Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (Cm) : y = (m − 1)x + m Định m để tiếp tuyến với (Cm) điểm (Cm) có hoành độ x0 = x−m song song với đường phân giác thứ góc hệ trục −m y = f (x) = (x − m)2 Để tiếp tuyến với (Cm) điểm với đường phân giác (Δ ) : y = − x , ta phaûi coù: | | m | fm = −1 ⇔ −m = −1 ⇔ m = (4 − m)2 ⇔ m = 2 (4 − m) (3m + 1)x − m + m , m ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) giao điểm với trục hoành x+m song song y = x Viết phương trình tiếp tuyến Cho (C) : y = Hoành độ giao điểm (C) với trục hoành m2 − m ⎫ ⎧ x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬ 3m + ⎭ ⎩ 4m y| = (x + m)2 Tiếp tuyến điểm (C) có hoành độ // y = x 4m = ⇔ 4m = (x + m)2 ⇔ x = m ∨ x = −3m (x + m) ⎡ m2 − m m= ⎡ m = −1 ⎢ 3m + ⇔ ⎢ ⇔⎢ ⎢m = − m2 − m ⎢ ⎣ ⎢ −3m = 3m + ⎣ • m = −1 tiếp tuyến (-1,0) có pt : y = x + 1 ⎛3 ⎞ • m = − tiếp tuyến ⎜ , ⎟ có pt : y = x − 5 ⎝5 ⎠ m Cho (C) : y = x − + Tìm m để có điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị vuông góc x +1 Gọi M (x , y ) điểm cần tìm ⇒ y = k(x − x ) + y đường thẳng (d) qua M0 m ⎧ ⎪x − + x + = k(x − x ) + y = kx + k − k − kx + y ⎪ (d) laø t2 ⇔ ⎨ ⎪1 − =k ⎪ (x + 1)2 ⎩ m ⎧ ⎪x − + x + = k(x + 1) − (1 + x )k + y ⎪ ⇔⎨ ⎪x + − = k(x + 1) ⎪ x +1 ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt m ⎧ ⎪x − + x + = x + − x + − (1 − x )k + y ⎪ ⇔⎨ ⎪ = 1− k ⎪ ⎩ (x + 1) ⎧ m +1 y0 + ⎧ = y + − (x + 1)k ⎪ ⎪k ≠ x + ⎪ x +1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎛ m + ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + − (x + 1)k = (1 − k)(m + 1)2 ] ⎩[ ⎪⎜ x + ⎟ ⎠ ⎩⎝ y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⎪(x + 1)2 k + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = (*) 0 0 ⎩ Từ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc ⇔ pt (*) có nghiệm thỏa k1k2 = -1 khác y0 + x0 + y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⇒m>0 ⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m ⎩ Tìm toạ độ giao điểm tiếp tuyến đồ thị y = vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 x +1 với trục hoành , biết tiếp tuyến x −3 , ∀x ≠ (x − 3)2 Gọi (T) tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , (T) có hệ số góc KT = -1 ⎡x = ⇒⎢ Gọi (x0,y0) tiếp điểm (d) (C) , ta coù K T = y| ⇔ −1 = − (x − 3) ⎣ x0 = • x = ⇒ y = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x • x = ⇒ y = ⇒ (T2 ) : y = −x + y| = − (T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)} Cho hàm số y = f(x) = x+2 ; gọi đồ thị hàm số (C) , A(0,a).Xác định a để từ A kẻ tiếp x −1 tuyến đến (C) cho tiếp tuyến tương ứng nằm phía trục Ox | Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) taïi M (x , y ) : y − y = f(x0 ) (x − x ) ⎛x +2⎞ ⎛x +2⎞ 3 ⇔ y −⎜ (x − x ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ (− x ) ⎟=− ⎟=− (x − 1) (x − 1)2 ⎝ x0 − ⎠ ⎝ x0 − ⎠ ⎧ ⎧x − ≠ ⎪x ≠ ⇔⎨ ⇔⎨ g(x ) = (a − 1)x − 2(a + 2)x + a + = 0 ⎩(a − 1)x − 2(a + 2)x + a + = ⎪ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ tiếp tuyến g(x ) = có nghiệm phân biệt khác ⎧a − ≠ ⎪ vaø ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > ⇔ −2 < a ≠ ⎪ ⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + ≠ Khi gọi M1 (x1 , y1 ), M (x , y ) tiếp điểm nằm phía Ox ⎛ x + ⎞⎛ x + ⎞ x1x + 2(x1 + x ) + ⇔ y1y < ⇔ ⎜ < (1) ⎟⎜ ⎟ ⎪a < − ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩f ( −1) ≠ ⎩ + 3a + + 3a + ≠ ⎪ a ≠ −1 ⎩ Vaäy điểm cần tìm A(a,2) ; a < − ∨ a > ∧ a ≠ −1 Cho haøm soá y = −x + 2x − , đồ thị (C) Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) ∈ Oy , (d) đường thẳng qua A dạng : y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm heä : ⎧−x + 2x − = kx + a ⇔ 3x − 2x − − a = (1) ⎨ −4x + 4x = k ⎩ Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) (1) phải có nghieäm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⇔ −1 − a = ⇔ a = −1 Khi 3x − 2x = ⇔ x = ∨ x = ± Vậy toạ độ điểm cần tìm A(0,-1) Cho hàm số y = x − 3x + ; đồ thị (C) 1.Qua A(1,0) kẻ tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR tiếp tuyến khác (C) song song với tiếp tuyến qua A (C) nói 1.Gọi (d) đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) tiếp tuyến (C) hệ ⎧x − 3x + = k(x − 1) có nghiệm ⇔ (x − 1)3 = ⇒ x = ⇒ k = −3 ⎨ ⎩3x − 6x = k Vaäy có tiếp tuyến (d) : y = −3x + kẻ đến (C) 2.Gọi (T) tiếp tuyến khác (C) song song tiếp tuyến A