LỜI CẢM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn Phó giáo sư, Tiến sĩ Lê Viết Hòa, cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên và cung cấp cho em vốn kiến thức, tài liệu quý báu để em có thể hoàn thành được luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho em những kiến thức khoa học căn bản cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình em thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả luận văn Lê Thị Hương MỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU Theo quan điểm đối xứng có thể chia các hệ vật lý thành hai loại: Loại thứ nhất bao gồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phục hồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt từ trong vật lý các môi trường đậm đặc, mô hình chuẩn hoặc mô hình thống nhất lớn trong vật lý hạt. Bên cạnh đó cũng có hiện tượng phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) tức là đối xứng ban đầu bị phá vỡ khi nhiệt độ tăng. Loại thứ hai bao hồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ tường minh sẽ không được phục hồi (SNR) khi nhiệt độ tăng như các hệ tinh thể lỏng, các muối Rochelle, một số hợp chất mangan …. Trong khuân khổ lý thuyết trường lượng tử, vấn đề không phục hồi đối xứng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây vì nó liên quan đến những vấn đề quan trọng trong vũ trụ học như về sự tồn tại của các vách ngăn (domain wall), các hạt đơn cực (monopole)…Chính vì vai trò quan trọng của bài toán về SNR/ISB ở nhiệt độ cao chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu sự phá vỡ và phục hồi đối xứng ở nhiệt độ cao” với nhiệm vụ sau: 1) Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết trường lượng tử. 2) Tìm hiểu phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn. 3) Tính thế nhiệt động, các tham số trật tự từ đó rút ra các phương trình khe, phương trình Swchinger-Dyson, từ đó nghiên cứu điều kiện để xảy ra phá vỡ đối xứng nghịch đảo hoặc không phục hồi đối xứng trong mô hình lý thuyết trường được mô tả bằng mật độ Lagrangian: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 * * * * 1 1 ψ 2 * * * * 2 2 λ £ = i +ψ i ψ μ + t 2.m t 2.m 2 λ λ μ ψ ψ + ψ ψ + ψ ψ 2 2 , φ δ δ − − − − φ φ δ δ φ φ     ∇ ∇ φ φ − φ φ −  ÷  ÷     − 1 ở đây 1 2 μ μ, tương ứng là thế hóa học của các trường φ , ψ; m 1 , m 2 là khối lượng thuần của các nguyên tử được biểu diễn bằng các trường φ , ψ tương ứng; λ 1, λ 2 , λ là các hằng số liên kết. Từ những kết quả đạt được, luận văn được trình bày với bố cục như sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không. Chương 2: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữa hạn. Chương 3: Sự phá vỡ và phục hồi đối xứng trong hệ pha trộn nhị nguyên. 