bài 302 Cho tam giác ABC có A (1;2), B (−2;6), C (9; 8) a/ Tính AB.AC Chứng minh tam giác ABC vng A b/ Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC e/ Tìm toạ độ điểm M Oy để B, M, A thẳng hàng f/ Tìm toạ độ điểm N Ox để tam giác ANC cân N "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 197 - Ths Lê Văn Đồn www.MATHVN.com Phần Hình học g/ Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h/ Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i/ Tìm toạ độ điểm T thoả TA + 2TB − 3TC = k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ∆ABC Bài 303 Cho tam giác ABC có A (0;2), B (6;9), C (4;1) Câu hỏi tương tự 302 Bài 304 Xác định hình dạng tam giác ABC biết a/ A (1; 0), B (5; 0), C (3; 4) b/ A (1;2), B (−2;6), C (9; 8) ( ) c/ A (−1; 0), B (3; 0), C 1;2 Bài 305 Xác định hình dạng tứ giác biết a/ A (2;6), B (3; 3), C (−3;1), D (−4; 4) d/ A (5;7 ), B (8; −5), C (0; −7 ) b/ A (−2; −2), B (−1; 3), C (3;2), D (2; −2) c/ A (−2; −6), B(4; −4), C(2; −2), D(−1; −3) d/ A (2;1), B (3;6), C (−2; 5), D (−3; 0) Bài 306 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a = (1; 3), b = (6; −2), c = (x;1) a/ Chứng minh a ⊥ b b/ Tìm x để a ⊥ c c/ Tìm x để a phương với c d/ Tìm tọa độ véctơ d để a ⊥ d b.d = 20 Bài 307 Trong mặt phẳng Oxy, cho A (1; 4), B (−3;2) véctơ v = (2m + 1; − 4m ) a/ Tìm m để v phương với AB b/ Tìm m để v ⊥ AB Bài 308 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: A (2; 3), B (9; 4),C (5; y), D (x; −2) a/ Tìm y để ∆ABC vng C b/ Tìm x để điểm A, B, D thẳng hàng Bài 309 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A (−3; 3), B (4; 4) a/ Tìm M ∈ Oy để AMB = 900 b/ Tìm N ∈ Ox để A, B, N thẳng hàng Bài 310 Tính góc hai véctơ a b trường hợp sau a/ a = (4; 3), b = (1;7 ) b/ a = (2;5), b = (3; −7 ) c/ a = (6; −8), b = (12;9) d/ a = (2; −6), b = (−3;9) Bài 311 Cho ∆ABC với A (1; 6), B (2;6),C (1;1) a/ Tìm tọa độ trực tâm H b/ Vẽ AK ⊥ BC Xác định tọa độ điểm K Bài 312 Cho tam giác ABC có A (1; –1), B (5; –3), C (2; 0) a/ Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b/ Tìm toạ độ điểm M biết CM = 2AB − 3AC c/ Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 313 Cho ∆ABC cso A (4; 3), B (0; −5),C (−6; −2) a/ Chứng minh ∆ABC vuông B b/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Page - 198 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn Bài 314 Cho ∆ABC biết A (1;2), B (−3; −4) a/ Tìm tọa độ hình chiếu A lên BC b/ Tìm diện tích tam giác ABC Bài 315 Cho ba điểm A (7; 4), B (0; 3),C (4; 0) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên BC Từ suy tọa độ điểm A1 điểm đối xứng với A qua BC Bài 316 Cho ∆ABC, biết A (1;2), B (−1;1), C (5; −1) a/ c/ e/ g/ Tính AB.AC Tìm tọa độ chân đường cao A1 ∆ABC Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC Chứng minh I, H, G thẳng hàng b/ Tính cos sin góc A d/ Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC f/ Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ∆ Bài 317 Cho A (0;2), B (6;9),C (4;1), D (2;10) a/ Chứng minh: ∆ABC vuông b/ Chứng minh: ABCD hình chữ nhật c/ Gọi C' thỏa CC ' = AB Tìm C', suy D đối xứng với C' qua B Bài 318 Cho ∆ABC có AB = a, AC = 2a Gọi D trung điểm cạnh AC, M điểm thỏa BM = BC Chứng minh BD vng góc với AM Bài 319 Cho ∆ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi ∆ABC tam giác vuông cân đỉnh A ∆ABD, ∆ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: AM ⊥ DE Nếu góc A tù vng kết cịn khơng ? Tại ? Bài 320 Cho ∆ABC cân A, H trung điểm BC D hình chiếu H lên AC, M trung điểm HD Chứng minh AM ⊥ BD Bài 321 Cho bốn điểm A, B, C, D a/ Chứng minh: DA.BC + DB.CA + DC.AB = b/ Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Bài 322 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = Bài 323 Cho ∆ABC đều, BC, CA, AB lấy điểm D, E, F thỏa 3DB = BC, 3CE = 2CA 15AF = 4AB Chứng minh: AD ⊥ EF Bài 324 Cho hình vng OACB điểm M thuộc OC Kẻ đường PP' qua M vng góc với OA, đường QQ' qua M vng góc với OB a/ Chứng minh: AM = PQ b/ Chứng minh: AM ⊥ PQ Bài 325 Cho ba điểm A, B, M Gọi O trung điểm AB Chứng minh rằng: 4OM2 = AB2 ⇔ MA ⊥ MB Bài 326 Cho ∆ABC có AB = c, BC = a, AC = b Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vng góc b2 + c2 = 5a Bài 327 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A BA.BC = AB2 Bài 328 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi H điểm xác định OH = OA + OB + OC a/ Tính AG.BC Suy H trực tâm tam giác ABC b/ Tìm hệ thức độ dài ba cạnh tam giác ABC a, b, c cho AH ⊥ AM với M trung điểm BC "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 199 - Ths Lê Văn Đoàn Phần Hình học www.MATHVN.com Bài 329 Cho hình vng ABCD a/ Gọi M, N trung điểm BC, CD Chứng minh AM ⊥ BN 1 b/ Gọi P, Q tương ứng BC, CD cho BP = BC, CQ = CD 4 Chứng minh AP ⊥ BQ Bài 330 Cho hình chữ nhật ABCD có a/ AB = a, AD = a Gọi K trung điểm AD Chứng minh: BK ⊥ AC b/ AB = a, AD = b Gọi K trung điểm AD L tia DC cho DL = Chứng minh: BK ⊥ AL b2 2a Bài 331 Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD M Gọi P trung điểm AD Chứng minh rằng: MP ⊥ BC ⇔ MA.MC = MB.MD Bài 332 Cho hình vng ABCD, điểm M nằm AC cho AM = DC Chứng minh tam giác BMN tam giác vuông cân AC Gọi N trung điểm Bài 333 Cho hình thang vng ABCD có đường cao AB = h , cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a, b, h để: a/ AC ⊥ BD b/ AIB = 900 với I trung điểm CD Bài 334 Cho hình thang vng ABCD, đường cao AB = 2a, AD = a, BC = 4a a/ Tính AC.BD Suy góc AC BD b/ Gọi I trung điểm CD, J điểm di động cạnh BC Dùng tích vơ hướng để tính BJ cho AJ BI vng góc Bài 335 Cho hình thang vng ABCD, hai đáy AD = a, BC = b , đường cao AB = h Tìm hệ thức liên hệ a, b, h để a/ BD ⊥ CI với I trung điểm AB b/ AC ⊥ DI c/ BM ⊥ CN với M, N theo thứ tự trung điểm AC BD ĐS: a/ h2 = 2ab b/ h2 = 2ab c/ h2 = 2b2 − ab Bài 336 Cho tứ giác ABCD a/ Chứng minh: AB2 − BC2 + CD2 − DA2 = 2AC.DB b/ Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là: AB2 + CD2 = BC2 + DA2 Bài 337 Cho ∆ABC vuông A, gọi M trung điểm BC Lấy điểm B1, C1 AB AC cho AB.AB1 = AC.AC1 Chứng minh: AM ⊥ B1C1 Bài 338 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M trung điểm AB, E trọng tâm ∆ACM Chứng minh: OE ⊥ CM Bài 339 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 CC1 đường cao tam giác ABC Chứng minh: OA ⊥ B1C1 Bài 340 Cho đường tròn tâm O điểm P thuộc miền đường tròn Qua P, kẻ hai dây AB, CD vng góc Gọi M trung điểm dây BD Chứng minh: PM ⊥ AC Page - 200 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Dạng Chứng minh đẳng thức tìm quỹ tích điểm thỏa biểu