dạng y = −3x + b Hoành độ tiếp điểm nghiệm heä : ⎧x − 3x + = −3x + b ⎧ b = x − 3x + ⇔⎨ ⇒ b = ⇒ (T) : y = −3x + ⎨ ⎩3x − = −3 ⎩x = (T) ≡ (d) vaäy tiếp tuyến khác song song với tiếp tuyến A Cho hàm số y = x4 − 3x + , có đồ thị (C) 2 1.Gọi (d) tiếp tuyến đồ thị điểm M có hoành độ x M = a CMR hoành độ giao điểm tiếp tuyến (d) với đồ thị nghiệm phương trình (x − a)2 (x + 2ax + 3a2 − 6) = 2.Tìm tất giá trị a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị điểm P,Q khác khác M.Tìm qũy tích trung điểm K đoạn thẳng PQ ⎛ a4 5⎞ a4 1.Gọi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3) 2⎠ 2 ⎝ Tieáp tuyeán M có phương trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) : x4 5 − 3x + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 2 2 ⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 2.Qũy tích trung điểm K Theo để (d) cắt (C) điểm phân biệt P Q khác M phương trình : x + 2ax + 3a2 − = coù ⎧a < ⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > ⎪ ⇔⎨ nghiệm khác a ⎨ 2 ⎪ a ≠1 ⎩ a + 2a + 3a − ≠ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ ⎪ Khi K ⎨ ⎪ y K = − x K + 9x K + ⎩ 2 Vậy quỹ tích trung điểm K đường cong y = − x + 9x + giới hạn ≠ x ≤ 2 Cho hàm số y = −x + 2mx − 2m +1 có đò thị (Cm).Định m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) A B điểm cố định vuông góc Điểm cố định A(-1,0) B(1,0) y| = −4x + 4mx ⇒ y|A = − 4m ; y|B = −4 + 4m Tiếp tuyến A B vuông góc ⇔ y |A y|B = −1 ⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m = 4 x +1 Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ x −1 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A có phương trình y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎧x +1 ⎪ x − = kx + a x + −2x ⎪ ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x − 2(a + 1)x + a + = (1) ⎨ −2 x − (x − 1) ⎪ =k ⎪ ⎩ (x − 1) Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) ⇔ (1) có nghệm (1) Xét a − = ⇔ a = ⎯⎯→ −4x + = ⇒ x = ⇒ A(0,1) ⎧a − ≠ ⎧a ≠ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1) ⎨ ⎩2a + = ⎩Δ ' = Cho hàm số y = x −1 có đồ thị (C) x +1 Tìm đường thẳng y = x điểm cho kẻ tiếp tuyến với đồ thị góc tiếp tuyến π Gọi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x , x ) ⇒ tiếp tuyến M tiếp xúc (C) dạng y = k(x − x ) + x (d) x −1 Phương trình hoành độ (d) (C) kx − kx + x = (1) x +1 Theo ycbt (1) có nghiệm kép ⇔ kx + (k − kx + x − 1)x + x − kx + = ⎧k ≠ có nghiệm kép ⇔ ⎨ 2 2 ⎩Δ = (1 + x ) k − 2(x + 3)k + (x − 1) = (2) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) tạo thành goùc π ⎛ k − k2 ⎞ k − k2 π = tan = ⇔ ⎜ ⇔ (2) có nghiệm phân biệt thỏa ⎟ =1 + k1 k ⎝ + k1 k ⎠ ⎧x ≠ ⎧x + ≠ ⎪ ⎪ 2 ⇔ ⎨Δ k = 8(x + 1) > ⇔ ⎨ ⎡ 2(x + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤ 0 ⎥ −5⎢ ⎥ −1 = ⎪(k + k ) − 5k k − = ⎪⎢ 2 ⎩ ⎣ x0 + 1⎦ ⎩ ⎣ (1 + x ) ⎦ ⎧M(− 7, − 7) ⎧x ≠ −1 ⎪ ⇔⎨ ⇔ x0 = ± ⇒ ⎨ ⎩x + = ⎪M( 7, 7) ⎩ Cho Parabol (P) : y = 2x + x − Tìm điểm trục Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến (P) tiếp tuyến hợp với góc 450 Gọi M(0,m) ∈ Oy Phương trình qua M có hệ số góc k y = kx + m (d) Phương trình hoàng độ giao điểm (P) (d) laø : 2x + x − = kx + m ⇔ 2x + (1 − k)x − m − = (1) (d) tiếp tuyến (P) (1) có nghiệm kép ⇔ Δ = ⇔ k − 2k + 8m + 25 = (2) Coù k1 + k = ; k1 k = 8m + 25 Hai tieáp tuyến hợp góc 450 tan 450 = = k − k1 + k1 k ⇔ (k1 + k )2 − 4k1 k = (1 + k1 k )2 (3) Qua M kẻ tiếp tuyến tạo góc 450 (2) có nghiệm phân biệt thỏa (3) ⎧Δ| = − 8m − 25 = ⎧m < −3 ⇔⎨ k ⇔⎨ 2 ⎩16m + 112m + 193 = ⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26) + 14 − 14 ⇔m=− ∨m= 4 ⎛ ⎛ + 14 ⎞ − 14 ⎞ Vaäy M1 ⎜ 0, − ⎟ , M ⎜ 0, ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Cho hàm số y = x2 gọi đồ thị (C) Tìm đường y = tất điểm mà từ điểm x −1 kẻ tới (C) tiếp tuyến lập góc 450 Gọi A(a,4) đường thẳng tuỳ ý y = ⎧Qua A(a, 4) có dạng: y = k(x − a) + Gọi (T) đường thẳng ⎨ ⎩Có hệ số góc k Và đường thẳng (T1) (T2) qua A có hệ số góc k có dạng : y = k1 (x − a) + vaø y = k (x − a) + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T1) (T2) tạo goùc 450 tan 450 = k1 − k + k1 k ⇔ (1 + k1k )2 = (k1 − k )2 ⇔ (1 + k1k )2 − (k1 + k )2 + 4k1k = (1) x2 = k(x − a) + có nghiệm kép x −1 ⇔ (1 − k)x − (4 − ka − k)x + − ka = có nghiệm kép khác Do (T) tiếp tuyến đồ thị (C) ⇔ ⎧1 − k ≠ ⎧ ⎪ ⎪k ≠ ⇔⎨ 1⇔ ⎨ 2 ⎪ k ⎡(a − 1) − 4(a − 2) ⎤ = (2) ⎪Δ = (a − 1) k − 4(a − 2)k = ⎦ ⎩ ⎣ ⎩ Qua A kẻ tới (C) tiếp tuyến lập với gó 450 phương trình (2) có nghiệm k1,k2 (k ≠ 1) ⎧k = ⎪ thỏa mãn hệ thức (1) ⎨ 4(a − 2) thỏa mãn (1) ⎪ k = (a − 1)2 ⎩ 4(a − 2) ⎧ ⎪ k = (a − 1)2 ≠ ⎪ ⇔ ⎨ 4(a − 2) ⎤ ⎡ ⎪ k = 0.