2 Chương I: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG Chương này trình bày một cách tổng quan về tác dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite đã được Cornwall, Jackiw và Tomboulis (CJT) đưa ra lần đầu tiên vào 1976. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tác dụng hiệu dụng CJT cùng với khai triển chu tuyến (loop) của nó, tiếp đó là thế hiệu dụng và sau cùng là một vài ví dụ minh họa. I.1. Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng. I.1.1. Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng. Xét trường vô hướng ( ) xφ được mô tả bởi mật độ Lagrangian ( ) £[ x ]φ và hàm tác dụng: ( ) 4 S £[ x ]d x. (1.1)= φ ∫ Mọi đặc trưng động lực của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà nó được biểu diễn bằng tích phân đường: [ ] [ ] [ ] i(S .j) iw j out in J 0 0 D e e ,Z (1.2) φ +φ ≡ = φ = ∫ ta dùng kí hiệu: 4 .J (x)J(x)d x. (1.3)φ = φ ∫ [ ] Z J chính là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm hàm của nó cho các hàm Green: [ ] [ ] n 1 n 1,2 n n n 2 1 J 1 0 T( ) 0 G . (1.4) Z J i J J J Zδ = φ φ ≡ δ δ δ 3 Còn các hàm Green liên kết G C nhận được từ phiếm hàm sinh [ ] W J liên quan với [ ] Z J bởi (1.2) [ ] [ ] iW J Z J = e , Suy ra: [ ] [ ] W J = ilnZ J (1.5) Từ đây bằng cách đưa vào “trường cổ điển” ( ) xφ là trị trung bình của trường lượng tử ( ) xφ : [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) i S + .J i S + .J i D (x)e δW J = (x) = (x) δJ i D e φ φ φ φ φφ ≡ φ φ φ ∫ ∫ (1.6) thì tác dụng hiệu dụng [ ]Γ φ sẽ nhận được bằng phép biến đổi Legendre loại I [ ] ( ) Γ[ ] = W J .J. 1.7φ − φ Cũng như (1.3), ở đây ( ) ( ) ( ) 4 .J = x J x d x, 1.8φ φ ∫ có thể coi (1.6) là phép biến đổi biến từ J thành φ là biến tự nhiên của phép biến đổi Legendre. Đạo phiếm hàm của [ ]Γ φ theo biến số tự nhiên φ sẽ cho hệ thức liên hợp Legendre: ( ) 1.9J. φ     δΓ = − δφ Trạng thái cơ bản của hệ ứng với J = 0 ứng với sự triệt tiêu nguồn ngoài sẽ cho ta xác định ( ) xφ J 0 [ ] 0. (1.10) = δΓ φ = δφ Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn: 4 [ ] [ ] [ ] ( ) 1 i S + .J+ .K. iW J,K 2 Z J,K = D e = e , 1.11    ÷ φ  φ φ φ  φ ∫ ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính Composite của trường. Tương tự như trên, bằng cách đưa vào “trường cổ điển” ( ) xφ theo (1.6) và hàm truyền G bởi hệ thức: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δW J,K 1 1 x y = x y + G x,y , 1.12 δK x,y 2 2   ≡ φ φ φ φ   ta sẽ nhận được tác dụng hiệu dung CJT bằng biến đổi Legendre loại II: [ ] [ ] ( ) 1 1 Γ[ ,G] = W J,K .J .K. Tr G.K . 