thức tích vơ hướng hay độ dài Sử dụng tích vơ hướng giải tốn cực trị Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Với biểu thức tích vơ hướng, ta sử dụng định nghĩa tích chất tích vơ hướng Cần đặc biệt lưu ý phép phân tích véctơ để biến đổi (quy tắc ba điểm +, − , quy tắc trung điểm, quy tắc hình bình hành, …) Với công thức độ dài, ta thường sử dụng: AB2 = AB = AB.AB Cần nắm vững hình tính hình Xác định điểm, quỹ tích điểm thỏa mãn đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Bài tốn: Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức f ( , ) tích vô hướng hay độ dài ⇒ Ta biến đổi biểu thức ban đầu dạng sau: Dạng AM2 = k > , điểm M thuộc đường tròn tâm A, bán kinh R = k Dạng MA.MB = k với A, B cố định k khơng đổi Khi đó: Gọi I trung điểm AB, ta được: ( )( ) ( )( ) k = MA.MB = MI + IA MI + IB = MI + IA MI − IA = MI2 − IA2 IM2 = k + IA2 = k + Khi đó: AB2 AB2 đặt = IM2 = k + IA2 = k + = l 4 ● Nếu l < M khơng tồn ● Nếu l = M ≡ I : trung điểm AB ● Nếu l > M thuộc đường trịn tâm I bán kính R = l Dạng MA.MB = k với A, B cố định Khi đó: Gọi Mo , Ao theo thứ tự hình chiếu vng góc M, A len BC, ta được: k = MA.MB = Mo A o BC ⇔ Mo Ao = định nên Mo cố định k , có giá trị khơng đổi Ao cố BC Vậy điểm M thuộc đường vng góc với BC Mo Đặc biệt, k = M thuộc đường thẳng qua A vng góc với BC Sử dụng tích vơ hướng giải tốn cực trị Phương pháp: Sử dụng tích vơ hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị biểu thức độ dài, chẳng hạn như: S = MI2 + c với c số I cố định Smin = c đạt MI = ⇔ M ≡ I Lưu ý: Cần nắm vững cách tìm cực trị phần đại số (BĐT Cauchy, BCS,…) "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 201 - Ths Lê Văn Đồn Phần Hình học www.MATHVN.com Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng hay độ dài Bài 341 Cho hai điểm A B Gọi O trung điểm AB M điểm tùy ý Chứng minh rằng: MA.MB = OM2 − OA2 Bài 342 Cho ∆ABC, gọi M trung điểm BC Chứng minh: AB.AC = MA2 − MB2 Bài 343 Cho ∆ABC đều, cạnh a, có đường cao AH trọng tâm G Tính GB.GC, AB.GC, GC.BH Bài 344 Cho ∆ABC điểm M tùy ý Chứng minh: AB.CM + BC.AM + CA.BM = Bài 345 Chứng minh rằng: a/ MA.BC + MB.CA + MC.AB = với điểm M, A, B, C (gọi hệ thức Euler) b/ AB.AC = AB2 + AC2 − BC2 với điểm A, B, C c/ MN.PQ = MQ2 + NP2 − MP2 − NQ2 với điểm M, N, P, Q ( ) ( ) Bài 346 Cho ∆ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: BC.AD + CA.BE + AB.CF = Bài 347 Cho I trung điểm đoạn AB, M điểm tùy ý Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng AB Chứng minh rằng: a/ MI.AB = MB2 − MA2 ( ) c/ MA2 + MB2 = 2MI2 + AB2 b/ MA.MB = MI2 − AB2 d/ MA2 − MB2 = 2IH.AB Bài 348 Cho hình chữ nhật ABCD điểm M tùy ý Chứng minh: a/ MA.MC = MB.MD b/ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Bài 349 Cho hai điểm M, N nằm đường trịn đường kính AB = 2R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a/ Chứng minh: AM.AI = AB.AI, BN.BI = BA.BI b/ Tính AM.AI + BN.BI theo R Bài 350 Cho ∆ABC có trực tâm H, M trung điểm BC Chứng minh: MH.MA = BC2 Bài 351 Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm Chứng minh: a/ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 b/ MA.MC = MB.MD c/ MA2 + MB.MD = 2MA.MO (O tâm hình chữ nhật) Page - 202 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Bài 352 