(1 + 0) − + + 4.0 = ⎢ ⎪ (a − 1)2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎡ a = −1 − 2 ⇔⎢ ⎢a = −1 + 2 ⎣ Vaäy A1 (−1 − 2, 4) , A (−1 + 2, 4) ⎧a ≠ ⎪ ⎨a ≠ ⎪a2 + 2a − = ⎩ x2 + x + Cho haøm số y = có đồ thị (C) Tìm (C) điểm A để tiếp tuyến đồ thị A vuông x −1 góc với đường thẳng qua A có tâm đối xứng đồ thị ⎛ ⎞ Giả sử A ⎜ x , x + + ⎟ điểm (C) I(1,3) giao điểm đường tiếm caän x0 − ⎠ ⎝ uur ⎛ ⎞ ⇒ AI = ⎜ − x ,1 − x − ⎟ x0 − ⎠ ⎝ uur Như AI vectơ phương đường thẳng AI Gọi (d) tiếp tuyến (C) tiếp xúc với (C) A , có hệ số góc r ⎛ r uur ⎞ 4 k = y|(x ) = − ⇒ a = ⎜ 1,1 − vectơ phương (d) ; (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI = ⎟ (x − 1)2 (x − 1)2 ⎠ ⎝ ⇒ x0 = ± ⎛ ⎛ 4 + 34 + ⎞ − 34 + ⎞ Vậy có điểm A1 ⎜ − 8, ⎟ , A ⎜ + 8, ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số y = x − 3x + Tìm đường thẳng x = điểm M cho từ M kẻ tiếp x tuyến đến (C) tiếp tuyến vuông góc Gọi M(1,m) ∈ x = Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − 1) + m Từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc với tới (C) hệ ⎧ x − 3x + = k(x − 1) + m ⎪ ⎧ (x , k ) ⎪ x ( I ) có nghiệm ⎨ 1 thỏa mãn k1 k = −1 ⎨ ⎩(x , k ) ⎪x − = k ⎪ x ⎩ Từ ( I ) ⇒ (m + 2)x − 4x + = (*) , x ≠ ⎧ ⎪ ⎧m ≠ −2 ⎪m + ≠ ⎪ ⎪ ⎪ Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = − 2(m + 2) > ⇔ ⎨m < ⎪ (x − 2) (x − 2) ⎪ 2 ⎡ ⎤ ⎪(x1x ) − ⎣(x1 + x ) − 2x1x ⎦ + = −(x1x ) ⎪ ⎩ 2 = −1 x2 ⎪ x1 ⎩ ⎧−2 ≠ m < ⎪ ⎡⎛ ⎞ ⇔ ⎨⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ ⎞ ⎪⎜ m + ⎟ − ⎢⎜ m + ⎟ − m + ⎥ + = − ⎜ m + ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎝ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩⎝ ⎧ ⎧ −2 ≠ m < ⎪ −2 ≠ m < ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± ⎪ m = −3 ± ⎩m + 6m + = ⎩ Vaäy M1 (1, −3 − 7) , M (1, −3 + 7) Cho hàm số y = x + 3x Tìm tất điểm trục hoành mà từ vẽ tiếp tuyến đồ thị (C) , có tiếp tuyến vuông góc với Gọi M(m,0) điểm trục hoành Đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − m) ⎧x + 3x = k(x − m) (I) (d) tiếp tuyến (C) ⎨ 3x + 6x = k ⎩ Qua M kẻ tiếp tuyến (C) có tiếp tuyến vuông góc với ( I ) có giá trị k cho giá trị tích -1 Khi ( I ) ⇔ x + 3x = (3x + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡2x + 3(1 − m)x − 6m ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡x = ⇔⎢ ⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = (*) ⎡ m < −3 ⎧Δ = 3m + 10m + > Theo ycbt (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ ⎨ ⇔⎢ ⎢− < m ≠ m≠0 ⎩ ⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ ⎪x1 + x = (m − 1) Khi pt (*) có nghiệm ⎨ ⎪x1x = −3m ⎩ 2 Khi qua M kẻ tiếp tuyến (C) k1 = 3x1 + 6x1 , k = 3x + 6x , k = Theo toán : k1k = −1 ⇔ (3x1 + 6x1 )(3x + 6x ) = −1 1 thoûa m < −3 hoaëc − < m ≠ ⇒m= 27 ⎛ ⎞ Vaäy M ⎜ , ⎟ ⎝ 27 ⎠ 2x − x + Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm trục hoành điểm từ dựng tiếp tuyến hợp x −1 với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 tiếp tuyến có hệ số góc k = ± TH1: k = y| = ⇔ − = ⇒ x = 1± (x − 1)2 ⎡ (T ) : y = x + − 2 ⎡x = − ⎡y = − ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢(T2 ) : y = x + + 2 ⎢x = + ⎢y = + ⎣ ⎣ ⎣ 2 TH2: k = y| = −1 ⇔ − = −1 ⇔ x = ± (x − 1) ⎡ ⎡ 2 ⎢x = − ⎢y = − ⎡ (T ) : y = − x − − 3 ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢(T4 ) : y = −x + + ⎣ ⎢x = + ⎢y = + 3 ⎣ ⎣ Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thị (C) ⎛ 23 ⎞ 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua A ⎜ , −2 ⎟ ⎝ ⎠ 2.Tìm đường thẳng y = -2 điểm từ kẻ đến đồ thị (C) tiếp tuyến vuông góc 23 ⎞ ⎛ 1.Tiếp tuyến (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − ⎠ ⎝ ⎧ 23 ⎞ ⎛ ⎪x − 3x + = k ⎜ x − ⎟ − Ta coù : ⎨ ⇒ (x − 2)(3x − 10x + 3) = ⎠ ⎝ ⎪3x − 6x = k ⎩ ⎡ ⎢ x = 2, k = ⎢ ⇔ ⎢ x = 3, k = ⎢ ⎢x = , k = − ⎣ 3 ⎡ ⎢(d) : y = −2 ⎢ ⇒ tieáp tuyeán ⎢(d) : y = 9x − 25 ⎢ 61 ⎢(d) : y = − x + ⎣ 27 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi A(a,-2) ∈ y = −2 Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k , có phương trình y = k(x − a) − Điều kiện (T) (C) tiếp xúc là: ⎧x − 3x + = k(x − a) − ⎡ ⎤ ⇒ (x − 2) ⎣ 2x − (3a − 1)x + ⎦ = ⎨ 