1.13 2 2 φ −φ − φ φ − Cũng như (1.3), ở đây ta dùng các ký hiệu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 .J = x J x d x, .K. x K x,y y d xd y, Tr G,K G x,y K x,y d xd y. 1.14 φ φ φ φ = φ φ = ∫ ∫ ∫ Các phương trình (1.6) và (1.12) có thể xem như phép biến đổi từ (J,K) thành các biến tự nhiên ( ) ,Gφ của phép biến đổi Legendre loại II (1.13). Các đạo phiếm hàm của [ ,G]Γ φ theo biến số tự nhiên φ sẽ cho các phương trình: ( ) δΓ[ ,G] = J K. , 1.15 δ φ − − φ φ ( ) δΓ[ ,G] 1 = K. 1.16 δG 2 φ − Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài và do đó được xác định bởi phương trình khe (Gap): 5 ( ) J=K=0 δΓ[ ,G] =0 1.17 δ φ φ và phương ttrình Schwinger-Dyson (SD): ( ) J=K=0 δΓ[ ,G] = 0. 1.18 δG φ Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite thì thay cho tác dụng hiệu dụng [ ]Γ φ sẽ là tác dụng hiệu dụng [ ,G]Γ φ tổng quát hơn, tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào trung bình chân không của toán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T- tích của các toán tử trường. I.1.2. Tác dụng hiệu dụng của trường Fermion. Việc xây dựng biểu thức cho tác dụng hiệu dụng đối với trường Fermion cũng hoàn toàn tương tự như đối với trường vô hướng. Khi đó ta xét một hệ với sự có mặt của các trường Fermion ψ và ψ được mô tả bởi mật độ Lagangien Lψ,ψ é ù ê ú ë û và tác dụng: ( ) 4 I = Lψ,ψ d x. 1.19     ∫ Biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của các nguồn η và η cặp với các trường ψ và ψ là: i{Iψ,ψ +ψ.η+η.ψ} out in Zη,η O O = DψDψe . (1.20) é ù ê ú ë û é ù = ê ú ë û ò Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết xác định bởi: iWη,η Zη,η = e . (1.21) é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û Bằng cách đưa vào các trường cổ điển σ(x) và σ(x) tương ứng là giá trị trung bình của trường ψ(x) và ψ(x) : 6 δW η,η <ψ> = σ(x), δη δW η,η <ψ> = σ(x), (1.22) δη é ù ê ú ë û º é ù ê ú ë û º ta thu được tác dụng hiệu dụng [ ] Γ σ(x),(x) bằng phép biến đổi Legendre loại I: [ ] [ ] Γ σ(x),σ(x) = W η,η σ(x).η η.σ(x). (1.23)- - Hệ thức liên hợp Legendre thu được từ đạo phiếm hàm của của [ ] (x), (x)Γ φ φ theo các biến tự nhiên: [ ] [ ] δΓ σ(x),σ(x) =η(x), δσ(x) δΓ σ(x),σ(x) =η(x). (1.24) δσ(x) - - Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn: . . iW i{Iψ,ψ + ψ η + η ψ + ψ.ς.ψ} η,η,ς Zη,η,ς = e = DψDψe . é ù é ù ê ú ê ú ë û ë ûé ù ê ú ë û ò (1.25) Bằng cách đưa vào trường cổ điển σ(x),σ(x) theo (1.22) và hàm truyền S thỏa mãn: δW η,η,ς <ψψ> = σ(x)σ(x) + S(x,y). δς é ù ê ú ë û º (2.16) Ta sẽ nhận được tác dụng CJT bằng phép biến đổi Legendre loại II: [ ] [ ] [ ] Γ σ,σ,S = W η,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς , (1.27)- - - - ở đây đã dùng các kí hiệu: 4 ση = σ(x)η(x)d x, ò 4 ση = σ(x)η(x)d x, ò 7 [ ] 4 4 4 4 σ.ς.σ = σ(x)ς(x,y)σ(y)d xd y, Tr Sς = S(x,y)ς(x,y)d xd y. (1.28) ò ò Các đạo phiếm hàm của tác dụng hiệu dụng theo các biến tự nhiên σ, σ, S của biến đổi Legendre loại II sẽ cho: [ ] [ ] [ ] δΓ σ,σ,S δΓ σ,σ,S δΓ σ,σ,S =η σ.ς; = η ς.