Cho ∆ABC có AA ', BB ', CC ' trung tuyến, G trọng tâm, M điểm tùy ý Chứng minh rằng: a/ AA '.BC + BB '.CA + CC '.AB = b/ MA '.BC + MB '.CA + MC '.AB = c/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA2 + MB2 + MC2 − AB2 + BC2 + CA2 d/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = MA '2 + MB '2 + MC '2 − e/ MA2 + MB2 + MC2 = MA '2 + MB '2 + MC '2 + ( ) AB2 + BC2 + CA2 ( ) AB2 + BC2 + CA2 ( ) Bài 353 Cho ∆ABC có G trọng tâm M điểm tùy ý Chứng minh rằng: a/ GA2 + GB2 + GC2 = AB2 + BC2 + CA2 ( b/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + ) AB2 + BC2 + CA2 ( ) c/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 (đẳng thức Leibnizt) Bài 354 Cho ∆ABC, M trung điểm BC, I trung điểm AM Chứng minh rằng: 2MA2 + MB2 + MC2 = 4MI2 + 2IA2 + IB2 + IC2 Bài 355 Cho ∆ABC, H trực tâm, M trung điểm BC, I trung điểm AM Chứng minh rằng: a/ MH.MA = BC2 b/ MH2 + MA2 = AH2 + BC2 Bài 356 Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn tam O bán kính R, M ∈ (O) Chứng minh rằng: a/ MA2 + MB2 + MC2 = 6R b/ MA2 + 2MB.MC = 3R c/ MA = MB + MC (M thuộc cung nhỏ BC) Bài 357 Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng d M điểm C d (C khác M) Chứng minh d tiếp tuyến đường tròn (ABC) MC2 = MA.MB Bài 358 Cho tứ giác ABCD Chứng minh: AB2 + CD2 = BC2 + AD2 + 2AC.BD Từ suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc Bài 359 Cho ∆ABC hai điểm M, M ' Gọi I I', Hvà H', K K' theo thứ tự hình chiếu M M' lên BC, CA, AB Chứng minh: BC.II ' + CA.HH ' + AB.KK ' = Bài 360 Cho hình thoi ABCD có cạnh a góc A = 600 Chứng minh với điểm M, ta có MA2 − MB2 + MC2 − MD2 = a "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 203 - Ths Lê Văn Đồn www.MATHVN.com Phần Hình học Bài 361 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O, R ) , H trực tâm ∆ABC Chứng minh rằng: ( ) OH2 = 9R − a + b2 + c2 với a, b, c độ dài tương ứng ∆ABC Bài 362 Cho MM1 đường kính đường trịn tâm O, bán kính R A điểm cố định, đặt OA = d Giả sử AM cắt (O) N a/ Chứng minh tích vơ hướng AM.AM1 có giá trị khơng phụ thuộc vào điểm M b/ Chứng minh tích vơ hướng AM.AN có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 363 Cho nửa đường trịn đường kính AB, có AC, BD hai dây cung thuộc nửa đường tròn, cắt E Chứng minh: AE.AC + BE.BD = AB2 Bài 364 Cho ∆ABC cạnh a Gọi M điểm tùy ý đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: MA + MB4 + MC4 = 2a Tập hợp điểm cực trị Bài 365 Cho ∆ABC có AB = Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện a/ MA.MB = b/ AM.AB = Bài 366 Cho AB = a có trung điểm I Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện a/ 2MA2 + MB2 = a b/ 2MA2 − MB2 = k (k cho trước) c/ MA2 − 3MB2 = a d/ MA.MB = k d/ MA2 + MA.MB = e/ 2MA2 − MA.MB = k (k cho trước) Bài 367 Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm tập hợp điểm M cho a/ MA.MC + MB.MD = a ( b/ MA2 − MB2 + MC2 = a )( ) c/ MA + 2MB + MC MA − MC = 2a d/ MA.MB + MC.MD = k (k cho trước) e/ MA.MB + MC.MD = 5a f/ MA2 + MB2 + MC2 = 3MD2 ( )( ) g/ MA + MB + MC MC − MB = 3a Bài 368 Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện a/ MA2 − MB2 + CA2 − CB2 = b/ 3MA2 − 2MB2 − MC2 = c/ 2MB2 + MB.MC = BC2 d/ AM.BC = k (k cho trước) ( )( ) e/ MA + MB MC − MB = f/ MA.MB − MA.MC = MC2 − MB2 + BC2 g/ MA.MB = AB.MC h/ MA2 = MB.MC i/ MA2 + MB2 + MC2 = AB2 + AC2 k/ 2MA2 = MA.MB + MA.MC Page - 204 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I ( )( Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com ) l/ MA − MB 2MB − MC = m/ 2MA2 + MA.MB = MA.MC Bài 369 Cho tứ giác ABCD, I, J trung điểm AB CD Tìm tập hợp điểm M cho: MA.MB + MC.MD = IJ Bài 370 Cho ∆ABC cạnh a Tìm tập điểm M thỏa điều kiện a/ MA2 + MB2 + MC2 = 2a b/ MA.MC = MC.MB c/ MA2 + MA.MB + MA.MC = d/ MB.MC = MA2 + e/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = 5a g/ 2MA2 + MB2 − MC2 = a a2 f/ MA2 − 3MB2 + 2MC2 = h/ MA.MB + MB.MC + MC.MA = a2 Bài 371 Cho hình bình hành ABCD Biện luận theo k tập hợp điểm thỏa mãn: MA + MB2 + MC2 + MD2 = k Bài 372 Cho ∆ABC có G trọng tâm M điểm tùy ý a/ Chứng minh rằng: MA.MB + MB.CA + MC.AB = b/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = GA2 + GB2 + GC2 + 3MG2 Từ suy vị trí điểm M để MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ ĐS: M ≡ G Bài 373 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M điểm ( ) a/ Chứng minh rằng: MA2 − MB2 + MC2 = MD2 − OB2 − OA2 b/ Giả sử M di động đường trịn (D) , tìm vị trí M để MA2 − MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ ĐS: M hình chiếu vng góc D lên (D) Bài 374 Cho ∆ABC đều, cạnh (cm ) Lấy M điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Đặt S = MA2 − MB2 − MC2 Tìm vị trí điểm M để S đạt giá trị nhỏ nhất, lớn ? ĐS: Smin = −a 2, Smax = 2a Bài 375 Cho ∆ABC, G trọng tâm M điểm tùy ý a/ Chứng minh véctơ v = MA + MB − 2MC khơng phụ thuộc vào vị trí M b/ Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: MA2 + MB2 − 2MC2 = 2MO.v "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 205 - Ths Lê Văn Đồn Phần Hình học www.MATHVN.com c/ Giả sử M di động đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Tìm vị trí điểm M để MA + MB2 − 2MC2 đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Bài 376 Cho ∆ABC nhọn Tìm điểm M cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 377 Cho ∆ABC có A = 1200 Tìm điểm M cho MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Bài 378 Cho ∆ABC nhọn Tìm đường thẳng BC, CA, AB điểm X, Y, Z cho chu vi ∆XYZ đạt giá trị nhỏ Bài 379 Cho ∆ABC có M điểm tùy ý Tìm vị trí M trường hợp sau a/ MA2 + MB2 − MC2 đạt giá trị nhỏ b/ M thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC MA2 + 3MB2 − MC2 đạt giá trị lớn Bài 380 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O a/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = a ⇔ M nằm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD ( ) b/ Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 − 3MD2 = 2MO MA + MB + MC − 3MD c/ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ MA2 + MB2 + MC2 − 3MD2 M di động đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Page - 206 - "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Ths Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com C – HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC Cho ∆ABC có: — Độ dài cạnh: BC = a, CA = b, AB = c — Độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C: ma, mb, mc — Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh A, B, C: ha, hb, hc — Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r — Nửa chu vi tam giác: p — Diện tích tam giác: S 2 a = b + c − 2bc cos A Định lí côsin: b = c2 + a − 2ca cos B c = a + b2 − 2ab.cos C Định lí sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 2 m2 = 2(b + c ) − a a 2(a + c2 ) − b2 Độ dài trung tuyến: m b = 2(a + b2 ) − c2 m c = = = Diện tích tam giác: S = = = 1 aha = bh b = ch c 2 1 bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 abc = pr 4R p(p − a)(p − b)(p − c) Giải tam giác tính cạnh góc tam giác biết số yếu tố cho trước Hệ thức lượng tam giác vuông (nhắc lại) Cho ∆ABC vuông A, AH đường cao A • BC2 = AB2 + AC2 (định lí Pi–ta–go) • AB2 = BC.BH , • AH = BH.CH , 1 = + 2 AH AB AC2 B H AC2 = BC.CH C • AH.BC = AB.AC • b = a.sin B = a.cos C = c tan B = c cotC ; c = a.sin C = a.cos B = b tan C = b cotC "Cần cù bù thông minh…………" www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 207 - Ths Lê Văn Đồn Phần Hình học www.MATHVN.com Hệ thức lượng đường tròn (bổ sung) T B Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định A • Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD O M PM/(O) = MA.MB = MC.MD = MO2 − R R C D • Nếu M ngồi đường trịn, vẽ tiếp tuyến MT PM/(O) = MT2 = MO2 − R BÀI TẬP ÁP DỤNG Chứng minh tam giác ABC ta có; b) sin A = sin B cos C + sin C cos B a) a = b.cos C + c.cos B c) = 2R sin B sin C d) m2 + m2 + m2 = (a + b2 + c2 ) a b c Baøi AB2 AC2 − (AB.AC) Baøi Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 a) Nếu b + c = 2a b) Nếu bc = a2 sin B sin C = sin2 A, h b h c = h2 = + hb hc e) S∆ABC = c) A vuông ⇔ m2 + m2 = 5m2 b c a Cho tứ giác lồi ABCD, gọi α góc hợp hai đường chép AC BD a) Chứng minh diện tích S tứ giác cho công thức: S = AC.BD.sin α b) Nêu kết trường hợp tứ giác có hai đường chéo vng góc Bài Cho ∆ABC vuông A, BC = a, đường cao AH a) Chứng minh AH = a.sin B.cos B, BH = a.cos2 B, CH = a.sin B Baøi b) Từ suy AB2 = BC.BH, AH2 = BH.HC Cho ∆AOB cân đỉnh O, OH OK đường cao Đặt OA = a, AOH = α a) Tính cạnh ∆OAK theo a α b) Tính cạnh tam giác OHA AKB theo a α c) Từ tính sin 2α, cos 2α, tan 2α theo sin α, cos α, tan α Baøi Baøi Giải tam giác ABC, biết: a) c = 14; A = 600 ; B = 400 b) b = 4, 5; A = 300 ; C = 750 c) c = 35; A = 400 ; C = 1200 d) a = 137, 5; B = 830 ; C = 57 Baøi Giải tam giác ABC, biết: a) a = 6, 3; b = 6, 3; C = 54 b) b = 32; c = 45; A = 87 c) a = 7; b = 23; C = 1300 d) b = 14; c = 10; A = 1450 Giải tam giác ABC, biết: a) a = 14; b = 18; c = 20 Baøi c) a = 4; b = 5; c = Page - 208 - b) a = 6; b = 7, 3; c = 4, d) a = 3; b = 2; c = − "All the flower of tomorrow www.DeThiThuDaiHoc.com are in the seeks of today……" ... www.MATHVN.com − x 11 − x 15 − x 17 − x 19 − x h/ + = + + = 2009 2 011 2 010 2 012 2 014 x − 2 014 x − 2 012 x − 2 010 x − 2007 x − 2009 x − 2 011 i/ + + = + + 2007 2009 2 011 2 014 2 012 2 010 Bài 16 1 Tìm điều... A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b/ A = {0,2, 4, 6, 8 ,10 } c/ A = {− 3, −2, ? ?1, 0 ,1, 2, 3} d/ A = {1, 4, 7 ,10 , 13 ,16 ,19 } e/ A = {1, 2, 4, 8 ,16 , 32, 64 ,12 8,256, 512 } f/ Tập hợp số chẵn g/ Tập. .. www.DeThiThuDaiHoc.com Đề cương học tập mơn Tốn 10 tập I Chương www.MATHVN.com Ths Lê Văn Đoàn MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP A – MỆNH ĐỀ Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vừa