3x − 6x = k ⎩ ⎡ x = ; k = ⇒ y = −2 ⇔⎢ ⎢g(x) = 2x − (3a − 1)x + = coù x1 + x = 3a − ; x1 x = ⎣ Để từ A dựng tiếp tuyến vuông góc g(x) = có nghiệm x1,x2 cho k1(x1).k2(x2) = -1 ⎧ ⎪a < −1 ∨ a > ⎧Δ g > ⎧(3a − 1) − 16 > ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ k1 k = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x − 6x ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55 ⎪g ≠ ⎪a ≠ ⎪a ≠ ⎩ ⎩ (2) ⎪ ⎩ 55 ⎛ 55 ⎞ ⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟ 27 ⎝ 27 ⎠ Cho hàm số y = −x + 3x − Tìm điểm đường thẳng y = từ dựng tiếp tuyến đến đồ thị Gọi A(a,2) ∈ y = Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) + tiếp tuyến (C) hệ : ⎧−x + 3x − = k(x − a) + có nghiệm ⎨ ⎩−3x + 6x = k ⇒ (x − 2) ⎡ 2x − (3a − 1)x + ⎤ = ⇔ ⎡ x − = ⎣ ⎦ ⎢2x − (3a − 1)x + = g(x) = ⎣ Để qua A kẻ tiếp tuyến đến (C) g(x) = có nghiệm phân biệt khác thỏa : ⎧ ⎧ Δg > ⎧3(a + 1)(3a − 5) > ⎪ ⎪ a < −1 ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩a ≠ ⎪g(2) ≠ ⎪a ≠ ⎩ ⎩ Vaäy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ Cho họ đường cong (Cm) : y = (m − 1)x + m , m ≠ Chứng minh (Cm) tiếp xúc đường thẳng cố x−m định điểm cố định m: thay đổi Gọi (x0,y0) điểm cố định mà (Cm) qua y = (m − 1)x + m x0 − m ⇔ (x + y − 1)m − x (y + 1) = : có nghiệm ∀m ≠ ; x ≠ m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧x = ⎧x + y − = ⎧x = ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ∨ ⎨ ⎪ y0 = ⎩ x (y + 1) = ⎩ y = −1 ⎩ Điều kiện ∀m ≠ ; x ≠ m nên A(0,1) thỏa toán Vậy A(0,1) điểm cố định mà (Cm) qua −m −m ⇒ y| (0) = = −1 ; ∀m ≠ Ta lại có y| = (x − m)2 (0 − m)2 Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) A y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 Cho hàm số y = x − 12x + 12 ,đồ thị (C) Tìm đường thẳng y = -4 điểm A mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Gọi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − ⎧x − 12x + 12 = k(x − a) − Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎨ ⎩3x − 12 = k ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + − 6a = Để qua A kẻ tiếp tuyến phân biệt ⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác ⎧Δ > ⎧ ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ ⎪g(2) ≠ ⎩a ≠ ⎪ ⎩ Vậy điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a > ∧ a ≠ thỏa toán Cho hàm số y = x − 4x + , có đồ thị (C) 1.Chứng minh tồn tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị (C) điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ với đồ thị song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3.Dựa vào kết , tuỳ theo tham số m , suy số nghiệm phương trình : x − 4x + 8x + m = 1.Tieáp tuyến điểm (C) dạng y = ax + b (d) Phương trình hoành độ giao điểm (C) vaø (d) laø: x − 4x + = ax + b ⇔ x − 4x − ax + − b = (1) Để (d) tiếp xúc (C) phải có đồng thời nghiệm kép ⇔ x − 4x − ax + − b = (x − α )2 (x − β)2 ⇔ x − 4x − ax + − b = x − 2(α + β)x + (α + β2 + 4αβ)x − 2αβ(α + β)x Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧α + β = ⎧α + β = ⎪α + β2 + 4αβ = ⎪αβ = −2 ⎪ ⎪ Đồng thức vế ⎨ ⇔⎨ ⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8 2 ⎪α β = − b ⎪ b = −1 ⎩ ⎩ ⎧ tieáp tuyeán : y = −8x − (d1 ) ⎪ ⇒⎨ ⎪ hoành độ tiếp điểm : α = − ; β = + ⎩ 2.Tieáp tuyeán song song y = −8x −1 Ta coù y| = −8 ⇔ 4x − 12x = −8 ⇔ ⎡ x = ⇒ y = ⎢ ⎢x = − ⎢x = + ⎣ Vậy tiếp tuyến thứ có phương trình y = −8x + (d ) x − 4x + 8x + m = ⇔ x − 4x + = 8x − m + Laø phưong trình hoành độ giao điểm ⎧(C) : y = x − 4x + ⎨ ⎩(d) : 8x − m + (d1 ) ∩ Oy = {0, −1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m} (d ) ∩ Oy = {0,8} -m + +∞ -1 −∞ m m < -5 m = -5 -5 < m < m=4 m>4 Nghieäm phương trình nghiệm nghiệm (có nghiệm kép x = 1) nghiệm phân biệt nghiệm kép x = ± Vô nghiệm (3m + 1)x − m + m Cho hàm số y = , m ≠ có đồ thị (Cm) x+m 1.Với giá trị m giao điểm đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR : (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định 3.Trên đường thẳng x = , tất điểm mà đường (Cm) qua (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x − m + m = ⇔ x = Ta coù : y| = m2 − m ; m ≠ 0; m ≠ − 3m + 4m (3m + 1)2 ⇒ y|0 = (x + m)2 4m Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 ⇔ y|0 = ⇔ ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + ⎡ m = −1 , x = −1 , y = ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞ ⎢ B , , (T2 ) : y = x − ⎢m = − , x0 = , y0 = ⎟ ⎢ ⎜ ⎣ 5 ⎣ ⎝5 ⎠ (3m + 1)2 =1 4m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi đường thẳng cố định y = ax + b (3m + 1)x − m + m Phương trình hoành độ giao điểm : = ax + b x+m ⇔ ax + [(a − 3)m + b − 1] x + m + (b − 1)m = ⎧a ≠ ⎧a ≠ ∀m ⇔ ⎨ ÑKTX : ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩(a − 10a + 9)m + [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = ⎧⎡ a = ⎧(T ) : y = x + ⎪⎢ ⇔ ⎨ ⎣a = ⇔ ⎨ ⎩(T2 ) : y = 9x + ⎪ b =1 ⎩ 3.Goïi A(1,a) ∈ x = 3m + − m + m Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = vô nghiệm m 1+ m ⇔ m + (a − 4)m + a − = vô nghiệm m Δm < ⇔ a2 − 12a + 20 < ⇔ < a < 10 Những điểm mà (Cm) không qua laø A(1,a) ; < a < 10 Cho đường cong y = 3x − 4x ; đồ thị (C) 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua M(1,3) 2.Tìm đường cong y = -9x + điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến (C) chúng vuông góc 1.Gọi (d) đường thẳng qua M(1,3) có hệ số góc k có pt : y = k (x – 1) có x0 hoành độ tiếp điểm , ta có : ⎧3x − 4x = k(x − 1) + ⇔ ⎧ x = ; k = ; y = 3x ⎪ ⎨ ⎨ − 12x = k ⎩ ⎪x = ; k = −24 ; y = −24x + 27 ⎩ 2.Goïi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) − 9a + x0 hoành độ tiếp điểm hệ ⎧3x − 4x = k(x − a) − 9a + có nghiệm ⎨ − 12x = k ⎩ ⇔ (x − 1) ⎡2x − (2 − 3a)x + − 3a ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡x = ; k = ⇔⎢ ⎣ f ( x ) = 2x − (2 − 3a)x + − 3a = Theo toán ta coù f ( x ) = coù nghiệm phân biệt ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > ⇔ a > ∨ a < −2 (*) f ( x ) = thoûa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t1 )(3 − 12t ) = −1 2 ⇔ − 36 ⎡(t1 + t )2 − 2t1t1 ⎤ + 144t1 t = −1 Với t1 t nghiệm f(x ) = ⎣ ⎦ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Goïi (Cm) đồ thị y = f (x) = tiếp tuyến vuông góc với x + (1 − 2m)x − m Hãy xác định giá trị m để (Cm) cắt Ox điểm x −1 Giaûi x + 2x + m m ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0) (x + 1) x +1 (Cm) cắt Ox hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : x + (1 − 2m)x − m = (1) có hai nghiệm y ' = f '(x) = ⎧Δ = (1 − 2m) − 4(− m) > ⎪ phân biệt khaùc -1 ⇔ ⎨ ⎪(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ ⎩ ⎧4m + > ⇔ ⎨ m≠0 ⎩ Vậy với m ≠ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Khi ta có : x1 + x = 2m − x1x = −m Tiếp tuyến M, N vuông góc ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 ⎛ x + 2x + m ⎞⎛ x + 2x + m ⎞ ⎟⎜ ⎟ = −1 ⇔⎜ ⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 + 2x + m) = − ( x1 + 1) ( x + 1) 2 ⇔ (x1x )2 + 2x1x (x1 + x ) + m(x12 + x 2 ) + 2m(x1 + x ) + m + 4x1x = −(x1x + x1 + x + 1)2 ⇔ 4m + m(2m − 1)2 − 4m = −m ⇔ m(4m + m − 3) = ⇔ m = (loại) V m = −1 V m = Vậy m = −1 V m = 4 Nhaän xét : 1) Nếu ko đặt điều kiện m ≠ để tồn (Cm) hàm hữu tỉ không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai nghiệm khác mẫu số (nghóa m ≠ ) hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm kết sai 2) Thông thường em quen dùng Viet cho y' Nhưng yêu cầu toán không đề cập y' ñeå f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 Viet phương trình bậc hai 1/ Cho hàm số y = x − x3 − 3x + có đồ thị (C) Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) hai điểm phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm 2/ Chứng minh có tiếp tuyến tiếp xúc (C) : y = x + x3 − x + x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm 3/ Xác định a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) : y = x − x3 + x + 26 x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1/ Goïi (d) : y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) : x ≠ x − x − x + = ax + b ⇔ x − x − x + − ax − b = Phương trình (1) phải có nghiệm kép x1 , x2 phân biệt (1) viết lại ⇔ x − x − x + − ax − b = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = ⇔ x − x − x + − ax − b = x − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡( x1 + x2 ) + x1 x2 ⎤ x − x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 = ⎣ ⎦ Đồng thức hai vế ta được: ⎧2( x1 + x2 ) = ⎧ x1 + x2 = ⎪ ⎪ x x = −2 ⎪ ⎪( x1 + x2 ) + x1 x2 = −3 ⇔⎨ ⎨ ⎪a = −4 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 2 ⎪b = ⎪x x = − b ⎩ ⎩ ⇒ tiếp tuyến (C) hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình : x − x − = ⇔ x= -1 V x= Vaäy tiếp điểm ; A (-1,5) ; B (2,-7) 