σ; = ς. (1.29) δσ δσ δS - - - - - Trạng thái cơ bản của Trường sẽ được mô tả bằng phương trình Gap: [ ] [ ] η = η = ς η = η = ς δΓ σ,σ,S = 0, δσ δΓ σ,σ,S = 0, (1.30) δσ và phương trình SD: [ ] η = η = ς δΓ σ,σ,S = 0. (1.31) δS I.2. Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng. Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt (một loop) và hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng. Điều này rất cần thiết cho các tính toán tác dụng hiệu dụng trong những trường hợp cụ thể về sau. I.2.1. Khai triển bất khả quy một hạt. Xét trường vô hướng. Từ phiếm hàm: [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) δΓ i S . δ iΓ i W J .J e = e = D e , 1.32    φ     φ − φ− φ   φ   φ − φ       φ ∫ với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.9). Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển [ ] S φ dưới dạng: 8 [...]... hm sinh tng quỏt: ộ iW,, ự ờ ỳ ộ ở ỷ Z,, ự e = = ờ ỳ ở ỷ ị e ộ i{W,, ờ ở = ũ DDe DDe ũ ộ i{I , ờ ở ự . + . + ..} + ỳ ỷ ự- . - . - .. - Tr S } [ ] ỳ ỷ = ộ + i{I, ự . + . + .. - . - . - .. - Tr S } [ ] ờ ỳ ở ỷ Ta cú: e i[ ,, ] =e =e =e -iTr[ S ] ộ i{W,, ự . - . - .. - Tr S } [ ] ờ ỳ ở ỷ ũ DDe i{I[ , ] + ( - )( + .)+( + .)( - ) + ( - )..( - )} ộ [ ,, ] ự iTr ờ S ỳ ờ S ỳ ở ỷ ũ DDe i{I, ] - ( - ) [ [ ,,... TC DNG HIU DNG CJT NHIT HU HN Lý thuyt trng ta va trỡnh by chng I ch thớch hp mụ t cỏc i lng quan sỏt c trong khụng-thi gian trng Nhng thi k u ca v tr, khi m nhit rt cao v mụi trng ó cú mt lng vt cht v mt bc x ỏng k thỡ lý thuyt trng nhit 0 khụng cũn ỏp dng c na Vỡ vy cn phi cú mt lý thuyt trng tng quỏt hn, gn vi nhit ng lc, trong ú trng thỏi nn l mt b nhit ú l lý thuyt trng nhit hu hn v nú... S-1 ( p) - S-1 ( p;; a ) G ( p) +1ự lnG + 0 4 ở ỷ ( 2) CJT i d4p + ũ Tr ộ ( p) D-1 ( p) - D -1 ( p) D ( p) +1ự lnD + 0 0 4 ở ỷ 2 ( 2) i d4p + ũ Tr ộ -1 ( p) ab ( p) - -1 ( p) ab ( p) +1ự ln + 0,ab 4 ở 0,ab ỷ 2 ( 2) g d4p d4 k + ũ Tr ộ ( p G 4 4 ờ ) ở 2 ( 2) ( 2) ,q,q p, p - k ) G p - k D k ) ự + ) ( ỳ ( ( ) ( ỷ ig d4p d4k ộ a ( + ũ Tr G p ) 4 4 ờ5 ở 2 ( 2) ( 2) b ,q,q p,p - k ) p - k ) G ( ( ab... 26 m2 2 2 V0 = + , a ) ( 2 d4p ộ -1 V1 = - i ũ tr ở ( p) S0 ( p) - S-1 ( p,, a ) G ( p) +1ự lnG + 4 ỷ ( 2) i d4p ộ + ũ tr ở ( p) D -1 ( p) - D -1 ( p) D ( p) +1ự lnD + 0 0 4 ỷ 2 ( 2) + i d 4 p ộ -1 -1 ln ũ ( 2) 4 tr ở 0,ab ( p) ab ( p) - 0,ab ( p) ab ( p) +1ự ỷ 2 g d4p d 4k V2 = ũ Tr ộ ( p G 4 4 ờ ) ở 2 ( 2) ( 2) ,q,q ig d4p d4k ộ a + ũ tr G p ) ( ở5 2 ( 2) 4 ( 2) 4 ờ p, p - k ) G p - k D k ) ự +... iTr ờ S ỳ ờ S ỳ ở ỷ ũ DDe i{.iS -1+ I , 0 int [ ]( ) - [ ,, ] [ ,, ] ( ) Khi ú ng vi = = 0 ta cú : 14 ( - ) - [ ,, ] ( S )} - e i[ 0,0, ] = ộ [ 0,0, ] ự iTr ờ S ỳ ờ S ỳ ở ỷ =e ũ DDe i{.iS -1+ I , [ 0 int k [ ,, ] + ]( - k [ ,, ] ) [ 0,0, ] }, S ==0 ta cú : -1 ln DetS-1 ) Tr lnS-1 0 DDe.S0 = e ( =e 0 Do vy: i[ 0,0, ] + iTr[ lnS ] e = -1 0 =e ộ [ 0,0, ] ự iTr ờ S ỳ ờ ở S ỳ ỷ ũ DDe... [ ,, ] + ũ DDe k [ ,, ] ) ==0 [ 0,0, ] } S -1 i(.iS ) 0 (1.59) Cng nh khai trin bt kh quy mt ht, ta i tỡm hm G2 [ ,, ] tha món : e i,, G2 [ iTr ộ ] + lnS ở -1 0 ự ỷ =e ộ [ ,, ] ự iTr ờ 2 S ỳ ờ ỳ S ở ỷ % i{.iS -1+ I ,,, - % 0 % int ộ % ở %% ũ DDe ự % 2k [ ,, ] ( + ỷ 2k [ ,, ] [ ,, ] ) % % 2 }% S ==0 - % 0 % %i(.iS ) % ũ DDe -1 (1.60) vi : % = - ; % = - v khai trin tỏc dng c in quanh... ,, ] + iTr ộ -1 ự+ I[ , ]} lnS ờ 0ỳ ở ỷ ũ = ộ [ ,, ] ự iTr ờ 2 S ỳ ờ ỳ S ở ỷ e % [ ,, ]+ I[ , ] - ( 2k [ ,, ]+ I[ , ] %- ( - iS -1+ 2 [ ,, ] % i{I, ] - ( 2k ) ) % )} [ 0 S %% DDe (1.61) Ta li cú: % % %.S DDe -1 ln DetS-1 ) Tr lnS-1 =e ( =e % v cú th vit li (1.61) nh sau : i{ 2 [ ,, ] + iTr[ lnSS0 ] + I[ , ]} -1 e ìũ =e ộ [ ,, ] ự iTr ờ 2 S ỳ ờ ỳ S ở ỷ % [ ,, ]+ I[ , ] - ( 2k [ ,,... n nhiu vn nghiờn cu khỏc nhau Trong chng ny s trỡnh by mt cỏch tng quỏt cỏc phng phỏp chớnh ang c s dng phc v cho lý thuyt trng nhit hu hn II.1.C s chớnh tc ln xõy dng quy tc Feynman cho lý thuyt trng nhit hu hn, trong mc ny ta s tỡm hiu mt s khỏi nim c ly t nhit ng lc hc v vt lý thng kờ mụ t mt h cụ lp vi nng lng E, s ht N v cú th tớch V ta dựng c s vi chớnh tc Cũn mụ t h ni vi b nhit nhit... thc: 23 2 (i ) 2 = 2i [ i ] - [ i ] Ta cú: Gi = 1 : 2 (i ) 2 = () 2 = 2[ ] - [ ] , G2 g2 m2 m4 (i ) 2 = {2( ) - 2 2 } 2 2m 2 g g r i = i 5 : (1.92) (i5 a )2 = 2(i5 a ) ộ 5 a ự [i 5 a ]2 , i ở ỷ G2 m2 2 a 2 a (i5 ) = - gi 5 a a 2 2 (1.93) Thay (1.93), (1.92) vo (1.89) ta s thu c Lagrangian tng ng: 2 - g( + i a ) - m ( 2 + 2 ) a a L = iả 5 2 (1.94) i n tỏc dng hiu dng CJT ta... mt phim hm G [ , ] tha món phng trỡnh tng t nh (1.42) 1 v tr nờn trựng khp vi nú khi lm mt s thay i thớch hp trong s hng tng tỏc v hm truyn tc l tha món: { % ei [ , ] = ũ DDe 1 % ộ % iiS% +% ,,, - I ở -1 0 int } ự % [ , ]- [ , ] % ỷ 1 1 (1.43) a vo cỏc bin mi: % = - % = - (1.44) v khai trin tỏc dng c in quanh , ta c: I, ]= I + ,% + [ [% ] 2 %I [ , ] I [ , ] % % I [ , ] % I = I, + + + . 2: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữa hạn. Chương 3: Sự phá vỡ và phục hồi đối xứng trong hệ pha trộn nhị nguyên. 2 Chương I: PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở NHIỆT ĐỘ KHÔNG . tượng phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) tức là đối xứng ban đầu bị phá vỡ khi nhiệt độ tăng. Loại thứ hai bao hồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ tường minh sẽ không được phục hồi (SNR) khi nhiệt độ. các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phục hồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt từ trong vật lý các môi trường đậm đặc, mô hình chuẩn hoặc mô hình thống nhất lớn trong vật lý hạt.