2/ Tương tự y = 5x - ; C (1,2) ; D (-3,-18) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5) (m − 1) x − (5m + 2) x + 2m − 14 Cho (C) : y = vaø (d) : y = 2mx + x−3 Xác định m để (C) (d) cắt điểm phân biệt A, B Gọi M giao điểm (d) trục Oy Tính theo m toạ độ điểm N (d) thoả mãn hệ thức uuu r uuur NA MA uuu = − uuur r NB MB Tìm quỹ tích điểm N m thay đổi Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): (m − 1)x − (5m + 2)x + 2m − 14 =2mx+2; x ≠ x −3 ⇔ (m + 1) x + (4 − m) x + − 2m = (1) (d) caét (C) hai điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ ⎧m + ≠ ⎪m < − V m > ⇔⎨ ⎨ ⎩Δ = 9m − 32m − 16 > ⎪ m ≠ -1 ⎩ uuu r uuur ⎛x −x ⎞ x −x NA MA r uuu = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟ xB − x N NB MB ⎝ xB − xM ⎠ ⇔ ( x A + x B ) x N = x A xB ⇔ x N = yN = 2mxN + = − 8m ⇒ N (-4,2-8m) ⎧2 − y ⎪ ≠ −1 m ≠ −1 ⎧ ⎧ y ≠ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎡ y < −30 ⎪⎡ − y xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giới hạn bởi: ⎨ ⎢ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎪ ⎢ y > 50 ⎪⎢ ⎪⎣m > ⎪⎢ − y ⎪⎣ ⎩ ⎩ ⎪⎢ > ⎩⎣ 50 Quỹ tích điểm N phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y > với y ≠ 10 Cho hàm số : y = − x3 + 3x − ; (C) Tìm điểm thuộc đồ thị (C) mà qua kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + x0 − Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧− x + x − = k ( x − x0 ) + y0 ⎪ (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm : ⎨ với y0 = − x03 + x0 − 2 ⎪−3 x + x = k ⎩ ⇔ ( x − x0 ) ⎡ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤ = ⎣ ⎦ ⎡ x − x0 = ⇔⎢ ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3) ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = − x0 ⎣ ⎡ k = −3 x0 + x0 ⎡ x = x0 ⎢ ⇔⎢ − x0 ⇒ ⎢ ⎛ − x0 ⎞ ⎛ − x0 ⎞ ⎢x = ⎢ k = −3 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ − x0 Muốn có tiếp tuyến − x0 với (C) , điều kiện cần đủ tiếp điểm phải trùng ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = Khi hệ số góc tiếp tuyến k = Vậy qua M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Keát luận : Vậy có tiếp tuyến (C) : y=3(x -1) với tiếp điểm M (1, 0) Cho đường cong y = − x3 + 3x + tìm điểm trục hoành cho từ vẽ tiếp tuyến với đường cong Gọi M ( x0 , 0) ∈Ox : Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x − x0 ) ;(t) (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: ⎧ ⎪ − x + x − = k ( x − x0 ) ⎡ ⎤ ⇔ ( x + 1) ⎣ x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⎦ = 0;(1) ⎨ ⎪ −3 x + x = k ⎩ Qua M ( x0 , 0) vẽ tiếp tuyến với đường cong : (1) có nghiệm phân biệt ⎧Δ = (3x0 + 2) − 8(3x0 + 2) > ⎪ ; f ( x) = x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⇔⎨ ⎪ f ( −1) = x0 + > ⎩ ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > Viết phương trình tiếp tuyến chung y = x − x ; y = x3 + x − Gọi y= ax+b tiếp tuyến chung giả sử x1 , x2 hoành độ tiếp điểm Với y = x − x y = x3 + x − Khi hệ sau có nghiệm ⎧ ⎧ x12 − x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12 ⎪ ⎪ 3x + ⎪2 x1 − = a;(2) ⎪ ⇒ ⎨ x1 − = 3x2 + ⇒ x1 = ⎨ ⎪ x2 + x2 − = ax2 + b;(3) ⎪ ⎪3 x + = a;(4) ⎪ (3 x2 + 4) ⎩ x2 + x2 − = x2 (3x2 + 2) − ⎪ ⎩ ⎧9 x2 − x2 + 24 x2 = ⎪ ⎧ x2 = ⎪a = x2 + ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ ⎨a = ⇒ y = x − x2 + ⎪ x1 = ⎪b = −4 ⎩ ⎪ ⎪b = − x1 ⎩ Cho hàm số y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua A (-6,5) x−2 Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc k : y = k ( x + 6) + , (d) (d) tiếp tuyến đồ thị (C) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 ⎧ ⎧ ⎪1 + x − = k ( x + 6) + ⎪1 + x − = k ( x − 2) + 8k + ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎪− ⎪− = k =k ⎪ ( x − 2) ⎪ ( x − 2) ⎩ ⎩ 4 ⎧ ⎧ ⎪1 + x − = − x − + 8k + ⎪ = 2k + ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨x−2 ⎪− ⎪ =k ⎩−(2k + 1) = k ⎪ ( x − 2) ⎩ ⎡ k = −1 1 ⇔⎢ với k = -1 :y= -x -1 với k = − : y = − x + ⎢k = − 4 ⎣ Cho hàm số y = + mx − 3x Với giá trị m tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành độ x = 4x + m vuông góc với tiệm cận • • • Tiệm cận đứng : x + m = Tiệm cận xiên : y = − x + m 16 2 12 x − 6mx + m − 16 y' = (4 x + m)2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị x0 = y '(0) = tiếp tuyến vuông góc với TCĐ k = ⇔ m − 16 =k m2 m − 16 = ⇔ m = ±4 m2 TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm ⇒ tiếp tuyến x = vuông góc TCĐ m = ±4 Cho hàm số ( Hm) : y = mx − x+m−4 1/ Định m nguyên để hàm số nghịch biến khoảng xác định 2/ Với m= Tìm điểm (H) mà tiếp tuyến (H) lập với Ox góc dương 1350 Viết phương trình tiếp tuyến m − 4m + Hàm số nghịch biến khoảng xác ñònh ⇔ y ' < ⇔ m − 4m + < ( x + m − 4) 1< m < ⎫ ⇔ ⎬⇒ m= gt : m ∈ Ζ ⎭ 2x − 2/ m=2 ⇒ y = x−2 1/ y ' = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Goïi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 = x0 − x0 − ⎫ ⎪ =1 ⎬⇒ ⎪ ( x0 − 2) k = y '0 = tan135 = −1⎭ y '0 = − ( x0 − 2) ⎡ x0 = 3; y0 = ⎡ M (1,1) ⇒⎢ →⎢ ⎣ M (3,3) ⎣ x0 = 1; y0 = M : y = −x + phương trình tiếp tuyến M : y = −x + Cho hàm số y = x2 − x + x −1 1/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm M kẻ đến (C) tiếp tuyến // Ox 2/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm từ điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến lập với góc 450 ĐS: 1/ M (1, 7), M (2, 7), M (3, 7) 2/ M1 (−3 ± 6); M (5 ± 2) x + mx + m Cho hàm số y = ; đồ thị (Cm) ; m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai x+2 điểm phân biệt tiếp tuyến điểm vuông góc với x + mx + m = coù hai nghiệm phân Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình : x+2 ⎧ Δ = x − 4m > bieät x + mx + m =0 coù nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ − 2m + m ≠ ⎡m < Vậy với m< V m > đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B có hoành ⇔⎢ ⎣m > độ xA , xB nghiệm phương trình : x + mx + m = Hai tieáp tuyeán A B vuông góc với ⇔ y '( A) y '( B ) = −1 ⎛ x + x A + m ⎞ ⎛ xB + xB + m ⎞ ⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1 2 ⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2) ⎠ ⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1) ⎧ x A xB = m Với ⎨ (1) ⇔ (4 − m) m + (4 − m ) = ⎩ x A + xB = − m ⎡ m= (loai) m >4 ⎢ m= -1 ( nhân) m< ⇔ m = −1 ⎣ Cho hàm số y = x3 + mx + có đồ thị (Cm) Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) điểm phân biệt A (0,1) , B,C cho tiếp tuyến B C (Cm) vuông góc Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡x = Ta coù : x3 + mx + = − x + ⇔ ⎢ Để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt f(x) = ⎢ f ( x ) = x + mx + = ⎣ buoäc có nghiệm phân biệt khác ⇔ Δ ' f = m2 − > ⇔ m< -2 V m > ⎧ x1 + x2 = m (I ) x1 , x2 hoành độ B C thoả : ⎨ ⎩ x1 x2 = Ta có hệ số góc tiếp tuyến B laø : k1 = y '( x1 ) = (3x12 + 2mx1 ) hệ số góc tiếp tuyến tai C laø : k2 = y '( x2 ) = (3x2 + 2mx2 ) Để tiếp tuyến B C vuông góc thì: k1k2 = −1 ⇔ x1 x2 ⎡9 x1 x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m ⎤ = −1; ( II ) ⎣ ⎦ Từ (I) (II) ⇒ m = ⇒ m = ± thoaû m< -2 Vm> Vậy m = ± thoả toán Cho đường cong (Cm) : y = − x3 + mx − m đường thẳng (d k ) : y= k(x+1)+1 Tìm điều kiện k m để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) : y=k(x+ 1)+1 qua A(-1,1) nên (d k ) có điểm chung (Cm) A Phương trình hoành độ giao điểm (d k ) vaø (Cm) : − x + mx − m = k(x+1)+1 ⇔ ( x + 1) ⎡ x − (1 + m) x + m + k + 1⎤ = ⎣ ⎦ ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g ( x) = x − (1 + m) x + m + k + = Để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt g(x)= có nghiệm phân biệt khác -1 ⎧ ⎧Δ g > ⎪ ⎪k < (m − 2m − 3) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ g ( −1) ≠ ⎪k ≠ −2m − ⎩ ⎩ Do (d k ) qua A (-1,1) ∈ (Cm) nên (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) qua điểm uốn 2 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ I ⎜ , − m + m3 ⎟ (Cm) toạ độ I thoả (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟ 27 ⎠ 27 ⎝3 ⎝3 ⎠ 4m 2(m + 1) ⇒k = − 27(m + 1) m+2 x + 3x + a , a tham số x +1 1/ Khảo sát vẽ đồ thị : a= ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= hoaëc S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 Xét hàm số y = 2/ Với giá trị tham số a đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ hệ trục toạ độ ? CMR đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x2 + 2x + − a ; x ≠ tieáp tuyeán vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ y=x đường ( x + 1)2 thẳng có phương trình : y= -x +m (t) với (t) tiếp tuyến của(C) hệ sau cónghiệm ⎧ x + 3x + a ⎪ x + = − x + m, (1) ⎪ ⎨ ⎪ x + x + − a = −1, (2) ⎪ ( x + 1) ⎩ y' = (1) có nghiệm x ≠ ⇔ x + 3x + a = (− x + m)( x +1) coù nghieäm x ≠ −1 ⎧(4 − m) − 4.2( x − m) ≥ ⎪ ⇔⎨ ⎪ g ( −1) = 2(−1) + (4 + m)(−1) + a − m ≠ ⎩ ⎧m ≥ 8a + 16 ⇔⎨ ⎩a ≠ (2) có nghiệm x ≠ −1 ⇔ x + x + − a = −( x + 1) Có nghiệm x ≠ −1 ⇔ 2( x + 1) = a − có nghiệm x ≠ −1 ⎧a − ≥ ⎧a ≥ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔a>2 ⎪h( −1) = 2(−1 + 1) ≠ a − ⎩a ≠ ⎩ ⎧c ≥ 8a − 16 Điều kiện chung hệ (1),(2) để có nghiệm x ≠ −1 : ⎨ ⎩a > Với a > , y'= ⇔ x2 + x + − a =0 ( x + 1) ⎧ x + x + − a = 0; Δ ' = a − ⇔⎨ ⎩ x ≠ −1 y'= coù Δ ' = a − > , có nghiệm phân biệt , nên đổi dấu lần qua nghiệm Hàm số có cực đại , cực tiểu Có thể kiểm nghiệm với a = ⇒ C ≥ choïn C = ⇒ C = ±3 Khi có tiếp tuyến : ⎛ 4⎞ ⎛ 10 ⎞ y = -x – ; y = -x + Lần lượt tiếp xúc với (C) M ⎜ − , − ⎟ ; M ⎜ − , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Cho hàm số : y = x + 1+ ; có đồ thị (C) x −1 Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng từ dựng tiếp tuyến với (C) tiếp tuyến vuông góc với Gọi M(x0 , y0) điểm thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d) Phương trình hoành độ (d) (C) là: k(x- x0) + y0 = x + + (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – = (*) x −1 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (d) tiếp xúc (C) (*) có nghiệm kép ⎧k ≠ ⎧k − ≠ ⎨ ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩ g (k ) = ( x0 − 1) k + ( x0 + y0 + 5)k + ( y0 − 2) − 16 = Để từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc g(k) = phải có nghiệm phân biệt k1, k2 cho k1k2 = -1 vaø k ≠ ⎧ ( y0 − 2) − 16 = −1 ⎪ ⎪ ( x0 − 1) ⎪ ⎨ g (1) ≠ ⎪( x − 1) ≠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧( x0 − 1) + ( y0 − 2) = 16 ⎪ ⎨ ⎪ x0 ≠ => y0 ≠ ∨ y0 ≠ −2 ⎩ Vậy quỹ tích điểm M từ kẻ tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C) đường tròn tâm I(1,2) , bán kính R = có phương trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 trừ điểm : (1,-2) (1, 6) Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thị (Cm) Chứng minh với m (Cm) cắt đồ thị (C) : y = x3 + 2x2 + hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0,1); D E Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Tìm a để x : f(x) = (x -2)2 + x − a ≥ Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) (C) : x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 f(x) = x2 +mx – = f(x) = có 2nghiệm phân biệt (Vì Δ f = m2 + 24 > 0) A,B thoûa A(x1, x13 + x12 + ) ; B( x2 , x2 + x2 + ) ; với x1, x2 nghiệmsố củaf(x) = có x1 + x2 = -m Gọi I tọa độ trung điểm AB : x1 + x2 −m ⎧ ⎪ xI = = ⎪ I⎨ 3 ⎪ y = y1 + y2 = x1 + x2 + ( x + x ) + = −m − 18m + m2 + 19 ⎪ I 2 ⎩ m = −2 x I ⎧ ⎪ =>yI = xI3 + xI2 + 18 xI + 19 ⎨ −(−2 xI )3 − 18(−2 xI ) + (−2 xI ) + 19 ⎪ yI = ⎩ Vậy quỹ tích trung điểm I đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9 Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) y = : x3 + 3x2 +mx + = x(x2 + 3x + m) = ⎡x = ⎢ ⎣ g ( x) = x + 3x + m = 0(2) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (Cm) cắt y = điểm C(0,1) ; D E (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧9 − 4m > ≠ m < ⎨ ⎩m ≠ ⎧ xD + xE = −3 Khi gọi xD , xE hoành độ D,E ta có : ⎨ ⎩ xD xE = m Tiếp tuyến (Cm) D, E vuông góc y '( xD ) y '( xE ) = −1 2 ⇔ (3xD + xD + m)(3xE + xE + m) = −1 2 ⇔ xD xE − m[( xD + xE )2 − xD xE ] + m = −1 4m2 – 9m + = m = Vaäy m = ± 65 ;0 ≠ m < ± 65 f(x) = (x – 2)2 + x − a ≥ 3, đặt g(x) = (x -2)2 + x − a − ta cần chứng minh f(x) ≥ g(x) ≥ ; ∀x * Neáu x – a ≥ x ≥ m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – coù: g’(x) = 2x - ; g’(x) = x = x g’(x) g(x a - +∞ + -2a x ≥ a =>a ≤ => g(x) = -2a >0 a ≤ *Neáu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - x − a − ; g’(x) = 2x – g’(x) =0 x = x g’(x) g(x) −∞ - + a 2a – x ≤ a => a ≥ =>min g(x) = 2a – ≥ => a ≥ Vaäy a ≤ ∨ a ≥ +∞ ... kẻ tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR tiếp tuyến khác (C) song song với tiếp tuyến qua A (C) nói 1.Gọi (d) đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) tiếp tuyến. .. m)2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị x0 = y ''(0) = tiếp tuyến vuông góc với TCĐ k = ⇔ m − 16 =k m2 m − 16 = ⇔ m = ±4 m2 TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm ⇒ tiếp tuyến x = vuông góc TCĐ m = ±4 Cho hàm số ( Hm)... = (T) ≡ (d) tiếp tuyến khác song song với tiếp tuyến A Cho hàm số y = x4 − 3x + , có đồ thị (C) 2 1.Gọi (d) tiếp tuyến đồ thị điểm M có hoành độ x M = a CMR hoành độ giao điểm tiếp tuyến (d) với